Сборник самостоятельных и домашних работ для студентов первого курса очной формы обучения часть I; часть II
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

ВВЕДЕНИЕ

        Данные методические рекомендации предназначены для выполнения самостоятельных работ и домашних заданий студентами первого курса очной формы обучения по дисциплине «Математика».

        Содержание заданий соответствует содержанию основных разделов изучаемой дисциплины предлагаемых примерной программой по математике для специальности среднего профессионального образования на базе основного общего образования.

        Цель домашнего задания – овладеть способами и вычислительными приемами математических задач, а также на опытном материале закрепить определенные методические положения дисциплины.

        Вычисления выполняются студентами индивидуально по вариантам, выбираемыми по определенному алгоритму. Необходимые формулы для расчетов указаны в комментариях к выполнению каждого задания. Здесь же разобраны аналогичные примеры и задачи.

        Особое внимание при выполнении заданий следует обратить внимание на запись ответа, изображения рисунка. Работы выполняются в рабочей тетради и сдаются на проверку преподавателю.

        Расчеты могут выполняться с использованием электронных оболочек типа: “Statistica”, “Mathcad” и других аналогичных программ для современных персональных компьютеров. Однако, сравнительно малый объем информации вполне позволит студентам провести необходимые расчеты с помощью калькуляторов.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Общие обозначения.

Задание № 1. По графику исследовать функцию по предложенной схеме:

Задание № 2. Найти область определения функции.

Задание № 3. Письменно ответить на вопросы по теме «Функция и способы

ее задания.

Задание № 4. Выполните действия с тригонометрическими выражениями.

Задание № 5. Упростить тригонометрические выражения и доказать тождество.

Задание № 6. Решить простейшие тригонометрические уравнения.

Задание № 7. Решить квадратные тригонометрические уравнения

Задание № 8. Решить однородные тригонометрические уравнения.

Задание № 9. Построить график тригонометрической функции.

Задание № 10. Решить тригонометрические неравенства.

Задание № 11. Выполнить действия с иррациональными числами и

выражениями.

Задание № 12. Решить иррациональные уравнения.

Задание № 13. Решить показательные уравнения.

Задание № 14. Решить логарифмические уравнения.

Задание № 15. Решить показательные неравенства.

Задание № 16. Решить логарифмические неравенства.

Задание № 17. Найти производные степенных функций в точке.

Задание № 18. Найти производные произведения и частного двух степенных

функций.

Задание № 19. Найти производные сложных функций.

Задание № 20. Найти производные тригонометрических функций.

Задание № 21. Найти производные логарифмических и показательных

функций.

Задание № 22. Найти производные функций.

Задание № 23. Определить промежутки монотонности функций.

Задание № 24. Найти точки экстремума функций.

Задание № 25. Исследовать функцию и построить график.

Задание № 26. Написать уравнения касательной к графику функции в данной

точке.

Задание № 27. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на

отрезке.

Задание № 28. Дана квадратная матрица 3 порядка. Найти ее миноры и

алгебраические дополнения, а также определитель матрицы.

Задание № 29. Решить систему 3-х линейных  уравнений методом Крамера.

Сделать проверку.

Задание № 30. Выполнить сложение и вычитание 2-х векторов. Найти длину,

орт и направление вектора.

Задание № 31. Найти синус и косинус угла между векторами. Сделать

проверку.

Задание № 32. Разложить вектор по двум векторам.

Задание № 33. Найти площадь треугольника, если даны координаты его

вершин.

Задание № 34. Письменно ответить на вопросы по теме «Вектора».

Задание № 35. Решить задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве».

Задание № 36. Письменно ответить на вопросы по теме «Прямая и плоскость

в пространстве».

Задание № 37. Сложить, вычесть, умножить и разделить два комплексных

числа в алгебраической форме.

Задание № 38. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Найти произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме.

Задание № 39. Возвести в степень комплексное число.

Задание № 40. Извлечь корень из комплексного числа.

Задание № 41. Найти первообразную функции в точке.

Задание № 42. Вычислить неопределенный интеграл.

Задание № 43. Вычислить определенный интеграл.

Задание № 44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Задание № 45. Решить задачи по теме  «Призма».

Задание № 46. Решить задачи по теме «Пирамида», «Цилиндр», «Конус», «Шар».

ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Логика

 - «влечет за собой, знак следования (следствия). Логический вывод.

 - «эквивалентно». Логическая равносильность.

V     -  «любой» или «для всех». Квантор общности.

         - «существует». Квантор существования.

Теория множеств

ε – «принадлежит». Принадлежность элемента множеству.

ε- «не принадлежит».

   - «включено в». Включение одного множества в другое.

 U - «объединение». Объединение двух множеств.

 ∩ - «пересечение». Пересечение двух множеств.

 Ο - «пустое множество».

Основные числовые множества

Ν – Множество всех натуральных чисел

Z, Q, R, R+, C – множества всех целых чисел, всех рациональных чисел, всех действительных чисел, всех действительных положительных чисел, всех комплексных чисел соответственно.

(a; b) – интервал числовой прямой.

[a; b] – отрезок (сегмент) числовой прямой.

(a; b], [a; b), (a; b), [a; b] – конечные промежутки числовой прямой.

(-∞; а], (-∞; а), [a; +∞), (a; +∞) – бесконечные промежутки числовой прямой.

(a - ε; a + ε) – «ε – окрестность» точки a числовой прямой.

{a, b, c, …} – множество, состоящее из элементов a, b, c, …

Отношения

=, ≠,  ≈ - «равно», «не равно», «равно приближенно (мало отличается)».

≤  (≥)  - «меньше или равно» («больше или равно»).

<  (>) – «строго меньше» (строго больше»).

Операции

|a| - «абсолютная величина (модуль)», если а ε R, или «модуль», если а ε C.

+,-, · или х – «плюс», «минус», «умножить на».

a : b, a  или a/b  – «a делить на b».  Частное от деления a на b или  отношение

         b

a к b.  

аq – «а в степени q», а ε R+, q ε R. Степень а.

n√а –  «корень n–й степени из а»,  а ≥ 0,   если n = 2k;   а ε R,   если n = 2k +1 (k ε N)

f – функция с областью определения X = {х} и областью значений Y = {y} (однозначное отображение множества Х на множество Y). При отображении f образом Vх ε Х является y = f (х) ε Y

f ' (х) – первая производная f (х)

max f (х) (min f (х)) – наибольшее (наименьшее) значение f  на [a; b]

[a; b]       [a; b]

Векторы

а – «вектор а» . Элемент векторного пространства.

АВ – «вектор АВ» с началом в точке А и концом в точке В

‌ а ‌  = а, ‌ АВ ‌ = ‌ АВ ‌ - «длина» или «модуль» вектора а, АВ

(а, b ) – угол (величина угла) между векторами а и b

(а, b ), (АВ, СD) – « а умножить скалярно на b ». Скалярное произведение двух векторов.

приа, пр b а – проекция вектора а на ось и, на направление вектора b.

а = (x; y; z) – вектор а с координатами x; y; z        

i, j, k – орты (координатные векторы)

а ↑↑ b – «векторы а и b сонаправлены»

а ↑↓ b – «векторы а и b противоположно направлены»

М (x; y; z) – точка М с координатами x; y; z (координаты радиуса вектора точки М)

Задание № 1.

По графику исследовать функцию y = f(x) по предложенной схеме.

Этот план, который называют схемой исследования функции, включает в себя нахождение определенных характеристик функции, словесное определение которых дано в левой колонке схемы, а графическое – в правой.

Пример:

По графику исследуйте функцию:

1. Д(у) = [-5; 7]

2. f(x) = 0

x = -3; -1; 3

3.f(x) > 0   при х  ε (-5; -3) U (-1; 3)

f(x) < 0   при х  ε (-3; -1;) U (3; 7)

4. Х мах = 0      X min = -2

y max = 4       y min = -4

5. f(x)  ↑  при х  ε (-2; 0)                

    f(x)  ↓  при х  ε (-5; -2) U (0; 7)              

6. f(x) наибол. = 5              f(x) наимен. = -5

7. Е(у) = [-5; 5]

Варианты:

Вариант № 1                                                                                        Вариант № 2

Вариант №3                                                                                        Вариант № 4

Вариант №5                                                                                          Вариант№6

Вариант№7                                                                                             Вариант№8

Вариант №9                                                                                        Вариант № 10

Вариант № 11                                                                                     Вариант № 12

Вариант №13                                                                                      Вариант № 14

Вариант № 15                                                                                     Вариант № 16

Вариант№ 17                                                                                       Вариант№ 18

Вариант № 19                                                                                     Вариант № 20

Вариант № 21                                                                                     Вариант № 22

Вариант № 23                                                                                     Вариант № 24

Вариант № 25                                                                                     Вариант № 26

Вариант № 27                                                                                     Вариант № 28

Вариант № 29                                                                                     Вариант № 30

Задание № 2

Найдите область определения функций:

Пример: а) f(x) = 3x – 5

                              6- 5x

Решение:      6 –5x ≠ 0       x ≠  6_        Ответ: Д(у) = (-∞; 6 )  U (6_; +∞)

                                                 5                                         5          5

б) f(x) = √3х2 – х - 4

Решение: 3х2 – х –4 ≥ 0  

Д = b2 – час = 12 – 4 • 3 • (-4) = 49

х1 = 1 – 7  =  -1         х2 =  8

         6                               6                                                                                      х

Ответ: Д(у) = (-∞; -1] U [ 8 ; +∞)

                                           6

Вариант № 1                             Вариант № 2                          Вариант № 3

у = √-5х2 – 2х + 3                      у = √2х2 – 3х + 1                    у = √х2 + 3х - 2

у = 3 –х                                      у = 5-х__                                 у =  __6__  

      2х –1                                         2х + 3                                         х - 25

Вариант № 4                             Вариант № 5                        Вариант № 6

у = √х2 – 2х + 1                      у = √х2 + 2х + 1                       у = √3х2 - 2х - 1

у = 4х                                      у = 3х - 1__                             у =  2х - 1

      2 –3х                                       2х - 7                                         3х + 2

Вариант № 7                             Вариант № 8                       Вариант № 9

у = √х2 – 4х + 2                         у = √-6х2 – х + 1                  у = √х2 - 2х + 4

у =   х                                         у = 2х + 1__                         у = 6х - 1

      2х + 4                                         3х - 2                                     2х - 3

Вариант № 10                      Вариант № 11                          Вариант № 12

у = √8х2 – х - 1                      у = √5х2 – 2х - 3                      у = √- х2 + 2х - 4

у = 3 х                                    у = 6х -2__                              у =  7 – 2х

      7 -2х                                      1,5х - 3                                       9 - 3х

Вариант № 13                      Вариант № 14                         Вариант № 15

у = √-х2 + 6х - 2                   у = √-5х2 – 2х - 1                     у = √-7х +2х2 - 1

у =   х                                    у = 5х__                                   у =  6 – 2х

      2х –3                                    3 -9х                                             3х

Вариант № 16                      Вариант № 17                         Вариант № 18

у = √6х - 2х2 + 3                   у = √х2 – 4х + 1                       у = √8х2 – 2х + 1

у = 5х - 12                             у = 7х -2__                              у =  7,5 – 2х

          3х                                      2 -7х                                             8х -1

Вариант № 19                      Вариант № 20                         Вариант № 21

у = √0,5х2 - 3х                      у = √8х – 2х2 + 3                     у = √0,125х2 - 4

у =   6х                                    у = 7х - 1                               у =  3х - 2

      2х –1                                        0,5х                                        7 - х

Вариант № 22                      Вариант № 23                         Вариант № 24

у = √7,2х - 4х2                      у = √7х - 2х2 + 1                     у = √х2 – 4х + 4

у =   6х                                  у = 7х - 2                                 у =  5х - 1

      1 - х                                       2 - х                                             х

Вариант № 25                      Вариант № 26                         Вариант № 27

у = √3х2 - 4х + 1                   у = √6х2 – 4х + 1                     у = √х2 – 4х + 0,2

у =  5х - 1                              у = 5х__                                   у =  7,4 – 2х

        2 - х                                    х – 1,2                                            3х

Вариант № 28                      Вариант № 29                         Вариант № 30

у = √3х2 - 4х - 2                   у = √-х2 – х - 1                         у = √3х2 – х - 2

у =   7х                                 у = 6х__                                   у =  5х - 1

      2 - х                                    7,2 -3х                                         1 – 4х

Задание № 3

1. Что такое область определения функции.
2. Дайте определения функции.
3. Какие функции называются четными, а какие нечетными. Приведите примеры.
4. Какими способами можно задать функцию (с примерами).
5. Какие функции называются возрастающими.
6. Какие функции называются убывающими.
7. Какие функции называются монотонными.
8. Дайте определения экстремума функции.
9. Какие функции называются периодическими.
10. Что такое область значения функции

Задание № 4

Выполните действия с тригонометрическими выражениями.

Пример 1. Переведите градусы в радианы, а радианы – в градусы.

а)  120о ;  -135о                б)  3π/5 ;   -π/9

Решение:

а)  120о = 120о • π    = 2π/3                -135о = - 135о • π   = -  3π/4

                180о                                                  180о

б)  3π/5 = 3 • 180о  = 108о                 - π/9 = - 180º/9 = - 20о

                5

Пример 2. Упростите тригонометрическое выражение:  

cosπ/3 + 3sin2 π/4 – 2tg π/6

Решение:

½ + 3(√2/2)2 – 2 √3/3 = ½ + 3/2 - 2√3/3 = 2 - 2√3/3

Пример 3. Найдите функцию tgα если дано:

Дано:  sinα = 0,6       Решение:

0 ≤ α ≤ π/2                  sin2α + cos2α = 1

Найдите tgα ?            0,62 + cos2α = 1

                                   cosα = ±√0,64 = ±0,8

                                  т.к. 0 ≤ α ≤ π/2

                                  cosα = 0,8

                                  tgα =  sinα  = 0,6  = 3

                                            cosα    0,8      4

Ответ: tgα = 3

                     4

Варианты:

1.а) 1350; 3300; 7π/6; 12,5π                           2. а) 1260; 2700; 11π/12; -3π  

   б) sin2 π/4 - 2cos π/3 + 3tg00                          б) tg2 π/6 - cos π/6 + sin π/4

   в) cosα - ?    sinα = 5/13;  π/2 < α < π              в) sinα - ?    tgα = -9/40;  π/2 < α < π

3.а) 2500; 540; -5π/4; 0,9π                              4. а) 14400; -2400; 5π/4; -3π/5;

   б) cos2 π/4 - 2sin π/3 + tg21800                       б) сtg2 π/3 - cos π/6 + 2sin π/4

   в) sinα - ?    cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π            в) cosα - ?    сtgα = 8/15; π < α < 3π/2

5.а) 1200; -2700; 6π/7; -π/3                             6. а) -1260; 4400; -7π/9; 2π/5;

   б) tg2 π/4 + 7cos π/3 + 2sin π/6                       б) cos2 π/4 - 2tg π/3 + sin π/4

   в) cosα - ?   sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π             в) sinα - ?   cosα = -5/6; π < α < 3π/2

7.а) 1450; 2600; -π/7; -3π/8                             8. а) -1650; 5400; -π/10; 2π/11;

   б) cos3 π/4 - 2sin π/6 + сtg2900                       б) сos π/3 - sin π/3 + 2tg3 π/4

   в) sinα - ?    tgα = -12/35; 0 < α < π/2             в) sinα - ?    сtgα = 13/84; 0 < α < π/2

9.а) 1270; 3120; π/7; 3π/8                            10. а) 3180; -200; 3π/7; -6π/5;

   б) tg2 π/3 - cos π/4 + 3sin2 π/6                        б) 4сos2 π/3 - 6sin π/6 + ctg3 π/4

   в) cosα - ?    sinα = √3/2; 0 < α < π/2              в) sinα - ?   tgα = -√3; 3π/2 < α < 2π

11.а) 1270; 3130; π/7; -10π                            12. а) 1500; 390; -0.1π; 5π/4;

   б) cos2 π/6 – sin2 π/4 + tg2 π/3                         б) sin2 π/3 - tg π/6 + 3sin π/4

   в) tgα - ?    sinα = 5/13; 0 < α < π/2                 в) tgα - ?   cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π

13.а) 1200; 3000; -π/3; 10π/9                         14. а) 14000; -1200; π/5; 3π/7;

   б) ctg3 π/6 - tg π/3 + 3sin π/4                          б) cos2 π/3 - tg π/4 + 3sin π/6

   в) cosα - ?   tgα = -9/40; π/2 < α < π                в) sinα - ?   ctgα = 8/15; π < α < 3π/2

15.а) 1300; -1500; 3π/7; -2π/3                         16. а) 1250; 14600; π/10; 3π/7;

   б) cos2 π/3 – 6sin π/4 – 2ctg π/6                        б) 3cos2 π/6 + sin3 π/4 + 2tg00

   в) cosα - ?   sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π               в) ctgα - ? cosα = -5/6; π < α < 3π/2

17.а) -1300; 3650; 2π/5; -3π/5                             18. а) 1200; 5600; -π/3; 7π/9;

   б) –2tg2 π/3 + 3cos π/6 - sinπ/4                        б) tg3 π/4 – 3cos2 π/6 + sin π/2

   в) cosα - ?    tgα = -12/35; 0 < α < π/2             в) cosα - ?   сtgα = 13/84; 0 < α < π/2

19.а) 1350; -2760; π/14; 3π/5                            20. а) 3200; -100; 3π/8; -2π/7;

   б) ctg3 π/4 – cos2 π/2 + 4sin π/6                        б) сos3 π/2 - tg π/4 + ctg3 π/6

   в) tgα - ?    sinα = √3/2; π/2 < α < π                   в) cosα - ?  tgα = -√3; 3π/2 < α < 2π

21.а) 1100; 2150; π/13; -7π/9                       22. а) 1120; 360; 0,2π; π/8;

   б) tg2 π/4 – ctg2 π/4 – cos3 π/6                     б) tg2 π/3 – ctg2 π/6 + 2tg π/4•cos π/3

    в) ctgα - ?  sinα = 5/13; 0 < α < π/2            в) tgα - ?   cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π

23.а) -1100; 3150; π/17; 7π/5                            24. а) 1000; -250; π/12; -3π/13;

б) ctg3 π/4 – cos2 π/2 + 2sin π/3• cos π/4            б) tg π/6 •cos π/2- sin π/3• tg π/4

в) cosα - ?  tgα = -9/40; 3π/2 < α < 2π              в) cosα - ?  ctgα = -8/15; 3π/2 < α < 2π

25.а) -4200; 350; 3π/4; -2π/9                           26. а) 1100; -360; π/8; 2π/9;

б) cos2 π/3 •sin π/4 – tg3π/6• cos π/4              б) сos2 π/3 • tg2 π/4 - sin3 π/2

в) ctgα - ?  sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π            в) ctgα - ?  cosα = -5/6; π < α < 3π/2

21.а) -270; 30; π/9; -3π/5                       22. а) 1250; 370; 3π/7; 5π/13;

б) –3cos3 π/2 + 6sin π/4 •ctg π/3               б) 6tg3 π/4 – cos2 π/3 •sin π/2

в) sinα - ?  tgα = 12/35; 0 < α < π/2            в) sinα - ?   ctgα = -13/84; π/2 < α < π

29.а) 1270; 310; π/8; 3π/15                             30. а) 3100; -5400; 3π/9; -2π/5;

б) tg2 π/4 – ctg2 π/3 • sinπ/6                            б) cos4 π/2 – 5cos π/3 • sin π/6

в) ctgα - ?    sinα = -√3/2; π < α < 3π/2           в) sinα - ?  tgα = √3; π < α < 3π/2

Задание № 5

Упростить тригонометрические выражения и доказать тождество:

Основные тригонометрические формулы, используемые при решении данного задания.

sin2α + cos2α = 1                                      

sin2α = 2sinα • cosα

cos2α = cos2α – sin2α

sinα + sinβ = 2sin α + β  •  cos α – β             sinα – sinβ = 2sin α - β  •  cos α + β

                               2                  2                                                 2                  2

cosα + cosβ = 2cos α + β  •  cos α – β           cosα - cosβ = -2sin α - β  •  sin α + β

                                  2                  2                                                 2                2

cos (α ± β) = cosα cosβ∓ sinα sinβ

sin (α ± β) = sinα sinβ ± sinβ cosα

Пример 1:  Упростить выражение:

Решение:

Пример 2:Докажите тождество 

Варианты:

1. а) cos2х - cos4х + sin4х

2. а) sin2х + tg2х • sin2х) • сtgх

   б) (sin2х + sin4х)2 + (cos2х + cos4х)2 = 4cos2х

     б) sin2х + sin4х + sin6х = 4sin3х • cos2х • cosх

     б) sin4 π/8 - cos4 π/8  = - √2/2

6. а)   сtg2х (1 – cos2х) + cos2х

8. а)    cos2(π – х) • tg (π + х) • tg (3π/2 - х) + sin(2π – х) • cos(π/2 + х)

9. а)   cos(х + 60о) + cos(х – 60о)

10. а)    sin (х + 60о) + sin (х – 60о)

11. а)    cos(α – 90о) + sin (α - 180о) + tg2(180о –α) + сtg2(α - 180о)

13. а)   sin2 (9π/8 + α) - sin2 (17π/8 - α)

14. а)    sin6α + cos6α - 3sin2α • cos2α

15. а)    tg2α - sin2α - tg2α • sin2α

19. а)  соs4 α + sin4 α                     б)  1 - sin4 α - соs4 α    =  2 tg2α

            1 – 1 sin22α                                        соs4 α

                  2

20. а)  соs4α + 1                             б)  ___tgα___   = sin2 α

            ctgα – tgα                                   tgα + ctgα

21. а) _______соs2α____             б)  1 – ctgα  = - ctgα

          sin22α · (ctg2α – tg2α)                  1 – tgα

22. а) 3соs2х - 4sin х • соs х - sin2х – 1

       б) cos4α + sin2α = 1 – 1 sin22α

                                          2

23. а) 4 cos4α - 2 cos2α – 1 cos4α           б) tgα + ctgα = _2_

                                          2                                              sin2α

24. а) (sinα + cosα + 1) • (sinα + cosα – 1)

       б)     sin2α_    = tgα

           1 + cos2α

25. а)    1 – cos4α                    б) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = 2

                  1___ - 1

              cos22α

26. а)         б)  sin4α - cos4α + cos2α = sin2α

27. а)    cos6α - sin6α             б)          

29. а)   cos2α • cos2х + cos2α • sin2α   

30. а)    ½ (ctgα – tgα) – ctg2α

Задание №6

Решите простейшие тригонометрические уравнения

Для решения уравнений и записи ответов применяются следующие формулы:

Уравнение: sinx = a , где 0< а < 1

Ответ: х = (-1)n • arcsin a + π n,   где n ε Z

Уравнение: sinx = -a , где 0< а < 1

Ответ: х = (-1)n+1 • arcsin a + π n,   где n ε Z

Частные случаи: sinx = 0               sinx = 1                sinx = -1

                               x = π n                 x = π/2  + π n       x = 3π/2  + π n

Уравнение: cosx = a , где 0< а < 1

Ответ: х = ±arccos a + 2π n,   где n ε Z

Уравнение: cosx = -a , где 0< а < 1

Ответ: х = ±(arccos a) + 2π n,   где n ε Z

Частные случаи: cosx = 0               cosx = -1                cosx = 1

                             x = π/2  + π n       x = π + 2π n            x = 2π n

Уравнение: tgx = a , где  а > 0

Ответ: х = arctg a + π n,   где n ε Z

Уравнение: tgx = -a , где а > 0

Ответ: х = -arctg a + π n,   где n ε Z

Частные случаи: tgx = 1               tgx = -1                       tgx = 0

                             x = π/4  + π n       x = -π/4  + π n             x = π n

Уравнение: ctgx = a , где  а > 0

Ответ: х = arcctg a + π n,   где n ε Z

Уравнение: ctgx = -a , где а > 0

Ответ: х = π + arcctg a + π n,   где n ε Z

Частные случаи: ctgx = 0               ctgx = -1                       ctgx = 1

                             x = π/2  + π n       x = 3π/4  + π n             x = π/4 + π n

Пример №1                                                        Пример №2

sin (3x - π/6) = √3/2                                            cos (x/2 -  π/4) = -1

Решение:

3x - π/6 = (-1)n • arcsin √3/2 + π n, n ε Z         x/2 -  π/4 = π + 2π n, n ε Z

3х = (-1)n • π/3 + π/6 + π n                                  x/2 = π + π/4 + 2π n,

                                                                            x = 2π + π/2 + 4π n,

Ответ:

х = (-1)n • π/9 + π/18 + π n/3, n ε Z                    x = 2.5π + 4π n, n ε Z

Варианты:

1.     a)  ½tg(4x – π/6) – ½ = 0        в)  sin (х/2 - 3π/2) + 1 = 0

б)  cos (6х + π/4) = -½                 г)  ctg (2х + π/3) - √3 = 0

2.         а)  cos (х + π/8) = -½                в)  1 – sin (х/8 - π/6) = 0

        б)  √3 tg(3х - π/3) = 1                г)  1/√3 + ctg (2х - π/4) = 0

3.         а)  cos (х/2 - π/10) = - √3/2         в)  tg (х - π/12) = 1/√3

        б)  ½ + sin (3x/2 + π/6) = 0        г)  ctg (1,5х - π/5) = 1

4.         а)  sin (х/3 - π/3) = - √3/2         в)  tg (х/3 - π/6) = √3

        б)  1 - cos (2х - π/9) = 0                 г)  ctg (1,5х - π/10) = - √3

5.         а)  sin (7х - π/3) = -½                 в)  -√3 сtg (х + π/8) = 1

        б)  ½ + cos (x/7 + 3π/4) = 0         г)  -1/√3 tg (2х - π/3) = -1

6.         а)  2 sin (3х - π/4) = -1                в)  tg (1,5х - π/5) = - √3

        б)  cos (х/3 - π/6) =  √2/2                г)  1 - сtg(2х - π/9) = 0

7.         а)  sin (х - π/3) = -1                в)  tg (х/2 - π/6) = - √3

        б)  cos (2х - π/9) - √2/2 = 0        г)  ctg (2х - π/12) + 1 = 0

8.         а)  cos (3х - 2π/3) = - √2/2        в)  √3 tg(х/9 + π/4) – 1 = 0

        б)  sin (х/4 - 4π/5) = ½                г)  ctg (6х - π/11) = 0

9.         а)  cos (3х - π/11) = - √3/2        в)  -1/√3 tg (2х - π/9) = 1

б)  √2/2 - sin (х/2 - 4π/5) = 0        г)  √3 сtg (х/3 + π/11) = 0

10.         а)  9 cos (7х - π/9) = 0                в)  - √3 tg (х/4 + π/3) = 1

        б)  1 - sin (х/2 - 3π/4) = 0                г)  сtg (7х - 2π/5) = - 1

11.         а)  sin (3х/2 - π/3) = ½                в)  1 - tg (3х - 2π/7) = 0

        б)  cos (2х - π/11) + √2/2 = 0        г)  1 + √3 сtg (х/4 + π/5) = 0

12.         а)  7 sin (х/7 - π/3) = 0                в)  tg (2х - π/6) = - 1/√3

        б)  2 cos (х/2 + π/3) = - 1         г)  ctg (х + π/9) = 0

13.         а)  cos (2х - π/6) = - ½                в)  ctg (2х + π/3) = √3

        б)  sin (3х/2 - π/11) = - √3/2        г)  - tg (7х - π/6) = 1

14.         а)  5 sin (3х/2 - π/7) = 0                в)  tg (7х - π/3) = 1

        б)  cos (4х + π/6) = - √3/2        г)  √3 + сtg (х - π/9) = 0

15.         а)  sin (3х - π/4) = √2/2                в)  6 tg (х - π/11) = 0

        б)  √3/2 + cos (2х - π/6) = 0        г)  ctg (2х - π/8) = - 1/√3

16.         а)  4 cos (х - π/12) = 0                 в)  tg (6х - π/3) = √3

        б)  √2 sin (х/2 + π/5) = - 1        г)  ctg (2х - π/4) = 0

17.         а)  sin (4х - π/6) = 1                в)  9 tg (х/3 + π/2) = 0

        б)  √2 cos (3х/4 - π/9) = - 1        г)  1 - ctg (7х - π/7) = 0

18.         а)  sin (4х/5 - π/3) = ½                в)  tg (х - π/9) + √3 = 0

        б)  - cos (3х + π/12) = 1/√2        г)  1 - ctg (1,5х + π/2) = 0

19.         а)  7 sin (х/4 + π/3) = 0                 в)  - tg (х - π/7) = 0

        б)  √2 cos (3х/4 - π/6) = - 1        г)  ctg (2х + π/4) = 1

20.         а)  cos (3х/2 - π/7) = - √3/2        в)  tg (6х - π/4) = - √3

        б)  sin (2х - π/9) + ½ = 0        г)  6 сtg (7х/2 + π/3) = 0

21.         а)  √2 cos (3х - π/4) = 1                в)  3 tg (х - π/6) = - √3

        б)  sin (х/3 + π/9) = - √3/2        г)  9 ctg (х + π/9) = 0

22.         а)  sin (2х - π/4) = - ½                в)  1 - tg (х - π/11) = 0

        б)  2 cos (х/2 + π/4) = - √3        г)  √3 + ctg (х/4 - π/6) = 0

23.         а)  - 2 sin (3х/7 + π/4) = √3        в)  tg (х/2 + π/10) = √3

        б)  cos (2х - π/5) = 1                г)  1 - сtg (х/3 + π/11) = 0

24.         а)  7 cos (х/3 + π/9) = 0                в)  √3 tg (х - π/6) = 1

        б)  2 sin (3х/4 + π/3) = -1                г)  сtg (7х/2 - π/4) = - 1/√3

25.         а)  - 6 sin (х/10 + π/5) = 0        в)  tg (х - π/10) = - 1/√3

        б)  - 2 cos (3х/4 + π/6) = √2        г)  ctg (х - π/3) = 0

26.         а)  sin (3х/5 - π/2) = 1                в)  tg (х - π/6) = √3

        б)  2 cos (3х/2 + π/4) = - 1        г)  √3 ctg (х + π/10) - 1 = 0

27.         а)  sin (9х - π/3) = 0                в)  1/√3 - tg (х - π/9) = 0

        б)  cos (х/2 + π/6) = - √3/2        г)  √3 ctg (2х - π/8) = - 1

28.         а)  2 sin (х - π/4) = - 1                в)  - √3 tg (3х/4 + π/9) = 1

        б)  cos (3х - π/6) = - √3/2                г)  ctg (2х - π/6) + 1 = 0

29.         а)  9 cos (7х - π/3) = 0                в)  tg (2х - π/10) = - 1/√3

        б)  2 sin (7х/3 + π/6) = - 1        г)  сtg (2х/3 + π/6) = 1/√3

30.         а)  cos (2х - π/9) = - √3/2                в)  tg (х + π/11) = √3

        б)  7 sin (2х/9 - π/4) = 0                г)  сtg (3х/5 - π/6) + 1 = 0

Задание №7

Решите квадратные тригонометрические уравнения.

Пример 1: Решите уравнение:         cos2(3x - /6) = 3/4

Решение:

cos2(3x - /6) = 3/4

cos(3x - /6) = 3/2    и           cos(3x - /6) = -3/2

3x - /6 =  arccos3/2 + 2n ,                 3x - /6 =  ( - arccos3/2) + 2k ,  

 n                                           k  

3x =  /6 + /6 + 2n                        3x = ( - /6) + /6 + 2k        

x =  /18 + /18 + 2n/3    n  ,        x =  /18 + /18 + 2k/3   ,   k  

Ответ: x =  /18 + /18 + 2n/3

  x =  /18 + /18 + 2k/3            n   и  k  ,

Пример 2:             3sin2 - sinx – 4 = 0

Решение:

3sin2х - sinx – 4 = 0

Заменим   sinx = t                                sinx = - 1

3t2 – t – 4 = 0                        x = -/2 + n        n  

D = 1 – 4 3 (-4) = 49                 sinx  8/6 ,   т. к.

t1 = (1-7)/6                                - 1  sinx  1

t2 = 8/6                                Ответ:    х = -/2 + n         n  

Пример 3:             sin2х - cosx + 1 = 0

sin2х - cosx + 1 = 0                

1 – cos2x - cosx + 1 = 0                cosx  - 2   т. к.

cos2x + cosx - 2 = 0                 cosx  1

Заменим   cosx = t                        cosx = 1

t2 + t – 2 = 0                                х = 2n  ,    n  

D = 1 – 4 (-2) = 9

t1 = (-1-3)/2 = - 2                t2 = 1                        Ответ: х = 2n  ,    n  

Варианты:

1. а)cos2(x/2 – π/9) = 1/2                                2. а)sin2(x/3 + 2π/3) = 1

    б)6cos2x + cosx - 1 = 0                                  б)3sin2x - 5sinx - 2 = 0

    в)2sin2x + 3cosx = 0                                      в)2sin2x - 8cosx - 6= 0

3. а)tg2(3x + π/4) = 3                                      4. а)ctg2(x/3 + π/9) = 1/3

    б)2sin2x - sinx - 1 = 0                                     б)8sin2x + cosx + 1 = 0

    в)4cosx = 4 - sin2x                                          в)3tg2x + 2tgx - 1= 0

5. а)sin2(3x/2 - π/5) = 3/4                                 6. а)2cos2(7x - π/9) = 1

    б)2tg2x + 3tgx - 2 = 0                                      б)6tg2x+ tgx - 1 = 0

    в)2sin2x + 5cosx - 4 = 0                                   в)4cos2x – 3sinx = 3

7. а)3tg2(x - π/3) = 1                                        8. а)ctg2(x/3 - π/2) = 1

    б)2cos2x + cosx = 1                                         б)1 + cosx = 2sin2x

    в)sin2x + 5cosx – 5 = 0                                    в)2sin2x + 5sinx - 7= 0

9. а)sin2(x/4 - π/3) = 1/4                                  10. а)2cos2(7x + π/3) = 1/2

    б)3cos2x – 4cosx = -1                                     б)sin2x+ 6sinx - 16 = 0

    в)cos2x + 4sinx - 4 = 0                                    в)2sin2x + 5cosx + 1= 0

11. а)tg2(x/4 - π/6) = 1/3                                   12. а)ctg2(x/3 + π/4) = 3

    б)cos2x - 3cosx - 2 = 0                                        б)tg2x + tgx = 2

    в)2cos2x + 3sinx = 3                                           в)2cos2x + 3sinx = 0

13. а)sin2(3x/4 + π/2) = 1                                  14. а)cos2(7x/8 + 3π/4) = 1/2

    б)6ctg2x + ctgx = 1                                             б)3cos2x= 5cox + 2

    в)2cos2x - 8sinx = 6                                            в)8cos2x + sinx + 1 = 0

15. а)tg2(3x- π/6) = 1                                            16. а)ctg2(3x - π/9) = 3

    б)2cos2x - cosx - 1 = 0                                            б)3sin2x + 2sinx = 1

    в)2cos2x + 5sinx = 4                                               в)4sin2x = 3cosx + 3

17. а)sin2(3x/2 + π/3) = 1/4                                   18. а)cos2(6x/7 - π/4) = 3/4

    б)2sin2x + 3sinx = 2                                              б)6sin2x + sinx = 1

    в)cos2x + 5sinx = 5                                                 в)2cos2x = sinx + 1

19. а)tg2(2x- π/6) = 1/3                                          20. а)ctg2(4x - π/9) = 1/3

    б)2sin2x + sinx = 1                                                  б)2cos2x + 5cosx – 7 = 0

    в)2cos2x + 5sinx + 1 = 0                                          в)5sin2x + 3cosx = 3

21. а)sin2(3x/2 + π/2) = 1/4                                    22. а)cos2(6x - π/11) = 1/4

    б)3sin2x - 4sinx + 1 = 0                                            б)cos2x + 6cosx = 16

    в)8sin2x + 6cosx - 9 = 0                                            в)8cos2x + 6sinx = 9

23. а)tg2(3x/5 + π/4) = 1                                        24. а)√3ctg2(6x/7 - π/3) = 1/√3

    б)cos2x + cosx = 2                                                  б)sin2x = 3sinx + 2

    в)cos2x + 3sinx = 3                                                  в)sin2x + 3cosx = 3

25. а)4sin2(4x/5 + π/6) = 1                                    26. а)2cos2(3x/8 - 2π/3) = 1

    б)3tg2x = 5tgx + 2                                                  б)2tg2x = tgx + 1

    в)6sin2x - 7cosx - 1 = 0                                          в)6cos2x = 7sinx + 1

27. а)1/3tg2(7x/2 - π/3) = 1                                     28. а)1/3ctg2(7x/3 + π/8) = 1

    б)6cos2x + cosx = 1                                                  б)sin2x+ sinx = 2

    в)2sin2x - 5cosx - 5 = 0                                             в)2cos2x = 5sinx + 5

29. а)4sin2(6x/2 - π/2) = 1                                        30. а)4cos2(5x/3 - π/10) = 1

    б)tg2x + 6tgx = 16                                                     б)3tg2x = 4tgx - 1

    в)6sin2x + 5cosx - 2 = 0                                             в)6cos2x + 5sinx = 2

Задание №8

Решите однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения решаются делением каждого слагаемого на cos2х или sin2х, при условии, что cos2х и sin2х не равны нулю.

Пример:          cos2х - 5sinх cosх – 2 = 0

cos2х - sin2х - 5sinх cosх – 2 cos2х - 2sin2х = 0

- cos2х - 3sin2х - 5sinх cosх = 0

- 1 – 3tg2х - 5tgх = 0

Заменим tgх = t ,    таким образом:

3t2 + 5t + 1 = 0

D = 25 – 12 = 13                        tgх = (-5-√13)/6

                                        x = arctg ( (-5-√13)/6 ) + πn        n  z

t1 = (-5-√13)/6                         tgх = (-5+√13)/6

t2 = (-5+√13)/6                        x = arctg ( (-5+√13)/6 ) + πk        n  z

Ответ:        x = arctg ( (-5-√13)/6 ) + πn

x = arctg ( (-5+√13)/6 ) + πk        , где     n, k  z

Варианты:

1. 3sin2x + cos2x = 2cos2x                      2. sin2x + 2cos2x = 1

3. 3sin2x + sinx • cosx = 2cos2x              4. 2cos2x - 3sinx •cosx + sin2x = 0

5. 9sinx cosx – 7cos2x = 2sin2x               6. 2sin2x – sinx cosx = cos2x

7. 4sin2x - sin2x = 3                                 8. sin2x + 4cos2x = 1

9. 6sin2x - 2sin2x = 1                               10. 3sin2x + 4cos2x = 13sinx • cosx

11. sin2x + 2sinx • cosx = 3cos2x             12. 7sin2x = 8sinx • cosx – cos2x

13. 1-3cos2x = 2sinx • cosx                      14. 6sin2x - 3sinx • cosx – cos2x = 1

15. 3sin2x + 2sinx • cosx = 2                    16. 6sin2x + 3sinx • cosx – 2cos2x = 3

17. 4sin2x - cos2x = 5                               18. sin4x + cos22x = 2

19. 4cos2x + cos2x = 5                              20. sin2x - 5sinx • cosx – 6cos2x = 0

21. 5sin2x + 3sinx • cosx - 4= 0                      22. 6sin2x - sinx • cosx – cos2x = 3

23. cos2x + 2cos2x = 0                                    24. сos2x - 3sinx • cosx = sinx 3π/2

25. 3sin2x - 2sinx • cosx - cos2x = 0               26. sin2x = cos2x – sin2x + 1

27. 3cos2x – sin2x – sin2x = 0                         28. 4cos2x + sinx • cosx + 3sin2x = 3

29. 25sin2x + 30sinx • cosx + 9cos2x = 25      30. sin2x + 3/2cos2x = 5/2sinx • cosx

Задание №9

Построить график тригонометрической функции.

Пример:      Пользуясь логическими преобразованиями построить график функции    у = │sin│ x – π/3│ - 1│

1. y = sinx
2. y = sin(x - π/3)     -  сдвиг вправо на 2 деления вдоль оси х
3. у = sin│ x – π/3│ - все, что справа от оси симметрично отображается                                         налево
4. у = sin│ x – π/3│ - 1  - сдвиг вниз вдоль оси у на 1 деление
5. у = │sin│ x – π/3│ - 1│    -  все, что ниже оси х отображается                                                         симметрично вверх.

                Варианты:

1. у = 3cos|2x| - 2             2. y = |2 + cos(x – π/2)| - 1    3. y = |2 – cos(x + π/2)|

4. у = 7cos|x| + 2             5. y = |4 + sin(x – π/3)|           6. y = 1/2cos(x - π/3)

7. у = 3 + cos|2x|             8. y = 2 - |sin(x + π/4)|            9. y = 1 - |cos(x + π/6)|

10. у = |2 + 2cos(x – π/6)|   11. y = 3cos(2x – π/6)|       12. y = sin(x - π/3) + 1

13. у = cos(x + π/4) - 2       14. y = |cos3x - 2)| - 2        15. y = |1 + sinx| - 2

16. у = |2sin1/2x| - 3           17. y = 7 + |sinx|                 18. y = - 3 - |tg|2x - π/3||

19. у = 2 + |3sin2x|             20. y = 3 + |cos|x||               21. y = |4sinx| - 1

22. у = 2 + |sin3x|               23. y = 2 + cos|3x|             24. y = - 2 - |sin|x - π/4| + 1|

25. у = 2 + cos|x|                 26. y = |cosx/2 - 1|               27. y = |4cosx/2|

28. у = |sin|3x||                    29. y = 3sin|2x|                    30. y = |sin(x – π/3) + 1|

Задание № 10. Решить тригонометрические неравенства.

Пример 1:        Решите неравенство :  sinx ≥ ½ 

Решение:

Ответ:  х  [π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn]

Пример 2:        Решите неравенство :  cosx > √3/2

Решение:

Ответ:  х  [ 0; 2πn; π/6 + 2πn) U

U  ( 11π/6 + 2πn; 2π + 2πn]

Варианты:

1. соsx < 1/2                              2. sinx > √3/2                          3. соsx > 0

4. sinx ≤ -√2/2                            5. cosx < 0                             6. sinx ≥ -1/2

7. cosx ≤ 1/2                              8. sinx < √3/2                          9. cosx > 1/2

10. sinx ≤ 0                               11. cosx > -1/2                        12. sinx > -1/2

13. соsx > √2/2                         14. sinx ≤ 1/2                           15. соsx > -√2/2

16. sinx < √2/2                          17. cosx > √3/2                        18. sinx ≤ -√3/2

19. соsx > -√3/2                        20. sinx ≥ 0                              21. соsx < -1/2

22. sinx ≥ 1/2                            23. cosx < √2/2                        24. sinx ≥ √2/2

25. соsx < -√2/2                       26. sinx ≥ √2/2                         27. соsx < √3/2

28. sinx ≥ -√3/2                        29. cosx < -√3/2                       30. sinx ≥ √3/2

Задание № 11. Выполнить действия с иррациональными числами и

выражениями.

При выполнении этого задания используются определение корня и его свойства.

Корни n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Свойства:

1) n√a • n√b = n√ab = (ab)1/n                 3) (n√a)k = n√ak = ak/n

2) n√a / n√b  = n√a/b = (a/b)1/n  b ≠ 0                4) n√ k√a = nk√a = a1/n k 

Пример 1: Упростите выражение:  

Решение:

Пример 2: Выполните действие:    

Варианты:

1. Упростить:          а)  (125х-6)-2/3         б)  (32х-10)-2/3

     Вычислить:           а)  3 3/8 • 1 ½  + (45)/ 480

2. Упростить:        а)  (64с-6)-2/3         б)  (81х-8)-3/4

    Вычислить:           а)  5(-243)/1024 • 3-4 17/27

3. Упростить:        а)  (27х-3)-2/3         б)  (64b-6)-1/6

    Вычислить:           а)  5111/16 • 4,5  - (59/ 5288)

4. Упростить:        а)  (16а-4)-3/4         б)  (27b-6)-2/3

    Вычислить:           а)  664/100000000  • 439 1/16   : 3-3 19/27

5. Упростить:        а) (у  10у • 3у2) : у5/ 6      б) (b  6b4 • b) : b7/8

                        в) 6128 : 62

6. Упростить:        а) (5а2 • 4а-3) : а-1/ 4          б) ( 6х5 • 3х) : х  -7/9

                        в) 3243 : 3-9

7. Упростить:        а) (6а • 3а-1) : а-2/ 9          б) ( 4х3 • 3х) : х  1/ 3

                        в) 3 : 412

8. Упростить:        а) 5х • 3х2                   б) 323 • 5х6

    Вычислить:         а) (2-2 • (22/3)3) : (45/6)3

9. Упростить:        а) (а2/3 • а -5/4) : (а3/2 • а -1/3)      б) (22/3 : 4 5/ 6)3

        в)  ((3 • 39) : 427)

10. Упростить:        а) ((а2) 1/3 ) 3/5       б) (31/3/ • 71/7) : 9 1/ 3

        в) (1/3) • 43 • (1/3) 3

11. Вычислить:        а) 52 5 • 72 • 57 3     б) 4125/0,2

                        в) 44 • 34

12. Вычислить:        а) (1/3) –10  • 27 –3  + 0,2-4 • 25-2 + (64 -1/9) -3

                        б) (2-2 • 53 • 10-4) : (2-3 • 52 • 10-5)

13. Вычислить:        а) (6 – 4 • (5/16)0)-2 + (2/3)-1 – 3/4

                        б) (2-2 + 20) : ((½)-2 - 5 • (-2)-2 + (2/3)-2)

14. Вычислить:        а) ((0,6)0 – (0,1)-1) : ((3/(23))-1 • (3/2)3 + (-1/3)-1)

                        б) ((3/2) –0,5  • 6 -½   + 1) ½  • 3/2

15. Упростить:        а) 3х • 4х3                   б) 2х3 • хх

    Вычислить:         а)  ((3 • 39) : (427))   б) (3-625) : (3-5)

16. Упростить:        а) [16-0,25 – (22)1/3] • [1600,25 + (22)1/3]

                        б) 440 • 21/4 : 5-3/4

17. Вычислить:        а) 4128 : 48               б) (128-2/7 • 33) : 813/4

                        в) (111/25)-0,5 • (417/27)-1/3 

18. Упростить:        а) (х  6х4 • х) : х 7/8        б) 440 • 21/4 : 5-3/4

        в) (27а-6)-2/3

19. Вычислить:        а) (125b-6)-2/3               б) 433/8 • 1½ + (45 : 480)

                        в) (81х-8)-3/4

20. Вычислить:        а) 5111/16 • 4,5 - (59 : 5288)         б) 3-625 : 3-5

                        в) 16-5/4

21. Упростить:        а) (1/3)-10 • 27-3 + 0,2-4 • 25-2 + (64-1/9)-3   

б)

22. Упростить:        а)

                        в) ((а2)1/3 )3/5  • а2/3

23. Упростить:        а) (6 – 4(5/6)0 )–2  + (2/3)–1  - 3/4

                        б) 4√40 • 21/4  : 5-3/4 

                        в) 3-625/-5

24.Упростить:          а)  (125х-6)-2/3         б)  (27b-6)-2/3

     Вычислить:           а)  5111/16 • 4,5  • (59/ 5288)

25. Упростить:        а) (у  10у • 3у2) : у5/ 6           б) ( 4х3 • 3х) : х  1/ 3

                        в) 3-625 : 3-5

26. Вычислить:        а) 4128 : 48               б) (128-2/7 • 33) : 813/4

                        в) ((0,6)0 – (0,1)-1) : ((3/(23))-1 • (3/2)3 + (-1/3)-1)

27. Упростить:        а) [16-0,25 – (22)1/3] • [1600,25 + (22)1/3]

                        б) (1/3) • 43 • (1/3) 3

28. Упростить:        а) 440 • 21/4 : 5-3/4                   б) 2х3 • хх

    Вычислить:         а) ((3/2) –0,5  • 6 -½   + 1) ½  • 3/2

29. Упростить:        а) (1/3)-10 • 27-3 + 0,2-4 • 25-2 + (64-1/9)-3   

30. Упростить:        а) 5х • 3х2                   б) (32х-10)-2/3

    Вычислить:         в) 5(-243)/1024 • 3-4 17/27

Задание № 12. Решить иррациональные уравнения.

Решение иррационального уравнения √(х) = g(x) равносильно системе:

g(x) ≥ 0

(х) = g2(x)

Пример:   √3х – 5 = 1 - х

1 – х ≥ 0                                 х ≤ 1

3х – 5 = (1 – х)2                   1 – 2х + х2 – 3х + 5 = 0

 х ≤ 1                                D = 1                        Так как х ≤ 1 , то

 х2 – 5х + 6 = 0                х1 = 3   х2 = 2                х1 ≠ 3   х2 ≠ 2

Ответ:  корней нет.

Варианты:

1. √x2 + 3 = x + 2                2. √5x – 6 = x                   3. √2x – 1 = x - 2