Как упростить процентные расчеты при решении задач.
статья по алгебре по теме

Как упростить процентные расчеты

       Среди заданий единого государственного экзамена часто встречаются задачи на проценты, которые обычно сводятся к двум типам: задачи на изменение величин  и задачи на смеси.

     Поскольку к таким задачам требуется найти лишь ответ без всяких пояснений способа его получения, то вполне можно применять распространенные в производственной практике «механические» способы получения ответа. Это освобождает время и экономит силы для решения трудных заданий группы С. Наименование величин в ответах к этим задачам  не пишется.

Задачи на изменение величин

Задачи на изменение величин решаются проще и быстрее, если в них ситуацию

«изменения на проценты» заменить процедурой « изменения в разы» .

Рассмотрим число t=0,01p. Тогда очевидно, что:

-  p процентов от числа m составляет число  tm;

                    - если m=a+b  и  a составляет p процентов от m, то b=(1-t)m;

                - после увеличения m на p процентов получается  m(1+t);

              - после уменьшения m на p процентов получается m(1-t).

Задание1: По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Поиск ответа. Искомая величина S находится так:

                           S=((50000*1,1)*1,1)-50000

                          Ответ: 16550

Задание 2 :  Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие-8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих?

Решение: Грибы в любой степени влажности состоят из воды и абсолютно сухого вещества,которое в данной порции грибов неизменно. В свежих грибах этого вещества 8%, а в сухих-92%. Если искомая величина x, то 0,92х=0,8*23

Ответ: 2

 Задание 3. На рынке костюм, состоящий из пиджака и брюк, на 20% дешевле, чем такой же костюм в магазине, причем брюки на 35% дешевле, чем в магазине, а пиджак -на 10%. Сколько процентов стоимости этого костюма в магазине составляет стоимость пиджака?

Поиск ответа: Пусть s-стоимость костюма в магазине,p-искомая величина, x=0,01p.Тогда стоимость костюма на рынке 0,8sстоимость в магазине: пиджака  xs, брюк (1-х)s. Стоимость этих вещей на рынке 0,9xs и 0,65xs соответственно. Составим и решим  уравнение:  0,65 (1-х)s+0,9xs=0,8s

                     х=0,6, т.е p=60

Ответ: 60

Задачи на смеси

 Задачи на смеси (растворы, сплавы) удобно решать по так называемому правилу квадрата, который широко применяется химиками. Всякая смесь или сплав характеризуется концентрацией- процентным содержанием какого-то равномерно распределенного в смеси вещества. Под понятие концентрация подходят жирность(молока), влажность(грибов), крепость(водно-спиртовых смесей).

Правило квадрата.  Пусть потребуется получить смесь концентрации c процентов из растворов А и В концентрации a и b процентов соответственно Пусть  a

Возьмем квадрат и запишем в его левых углах числа a и b, а в центре – число с. Затем по диагоналям от больших чисел отнимем меньшие и разности запишем в правых  углах квадрата. Эти числа показывают, что растворы А и В следует смешивать в отношении     (b-c):(c-a)

Задание 4: Из сосуда , доверху наполненного 94%-м раствором кислоты, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 70%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора  вмещает сосуд?

Поиск ответа :. Пусть х- искомая величина. Мы смешали 1,5 литра раствора концентрации 70% и (х-1,5) литра концентрации 94%. По правилу квадрата получаем:

; х=4,5                

Задание 5.  В бидон налили 4 литра молока трехпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

Поиск ответа. Пусть х- искомая величина. По правилу квадрата получаем:

; х=4,8.                  

Ответ: 4,8