Сборник самостоятельных и домашних работ для студентов первого курса очной формы обучения часть I; часть II
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему
Данные методические рекомендации предназначены для выполнения самостоятельных работ и домашних заданий студентами первого курса очной формы обучения по дисциплине «Математика».
Содержание заданий соответствует содержанию основных разделов изучаемой дисциплины предлагаемых примерной программой по математике для специальности среднего профессионального образования на базе основного общего образования.
Цель домашнего задания – овладеть способами и вычислительными приемами математических задач, а также на опытном материале закрепить определенные методические положения дисциплины.
Вычисления выполняются студентами индивидуально по вариантам, выбираемыми по определенному алгоритму. Необходимые формулы для расчетов указаны в комментариях к выполнению каждого задания. Здесь же разобраны аналогичные примеры и задачи.
Особое внимание при выполнении заданий следует обратить внимание на запись ответа, изображения рисунка. Работы выполняются в рабочей тетради и сдаются на проверку преподавателю.
Расчеты могут выполняться с использованием электронных оболочек типа: “Statistica”, “Mathcad” и других аналогичных программ для современных персональных компьютеров. Однако, сравнительно малый объем информации вполне позволит студентам провести необходимые расчеты с помощью калькуляторов.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 962 КБ |
Предварительный просмотр:
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические рекомендации предназначены для выполнения самостоятельных работ и домашних заданий студентами первого курса очной формы обучения по дисциплине «Математика».
Содержание заданий соответствует содержанию основных разделов изучаемой дисциплины предлагаемых примерной программой по математике для специальности среднего профессионального образования на базе основного общего образования.
Цель домашнего задания – овладеть способами и вычислительными приемами математических задач, а также на опытном материале закрепить определенные методические положения дисциплины.
Вычисления выполняются студентами индивидуально по вариантам, выбираемыми по определенному алгоритму. Необходимые формулы для расчетов указаны в комментариях к выполнению каждого задания. Здесь же разобраны аналогичные примеры и задачи.
Особое внимание при выполнении заданий следует обратить внимание на запись ответа, изображения рисунка. Работы выполняются в рабочей тетради и сдаются на проверку преподавателю.
Расчеты могут выполняться с использованием электронных оболочек типа: “Statistica”, “Mathcad” и других аналогичных программ для современных персональных компьютеров. Однако, сравнительно малый объем информации вполне позволит студентам провести необходимые расчеты с помощью калькуляторов.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Общие обозначения.
Задание № 1. По графику исследовать функцию по предложенной схеме:
Задание № 2. Найти область определения функции.
Задание № 3. Письменно ответить на вопросы по теме «Функция и способы
ее задания.
Задание № 4. Выполните действия с тригонометрическими выражениями.
Задание № 5. Упростить тригонометрические выражения и доказать тождество.
Задание № 6. Решить простейшие тригонометрические уравнения.
Задание № 7. Решить квадратные тригонометрические уравнения
Задание № 8. Решить однородные тригонометрические уравнения.
Задание № 9. Построить график тригонометрической функции.
Задание № 10. Решить тригонометрические неравенства.
Задание № 11. Выполнить действия с иррациональными числами и
выражениями.
Задание № 12. Решить иррациональные уравнения.
Задание № 13. Решить показательные уравнения.
Задание № 14. Решить логарифмические уравнения.
Задание № 15. Решить показательные неравенства.
Задание № 16. Решить логарифмические неравенства.
Задание № 17. Найти производные степенных функций в точке.
Задание № 18. Найти производные произведения и частного двух степенных
функций.
Задание № 19. Найти производные сложных функций.
Задание № 20. Найти производные тригонометрических функций.
Задание № 21. Найти производные логарифмических и показательных
функций.
Задание № 22. Найти производные функций.
Задание № 23. Определить промежутки монотонности функций.
Задание № 24. Найти точки экстремума функций.
Задание № 25. Исследовать функцию и построить график.
Задание № 26. Написать уравнения касательной к графику функции в данной
точке.
Задание № 27. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на
отрезке.
Задание № 28. Дана квадратная матрица 3 порядка. Найти ее миноры и
алгебраические дополнения, а также определитель матрицы.
Задание № 29. Решить систему 3-х линейных уравнений методом Крамера.
Сделать проверку.
Задание № 30. Выполнить сложение и вычитание 2-х векторов. Найти длину,
орт и направление вектора.
Задание № 31. Найти синус и косинус угла между векторами. Сделать
проверку.
Задание № 32. Разложить вектор по двум векторам.
Задание № 33. Найти площадь треугольника, если даны координаты его
вершин.
Задание № 34. Письменно ответить на вопросы по теме «Вектора».
Задание № 35. Решить задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве».
Задание № 36. Письменно ответить на вопросы по теме «Прямая и плоскость
в пространстве».
Задание № 37. Сложить, вычесть, умножить и разделить два комплексных
числа в алгебраической форме.
Задание № 38. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Найти произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме.
Задание № 39. Возвести в степень комплексное число.
Задание № 40. Извлечь корень из комплексного числа.
Задание № 41. Найти первообразную функции в точке.
Задание № 42. Вычислить неопределенный интеграл.
Задание № 43. Вычислить определенный интеграл.
Задание № 44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Задание № 45. Решить задачи по теме «Призма».
Задание № 46. Решить задачи по теме «Пирамида», «Цилиндр», «Конус», «Шар».
ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Логика
- «влечет за собой, знак следования (следствия). Логический вывод.
- «эквивалентно». Логическая равносильность.
V - «любой» или «для всех». Квантор общности.
- «существует». Квантор существования.
Теория множеств
ε – «принадлежит». Принадлежность элемента множеству.
ε- «не принадлежит».
- «включено в». Включение одного множества в другое.
U - «объединение». Объединение двух множеств.
∩ - «пересечение». Пересечение двух множеств.
Ο - «пустое множество».
Основные числовые множества
Ν – Множество всех натуральных чисел
Z, Q, R, R+, C – множества всех целых чисел, всех рациональных чисел, всех действительных чисел, всех действительных положительных чисел, всех комплексных чисел соответственно.
(a; b) – интервал числовой прямой.
[a; b] – отрезок (сегмент) числовой прямой.
(a; b], [a; b), (a; b), [a; b] – конечные промежутки числовой прямой.
(-∞; а], (-∞; а), [a; +∞), (a; +∞) – бесконечные промежутки числовой прямой.
(a - ε; a + ε) – «ε – окрестность» точки a числовой прямой.
{a, b, c, …} – множество, состоящее из элементов a, b, c, …
Отношения
=, ≠, ≈ - «равно», «не равно», «равно приближенно (мало отличается)».
≤ (≥) - «меньше или равно» («больше или равно»).
< (>) – «строго меньше» (строго больше»).
Операции
|a| - «абсолютная величина (модуль)», если а ε R, или «модуль», если а ε C.
+,-, · или х – «плюс», «минус», «умножить на».
a : b, a или a/b – «a делить на b». Частное от деления a на b или отношение
b
a к b.
аq – «а в степени q», а ε R+, q ε R. Степень а.
n√а – «корень n–й степени из а», а ≥ 0, если n = 2k; а ε R, если n = 2k +1 (k ε N)
f – функция с областью определения X = {х} и областью значений Y = {y} (однозначное отображение множества Х на множество Y). При отображении f образом Vх ε Х является y = f (х) ε Y
f ' (х) – первая производная f (х)
max f (х) (min f (х)) – наибольшее (наименьшее) значение f на [a; b]
[a; b] [a; b]
Векторы
а – «вектор а» . Элемент векторного пространства.
АВ – «вектор АВ» с началом в точке А и концом в точке В
а = а, АВ = АВ - «длина» или «модуль» вектора а, АВ
(а, b ) – угол (величина угла) между векторами а и b
(а, b ), (АВ, СD) – « а умножить скалярно на b ». Скалярное произведение двух векторов.
приа, пр b а – проекция вектора а на ось и, на направление вектора b.
а = (x; y; z) – вектор а с координатами x; y; z
i, j, k – орты (координатные векторы)
а ↑↑ b – «векторы а и b сонаправлены»
а ↑↓ b – «векторы а и b противоположно направлены»
М (x; y; z) – точка М с координатами x; y; z (координаты радиуса вектора точки М)
Задание № 1.
По графику исследовать функцию y = f(x) по предложенной схеме.
Этот план, который называют схемой исследования функции, включает в себя нахождение определенных характеристик функции, словесное определение которых дано в левой колонке схемы, а графическое – в правой.
1 | Область определения, т.е. множество значений аргумента, при которых задана функция. | Проекция графика на ось х. |
2 | Корни, т.е. точки, в которых функция обращается в нуль, или иначе решения уравнения f(x) = 0 | Точки пересечения графика с осью х. |
3 | Промежутки постоянного знака, т.е. промежутки, на которых функция положительна (отрицательна), или иначе решения неравенства f(x) > 0 (f(x) < 0). | Участки оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) оси х. |
4 | Точки экстремума, т.е. точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое маленькое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках. | «Вершины» на графике функции. |
5 | Промежутки монотонности, т.е. промежутки, на которых функция или возрастает, или убывает. | Участки оси х, где график идет вверх или вниз |
6 | Наибольшее и наименьшее значения функции (по сравнению со всеми возможными в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками). | Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика. |
7 | Область значений функции, т.е. множество чисел, состоящее из всех значений функции. | Проекция графика на ось у. |
Пример:
По графику исследуйте функцию:
- Д(у) = [-5; 7]
- f(x) = 0
x = -3; -1; 3
3.f(x) > 0 при х ε (-5; -3) U (-1; 3)
f(x) < 0 при х ε (-3; -1;) U (3; 7)
4. Х мах = 0 X min = -2
y max = 4 y min = -4
5. f(x) ↑ при х ε (-2; 0)
f(x) ↓ при х ε (-5; -2) U (0; 7)
6. f(x) наибол. = 5 f(x) наимен. = -5
7. Е(у) = [-5; 5]
Варианты:
Вариант № 1 Вариант № 2
Вариант №3 Вариант № 4
Вариант №5 Вариант№6
Вариант№7 Вариант№8
Вариант №9 Вариант № 10
Вариант № 11 Вариант № 12
Вариант №13 Вариант № 14
Вариант № 15 Вариант № 16
Вариант№ 17 Вариант№ 18
Вариант № 19 Вариант № 20
Вариант № 21 Вариант № 22
Вариант № 23 Вариант № 24
Вариант № 25 Вариант № 26
Вариант № 27 Вариант № 28
Вариант № 29 Вариант № 30
Задание № 2
Найдите область определения функций:
Пример: а) f(x) = 3x – 5
6- 5x
Решение: 6 –5x ≠ 0 x ≠ 6_ Ответ: Д(у) = (-∞; 6 ) U (6_; +∞)
5 5 5
б) f(x) = √3х2 – х - 4
Решение: 3х2 – х –4 ≥ 0
Д = b2 – час = 12 – 4 • 3 • (-4) = 49
х1 = 1 – 7 = -1 х2 = 8
6 6 х
Ответ: Д(у) = (-∞; -1] U [ 8 ; +∞)
6
Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3
у = √-5х2 – 2х + 3 у = √2х2 – 3х + 1 у = √х2 + 3х - 2
у = 3 –х у = 5-х__ у = __6__
2х –1 2х + 3 х - 25
Вариант № 4 Вариант № 5 Вариант № 6
у = √х2 – 2х + 1 у = √х2 + 2х + 1 у = √3х2 - 2х - 1
у = 4х у = 3х - 1__ у = 2х - 1
2 –3х 2х - 7 3х + 2
Вариант № 7 Вариант № 8 Вариант № 9
у = √х2 – 4х + 2 у = √-6х2 – х + 1 у = √х2 - 2х + 4
у = х у = 2х + 1__ у = 6х - 1
2х + 4 3х - 2 2х - 3
Вариант № 10 Вариант № 11 Вариант № 12
у = √8х2 – х - 1 у = √5х2 – 2х - 3 у = √- х2 + 2х - 4
у = 3 х у = 6х -2__ у = 7 – 2х
7 -2х 1,5х - 3 9 - 3х
Вариант № 13 Вариант № 14 Вариант № 15
у = √-х2 + 6х - 2 у = √-5х2 – 2х - 1 у = √-7х +2х2 - 1
у = х у = 5х__ у = 6 – 2х
2х –3 3 -9х 3х
Вариант № 16 Вариант № 17 Вариант № 18
у = √6х - 2х2 + 3 у = √х2 – 4х + 1 у = √8х2 – 2х + 1
у = 5х - 12 у = 7х -2__ у = 7,5 – 2х
3х 2 -7х 8х -1
Вариант № 19 Вариант № 20 Вариант № 21
у = √0,5х2 - 3х у = √8х – 2х2 + 3 у = √0,125х2 - 4
у = 6х у = 7х - 1 у = 3х - 2
2х –1 0,5х 7 - х
Вариант № 22 Вариант № 23 Вариант № 24
у = √7,2х - 4х2 у = √7х - 2х2 + 1 у = √х2 – 4х + 4
у = 6х у = 7х - 2 у = 5х - 1
1 - х 2 - х х
Вариант № 25 Вариант № 26 Вариант № 27
у = √3х2 - 4х + 1 у = √6х2 – 4х + 1 у = √х2 – 4х + 0,2
у = 5х - 1 у = 5х__ у = 7,4 – 2х
2 - х х – 1,2 3х
Вариант № 28 Вариант № 29 Вариант № 30
у = √3х2 - 4х - 2 у = √-х2 – х - 1 у = √3х2 – х - 2
у = 7х у = 6х__ у = 5х - 1
2 - х 7,2 -3х 1 – 4х
Задание № 3
- Что такое область определения функции.
- Дайте определения функции.
- Какие функции называются четными, а какие нечетными. Приведите примеры.
- Какими способами можно задать функцию (с примерами).
- Какие функции называются возрастающими.
- Какие функции называются убывающими.
- Какие функции называются монотонными.
- Дайте определения экстремума функции.
- Какие функции называются периодическими.
- Что такое область значения функции
Задание № 4
Выполните действия с тригонометрическими выражениями.
Пример 1. Переведите градусы в радианы, а радианы – в градусы.
а) 120о ; -135о б) 3π/5 ; -π/9
Решение:
а) 120о = 120о • π = 2π/3 -135о = - 135о • π = - 3π/4
180о 180о
б) 3π/5 = 3 • 180о = 108о - π/9 = - 180º/9 = - 20о
5
Пример 2. Упростите тригонометрическое выражение:
cosπ/3 + 3sin2 π/4 – 2tg π/6
Решение:
½ + 3(√2/2)2 – 2 √3/3 = ½ + 3/2 - 2√3/3 = 2 - 2√3/3
Пример 3. Найдите функцию tgα если дано:
Дано: sinα = 0,6 Решение:
0 ≤ α ≤ π/2 sin2α + cos2α = 1
Найдите tgα ? 0,62 + cos2α = 1
cosα = ±√0,64 = ±0,8
т.к. 0 ≤ α ≤ π/2
cosα = 0,8
tgα = sinα = 0,6 = 3
cosα 0,8 4
Ответ: tgα = 3
4
Варианты:
1.а) 1350; 3300; 7π/6; 12,5π 2. а) 1260; 2700; 11π/12; -3π
б) sin2 π/4 - 2cos π/3 + 3tg00 б) tg2 π/6 - cos π/6 + sin π/4
в) cosα - ? sinα = 5/13; π/2 < α < π в) sinα - ? tgα = -9/40; π/2 < α < π
3.а) 2500; 540; -5π/4; 0,9π 4. а) 14400; -2400; 5π/4; -3π/5;
б) cos2 π/4 - 2sin π/3 + tg21800 б) сtg2 π/3 - cos π/6 + 2sin π/4
в) sinα - ? cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π в) cosα - ? сtgα = 8/15; π < α < 3π/2
5.а) 1200; -2700; 6π/7; -π/3 6. а) -1260; 4400; -7π/9; 2π/5;
б) tg2 π/4 + 7cos π/3 + 2sin π/6 б) cos2 π/4 - 2tg π/3 + sin π/4
в) cosα - ? sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π в) sinα - ? cosα = -5/6; π < α < 3π/2
7.а) 1450; 2600; -π/7; -3π/8 8. а) -1650; 5400; -π/10; 2π/11;
б) cos3 π/4 - 2sin π/6 + сtg2900 б) сos π/3 - sin π/3 + 2tg3 π/4
в) sinα - ? tgα = -12/35; 0 < α < π/2 в) sinα - ? сtgα = 13/84; 0 < α < π/2
9.а) 1270; 3120; π/7; 3π/8 10. а) 3180; -200; 3π/7; -6π/5;
б) tg2 π/3 - cos π/4 + 3sin2 π/6 б) 4сos2 π/3 - 6sin π/6 + ctg3 π/4
в) cosα - ? sinα = √3/2; 0 < α < π/2 в) sinα - ? tgα = -√3; 3π/2 < α < 2π
11.а) 1270; 3130; π/7; -10π 12. а) 1500; 390; -0.1π; 5π/4;
б) cos2 π/6 – sin2 π/4 + tg2 π/3 б) sin2 π/3 - tg π/6 + 3sin π/4
в) tgα - ? sinα = 5/13; 0 < α < π/2 в) tgα - ? cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π
13.а) 1200; 3000; -π/3; 10π/9 14. а) 14000; -1200; π/5; 3π/7;
б) ctg3 π/6 - tg π/3 + 3sin π/4 б) cos2 π/3 - tg π/4 + 3sin π/6
в) cosα - ? tgα = -9/40; π/2 < α < π в) sinα - ? ctgα = 8/15; π < α < 3π/2
15.а) 1300; -1500; 3π/7; -2π/3 16. а) 1250; 14600; π/10; 3π/7;
б) cos2 π/3 – 6sin π/4 – 2ctg π/6 б) 3cos2 π/6 + sin3 π/4 + 2tg00
в) cosα - ? sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π в) ctgα - ? cosα = -5/6; π < α < 3π/2
17.а) -1300; 3650; 2π/5; -3π/5 18. а) 1200; 5600; -π/3; 7π/9;
б) –2tg2 π/3 + 3cos π/6 - sinπ/4 б) tg3 π/4 – 3cos2 π/6 + sin π/2
в) cosα - ? tgα = -12/35; 0 < α < π/2 в) cosα - ? сtgα = 13/84; 0 < α < π/2
19.а) 1350; -2760; π/14; 3π/5 20. а) 3200; -100; 3π/8; -2π/7;
б) ctg3 π/4 – cos2 π/2 + 4sin π/6 б) сos3 π/2 - tg π/4 + ctg3 π/6
в) tgα - ? sinα = √3/2; π/2 < α < π в) cosα - ? tgα = -√3; 3π/2 < α < 2π
21.а) 1100; 2150; π/13; -7π/9 22. а) 1120; 360; 0,2π; π/8;
б) tg2 π/4 – ctg2 π/4 – cos3 π/6 б) tg2 π/3 – ctg2 π/6 + 2tg π/4•cos π/3
в) ctgα - ? sinα = 5/13; 0 < α < π/2 в) tgα - ? cosα = 3/5; 3π/2 < α < 2π
23.а) -1100; 3150; π/17; 7π/5 24. а) 1000; -250; π/12; -3π/13;
б) ctg3 π/4 – cos2 π/2 + 2sin π/3• cos π/4 б) tg π/6 •cos π/2- sin π/3• tg π/4
в) cosα - ? tgα = -9/40; 3π/2 < α < 2π в) cosα - ? ctgα = -8/15; 3π/2 < α < 2π
25.а) -4200; 350; 3π/4; -2π/9 26. а) 1100; -360; π/8; 2π/9;
б) cos2 π/3 •sin π/4 – tg3π/6• cos π/4 б) сos2 π/3 • tg2 π/4 - sin3 π/2
в) ctgα - ? sinα = -2/3; 3π/2 < α < 2π в) ctgα - ? cosα = -5/6; π < α < 3π/2
21.а) -270; 30; π/9; -3π/5 22. а) 1250; 370; 3π/7; 5π/13;
б) –3cos3 π/2 + 6sin π/4 •ctg π/3 б) 6tg3 π/4 – cos2 π/3 •sin π/2
в) sinα - ? tgα = 12/35; 0 < α < π/2 в) sinα - ? ctgα = -13/84; π/2 < α < π
29.а) 1270; 310; π/8; 3π/15 30. а) 3100; -5400; 3π/9; -2π/5;
б) tg2 π/4 – ctg2 π/3 • sinπ/6 б) cos4 π/2 – 5cos π/3 • sin π/6
в) ctgα - ? sinα = -√3/2; π < α < 3π/2 в) sinα - ? tgα = √3; π < α < 3π/2
Задание № 5
Упростить тригонометрические выражения и доказать тождество:
Основные тригонометрические формулы, используемые при решении данного задания.
sin2α + cos2α = 1
sin2α = 2sinα • cosα
cos2α = cos2α – sin2α
sinα + sinβ = 2sin α + β • cos α – β sinα – sinβ = 2sin α - β • cos α + β
2 2 2 2
cosα + cosβ = 2cos α + β • cos α – β cosα - cosβ = -2sin α - β • sin α + β
2 2 2 2
cos (α ± β) = cosα cosβ∓ sinα sinβ
sin (α ± β) = sinα sinβ ± sinβ cosα
tgα = | sinα | ctg = | cosα | tgα ctg = 1 | ||
cosα | sinα |
четверть | II | I | II | III | IV | III | I | IV |
φ | π/2 + α | π/2 - α | π - α | π + α | 3π/2 + α | 3π/2 - α | 2π + α | 2π - α |
sinφ | cosα | cosα | sinα | - sinα | - cosα | - cosα | sinα | - sinα |
cosφ | - sinα | sinα | -cosα | - cosα | sinα | - sinα | cosα | cosα |
tgφ | -ctgα | ctgα | -tgα | tgα | -ctgα | ctgα | tgα | -tgα |
ctgφ | -tgα | tgα | -ctgα | ctgα | -tgα | tgα | ctgα | -ctgα |
Пример 1: Упростить выражение:
sinα – 0,5sin2α cosα | = | |
sin2α |
Решение:
sinα – 0,5sin2α cosα | = | sinα – sinα cos2α | = | sinα(1 - cos2α) | = |
sin2α | sin2α | sin2α |
sinα sin2α | = | sinα |
sin2α |
cos3α | = | 1 - sinα |
2cosα + sin2α | 2 |
Пример 2:Докажите тождество
cos3α | = | cos3α | = | cos3α | = |
2cosα + sin2α | 2cosα + 2sinα cosα | 2cosα (1+sinα) |
cos2α | = | 1 - sin2α | = | (1 + sinα) (1 - sinα) | = | 1 - sinα |
2(1+sinα) | 2(1 + sinα) | 2(1 + sinα) | 2 |
Варианты:
1. а) cos2х - cos4х + sin4х
б) | sinα + sin3α | = tg2α |
cosα + cos3α |
2. а) sin2х + tg2х • sin2х) • сtgх
б) (sin2х + sin4х)2 + (cos2х + cos4х)2 = 4cos2х
3. а) | 1 – 2 cos2х |
cosх + sinх |
б) sin2х + sin4х + sin6х = 4sin3х • cos2х • cosх
4. а) | sin2х - 1 | + | tg2х |
cos4х |
б) sin4 π/8 - cos4 π/8 = - √2/2
5. а) | 1 – cosх + cos2х | ||
sin2х - sinх |
б) | sinα + sin5α | = | tg3α |
cosα + cos5α |
6. а) сtg2х (1 – cos2х) + cos2х
б) | sin4α | = tg2α |
1 + cos4α |
7. а) | sin2(π – х) | - | сos (2 π – х) |
1 + sin(3π/2 + х) |
б) | cos2α | = | 1 - tg2α |
1 + cos2α | 2 |
8. а) cos2(π – х) • tg (π + х) • tg (3π/2 - х) + sin(2π – х) • cos(π/2 + х)
б) | 1 – cos2α + sin2α | = tgα |
1 + cos2α + sin2α |
9. а) cos(х + 60о) + cos(х – 60о)
б) | tg2х • tgх | = sin2х |
tg2х - tgх |
10. а) sin (х + 60о) + sin (х – 60о)
б) | (sin2α – sin6α) + (cos2α – cos6α) | = 2sin2α |
sin4α – cos4α |
11. а) cos(α – 90о) + sin (α - 180о) + tg2(180о –α) + сtg2(α - 180о)
б) | tg2α + 1 | = | 1 |
cos2α |
12. а) | tg (π – α) • cos(π – α) • tg (π/2 – α) |
sin (π/2 + α) • ctg(π/2 + α) • tg(π/2 + α) |
б) | ctg2α + 1 | = | 1 |
sin2α |
13. а) sin2 (9π/8 + α) - sin2 (17π/8 - α)
б) | cos4α - sin4α | = cos2α - sin2α |
14. а) sin6α + cos6α - 3sin2α • cos2α
б) | 1 – cos2α + sin2α | = tgα |
1 + cos2α + sin2α |
15. а) tg2α - sin2α - tg2α • sin2α
б) | ctg2α - cos2α | = ctg2α • cos2α |
16. а) | 1 + sin2х | ||
(sinх + cosх)2 |
б) | sin2α - tg2α | = | tg4α |
cos2α - ctg2α | ctg2α |
17. а) | tgα + sinα | ||
2cos2 α/2 |
б) | 1 + сtg2α | = | ctgα |
tgα + ctgα | |||
18. а) | cos2α | ||
cos4α - sin4α |
б) | (1 – tgα)2 + (1 + tgα)2 | = | 2 |
cos2α |
19. а) соs4 α + sin4 α б) 1 - sin4 α - соs4 α = 2 tg2α
1 – 1 sin22α соs4 α
2
20. а) соs4α + 1 б) ___tgα___ = sin2 α
ctgα – tgα tgα + ctgα
21. а) _______соs2α____ б) 1 – ctgα = - ctgα
sin22α · (ctg2α – tg2α) 1 – tgα
22. а) 3соs2х - 4sin х • соs х - sin2х – 1
б) cos4α + sin2α = 1 – 1 sin22α
2
23. а) 4 cos4α - 2 cos2α – 1 cos4α б) tgα + ctgα = _2_
2 sin2α
24. а) (sinα + cosα + 1) • (sinα + cosα – 1)
б) sin2α_ = tgα
1 + cos2α
25. а) 1 – cos4α б) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = 2
1___ - 1
cos22α
1 + cos4α | |
1 | - 1 |
sin22α |
26. а) б) sin4α - cos4α + cos2α = sin2α
cosα • tgα | - ctgα • cosα = sin2α |
sin2α |
27. а) cos6α - sin6α б)
28. а) | sin4х - cos4x | б) (tgα + ctgα)2 - (tgα – ctgα)2 = 4 | |
cos2х |
29. а) cos2α • cos2х + cos2α • sin2α
б) | (1/sinα + ctgα) • (1/sinα - ctgα) = 1 |
30. а) ½ (ctgα – tgα) – ctg2α
б) | tgα | - | ctgα | = 0 |
1 + tg2α | 1 + ctg2α |
Задание №6
Решите простейшие тригонометрические уравнения
Для решения уравнений и записи ответов применяются следующие формулы:
Уравнение: sinx = a , где 0< а < 1
Ответ: х = (-1)n • arcsin a + π n, где n ε Z
Уравнение: sinx = -a , где 0< а < 1
Ответ: х = (-1)n+1 • arcsin a + π n, где n ε Z
Частные случаи: sinx = 0 sinx = 1 sinx = -1
x = π n x = π/2 + π n x = 3π/2 + π n
Уравнение: cosx = a , где 0< а < 1
Ответ: х = ±arccos a + 2π n, где n ε Z
Уравнение: cosx = -a , где 0< а < 1
Ответ: х = ±(arccos a) + 2π n, где n ε Z
Частные случаи: cosx = 0 cosx = -1 cosx = 1
x = π/2 + π n x = π + 2π n x = 2π n
Уравнение: tgx = a , где а > 0
Ответ: х = arctg a + π n, где n ε Z
Уравнение: tgx = -a , где а > 0
Ответ: х = -arctg a + π n, где n ε Z
Частные случаи: tgx = 1 tgx = -1 tgx = 0
x = π/4 + π n x = -π/4 + π n x = π n
Уравнение: ctgx = a , где а > 0
Ответ: х = arcctg a + π n, где n ε Z
Уравнение: ctgx = -a , где а > 0
Ответ: х = π + arcctg a + π n, где n ε Z
Частные случаи: ctgx = 0 ctgx = -1 ctgx = 1
x = π/2 + π n x = 3π/4 + π n x = π/4 + π n
Пример №1 Пример №2
sin (3x - π/6) = √3/2 cos (x/2 - π/4) = -1
Решение:
3x - π/6 = (-1)n • arcsin √3/2 + π n, n ε Z x/2 - π/4 = π + 2π n, n ε Z
3х = (-1)n • π/3 + π/6 + π n x/2 = π + π/4 + 2π n,
x = 2π + π/2 + 4π n,
Ответ:
х = (-1)n • π/9 + π/18 + π n/3, n ε Z x = 2.5π + 4π n, n ε Z
Варианты:
1. a) ½tg(4x – π/6) – ½ = 0 в) sin (х/2 - 3π/2) + 1 = 0
б) cos (6х + π/4) = -½ г) ctg (2х + π/3) - √3 = 0
2. а) cos (х + π/8) = -½ в) 1 – sin (х/8 - π/6) = 0
б) √3 tg(3х - π/3) = 1 г) 1/√3 + ctg (2х - π/4) = 0
3. а) cos (х/2 - π/10) = - √3/2 в) tg (х - π/12) = 1/√3
б) ½ + sin (3x/2 + π/6) = 0 г) ctg (1,5х - π/5) = 1
4. а) sin (х/3 - π/3) = - √3/2 в) tg (х/3 - π/6) = √3
б) 1 - cos (2х - π/9) = 0 г) ctg (1,5х - π/10) = - √3
5. а) sin (7х - π/3) = -½ в) -√3 сtg (х + π/8) = 1
б) ½ + cos (x/7 + 3π/4) = 0 г) -1/√3 tg (2х - π/3) = -1
6. а) 2 sin (3х - π/4) = -1 в) tg (1,5х - π/5) = - √3
б) cos (х/3 - π/6) = √2/2 г) 1 - сtg(2х - π/9) = 0
7. а) sin (х - π/3) = -1 в) tg (х/2 - π/6) = - √3
б) cos (2х - π/9) - √2/2 = 0 г) ctg (2х - π/12) + 1 = 0
8. а) cos (3х - 2π/3) = - √2/2 в) √3 tg(х/9 + π/4) – 1 = 0
б) sin (х/4 - 4π/5) = ½ г) ctg (6х - π/11) = 0
9. а) cos (3х - π/11) = - √3/2 в) -1/√3 tg (2х - π/9) = 1
б) √2/2 - sin (х/2 - 4π/5) = 0 г) √3 сtg (х/3 + π/11) = 0
10. а) 9 cos (7х - π/9) = 0 в) - √3 tg (х/4 + π/3) = 1
б) 1 - sin (х/2 - 3π/4) = 0 г) сtg (7х - 2π/5) = - 1
11. а) sin (3х/2 - π/3) = ½ в) 1 - tg (3х - 2π/7) = 0
б) cos (2х - π/11) + √2/2 = 0 г) 1 + √3 сtg (х/4 + π/5) = 0
12. а) 7 sin (х/7 - π/3) = 0 в) tg (2х - π/6) = - 1/√3
б) 2 cos (х/2 + π/3) = - 1 г) ctg (х + π/9) = 0
13. а) cos (2х - π/6) = - ½ в) ctg (2х + π/3) = √3
б) sin (3х/2 - π/11) = - √3/2 г) - tg (7х - π/6) = 1
14. а) 5 sin (3х/2 - π/7) = 0 в) tg (7х - π/3) = 1
б) cos (4х + π/6) = - √3/2 г) √3 + сtg (х - π/9) = 0
15. а) sin (3х - π/4) = √2/2 в) 6 tg (х - π/11) = 0
б) √3/2 + cos (2х - π/6) = 0 г) ctg (2х - π/8) = - 1/√3
16. а) 4 cos (х - π/12) = 0 в) tg (6х - π/3) = √3
б) √2 sin (х/2 + π/5) = - 1 г) ctg (2х - π/4) = 0
17. а) sin (4х - π/6) = 1 в) 9 tg (х/3 + π/2) = 0
б) √2 cos (3х/4 - π/9) = - 1 г) 1 - ctg (7х - π/7) = 0
18. а) sin (4х/5 - π/3) = ½ в) tg (х - π/9) + √3 = 0
б) - cos (3х + π/12) = 1/√2 г) 1 - ctg (1,5х + π/2) = 0
19. а) 7 sin (х/4 + π/3) = 0 в) - tg (х - π/7) = 0
б) √2 cos (3х/4 - π/6) = - 1 г) ctg (2х + π/4) = 1
20. а) cos (3х/2 - π/7) = - √3/2 в) tg (6х - π/4) = - √3
б) sin (2х - π/9) + ½ = 0 г) 6 сtg (7х/2 + π/3) = 0
21. а) √2 cos (3х - π/4) = 1 в) 3 tg (х - π/6) = - √3
б) sin (х/3 + π/9) = - √3/2 г) 9 ctg (х + π/9) = 0
22. а) sin (2х - π/4) = - ½ в) 1 - tg (х - π/11) = 0
б) 2 cos (х/2 + π/4) = - √3 г) √3 + ctg (х/4 - π/6) = 0
23. а) - 2 sin (3х/7 + π/4) = √3 в) tg (х/2 + π/10) = √3
б) cos (2х - π/5) = 1 г) 1 - сtg (х/3 + π/11) = 0
24. а) 7 cos (х/3 + π/9) = 0 в) √3 tg (х - π/6) = 1
б) 2 sin (3х/4 + π/3) = -1 г) сtg (7х/2 - π/4) = - 1/√3
25. а) - 6 sin (х/10 + π/5) = 0 в) tg (х - π/10) = - 1/√3
б) - 2 cos (3х/4 + π/6) = √2 г) ctg (х - π/3) = 0
26. а) sin (3х/5 - π/2) = 1 в) tg (х - π/6) = √3
б) 2 cos (3х/2 + π/4) = - 1 г) √3 ctg (х + π/10) - 1 = 0
27. а) sin (9х - π/3) = 0 в) 1/√3 - tg (х - π/9) = 0
б) cos (х/2 + π/6) = - √3/2 г) √3 ctg (2х - π/8) = - 1
28. а) 2 sin (х - π/4) = - 1 в) - √3 tg (3х/4 + π/9) = 1
б) cos (3х - π/6) = - √3/2 г) ctg (2х - π/6) + 1 = 0
29. а) 9 cos (7х - π/3) = 0 в) tg (2х - π/10) = - 1/√3
б) 2 sin (7х/3 + π/6) = - 1 г) сtg (2х/3 + π/6) = 1/√3
30. а) cos (2х - π/9) = - √3/2 в) tg (х + π/11) = √3
б) 7 sin (2х/9 - π/4) = 0 г) сtg (3х/5 - π/6) + 1 = 0
Задание №7
Решите квадратные тригонометрические уравнения.
Пример 1: Решите уравнение: cos2(3x - /6) = 3/4
Решение:
cos2(3x - /6) = 3/4
cos(3x - /6) = 3/2 и cos(3x - /6) = -3/2
3x - /6 = arccos3/2 + 2n , 3x - /6 = ( - arccos3/2) + 2k ,
n k
3x = /6 + /6 + 2n 3x = ( - /6) + /6 + 2k
x = /18 + /18 + 2n/3 n , x = /18 + /18 + 2k/3 , k
Ответ: x = /18 + /18 + 2n/3
x = /18 + /18 + 2k/3 n и k ,
Пример 2: 3sin2 - sinx – 4 = 0
Решение:
3sin2х - sinx – 4 = 0
Заменим sinx = t sinx = - 1
3t2 – t – 4 = 0 x = -/2 + n n
D = 1 – 4 3 (-4) = 49 sinx 8/6 , т. к.
t1 = (1-7)/6 - 1 sinx 1
t2 = 8/6 Ответ: х = -/2 + n n
Пример 3: sin2х - cosx + 1 = 0
sin2х - cosx + 1 = 0
1 – cos2x - cosx + 1 = 0 cosx - 2 т. к.
cos2x + cosx - 2 = 0 cosx 1
Заменим cosx = t cosx = 1
t2 + t – 2 = 0 х = 2n , n
D = 1 – 4 (-2) = 9
t1 = (-1-3)/2 = - 2 t2 = 1 Ответ: х = 2n , n
Варианты:
1. а)cos2(x/2 – π/9) = 1/2 2. а)sin2(x/3 + 2π/3) = 1
б)6cos2x + cosx - 1 = 0 б)3sin2x - 5sinx - 2 = 0
в)2sin2x + 3cosx = 0 в)2sin2x - 8cosx - 6= 0
3. а)tg2(3x + π/4) = 3 4. а)ctg2(x/3 + π/9) = 1/3
б)2sin2x - sinx - 1 = 0 б)8sin2x + cosx + 1 = 0
в)4cosx = 4 - sin2x в)3tg2x + 2tgx - 1= 0
5. а)sin2(3x/2 - π/5) = 3/4 6. а)2cos2(7x - π/9) = 1
б)2tg2x + 3tgx - 2 = 0 б)6tg2x+ tgx - 1 = 0
в)2sin2x + 5cosx - 4 = 0 в)4cos2x – 3sinx = 3
7. а)3tg2(x - π/3) = 1 8. а)ctg2(x/3 - π/2) = 1
б)2cos2x + cosx = 1 б)1 + cosx = 2sin2x
в)sin2x + 5cosx – 5 = 0 в)2sin2x + 5sinx - 7= 0
9. а)sin2(x/4 - π/3) = 1/4 10. а)2cos2(7x + π/3) = 1/2
б)3cos2x – 4cosx = -1 б)sin2x+ 6sinx - 16 = 0
в)cos2x + 4sinx - 4 = 0 в)2sin2x + 5cosx + 1= 0
11. а)tg2(x/4 - π/6) = 1/3 12. а)ctg2(x/3 + π/4) = 3
б)cos2x - 3cosx - 2 = 0 б)tg2x + tgx = 2
в)2cos2x + 3sinx = 3 в)2cos2x + 3sinx = 0
13. а)sin2(3x/4 + π/2) = 1 14. а)cos2(7x/8 + 3π/4) = 1/2
б)6ctg2x + ctgx = 1 б)3cos2x= 5cox + 2
в)2cos2x - 8sinx = 6 в)8cos2x + sinx + 1 = 0
15. а)tg2(3x- π/6) = 1 16. а)ctg2(3x - π/9) = 3
б)2cos2x - cosx - 1 = 0 б)3sin2x + 2sinx = 1
в)2cos2x + 5sinx = 4 в)4sin2x = 3cosx + 3
17. а)sin2(3x/2 + π/3) = 1/4 18. а)cos2(6x/7 - π/4) = 3/4
б)2sin2x + 3sinx = 2 б)6sin2x + sinx = 1
в)cos2x + 5sinx = 5 в)2cos2x = sinx + 1
19. а)tg2(2x- π/6) = 1/3 20. а)ctg2(4x - π/9) = 1/3
б)2sin2x + sinx = 1 б)2cos2x + 5cosx – 7 = 0
в)2cos2x + 5sinx + 1 = 0 в)5sin2x + 3cosx = 3
21. а)sin2(3x/2 + π/2) = 1/4 22. а)cos2(6x - π/11) = 1/4
б)3sin2x - 4sinx + 1 = 0 б)cos2x + 6cosx = 16
в)8sin2x + 6cosx - 9 = 0 в)8cos2x + 6sinx = 9
23. а)tg2(3x/5 + π/4) = 1 24. а)√3ctg2(6x/7 - π/3) = 1/√3
б)cos2x + cosx = 2 б)sin2x = 3sinx + 2
в)cos2x + 3sinx = 3 в)sin2x + 3cosx = 3
25. а)4sin2(4x/5 + π/6) = 1 26. а)2cos2(3x/8 - 2π/3) = 1
б)3tg2x = 5tgx + 2 б)2tg2x = tgx + 1
в)6sin2x - 7cosx - 1 = 0 в)6cos2x = 7sinx + 1
27. а)1/3tg2(7x/2 - π/3) = 1 28. а)1/3ctg2(7x/3 + π/8) = 1
б)6cos2x + cosx = 1 б)sin2x+ sinx = 2
в)2sin2x - 5cosx - 5 = 0 в)2cos2x = 5sinx + 5
29. а)4sin2(6x/2 - π/2) = 1 30. а)4cos2(5x/3 - π/10) = 1
б)tg2x + 6tgx = 16 б)3tg2x = 4tgx - 1
в)6sin2x + 5cosx - 2 = 0 в)6cos2x + 5sinx = 2
Задание №8
Решите однородные тригонометрические уравнения.
Однородные тригонометрические уравнения решаются делением каждого слагаемого на cos2х или sin2х, при условии, что cos2х и sin2х не равны нулю.
Пример: cos2х - 5sinх cosх – 2 = 0
cos2х - sin2х - 5sinх cosх – 2 cos2х - 2sin2х = 0
- cos2х - 3sin2х - 5sinх cosх = 0
- | cos2х | - | 3sin2х | - | 5sinх cosх | = 0 |
cos2х | cos2х | cos2х |
- 1 – 3tg2х - 5tgх = 0
Заменим tgх = t , таким образом:
3t2 + 5t + 1 = 0
D = 25 – 12 = 13 tgх = (-5-√13)/6
x = arctg ( (-5-√13)/6 ) + πn n z
t1 = (-5-√13)/6 tgх = (-5+√13)/6
t2 = (-5+√13)/6 x = arctg ( (-5+√13)/6 ) + πk n z
Ответ: x = arctg ( (-5-√13)/6 ) + πn
x = arctg ( (-5+√13)/6 ) + πk , где n, k z
Варианты:
1. 3sin2x + cos2x = 2cos2x 2. sin2x + 2cos2x = 1
3. 3sin2x + sinx • cosx = 2cos2x 4. 2cos2x - 3sinx •cosx + sin2x = 0
5. 9sinx cosx – 7cos2x = 2sin2x 6. 2sin2x – sinx cosx = cos2x
7. 4sin2x - sin2x = 3 8. sin2x + 4cos2x = 1
9. 6sin2x - 2sin2x = 1 10. 3sin2x + 4cos2x = 13sinx • cosx
11. sin2x + 2sinx • cosx = 3cos2x 12. 7sin2x = 8sinx • cosx – cos2x
13. 1-3cos2x = 2sinx • cosx 14. 6sin2x - 3sinx • cosx – cos2x = 1
15. 3sin2x + 2sinx • cosx = 2 16. 6sin2x + 3sinx • cosx – 2cos2x = 3
17. 4sin2x - cos2x = 5 18. sin4x + cos22x = 2
19. 4cos2x + cos2x = 5 20. sin2x - 5sinx • cosx – 6cos2x = 0
21. 5sin2x + 3sinx • cosx - 4= 0 22. 6sin2x - sinx • cosx – cos2x = 3
23. cos2x + 2cos2x = 0 24. сos2x - 3sinx • cosx = sinx 3π/2
25. 3sin2x - 2sinx • cosx - cos2x = 0 26. sin2x = cos2x – sin2x + 1
27. 3cos2x – sin2x – sin2x = 0 28. 4cos2x + sinx • cosx + 3sin2x = 3
29. 25sin2x + 30sinx • cosx + 9cos2x = 25 30. sin2x + 3/2cos2x = 5/2sinx • cosx
Задание №9
Построить график тригонометрической функции.
Пример: Пользуясь логическими преобразованиями построить график функции у = │sin│ x – π/3│ - 1│
- y = sinx
- y = sin(x - π/3) - сдвиг вправо на 2 деления вдоль оси х
- у = sin│ x – π/3│ - все, что справа от оси симметрично отображается налево
- у = sin│ x – π/3│ - 1 - сдвиг вниз вдоль оси у на 1 деление
- у = │sin│ x – π/3│ - 1│ - все, что ниже оси х отображается симметрично вверх.
Варианты:
1. у = 3cos|2x| - 2 2. y = |2 + cos(x – π/2)| - 1 3. y = |2 – cos(x + π/2)|
4. у = 7cos|x| + 2 5. y = |4 + sin(x – π/3)| 6. y = 1/2cos(x - π/3)
7. у = 3 + cos|2x| 8. y = 2 - |sin(x + π/4)| 9. y = 1 - |cos(x + π/6)|
10. у = |2 + 2cos(x – π/6)| 11. y = 3cos(2x – π/6)| 12. y = sin(x - π/3) + 1
13. у = cos(x + π/4) - 2 14. y = |cos3x - 2)| - 2 15. y = |1 + sinx| - 2
16. у = |2sin1/2x| - 3 17. y = 7 + |sinx| 18. y = - 3 - |tg|2x - π/3||
19. у = 2 + |3sin2x| 20. y = 3 + |cos|x|| 21. y = |4sinx| - 1
22. у = 2 + |sin3x| 23. y = 2 + cos|3x| 24. y = - 2 - |sin|x - π/4| + 1|
25. у = 2 + cos|x| 26. y = |cosx/2 - 1| 27. y = |4cosx/2|
28. у = |sin|3x|| 29. y = 3sin|2x| 30. y = |sin(x – π/3) + 1|
Задание № 10. Решить тригонометрические неравенства.
Пример 1: Решите неравенство : sinx ≥ ½
Решение:
Ответ: х [π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn]
Пример 2: Решите неравенство : cosx > √3/2
Решение:
Ответ: х [ 0; 2πn; π/6 + 2πn) U
U ( 11π/6 + 2πn; 2π + 2πn]
Варианты:
1. соsx < 1/2 2. sinx > √3/2 3. соsx > 0
4. sinx ≤ -√2/2 5. cosx < 0 6. sinx ≥ -1/2
7. cosx ≤ 1/2 8. sinx < √3/2 9. cosx > 1/2
10. sinx ≤ 0 11. cosx > -1/2 12. sinx > -1/2
13. соsx > √2/2 14. sinx ≤ 1/2 15. соsx > -√2/2
16. sinx < √2/2 17. cosx > √3/2 18. sinx ≤ -√3/2
19. соsx > -√3/2 20. sinx ≥ 0 21. соsx < -1/2
22. sinx ≥ 1/2 23. cosx < √2/2 24. sinx ≥ √2/2
25. соsx < -√2/2 26. sinx ≥ √2/2 27. соsx < √3/2
28. sinx ≥ -√3/2 29. cosx < -√3/2 30. sinx ≥ √3/2
Задание № 11. Выполнить действия с иррациональными числами и
выражениями.
При выполнении этого задания используются определение корня и его свойства.
Корни n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна а.
Свойства:
1) n√a • n√b = n√ab = (ab)1/n 3) (n√a)k = n√ak = ak/n
2) n√a / n√b = n√a/b = (a/b)1/n b ≠ 0 4) n√ k√a = nk√a = a1/n k
5√ х√х |
х 3√х |
Пример 1: Упростите выражение:
Решение:
5√ х√х | = | (х • х½ )1/5 | = | (х3/2)1/5 | = | х3/10 | = | х3/10 - 7/2 | = | х -32/20 | = | х-1,6 |
х 3√х | х3 •х½ | х7/2 | х7/2 |
Пример 2: Выполните действие:
√√125 • √5 | = | √√125•5 | = | √25 | = | 5 | = | 1 |
√10 • √40 | √400 | 20 | 20 | 4 |
Варианты:
- Упростить: а) (125х-6)-2/3 б) (32х-10)-2/3
Вычислить: а) 3 3/8 • 1 ½ + (45)/ 480
2. Упростить: а) (64с-6)-2/3 б) (81х-8)-3/4
Вычислить: а) 5(-243)/1024 • 3-4 17/27
3. Упростить: а) (27х-3)-2/3 б) (64b-6)-1/6
Вычислить: а) 5111/16 • 4,5 - (59/ 5288)
4. Упростить: а) (16а-4)-3/4 б) (27b-6)-2/3
Вычислить: а) 664/100000000 • 439 1/16 : 3-3 19/27
5. Упростить: а) (у 10у • 3у2) : у5/ 6 б) (b 6b4 • b) : b7/8
в) 6128 : 62
6. Упростить: а) (5а2 • 4а-3) : а-1/ 4 б) ( 6х5 • 3х) : х -7/9
в) 3243 : 3-9
7. Упростить: а) (6а • 3а-1) : а-2/ 9 б) ( 4х3 • 3х) : х 1/ 3
в) 3 : 412
8. Упростить: а) 5х • 3х2 б) 323 • 5х6
Вычислить: а) (2-2 • (22/3)3) : (45/6)3
9. Упростить: а) (а2/3 • а -5/4) : (а3/2 • а -1/3) б) (22/3 : 4 5/ 6)3
в) ((3 • 39) : 427)
10. Упростить: а) ((а2) 1/3 ) 3/5 б) (31/3/ • 71/7) : 9 1/ 3
в) (1/3) • 43 • (1/3) 3
11. Вычислить: а) 52 5 • 72 • 57 3 б) 4125/0,2
в) 44 • 34
12. Вычислить: а) (1/3) –10 • 27 –3 + 0,2-4 • 25-2 + (64 -1/9) -3
б) (2-2 • 53 • 10-4) : (2-3 • 52 • 10-5)
13. Вычислить: а) (6 – 4 • (5/16)0)-2 + (2/3)-1 – 3/4
б) (2-2 + 20) : ((½)-2 - 5 • (-2)-2 + (2/3)-2)
14. Вычислить: а) ((0,6)0 – (0,1)-1) : ((3/(23))-1 • (3/2)3 + (-1/3)-1)
б) ((3/2) –0,5 • 6 -½ + 1) ½ • 3/2
15. Упростить: а) 3х • 4х3 б) 2х3 • хх
Вычислить: а) ((3 • 39) : (427)) б) (3-625) : (3-5)
16. Упростить: а) [16-0,25 – (22)1/3] • [1600,25 + (22)1/3]
б) 440 • 21/4 : 5-3/4
17. Вычислить: а) 4128 : 48 б) (128-2/7 • 33) : 813/4
в) (111/25)-0,5 • (417/27)-1/3
18. Упростить: а) (х 6х4 • х) : х 7/8 б) 440 • 21/4 : 5-3/4
в) (27а-6)-2/3
19. Вычислить: а) (125b-6)-2/3 б) 433/8 • 1½ + (45 : 480)
в) (81х-8)-3/4
20. Вычислить: а) 5111/16 • 4,5 - (59 : 5288) б) 3-625 : 3-5
в) 16-5/4
21. Упростить: а) (1/3)-10 • 27-3 + 0,2-4 • 25-2 + (64-1/9)-3
2-2 • (22/3)3 | |
(45/6)3 |
б)
(а2/3 • а -5/4) | б) | | √3 • 3√9 |
(а3/2 • а -1/3) | 4√24 |
22. Упростить: а)
в) ((а2)1/3 )3/5 • а2/3
23. Упростить: а) (6 – 4(5/6)0 )–2 + (2/3)–1 - 3/4
б) 4√40 • 21/4 : 5-3/4
в) 3-625/-5
24.Упростить: а) (125х-6)-2/3 б) (27b-6)-2/3
Вычислить: а) 5111/16 • 4,5 • (59/ 5288)
25. Упростить: а) (у 10у • 3у2) : у5/ 6 б) ( 4х3 • 3х) : х 1/ 3
в) 3-625 : 3-5
26. Вычислить: а) 4128 : 48 б) (128-2/7 • 33) : 813/4
в) ((0,6)0 – (0,1)-1) : ((3/(23))-1 • (3/2)3 + (-1/3)-1)
27. Упростить: а) [16-0,25 – (22)1/3] • [1600,25 + (22)1/3]
б) (1/3) • 43 • (1/3) 3
28. Упростить: а) 440 • 21/4 : 5-3/4 б) 2х3 • хх
Вычислить: а) ((3/2) –0,5 • 6 -½ + 1) ½ • 3/2
29. Упростить: а) (1/3)-10 • 27-3 + 0,2-4 • 25-2 + (64-1/9)-3
| √3 • 3√9 |
4√24 |
30. Упростить: а) 5х • 3х2 б) (32х-10)-2/3
Вычислить: в) 5(-243)/1024 • 3-4 17/27
Задание № 12. Решить иррациональные уравнения.
Решение иррационального уравнения √(х) = g(x) равносильно системе:
g(x) ≥ 0
(х) = g2(x)
Пример: √3х – 5 = 1 - х
1 – х ≥ 0 х ≤ 1
3х – 5 = (1 – х)2 1 – 2х + х2 – 3х + 5 = 0
х ≤ 1 D = 1 Так как х ≤ 1 , то
х2 – 5х + 6 = 0 х1 = 3 х2 = 2 х1 ≠ 3 х2 ≠ 2
Ответ: корней нет.
Варианты:
1. √x2 + 3 = x + 2 2. √5x – 6 = x 3. √2x – 1 = x - 2
√x2 + x – 1 + x = 2 √x + 1 = x – 5 3 + √3x + 1 = x
4. √12 – x = x 5. x - √x + 1 = 5 6. 1 - √1 + 5x = x
√7 – x = x - 1 21 + √2x - 7 = x 2√x + 5 = x + 2
7. 4√x + 6 = x + 1 8. √4x + 2x – x2 = x - 2 9. √3x – 2 = 5x - 1
√x2 + 8 = 2x + 1 √37 – x2 + 5 = x 2 - √6x - 3 – x2 = x
10. √1 + 4x - x2 = x - 1 11. 3x - √18x + 1 + 1= 0 12. √9x – 20 = x
4 + √26 - x2 = x √x + 7 = x √2x - 1 = x - 2
13. √x2 + x - 1 = 2 - x 14. √x + 61 = x + 5 15. √2x – x2 = 5 -x
√5x – 6 = x √(x – 6)(1 – x) = 3 + 2x √x2 + 3x + 3 = 2x + 1
16. √2x2 – 3x - 5 = x - 1 17. 3 – x = 3 √1 – x2 18. √x2 – 3x + 2 = 2x - 5
x + 4 = 2√4 - x2 √3x – x2 = 4 - x √2 - x = x
19. x = √2 - x 20. √x2 – 1 = x 21. x – 3 = √x – 2
x + 3 - √x + 33 √2x + 14 = x + 3 x + 2 = √x + 14
22. x – 1 = √7 - x 23. √11 - 5x = x - 1 24. √x2 + 1 = x - 1
√9x – 20 = x √x + 2 = x √(x + 4)(ч + 3) = 6 - x
25. √(x + 3)(x – 8) = x + 2 26. √5 – x2 = х - 1 27. 4 – х = √x2 – 2x
1 - x = √x2 – 2х х - √1 – x = 0 х = √x2 + х - 2
28. 4 – х = √2х - x2 29. 2x + 3 =√x2 + 5х + 6 30. √x2 – 3x + 2 = 2x - 5
x - 3 = √x2 + 4х - 5 √x2 + х = 1 - 2x √8 + 2x – х2 = 6 - 3x
Задание № 13. Решить показательные уравнения.
Пример 1: √27 3х = 1/9
Решение:
√27 3х = 1/9
(33) ½ 3х = 3-2
39/2 х = 3-2 так как ах – функция положительная
9/2 х = -2 х = - 4/9 Ответ: х = - 4/9
Пример 2: 3х+1 + 3х-1 = 10
Решение:
3х 3 + 3х 1/3= 10
3х (3 + 1/3) = 10
3х • 10/3 = 10
3х = 3 х = 1 Ответ: х = 1
Пример 3: 2х+1 + 4х = 8
Решение:
2х 2 + 22х = 8
Заменим 2х = t
2t + t2 – 8 = 0
D = 36 2х ≠ - 4 так как ах > 0
t1 = (-2 - 6)/2 2х = 2
t2 = 2 х = 1 Ответ: х = 1
Пример 4: 3х+1 = 5х+1
Решение:
3х+1 | = | 5х+1 |
5х+1 | 5х+1 |
(3/5)х+1 = 1
(3/5)х+1 = (3/5)0
х + 1 = 0 х = 1 Ответ: х = 1
Варианты:
1. 9х – 2х + 0,5 = 2х + 3,5 - 32х – 1 2. 9х - 1 – 36 • 3х - 3 + 3 = 0
641/х - 23/х + 3 + 12 = 0 94х + 8 – 4 • 32х + 5 + 27 = 0
2х + 2 - 2х + 1 + 2х - 1 - 2х - 2 = 9 41/х - 2 = 1/4
3. 15 • 2х + 1 + 15 • 2-х + 2 = 135 4. (5/12)х • (6/5)х - 1 = 0,3-1
2х - 1 - 3х = 3х - 1 - 2х + 2 32х + 1 + 10 • 3х + 3 = 0
32(х + 5) / (х – 7) = 0,25 • 128(х + 17) / (х – 3) 4х – 3х – + ½ = 3х + ½ - 22х – 1
5. 7 • 3х + 1 - 5х + 2 • 1 = 3х + 4 - 5х + 3 6. 22 + х - 22 - х = 15
22х + 1 - 33 • 2х - 1 + 4 = 0 2х + 1 • 5х = 200
2 • 3х + 1 + 6 • 3х - 1 + 3х = 9 22х - 3 = 4х – 3х - 1
7. 4х + 2 - 9 • 2х + 2 + 8 = 0 8. 0,14х - 2х - 2 = 0,12х - 3
52х - 7х - 52х • 35 + 7х • 35 = 0 2х + 2 - 2х + 3 - 2х + 4 = 5х + 1 – 5х + 2
32х + 5 = 3х + 2х + 2 25-х - 5-х + 1 = 50
9. (1/5)(2х + 1) / (1 – х) = (1/5)-3 10. (1/5)х + ½ - 2/х = 1/√27
4-х + 0,5 - 7 • 2-х - 4 = 0 2х + 2-х - 3 = 0
(2х – 1 – 1) / (2-х + 1 + 1) = 2 (2/5)(6 + 5х) / (2 + 5х) = 25/4
11. 52х + 1 = 5х + 4 12. 5х + 1 - 5х - 1 = 24
0,32х - 3х + 6 = 0,00243 6х - 6х + 1 = 2х + 2х + 1 + 2х + 2
(1/3)(х + 2) / (2 - х) = 9 3 • 4х + 1/3 • 9х + 2 = 6 • 4х + 1 – 1/4 • 9х + 1
13. 101 + х - 101 – х = 99 14. 0,125 • 42х - 3 = (√2/8)-х
94х + 8 – 4 • 32х + 5 + 27 = 0 0,5х • 22х + 2 = 64-1
7 • 5х + 90 = 5х + 2 (3/7)3х + 7 = (7/3)7х - 3
15. (1/25)2х = (√5)х + 3,75 16. (2/3)х + (2/3)х - 1 = 2,5
(4/3)х + 1 - (4/3)х = 3/16 (1/3)2х - 1 – 10 • 3-х + 3 = 0
3х + 1 + 18 • 3-х = 29 3х + 2 + 3х - 1 = 28
17. (1/4)10х = 642 ⅔ - х 18. 34х + 3 = (1/9)х / 2
(1/36)х - 5 • 6-х – 6 = 0 (1/5)1 + х - (1/5)х = 4,96
4х - 2х + 1 – 8 = 0 22х - 1 + 22х - 2 + 22х - 3 = 448
19. (1/5)х - 1 - (1/5)х + 1 = 4,8 20. 0,125 • 42х - 3 = (√2/8)-х
5 • 9х+ 9х – 2 = 406 22х + 1 - 33 • 2х - 1 + 4 = 0
2х = (1/2)2х – 3 (2/5)(6 + 5х) / (2 + 5х) = 25/4
21. (5/12)х • (6/5)х - 1 = 0,3-1 22. (1/2)х - 3 + (1/2)х + 1 = 162
4х + 3 + 22х + 2 = 51 4х – 0,25х – 2 = 15
2 • 3х + 1 + 6 • 3х - 1 + 3х = 9 42/х - 5 • 41/х + 4 = 0
23. (5/3)х + 1 • (9/25)х + 2х - 11 = (5/3)9 24. 32х - 3 - 9х – 1+ 272х/3 = 675
5х - 1 = 10х • 5х + 1 • 2-х 4х + 2 - 9 • 2х + 2 + 8 = 0
3х + 1 - 2 • 3х – 2 = 75 (0,2х + 0,5) / √5 = (0,04)х / 25
25. 2 • 3х + 1 -5 • 9х – 2 = 81 26. 101 + х - 101 – х = 99
(22х – 1 • 4х + 1) / 8х - 1 = 64 3х • 22х – 3 = 45
7х + 2 –1/7 • 7х + 1 - 14 • 7х – 1+ 2 • 7х = 48 93х - 1 = 38х - 2
27. 2х + 1 + 4х = 80 28. 7х - 3х – ½ = 3х + ½ - 22х – 1
2х + 2х + 1 + 2х + 2 + 2х + 3 = 30 72х- 6 • 7х + 5 = 0
7 • 5х + 90 = 5х + 2 4х + 1 - 3х = 3х + 2 - 4х
29. 4х + 22х + 1 – (1/16)1 – х/2 = 47 30. 3х + 2 - 3х + 1 + 3х = 21
2х + 2х + 1 + 2х + 2 = 5х + 5х + 1 4х + 3 + 22х + 2 = 51
3х + 31 + х = 28/3 22х – 2 • 3х = 3
Задание № 14. Решить логарифмические уравнения.
Определение логарифма
Свойства логарифмов:
1) loga 1 = 0 где а > 0 , а ≠ 1
2) loga а = 1 b > 0
3) loga х + loga у = loga ху х – любое
4) loga х - loga у = loga х/у
5) logaα bβ = β 1/α loga b
6) а loga = х
Пример 1: Вычислите: log√5 25 + log1/5 5√5
Решение:
log5 52 + log5 53/2 = 2 2 log5 5 + 3/2 (-1) log5 5 = 4 – 3/2 = 2,5
Пример 2: Решите уравнение: log 3 (х – 2) = log√3 1/9
Решение:
х – 2 >0 х > 2
log 3 (х – 2) = log 3 3-2 log 3 (х – 2) = - 4 х – 2 = - 3-4
log 3 (х – 2) = 2 (-2)log 2 2 х = 2 + 3-4 х = 2 + 1/81
Ответ: х = 2 1/81
Пример 3: lg2 x + lg x3 + 2 = 0
x >0
lg2 x + 3lgx + 2 = 0
Заменим: lgx = у
у2 + 3у +2 =
D = 1 lgx = -2 х = 10-2 = 0,01
у1 = - 2 lgx = -1 х = 10-1 = 0,1
у2 = - 1 Ответ: х1 = 0,1 ; х2 = 0,01
Варианты:
1. log 0,5 (4 –x) = log 0,5 2 - log 0,5 (х –1) 2. log22 x + 2 log 2 √x = 0
log 6 √х – 2 + ½log6 (x - 11) = 1 lg (3x2 + 7) - lg (3x - 2) = 1
3.log 4 (2 log3 (1 + log2 (1 + 3 log3x))) = ½ 4.lg (3x – 2) – 2 = ½ lg (x + 2) - lg 50
lg (5 - х) = 1 - lg (3 - х) lg (√х – 3) + lg √2х – 1 = log √3х + 3
5. lg (3 + 2 lg (1 + х)) = 0 6. log1/2 log 3 (1 - х) = -1
log1/3 (х – 1) - log 1/3 (2х – 3) = 0 lg 6/х = lg (х + 5)
7. 3 lg x = 5/2 lg х/2 8. log 3 (√2(х + 5)) = 1/ log 4 64
log22х – 3 log2 x + 5 = 3 log 9 log 4 х - log 4 1/(2х - 1) = log 4 (3х – 2)
9. log 2 (log 2х • (2 – х) + log 2 х/(2 – х)) = 0 10. log22 (х – 1) - log 0,5 (х - 1) = 5
log 8 (4 - 2 log 6 (5 – х)) = 1/3 log 25 (1/5 log3 (2 - log 1/3 х)) = -½
11. log 1/3 (x2 + 1) - log 1/3 (x + 6) = 0 12.log 2 (x2 – 3х + 4) = 2 + log 2 (х – 2)
log ½ (log22 х + 4 log 2 х + 7) = -2 1 – ½ lg (2х - 1) = ½ lg (х - 9)
13. log 5 х + log 25 х = log 1/5 √3 14. lg2 х + 2 lg х = 3
log 6 √х – 2 + ½log6 (x - 11) = 1 log 2 х = 2 log 23 + log 25
15. log 3 х = log 3 10 - 2 log 32 16. log 1/3 (5 - 2х) = log 1/3 9
log π (x2 + 3 + 2х) = log π 6 log 5 (х2 + 8) - log 5 (х + 1) = 3 log 5 2
17. log 25 x + log 5 х = log 1/5 √8 18. lg2х - lg х2 + 1 = 0
log2 5 х = 2 + log 5 х log 7 log 3 log 2 х = 0
19. lоg23х – 3 lоg 3х + 2 - 0 20. log22 x + 2 log 2 √x = 0
log 2 х + log √2 х + log ½ х = 6 log 0,5 (3х - 4) = log 0,5 (х – 2)
21. lg (3 + 2 lg (1 + х)) = 0 22. log 3 (х + 1) + log 3 (х + 3) = 1
log 2 (x2 - 2х) – 3 = 0 lоg 4 (х2 + 4х + 3) = 1,5
23. lоg 3х = 2 log 9 6 - log 9 12 24. lg2х - 3 lg х = lg2х - 4
lg5 х + lg(х+10) - 1 = lg(21х-20) - lg(2х-1) log 4 (х +3) - log 4 (х-1) = 2 - log 4 8
25. log 5 ((2 + х)/10) = log 5(2/(х + 1)) 26. log 5 х + log 25 х = log 1/5 √3
log 16 х + log 4 х + log 2 х = 7 log2 0,5 х + log 0,5 х – 2 = 0
27. log 3 ((2х + 1)/(1 + х)) = 1 28. log 0,1 (x2 + х - 2) = log 0,1 (х + 3)
log 0,5 (3х - 4) = log 0,5 (х – 2) log 2 (x2 - 2х) – 3 = 0
29.log 0,5(x2 - 3х + 4) - log 0,5(х - 1) = -1 30.log 2 (2х - 1) = .log 1/√2 2
log 1/6(x2 - 3х + 2) + 1 = 0 log 0,2(x2 - х - 2) = log 0,2(-x2 + 2х + 3)
Задание № 15. Решить показательные неравенства.
Пример 1: 32х-1 – 3х-1 ≥ 2
32х • 3-1 – 3х • 3-1 ≥ 2
3х = у
1/3у2 - 1/3у – 2 ≥ 0
у2 - у – 6 ≥ 0
D = 25 3х ≤ - 2 так как 3х > 0
у1 = 3 3х ≥ 3 так как а > 1
у2 = - 2 х ≥ 1
Ответ: х [ 1; + ∞)
у
Пример 2: 2х+1 < ½
2х+1 < 2-1 так как а > 1
х + 1 < - 1
х < - 2 Ответ: х (- ∞; - 2)
Варианты:
1. 5х + 1 – 5х – 1 > 24 2. 52х - 1 + 5х + 1 ≤ 250
(3/7)3х – 7 ≥ (7/3)7х – 3 + х 6х + 6х + 1 > 2х + 2х + 1+ 2х + 2
3.7х + 2 – 1/7 • 7х + 1 - 14 • 7х – 1 + 2 • 7х> 48 4. 34х + 8 – 4 • 32х + 5 + 27 ≤ 0
0,125 • 42х – 8 ≥ (0,25/√2)-х 32(х + 5) / (х – 7) > 0,25 • 128(х + 17) /(х – 3)
5. (1/36)х - 5 • 6х - 6 ≤ 0 6. (1/3)2х – 1 – 10 • 3-х + 3 < 0
(4/3)х + 1 - (4/3)х > 3/16 4х - 2х + 1 – 8 > 0
7. 2х > (1/2)2х – 3 8. 9х - 1 – 36 • 3х - 3 +3 ≤ 0
3х + 2 + 3х - 1 < 28 34х + 3 ≤ (1/9)х /2
9. (5/12)х • (6/5)х - 1 < 0,3-1 10. (2/3)х + (2/3)х - 1 > 2,5
2 • 3х + 1 - 6 • 3х – 1 – 3х ≥ 9 2х - 1 – 3х – 1 ≥ 3х – 1 - 2х + 2
11. (1/4)10х > 642 2/3 – х 12. 32х + 5 ≤ 3х + 2
22х – 1+ 22х – 2+ 22х - 3< 448 (1/25)2х < (√5)х + 3,75
13.7 • 3х + 1 – 5х + 2 ≥ 3х + 4 - 5х + 3 14. 22х + 1 – 33 • 2х - 1 + 4 < 0
15 • 2х + 1 + 15 • 2-х + 2 < 135 4х – 3х - ½ ≤ 3х + ½ - 2 2х - 1
15. 32х + 1 + 10 • 3х +3 ≤ 0 16.5х - 1 < 10х • 2-2 • 5х + 1
22х - 3 > 4х – 3х – 1 52х – 7х - 52х •35 + 7х • 35 ≥ 0
17. 32х - 3 - 9х – 1 + 272х/3 < 675 18. 4х - 10 • 2х - 1 > 24
2х+ 1 • 5х ≥ 200 4х + 2 - 9 • 2х + 2 +8 ≤ 0
19. 42/х – 5 • 41/х + 4 ≤ 0 20. (5/3)х + 1 • (9/25)х + 2х - 11 < (5/3)9
5х – 24 > 25/5х 93х- 1 ≥ 38х – 2
21. 22 + х – 22 – х < 15 22. (22х – 1 · 4х + 1) / 8х -1< 64
(0,2х + 0,5) /√5 ≥ ((0,04)х )/25 9х – 2х + 0,5 ≥ 2х + 3,5 – 32х - 1
23. 0,125 • 42х – 3 > (√2/8)-х 24. 0,5х • 22х + 2 < 64-1
3 • 4х + 1/3 • 9х + 2 ≤ 6 • 4 х+ 1 - 1/4 • 9х + 1 3х + 1 + 18 • 3-х ≥ 29
25. 2х + 2-х - 3 < 0 26. 0,14х – 2х – 2 ≤ 0,12х - 3
(2/5)(6 – 5х) / (2 + 5х) < 25/4 4-2 + 0,5х 7 • 2-х – 4 < 0
27. 52х + 1 > 5х + 4 28. (0,3)2х – 3х + 6< 0,00243
(2х -1 – 1) / (2х +1 + 1) < 2 2х + 2 - 2х + 1 + 2х - 1- 2х – 2 ≤ 9
29. 16х > 0,125 30. 23 – 6х > 1
2х + 2 - 2х + 3 - 2х + 4- 5х + 1- 5х + 2 < 0 25-х - 5-х + 1 ≥ 50
Задание № 16. Решить логарифмические неравенства.
Пример 1: log ½ (1 - х) ≥ 4
Решение:
1 – х > 0
х < 1
так как а = ½ и 0 < а < 1 , то 1 – х ≤ (½)4
1 – х ≤ 1/16
х ≥ 15/16
Ответ: х [15/16; 1]
Пример 2: log 3 х + log 3 (х – 2) ≥ 1
х > 0 х > 2
х – 2 > 0
log 3 х •(х – 2) ≥ 1
так как а > 1
х (х – 2) ≥ 31
х2 – 2х – 3 ≥ 0
D = 16
х1 = - 1
х2 = 3 Ответ: х [ 3; + ∞]
Варианты:
1. log 1/3 (1 –2x) > -1 2. log 1/3 (x - 1) - log 1/3 (2 - 3x) < 0
log 1/3 log3 (1 –x) > -1 log 1/3 log 2 (x2 - 8) ≥ -1
3. log 0,5 (x2 – 5х + 6) > -1 4. log 8 (x – 4х + 3) ≤ 1
log3 (2х + 3) < log3 (х – 1) log3 (1 – 2х)/х ≤ 0
5. lg (х2 – 5х + 7) < 0 6. log7 (2х - 6)/ (2х – 1) > 0
log1,5 (2х - 8)/ (х – 2) < 0 log3 (1 + 2х)/ (1 + х) < 1
7. log 1/2 (x2 – 2х + 4) > -2 8. log 1/3 (2 - 3х)/х ≥ -1
log 3х + log3 (x - 2) ≥ 1 log 1/4 (2 – х) > log 1/4 2/(х + 1)
9. log 1/4 (35 - х)/х ≥ -1/2 10. log 0,2 (х2 – х - 2) > log 0,2 (-х2 + 2х + 3)
log20,5х+ log0,5х – 2 ≤ 0 log 1/3 log3х ≤ 1
11. log 1/6 (x2 – 3х + 2) + 1 < 0 12. log 2 (x2 – 2х) – 3 > 0
log 0,5 (3х - 1)/(х – 1) ≥ -2 log 3 (х + 2) - log 1/3 (2х - 3) ≤ log3 (х2 + х - 2)
13. log 1/3 (3х + 4) > log 1/3 (х2 + 2) 14. log 0,5 (х2 – 3х + 4) - log 0,5 (х - 1) < -1
log 2 (x2 – 3х) + log 1/2 (х + 3) < log √2 √3 log 2 (2х - 1) > log 1/ √2 2
15. log 0,5 (3х - 4) < log 0,5 (х - 2) 16. log 0,5 (4 - х) ≥ log 0,5 2 - log 0,5 (х - 1)
log2 log 1/2 (x2 + 2х – 5/2) < 0 log 2 (х - 2х - 1)/(х + 2) ≤ 1
17. log 0,1 (x2 + х – 2) > log 0,1 (х + 3) 18. 2 lg (х + 2) > lg (х + 4)
log 2 (8 - х2) < 1 log 1/3 х + log 3 х + log 9 х ≤ -1
19. lg х + lg (х – 3) < 1 20. lg (2х + 3) < lg (х - 1)
log 5 х2 + log25 х ≥ 1 + log 5 7 log2х - log 2 х ≤ 6
21. log 2 (x2 - х – 12) < 3 22. log 0,3 (2х - 4) > log 0,3 (х + 1)
log 0,5 (4х - 7) < log 0,5 (х + 2) lg2 х + 2 lg х > 3
23. lg х + lg (х – 1) < lg 6 24. log 2 (x2 - х – 4) < 3
log 0,5 х > log 2 (3 - 2х) log 1/3 (х –2) + log 1/3 (12 – х) ≥ -2
25. log 1/6 (10 - х) + log 1/6 (х - 3) ≥ -1 26. 2 log 2 х < log 2 (х + 3)
lg (x2 - х + 8) ≥ 1 log 0,5 (4 - х) ≥ log 0,5 2 - log 0,5 (х - 1)
27. lg (x2 + х - 6) - lg (х + 3) ≤ lg 3 28. ln (x2 + 3х - 10) - ln (х - 2) ≥ ln 4
lg2 х ≥ lg х +2 log20,5 х ≥ 5 log 0,5 х
29.log 2 (2х - 1)/(2 - х) < 1 30.log 3 (3х - 5)/(х + 1) ≤ 1
lg (х – 5) - lg 2 ≥ 1/2 lg (3х – 20) lg (х + 5) + lg (х – 5) < 2
Задание № 17. Найти производные степенных функций в точке.
Пример 1: у = 5х – 3√х + 2 , в точке х0 = 1
Решение:
у′ = 5 – 3 ½ х-½
у′(1) = 5 – 3/2 1-½ = 3,5
Варианты:
1. а) у = 5х5 – 4х -4 + 20 х0 = -2 2. а) у = 6х3 – 2х -2 + 3√х х0 = 1
б) у = 6/√х – 1/х2 + 3√х х0 = 4 б) у = х/4 – 2х + 1/3√х х0 = 4
3. а) у = 1/3 х7 – 5х -3 + 6 х0 = 1 4. а) у = 3х/2 + 4х3 – 2х -2 + 100 х0 = -2
б) у = 2√х – 3/х3 + 5х х0 = 4 б) у = 6√х – 2 + 1/√х - х х0 = 4
5. а) у = 2х3 – х/9 + 3х х0 = 5 6. а) у = 2х5 – 3х -2 + 25 х0 = -1
б) у = 6/√х – 2√х + х -2 х0 = 4 б) у = 6/√х - 3√х – 1/х + 2 х0 = 1
7. а) у = 6х7 – 2х -4 + 500 х0 = -2 8. а) у = 8х2 – 3√х + 1/х 3 - 2 х0 = 1
б) у = √х – 1/√х + 1/х 2 - 3 х0 = 1 б) у = 6х5 – 2х -3 - 1/√х + 9 х0 = 4
9. а) у = 7/5√х - 2 + 1/х х0 = 4 10. а) у = 2/9 х – 3 + 1/2√х х0 = 1
б) у = 2х6 – 5х -2 + √х – 2 х0 = 1 б) у = 6х3 - 2х + 1/х3 - 5 х0 = 3
11. а) у = 2х5 – 3х -4 + 1 - √х х0 = 1 12. а) у = 6/√х – 2 + 14х3 х0 = 1
б) у = 1/х + 1/√х - 2/х 2 + 1 х0 = 4 б) у = 5х6 – 9х -2 + 1/х х0 = -1
13. а) у = 8√х – 2х4 - 1/х х0 = 4 14. а) у = 2√х - 5 + 6/х х0 = 4
б) у = 1/√х + 3х2 – 900 х0 = 9 б) у = 9х5 - 6х -3 + 51 х0 = 2
15. а) у = 7х8 – 9х -5 + х - 10 х0 = -1 16. а) у = 8/х2 – 4 + 1/√х – 2х х0 = 1
б) у = 6/√х – 1/х + 3√х х0 = 1 б) у = 5√х - 9 + 6/х х0 = 4
17. а) у = 2/х – х5 + 1/√х - 3 х0 = 1 18. а) у = 1/√х – х2 + 1/9 х – 5 х0 = 1
б) у = 7х5 – 9х -2 + 6 х0 = 3 б) у = 6х2 - х/9 + 1/√х - 2 х0 = 4
19. а) у = 2/х3 – 4х + 1 - √х х0 = 9 20. а) у = 6/ х - √х + 3х4 - 1 х0 = 1
б) у = 6х - ½ х3 - 1/√х + 100 х0 = 1 б) у = 5х6 – 9х + 1/х2 – 3х х0 = 2
21. а) у = 3х/2 – 4х5 – 1/√х - 1 х0 = 1 22. а) у = 2х -3 + 1/ х + √х - 3 х0 = 1
б) у = 5х3 - 4х -2 - √х - 100 х0 = 4 б) у = х/8 - 1/√х + 3 х0 = 4
23. а) у = 6х3 – 2х + 5/√х - 3 х0 = 4 24. а) у = 6х 3 – 2х -2 + √х - 1 х0 = 1
б) у = 3х3 - 2 + х/5 + √х х0 = 4 б) у = 5х4 – 2х + 2/х + х/2 х0 = 3
25. а) у = 5/9 х5 – √х/4 + 100 х0 = 4 26. а) у = 7/√х – 3 + 5х 2 х0 = 16
б) у = 6√х – 2 + 9/√х + х3 х0 = 1 б) у = 2х7 – 9х -7 + х - 30 х0 = 1
27. а) у = 1/3 х2 – 6х3 + 5 - √х х0 = 9 28. а) у = 9х -5 + х6 – 1/√х + 2 х0 = 1
б) у = 2/7х5 - 4х -3 + 1 х0 = 0 б) у = 3х3 – 2х -2 + 5√х х0 = 4
29. а) у = 7х5 + 2/√х – 3х2 + 11 х0 = 9 30. а) у = 7х5 - ¼ х -2 + 3√х – 9 х0 = 1
б) у = 2х -4 + 1/х2 – 2х – 5 х0 = 1 б) у = -2/х – 3х 5 - 1/√х + 10 х0 = 4
Задание № 18. Найти производные произведения и частного двух степенных функций.
(UV)′ = U′V + UV′ | U ′ | = | U′V - UV′ | |
V | V2 |
Пример 1: у = (3 - 2√х) • (5/√х - 1)
Решение:
у′ = (3 - 2√х)′ • (5/√х - 1) + (3 - 2√х) • (5/√х - 1)′ = -2 ½ х-½ • (5/√х - 1) +
+ (3 - 2√х) •5 (-½) х-3/2 = - х-½ (5/√х - 1) - 5/2 х-3/2 • (3 - 2√х)
Пример 2: у = | 3 - 2х |
6 – 1/х2 |
Решение:
(3 - 2х)′ • (6 – 1/х2) - (3 - 2х) • (6 – 1/х2)′ | -2 (6 – 1/х2) - (3 - 2х) (-1) (-2)х-3 | = | |
(6 – 1/х2)2 | (6 – 1/х2)2 |
= | -2 (6 – 1/х2) – 2х-3 (3 - 2х) |
(6 – 1/х2)2 |
Варианты:
1. а) у = 3√х – 2х7 - 9 в) у = (6 + √х) : (1/х – х5)
б) у = (1/х - 8√х) • (2 – х)
2. а) у = 2√х – 3 + 9/х в) у = (2 – х3) : (3х + 4/7√х)
б) у = (8х - 5х -3) • (6 – х2)
3. а) у = 3√х – 5/6√х - х -5 в) у = (2 + 3√х) : (-1 - 6/х)
б) у = (1/х - 2√х) • (5 – 6/х3)
4. а) у = 6√х – 1/2√х + 3 в) у = (8х5 - 3) : (9х2 + 4√х)
б) у = (5 - 7√х) • (2 + х5)
5. а) у = 1/2√х - 3 + 9х -2 в) у = (8х -3 – 2х2) : (4√х - 3)
б) у = (8√х - 3) • (х5 + 2х -3)
6. а) у = 6х - 2√х + 3 + 1/√х в) у = (6 – х7) : (2 – 3х5)
б) у = (8х - 1/9х) • (√х - 3)
7. а) у = 5х – 2/7х + 3х 5 в) у = (5х2 - √х) : (6 + 1/х)
б) у = (8х - 1/9√х) • (5х6 - 3)
8. а) у = 5х7 – 9х + 1/х в) у = (6х -3 + х2) : (2х - 1/х)
б) у = (7х5 - 1/√х) • (√х - 3)
9. а) у = 8х9 – 3х3 + 1/х3 в) у = (8х 5 - 3х -5) : (2х - √х)
б) у = (6 - 3х -6) • (√х + 1/2√х)
10. а) у = 12х3 – 1/х3 + 3 в) у = (6х 7 - 3) : (2х - 3√х)
б) у = (√х + 1/√х) • (х – 1/х)
11. а) у = 12х3 + 4/х3 + 3х - 2 в) у = (8х 3 - 3) : (12х2 - 1/х2)
б) у = (2√х + 1/х2) • (3х - √х)
12. а) у = 8х3 – 3х -2 + 1/х в) у = (5√х - 3) : (2х2 - 3х3)
б) у = (8х –2 + √х) • (4/√х - 3)
13. а) у = 9х2 – 3х -4 + 1/х - 2 в) у = (9х 5 - 4) : (12 - 3х)
б) у = (5х 6 - 3) • (8х - 1/х)
14. а) у = 5х5 – 2х4 + 1/х3 в) у = (4х 3 - 2) : (1/√х - 5/3х)
б) у = (12 - 6х) • (1/√х + 3√х)
15. а) у = 8х – 1/√х – 3х/4 в) у = (3х 2 - 1/√х) : (2х7 – 4х/3)
б) у = (9х2 - 1/х3) • (√х - 1)
16. а) у = 6х7 – 2х -3 + 1/√х – 3 в) у = (2х 3 - 1) : (3 + х)
б) у = 6х5 • (3х - 5)
17. а) у = 8х3 – 3/х2 + 1 - √х в) у = (5 - 2х) : (7 + 3х)
б) у = (6 – 2х) • (9х2 - 3)
18. а) у = 8/х3 – 2х2 + 3 - √х в) у = (6х7 - 2) : (9х + 3)
б) у = (3х3 – х) • (х - 1)
19. а) у = 5х/4 - 3√х + 2х6 в) у = (5х2 - 9) : (3х + 6)
б) у = (8х - 5) • (3х4 - 1)
20. а) у = 8х2 – 9√х + 1/х - 3 в) у = (8 - х 2) : (3 + х)
б) у = (1/х + 3) • (2√х - 1)
21. а) у = 8√х - 1/х3 + 3√х - 1 в) у = (√х – 1) : (2х – 1/х)
б) у = (5х3 - 3) • (6 + 2х)
22. а) у = 7х6 - 3х -3 + 1 в) у = (2х 3 - 1) : (х -2 + 4х)
б) у = (√х - 4/х) • (6х5 - 3)
23. а) у = 6х5 – 3х + √х – 1/х в) у = (9х -3 - 1) : (2х + √х)
б) у = (5х4 - 3) • (2/х - 1)
24. а) у = 6√х – 1/х + 3х5 в) у = (6х - 10/х) : (2х7)
б) у = (8х - 4/х) • (2х/3 + 1)
25. а) у = 5х3 – 1/х3 - 2х в) у = (6х - 1/х) : (√х)
б) у = (6√х - 1/7 х5) • (х - 3)
26. а) у = 8х/9 – 3х5 – 4х -4 + 2 в) у = (3х - 2) : (8√х + 3)
б) у = (8√х - 1/√х) • (3х2 – 5)
27. а) у = -5х6 + 3х3 - 2/х + √х в) у = (8х 2 - 3) : (2х – 1/х)
б) у = (7х - 5х/3) • (6√х - 1/√х)
28. а) у = 1/х - √х + 3 в) у = (5х 9 - 3) : (6х - (√х)
б) у = (5х3 - 3/2√х) • (1 - х)
29. а) у = 1/8х3 - 2х4 + 5 в) у = (6х 5 - 3) : (2 + 7/√х)
б) у = (6 – х4) • (1/√х – ¾ х)
30. а) у = 1/9 х3 – 4х + 1/х в) у = (8 - 3х 5) : (6х + 1/2√х)
б) у = (8 - 1/8 х) • (9х3 - √х)
Задание № 19. Найти производные сложных функций.
Пример 1: у = 3(3- 2√х + 1/х)5
Решение:
у′ = 3 5 (3 - 2√х + 1/х)4 • (0 – 2 ½ х-½ + 1 (-1)х-2) =
= 15 (3 - 2√х + 1/х)4 • ( – х-½ -х-2)
Пример 2: у = 7√2 – 5/х + 6х3
Решение:
у′ = 7 ½ (2 – 5/х + 6х3)-½ • (– 5 (-1)х-2 + 6 3 х2) =
= 7/2 (2 – 5/х 6х3)-½ • ( 5х-2 + 18х2)
Варианты:
1.у = (8х2 – 1/х)5 2. у = (8х2 – 4х2 + √х)4
у = √5х3 - √х у = √2/х – 5х + 4
3.у = (8х – 3 + 2√х/5)3 4. у = (5х6 – 1/х3)-2
у = √3х -2 + 5х - 1 у = √5х – 2х2
5.у = 1 : (2х - 4х 9 + 1/х)3 6. у = 1 : (2√х – х5)4
у = √6х - 2√х/3 у = √-х + 1/2√х
7.у = (8х -2 + 2/√х)4 8. у = (7х -3 + √х/2)-4
у = √4х 3 - 2/3√х у = √6х –2 + 3√х/5
9.у = (5 - 2х 3 + 1/х - √х)3 10. у = (- 3/√х + 2х - 5/х)5
у = √7 - 4/√х + х2 у = √3х –8 - 1/х3
11.у = (√х 5 + 10/√х – 1/х) -7 12. у = (- 4√х - 1/2√х – 3х -6)5
у = √7х5 - 1/х5 у = √7х 2 - 3х + 1
13.у = (8х 2 - 4/5х3 + 1)-3 14. у = (7х -6 + 1/5х + √х) -2
у = √1/4√х + 2/х3 - 1 у = √-1/7х + 4 + 5х6
15.у = (2/7√х – 5х/3 - 2) 7 16. у = (2 - √х + 5/√х – 1) -2
у = √3/5х4 – 1/√х + 1 у = √2х -3 + 1/3х - 1
17.у = (-11 + 18√х/7 + х -4)3 18. у = (5х -6 – 2√х/3 + х4) 4
у = √2х -7 + 1/3√х + 4 у = √5х -3 + 4√х - 1
19.у = (16х -3 + 4√х – 1/7х) 5 20. у = (- 5х -3 - 4√х/7 – 2х 6)
у = √8х -3 + 5√х - 1 у = √8х 7 – 2 + 0/х3
21.у = (13х - 2√х/7 – 1/х 3) -4 22. у = (11х -4 + 1/√х) -10
у = √½х2 – 4х/7 у = √3х - 14 -3 + 1/х
23.у = (-х7 + 4х -3 – 1/х 4 + 5) -2 24. у = (15х -6 + 3х 5 - 1/√х) 7
у = √-х – 3х/11 + 8√х/3 у = √13х 3 – 4х + 1/9х
25.у = (3х -3 – 10х + 1/√х) -1 26. у = (4х - 1/х 4 + √х/3) -2
у = √2х6 – 4х -3 + 1/7√х у = √7х 2 - 4х -3 + 2
27.у = (5х 3 – 4х/7 - √х)5 28. у = (5х 4 - 3/2√х + 1/х2)4
у = √12х - 1/3√х + 1/х3 у = √8х – 1/х 2 - √х
29.у = (5 - 1/4√х + 2х 6) -6 30. у = (15√х - 8/х + х -3) 5
у = √8х – 3х -2 + 1/√х у = √6х -2 + √х - 4/√х
Задание № 20. Найти производные тригонометрических функций.
Пример 1: у = 5sin26x
Решение:
у′ = 5 2sin6x • cos6x • 6 = 60 sin6x • cos6x =
= 30 sin12x
Пример 2: у = 5tg4 2/x
Решение:
у′ = 5 4tg3 2/x • 1/cos2 2/x • 2 (-1) x-2 =
= (- 40 tg3 2/x)/cos2 2/x • x2
Варианты:
1. a) у = 8tg5 6/3-x 2. y = 8sin 2x – 5/x 3. y = 8sin4 5-x
b) у = 5cos2 x/3 . y = 5cos2 (3x – 1) y = 2cos3 (sin 4x)
c) у = 2tg (ctg x) . y = 7ctg (cos 2x) y = 5tg (ctg 2x)
d) y = 7cos (tg2 3x) y = tg5 (6 – 3/x) y = 8cos (ctg2(3/x))
4. a) у = 8ctg5 (6-x) 5. y = 8tg5 (6-3x) 6. y = sin3 2x - 5
b) у = 3sin2 (cos 1/x) . y = 2cos (sin 3/x) y = 2tg (cos 8/x)
c) у = 5tg5 2-x . y = 2ctg (cos(sin 3x)) y = 5sin(cos2 6/x)
d) y = cos (tg(ctg 3x)) y = 6 sin3 2-x y = ctg5 (3-2x/x-1)
7. a) у = 2cos2 5/x 8. y = 8cos3 3x – 5/x 9. y = 3cos2 6-x
b) у = 6ctg 2x + 5x . y = 2tg (ctg 2/x) y = 5sin (ctg 2/x)
c) у = sin (tg 2/x) . y = 2sin2 (cos 6/x3) y = 8tg3 (sin x)
d) y = ctg5 (sin 3x) y = cos (2 – 5x + 6/x) y = cos3 6x-5/2x
10. a) у = 8sin2 3 - x 11. y = 8cos3 2 – x 12. y = sin3 (tg 2x)
b) у = 5cos(sin 3x) . y = 5ctg (tg x) y = cos (ctg 6-x)
c) у = 6ctg5 (tg 2/x) . y = sin3 (cos(5-6x)) y = 5ctg (cos2 3x)
d) y = cos(sin 2-x/6x+3) y = 2tg (ctg(sin 1/x)) y = tg2 (cos3 x/9)
13. a) у = 2x8 –3cos23x 14. y = 2sin3 2 – x 15. y = 3cos4 6-x
b) у = cos3 6x . y = 5cos (tg3 6/x) y = 5sin (cos 8/3-x)
c) у = sin(ctg2 2/x) . y = cos(tg (sin 2x)) y = 4tg2 (ctg2 2x5)
d) y = sin(tg(3-2x)3) y = 8sin 5-6x- 3/x)) y = cos (tg(sin 3x))
16. a) у = sin3 (cos 2x) 17. y = 6cos4 5 – x 18. y = 8tg2 3-x
b) у = 5cos(ctg 3x) . y = 2sin (2-5x2 +x) y = 5cos (sin x/3)
c) у = 2tg5 6-x 2 . y = 5sin2 (cos3x) y = 8ctg3(2-5x)
d) y = sin (8 - 1/x+x2)2 y = tg2 (ctg3 6/x) y = 7sin4 2/3-x
19. a) у = 2cos4 (6-3x) 20. y = 2sin2 (8x-3) 21. y = sin3 (tg 2x)
b) у = 2tg2 (cos 5x) . y = 5cos (sin x/4) y = 2cos (sin 3/x)
c) у = 7sin (cos 8x2) . y = 9ctg3 6-x у = sin (tg 2/x)
d) y = 2tg (ctg 3/x) y = tg2 (8-5x) y = 8sin 5-6x- 3/x))
22. a) у = 8sin3 2-7x 23. y = 2tg2 (6x-5/x) 24. y = cos3 (6x-x)
b) у = 3tg2 (6-5x) . y = 8sin4 (2x 2-5) y = sin2 (3/x-5x)
c) у = sin (cos 8x) . y = 6ctg 3x-5 у = 5tg (ctg 3x)
d) y = 2tg2 (ctg x3) y = sin (cos 5x) y = ctg2 (cos 5x7)
25. a) y = 8sin4 5-x 26. y = 4tg2 (cos 1/x) 27. y = 5ctg3 6x
b) y = 3cos (tg 5/x) . y = 3sin (cos 2x 2) y = 8sin2 (cos3x)
c) y = 5sin(cos2 6/x) . y = 7ctg (6x+x/2-x) у = tg5 (x- 6/x)
d) y = 7sin4 2/3-x y = cos2 (sin x) y = cos2 (tg x/5)
28. a) у = 2/7 cos5 6x 29. y = 2sin4 5/x3 30. y = 2sin3 x
b) у = 5tg (cos 3/2x) . y = 3cos2 8x/7 y = 3cos (tg 5/x)
c) у = ctg (sin 2-5x/x) . y = tg (ctg2 x) у = tg (ctg 5x)
d) y = sin4 (8x/7 - x2) y = cos (sin(tg x2)) y = 8cos2 (tg 5-x/x2)
Задание № 21. Найти производные логарифмических и показательных функций.
Пример 1: у =
Решение:
у′ =
=
• (1/ 2/x 2 (-1) x-2) | = | (3 ln2 23x + 1/ 2ln3 x)•(ln 2/x + 1) - (23х + log 3√x) (-1/x) |
(ln 2/x + 1)2 |
Пример 2: у = (7√x – 1) • (lg3/x + 2)
Решение:
у′ = (7√x – 1)′ •(lg3/x + 2) + (7√x – 1)•(lg3/x + 2)′ = (7√x ln7 ½ x-½)•(lg3/x + 2) +
+ (7√x – 1)•(1/ 3/xln10 • 3 (-1) x-2) =
= | (7√x ln7)•(lg3/x + 2) | - | (7√x – 1) | |
2√x | x ln10 |
Варианты:
1. a) y = 7 – log 3(2x2 – 3) b) y = ex – 5x + ln(x3 - x)
c) (log2x5 + 1)/ (2 3x)
2. a) y = log 45x/2 + 3 b) y = 8x – lnx+1/3 + e3x
c) 2x / (7 – ln(5 + x3))
3. a) y = log 4 8x5 – e2x b) y = 3 - 5x + ln2/x
c) 7x / (1 + log4 (2x))
4. a) y = 2x - 3log 3(x/3) b) y = lnx-3/5 + e4x
c) (log2 x/3) / 2x / (7 – lg 7x)
5. a) y = 2 log 4x/7 + ln x-2/3 b) y = e-4x + 53x-1
c) ex-1 / (lg2x + 3)
6. a) y = 5 log 78x/3 – ln3x+2/5 b) y = 6 - e5x+2 – 23x
c) 5x-5 / (1 + lg(7x2))
7. a) y = 83x – 2 e5x + 3 b) y = log 4 x9 – 2ln7x
c) lg8x5 / (3 + 7 -x)
8. a) y = 1/2 lg(3x - 2) + log2 (9 + x2) b) y = 7 2x – 4 e6x
c) (lg5x – ln3x) / (2 – 2x)
9. a) y = ln(2x - 3) + log6 3x4 b) y = e2x-1 + 6x
c) (lg(3x + 2)) / (5x-1 - 1)
10. a) y = 2 log3 (7x - 3) + lg3x5 b) y = 72x – e5x
c) (ln(7x – 3)) / (5x - 1)
11. a) y = 6 log3 (x2 –1/x) + lg5x b) y = e7-3x + 102x
c) (ln(5x – 1)) / (6x - 3)
12. a) y = ln(9x2 - 3) + log4 x5 b) y = e3x - 89x
c) (2 e3x) / (log5x – lgx)
13. a) y = 87-x + e3x b) y = 5 log3 (2x3 - 1) + lgx5
c) (9x - 1) / (ln(7x2))
14. a) y = 5 log7 2x5 – lnx5 b) y = e-3x + 29x
c) (lg(9x3 – 1)) / (1 - e2x)
15. a) y = 7e5x - 38x b) y = -log2 (3x3 - 2) + lg(2x)
c) (9 – ln(10x2)) / e10x
16. a) y = 9 log7 9x3 – 3 ln(9x – 1/x) b) y = 7 e3x + 2 79x
c) (lg(5x6 – 2)) / (1 + 2x)
17. a) y = 1/6 log3 (x2 – 3) + ln9x b) y = e-3x + 29x
c) (lg(3x – 2)) / (1 + 2x )
18. a) y = -2e3x - 56x b) y = -log7 x/4 – 3lg(x/5 – 1)
c) (ln (7x/3)) / (1 + 6x)
19. a) y = 2 33x – 4 e5x b) y = 6 log7 x5 – lg x/4
c) (ln(7x5 – 1)) / (2 34x)
20. a) y = -6 log6 7x6 – 2lnx/3 b) y = 2 e5x - 3 - 5x
c) (lg(5x6 – 2)) / (1 + 2x)
21. a) y = 3/5log6 (5x/2 + 1) b) y = e2x - 1 + 3 25x
c) (ln(2 – x)) / (3 + lg(x – 1))
22. a) y = -1/9 log3 (2x/9 + 1) b) y = e5x - 1 + 7x
c) (ln(9x2 – 1)) / (1 + lg(3x – 1))
23. a) y = -3/2 log7 x9 – e5x 3) b) y = 2 lnx3 - lgx2
c) 53x / (2 – log2x3 )
24. a) y = 3ex – 2 5x – lnx2 b) y = 2 log2 (7x) – 3l
c) lg3x3 / (2 - ex)
25. a) y = -e -x + ln(x -x) b) y = 2log3(-x) + lg(3x3)
c) (5 – lg3x) / (1 + 53x)
26. a) y = 7 ln2x – 2 lg7x b) y = 5 ex - 2 103x
c) (log7 (9x3 – 1)) / (1 + lnx)
27. a) y = 5 log3 x9 – ln(x9 – 1) b) y = 85x - 3 e-x
c) (1 - lgx) / (1 + lnx2)
28. a) y = 2 log3 x5 + 7 lnx -1 ) b) y = e -x + 5 -2x
c) (1/7 lg3x – 2) / 5x
29. a) y = -7 log3 x2 – 2 ln(x – 2)2 b) y = 5x - e -2x
c) (lg(x + 3)3) / (1 - ex)
30. a) y = 5 log3 x3 – e2x b) y = -7 ln(x + 3) - 58x
c) (-lg(3x – 2)) / (1 + e -x)
Задание № 22. Найти производные функций.
Пример : у = 7sin25x • ln8-x/√x
Решение:
у′ = (7sin25x)′ • (ln 8-x/√x) + (7sin25x) • (ln 8-x/√x)′ =
= 7 2sin5x cos5x 5 • ln 8-x/√x + 7sin25x • 8-x/√x •
= | 35sin10x • ln 8-x/√x | + | 7sin25x • (-√x – 8-x/ 2√x) |
(8-x) • √x |
Варианты:
1. Найдите производные следующих функций:
a) y = y = tg (cos7x) 5/x – 1/x2 b) y = y = 6cos2 (tg x/2) ∙ ln 7x-1/x
c) y = y = (tg2 (5x – 3))/(ln(7x2 – 3)) d) y = y = (5 + 3x3 – 2x-4 - х) –3
2. Найдите производные следующих функций:
a) y = 8tgx – 3ctg x/2 + 4x b) y = (6 – x6 + 5x3) / (ln 7x/2)
c) y = (-7cosx + 1/x – 2) –4 d) y = (sin23x – 1) 5-x4
3. Найдите производные следующих функций:
a) y = 7sin2 3x – 2/x2 – ln 5x/3 b) y = (ctg2 x/2 - 1) / (32x - 1)
c) y = (5cos6x - 3/(3x – 2) + 5) –6 d) y = ln (3x – 1/2) 5x – sin4x
4. Найдите производные следующих функций:
a) y = 8 – tg2 x + x – 4/x3 b) y = (8 – tgx) / (1 - ln (x3/3))
c) y = e –5x (6 – 3x + 2x2) d) y = (7 - 8sinx/2 + 1/x) -4
5. Найдите производные следующих функций:
a) y = 8 – 3sin34x + 5/x b) y = (2 - 35x-6) / (sin23x - 1)
c) y = ln 3x - 4/2 sin2(5x – 6) d) y = (-7 – 2 ln3x/2 + 5x - 6) -3
6. Найдите производные следующих функций:
a) y = 5 – cosx + 1/x - 7x b) y = (2 ln x-3/x 2) / (1 + e –3x )
c) y = (8 – ex/4 - x + 5 + sin x/2)6 d) y = ln(3x-4/2+ x) (x - 6) 2
7. Найдите производные следующих функций:
a) y = 5cos3 (tgx3) 5 – x3 b) y = (8 ln x/3) / (1 + e x/3 )
c) y = 1/x + 4x –3x9 - x d) y = (8x - 3/x + sinx) -3
8. Найдите производные следующих функций:
a) y = 8tg2 x/2 · ln 7x/2 b) y = √ 5x-3 + 4√x – 2e-2x
c) y = (cos(-x/3))/(1 + ln x-3/x) d) y = (√x/4 – 2x + ctgx)5
9.Найдите производные следующих функций.
a) y = 8tg(x-2/2) · ln(x+3/2) b) у = √ 5- tgx + 6/x2
c) y = (cos2(tg(sinx)))/(√x - 4√x) d) y = (5 + 3x3 – 2x-4 - х) –3
10. Найдите производные следующих функций:
a) y = 7x2 · ln x-5/x2 b) y = √ 3x2 – 4 + e5x – ln x/2
c) y = (cos(sin3x))/(1 + √x – 5) d) y = (6 + 1/x5 - 4√x)-6
11. Найдите производные следующих функций:
a) y = 7cos2(tgx) ∙ ln x-4/-x b) y = √ 7x2 – 3 + 1/x3 + 6 ∙ e -x
c) y = (5cos2x – 1)/(1 – ex) d) y = (2/√x - √x + 1 – 4x-6)6
12. Найдите производные следующих функций:
a) y = (7√8 – x + 1 - 2ln x/2)3 b) y = 6cos2 (tg x/2) ∙ ln 7x-1/x
c) y = (√5 – 1/√x + √x)/(e -6x ) d) y = 5 - 4/x + 2√x/3 – x 8
13. Найдите производные следующих функций.
a) y = √ 8 – 4/x + √x – cos x/2 b) y = (5sin x/3 + 1)/(2 + ln 5x/(1+x))
c) y = (1 – 1/√x + 7√x + tg2x)4 d) y = (e –6x – 1) ∙ (x + 3)
14. Найдите производные следующих функций.
a) y = √ 6 – 1/√x + 6/5x – cos x/2 b) y = (8sin (x – 3))/(21ln x+3/(2-x))
c) y = 2e –5x ∙ tg2 (x – 3) d) y = (5– 1/5√x + 6x -6 - 2√x)4
15. Найдите производные следующих функций.
a) y = 7x2 · ln x-5/x2 b) y = cos2 (tg7x) - 5x3 + 1
c) y = (e –3x )/ 2 – 1/x3 d) y = ln(3x-4/2+ x) (x - 6) 2
16. Найдите производные следующих функций.
a) y = √ 6 – tg2(tgx) – 5x b) y = 8 ln 5-x/x ∙ e –6x
c) y = (8 – √x + 3/2√x + x -6)3 d) y = (-sin 8x-1/3/ (2 ∙ tg x/2)
17. Найдите производные следующих функций.
a) y = √ 6 – 2/√x – 3√x + sinx b) y = -2cos2 (sinх) - √5 -x/2
c) y = (8 ln 7-5x/3x)/ (e -5x) d) y = (6 + x – 2/x – cos x/3)4
18.Найдите производные следующих функций.
a) y = 8 cos3 (tgx) · √5 – x b) y = √ 1/x + 2√x - 1/x3 – 1
c) y = (6 + ln(x/2-x2))/(sin x/2) d) y = (8 - 2√5-x + 1/√x)4
19.Найдите производные следующих функций.
a) y = √6 + 1/2√x – 1/7x + 5√x/3 b) y = (2-tg (sin (cos x/2))-7e –x)3
c) y = (2 ln(7x/2+x))/(e5x - 1) d) y = -2sin 7x/2 · √6 + x3
20. Найдите производные следующих функций.
a) y = 7sin2 (tg5x) · √ 1/2 – 3x –5 b) y = (-ln 2-x/x)/ cos7x
c) y = √ 1 – 3/x3 – 2/√x + 7√x d) y = (8sin2 (cosx) - 3/√x + 2)3
21. Найдите производные следующих функций.
a) y = (1/8 tg2 (sin x/2) +·1/√x –1) 5 b) y = (6 - ln 7/2x)/ 1 + 5cos x/3
c) y = √ 5 – 1/x + 1/x2 +3/x3 d) y = cos(2x-1/3) e -6x
22.Найдите производные следующих функций.
a) y = 8 ctg (tg5x) – 3 lnx4 b) y = 5 – 3x + 1/x2/(sin2/(5x3)
c) y = (8 ctgx + 1/x – 2 log3 x/2)5 d) y = 5e –3x tg (6x – 3)
23.Найдите производные следующих функций.
a) y = 2 cos (x2 -1) ln (5-x/3) b) y = 8 sin (tgx2) - 5 – x2
c) y = (e –3x )/ 2 – 1/x3 d) y = (6cos2(x–1) + 1/x – ln(7x–1))3
24.Найдите производные следующих функций.
a) y = tg (cos7x) 5/x – 1/x2 b) y = (ln 3x3 - sin5x)/6x - 2
c) y = (3 – 4ctg25x – ln x3)4 d) y = 8x – tg (sin (cos7x))
25.Найдите производные следующих функций.
a) y = e3x sin2 (5x – 3) b) y = 2 tg7x - lnx3
c) y = 5 – 1/x + x3 / (cos(tg3x)) d) y = (1/7x - 5x +1)4
26.Найдите производные следующих функций.
a) y = 8 cos3 5x ln (6x – 3) b) y = 5 tg7x - 3 - 2x
c) y = (tg(cos(sinx)))/(1- 5 – 1/x) d) y = (5 + 3cos3x - 2x – 1/x)4
27.Найдите производные следующих функций.
a) y = - sin2 5x - 5 – 1/x b) y = 6 cos7x - 3x
c) y = (tg2 (5x – 3))/(ln(7x2 – 3)) d) y = (tg2 (cos9x) – 2/x)3
28.Найдите производные следующих функций.
a) y = tg 9x - ln 7x - 3/2 b) y = cos2 (tg7x) - 5x3 + 1
c) y = 6sin2 /(5+ 7 – 2x) d) y = (9cos x/2 – 1/x)6
29.Найдите производные следующих функций.
a) y = sin2 3x - 5x3 – 1/x b) y = (5x – cos3x)/ ln 6x-1/2
c) y = (9 – 5/x3 + x4)7 d) y = tg (cos7x) – 3x9
30.Найдите производные следующих функций.
a) y = (8x2 - 7x – 1)/ cos3x b) y = e2x tg2(cos1/x)
c) y = (5x-3 + 1/x)6 d) y = 7 - sin2 (x+3) – ln 9/3x+1
Задание № 23. Определить промежутки монотонности функций.
Монотонность функции – это возрастание и убывание функции:
Пример :Определить промежутки монотонности функции:
у = х3 – 2х2 – 5х + 3
- Найдем область определения функции:
D(у) = R
- Находим производную функции и приравниваем ее к нулю:
у′ = 3х2 – 4х – 5 у′ =0
3х2 – 4х – 5 = 0
3)Решаем полученное уравнение: 4) Выставляем полученные значения
D = 16 + 20 • 3 = 76 икса на ось х:
х1 ≈ (4-8,4)/6 ≈ -4,4/6 ≈ - 0,8 у1 + - +
х2 (4+8,4)/6 = 12,4/6 ≈ 2,6 у -0,8 2,6
Определяем знак производной на каждом из участков , для этого любое число с участка подставляем в производную.
Если производная на участке имеет знак «+», то функция возрастает, а если «-», то функция убывает.
Ответ: у↑ при х ( -∞; -0,8) U ( 2,6; + ∞)
у↓ при х (- 0,8; 2,6 )
Варианты:
- a) y = (x-3) (x-2) b) y = x4 –8x2 –9
c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5
- a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = x5 –x3 + x + 2
c) y = 8x3 – 4x2 + 3
- a) y = (x2 +x) (x-2) b) y = 1/5 x5 –4x2 c) y = 6x3 – 2x –41
- a) y = x5 – x2 + 8 b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 2x3 + x – 4
- a) y = 3x2 – 6x + 5 b) y = 3x4 + 4x3 + 1 c) y = 3x2 – 4x + 5
- a) y = 4x4 – 2x2 + 3 b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 c) y = 8x3 – x2 + 7x – 2
- a) y = x4 – 10x2 + 9 b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
- a) y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3 b) y = 3x3 –9x2 + 2 c) y = x3 – 4x2 + 3x + 1
- a) y = x5 – x2 + 8 b) y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4 c) y = -5x3 + 6x2 – 3
- a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = 8x3 – 4x2 + 3
- a) y = x3 – 3x + 2 b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
- a) y = x (x2 + 3x + 2) b) y = x4/4 –2x2 – 9/4 c) y = 2x3 – 4x + 7
13.a) y = 1/15 x3 – 9/20 x2 – 1/2 x b) y = x3 –3x2 + 2 c) y = 7x3 – 2x2 + 3x – 1
14.а) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = 8x3 – 4x2 + 3
15.а) y = (x2 +x) (x-2) b) y = 1/5 x5 –4x2 c) y = 6x3 – 2x –41
16. а)y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3 b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30 c) y = 6x3 – 2x2 + x – 5
17.a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
18.a) y = x3 – 4x2 – 3x + 12 b) y = 0,5x4 – 4x2 c) y = 8x2 – 3x - 2
19.a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
20.a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = x5 - x3 +x + 2 c) y = 8x3 – 4x + 3
21.a) y = 3x2 – 6x + 5 b) y = 3x4 + 4x3 + 1 c) y = - 3x2 – 4x + 5
22.a) y = x5 – x2 + 8 b) y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4 c) y = -5x3 + 6x2 – 3
23.a) y = 1/5 x5 –4x2 b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 2x3 + x – 4
24.a) y = (x-3) (x-2) b) y = x4 –8x2 –9 c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5
25.a) y = x4 – 10x2 + 9 b) y = x3 – 3x2 + x + 5 c) y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
26.a) y = 3x4 – 4x3 b) y = x2 (2x – 3) – 12 (3x – 2) c) y = 5x3 - 3x2 + x – 1
27.a) y = 4x4 – 2x2 + 3 b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 c) y = 8x3 – x2 + 7x – 2
28.a) y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3 b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30 c) y = 6x3 – 2x2 + x – 5
29.a) y = x (x2 + 3x + 2) b) y = x4/4 –2x2 – 9/4 c) y = 2x3 – 4x + 7
30.a) y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7 b) y = 2x3 – 9x2 + 12x c) y = x2 – 5x + 6
Задание № 24. Найти точки экстремума функций.
Экстремумом функции называется значение функции в точках максимума и минимума.
Пример: y = x3 – 2x2 + x – 5
Д (y) = R
y1 = 3x2 – 4x + 1 y1 + - +
y1 = 0 y 1/3 1
3x2 – 4x + 1 = 0
Д = 4 x1 = 1/3 x2 = 1
Если производная при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то в этой точке максимум, а если производная меняет знак с «-» на «+», то эта точка минимума функции.
X max = 1/3 X min = 1
Находим экстремумы:
y max = (1/3)3 - 2(1/3)2 + 1/3 – 5 = 1/27 - 2/9 + 1/3 – 5 = 4/27 – 5 = 4 23/27
y min = 13 – 2 · 12 + 1 – 5 = -5
Варианты:
1. a) y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
b) y = 3x3 –9x2 + 2 c) y = x3 – 4x2 + 3x + 1
2. а) y = (x2 +x) (x-2)
b) y = 1/5 x5 –4x2 c) y = 6x3 – 2x –41
3. a) y = x3 – 3x + 2
b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
4. a) y = (x-3) (x-2)
b) y = x4 –8x2 –9 c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5
5. a) y = x (x2 + 3x + 2)
b) y = x4/4 –2x2 – 9/4 c) y = 2x3 – 4x + 7
6. а) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = 8x3 – 4x2 + 3
7. a) y = x3 – 4x2 – 3x + 12
b) y = 0,5x4 – 4x2 c) y = 8x2 – 3x - 2
8. a) y = 1/5 x5 –4x2
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 2x3 + x – 4
9. a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = x5 - x3 +x + 2 c) y = 8x3 – 4x + 3
10. a) y = 1/15 x3 – 9/20 x2 – 1/2 x
b) y = x3 –3x2 + 2 c) y = 7x3 – 2x2 + 3x – 1
11. a) y = 3x4 – 4x3
b) y = x2 (2x – 3) – 12 (3x – 2) c) y = 5x3 - 3x2 + x – 1
12. a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
13. a) y = 3x2 – 6x + 5
b) y = 3x4 + 4x3 + 1 c) y = 3x2 – 4x + 5
14. a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
15. a) y = (x-3) (x-2)
b) y = x4 –8x2 –9 c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5
16. a) y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30 c) y = 6x3 – 2x2 + x – 5
17. a) y = 4x4 – 2x2 + 3
b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 c) y = 8x3 – x2 + 7x – 2
18. a) y = x4 – 10x2 + 9
b) y = x3 – 3x2 + x + 5 c) y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
19. a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = 8x3 – 4x2 + 3
20. a) y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7
b) y = 2x3 – 9x2 + 12x c) y = x2 – 5x + 6
21. a) y = 1/5 x5 –4x2
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 2x3 + x – 4
22. a) y = x5 – x2 + 8
b) y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4 c) y = -5x3 + 6x2 – 3
23. а)y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30 c) y = 6x3 – 2x2 + x – 5
24. a) y = x5 – x2 + 8
b) y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4 c) y = -5x3 + 6x2 – 3
25. a) y = 4x4 – 2x2 + 3
b) y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 c) y = 8x3 – x2 + 7x – 2
26. a) y = 3x2 – 6x + 5
b) y = 3x4 + 4x3 + 1 c) y = - 3x2 – 4x + 5
27. a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = 8x3 – 4x2 + 3
28. a) y = x4 – 10x2 + 9
b) y = x5 –x3 + x + 2 c) y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
29. a) y = x (x2 + 3x + 2)
b) y = x4/4 –2x2 – 9/4 c) y = 2x3 – 4x + 7
30. a) y = x3 – 3x + 2
b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = 6x3 – 8x + 21
Задание № 25.Исследовать функцию и построить эскиз графика.
Исследование функции провести по следующей схеме:
- Область определения
- Точки пересечения с осями
- Промежутки монотонности
- Экстремумы функции
- Эскиз графика
Пример: у = 3х2 – х – 2
1) Д(у) = R
2) х = 0; у = -2
у = 0 3х2 – х – 2 = 0
Д = 25 х1 = 1 х2 = - 2/3
3) у1 = 6х – 1 у1 = 0 6х – 1 = 0 х = 1/6
у1 - +
у 1/6
у↑ при х Є (1/6; +∞)
у↓ при х Є (-∞; 1/6)
4) х min = 1/6
x min = 3(1/6)2 - 1/6 – 2 = 1/12 - 1/6 – 2 = -21/12
5) у
0
-2/3 1/6 1 х
-21/12
Варианты:
1. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
2. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 4x4 – 2x2 + 3
3. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 1/15 x3 – 9/20 x2 – 1/2 x
4. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
5. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7
6. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 1/5 x5 –4x2
7. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 3x4 – 4x3
8. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = (x2 +x) (x-2)
9. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
10. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 4x4 – 2x2 + 3
11. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x4 – 10x2 + 9
12. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
13. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = (x-3) (x-2)
14. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x (x2 + 3x + 2)
15. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = (x2 +x) (x-2)
16. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x5 – x2 + 8
17. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
18. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = (x-3) (x-2)
19. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
20. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x + 2
21. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 4x2 – 3x + 12
22. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x (x2 + 3x + 2)
23. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 3x2 – 6x + 5
24. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
25. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 1/5 x5 –4x2
26. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x4 – 10x2 + 9
27. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x4 – 4x3 – 8x2 + 3
28. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x3 – 3x2 + 2
29. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = 3x2 – 6x + 5
30. Исследовать функцию и построить эскиз графика:
y = x5 – x2 + 8
Задание № 26. Написать уравнение касательной
к графику функции в данной точке.
Уравнение касательной к графику функции в данной точки х0 имеет вид:
у – у0 = у1 (х0) · (х – х0)
Пример: Написать уравнение касательной в точке х0 = 1 к графику функции:
у = 3х2 – 5х – 1
у0 = 3 · (1)2 – 5 · 1 – 1 = -3
у1(х0) = 3 · 2х – 5 = 3 · 2 · 1 – 5 = 1
у + 3 = 1 (х – 1)
у = х – 1 – 3
у = х – 4
Варианты:
1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = 8x3 – 4x + 3
2. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 8x3 – x2 + 7x – 2
3. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = 7x3 – 2x2 + 3x – 1
4. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 =-1 y = 6x3 – 8x + 21
5. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 3 y = x2 – 5x + 6
6. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 3 y = - 2x3 + x – 4
7. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = -1 y = 5x3 - 3x2 + x – 1
8. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 6x3 – 2x –41
9. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 =-1 y = 6x3 – 8x + 21
10. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 8x3 – x2 + 7x – 2
11. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
12. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 6x3 – 2x2 + x – 5
13. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 3 y = 1/3 x3 – 2x2 –5
14. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 =-1 y = 2x3 – 4x + 7
15. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 6x3 – 2x –41
16. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = -1 y = -5x3 + 6x2 – 3
17. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = 8x3 – 4x2 + 3
18. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 3 y = 1/3 x3 – 2x2 –5
19. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = x3 – 4x2 + 3x + 1
20. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 6x3 – 8x + 21
21. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = -2 y = 8x2 – 3x - 2
22. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 =-1 y = 2x3 – 4x + 7
23. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 =-2 y = - 3x2 – 4x + 5
24. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = 8x3 – 4x2 + 3
25. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 3 y = - 2x3 + x – 4
26. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = - 7x3 + x2 – 3x – 1
27. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 1 y = 6x3 – 2x2 + x – 5
28. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = 2 y = 8x3 – 4x2 + 3
29. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = -2 y = 3x2 – 4x + 5
30. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке
x0 = -1 y = -5x3 + 6x2 – 3
Задание № 27. Найти наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
y = 5x3 – x2 – x + 1 на отрезке [-1; 1]
- Подставим концы отрезка в функцию и найдем два игрека.
y(-1) = 5(-1)3 – (-1)2 – (-1) + 1 = -5-1+1+1 = -4
y(1) = 5 · 13 – 12 – 1 + 1 = 4
- Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Решаем полученное уравнение:
y1 = 5 · 3x2 – 2x – 1 = 0
15x2 – 2x – 1 = 0
Д = 4 + 4 · 15 = 64
x1 = 2-8/30 = -1/5 x2 = 2+8/30 = 1/3
Так как полученные числа входят в отрезок [-1; 1], то им находим игреки:
y(-1/5) = 5(-1/5)3 - (-1/5)2 - (-1/5) + 1 = 1 23/25
y(1/3) = 5(1/3)3 - (1/3)2 - (1/3) + 1 = 20/27
Из всех полученных игреков выбираем самый большой и самый маленький.
Ответ: у наиб. = у(1) = 4 у наим. = у(-1) = -4
[-1;1] [-1;1]
Варианты:
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x5 –x3 + x + 2
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;2] y = 2x3 + 3x2 - 1
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-3;3] y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30
4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;0] y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4
5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;0] y = 2x3 + 3x2 - 1
6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;2] y = x3/3 + 2x2 – 5x + 4
7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x5 –x3 + x + 2
8. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-3;0] y = 2x3 + 3x2 – 12x + 30
9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = 2x3 – 9x2 + 12x
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;3] y = x4/4 –2x2 – 9/4
11. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x4 –8x2 -9
12. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;1] y = 3x4 + 4x3 + 1
13. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-3;6] y = x2 (2x – 3) – 12 (3x – 2)
14. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = 1/5 x5 –4x2
15. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = x5 –x3 + x + 2
16. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;1] y = 3x4 + 4x3 + 1
17. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;5] y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1
18. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x5 –x3 + x + 2
19. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;3] y = x4/4 –2x2 – 9/4
20. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x5 –x3 + x + 2
21. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;2] y = 2x3 + 3x2 – 1
22. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = 1/5 x5 –4x2
23. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = x3 – 3x2 + x + 5
24. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x5 –x3 + x + 2
25. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;1] y = x4 –8x2 -9
26. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;2] y = x3 –3x2 + 2
27. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;4] y = 3x3 –9x2 + 2
28. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[0;3] y = 0,5x4 – 4x2
29. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-2;2] y = x3 –3x2 + 2
30. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
[-1;5] y = 2x3 + 3x2 – 12x + 1
Задание № 28. Дана квадратная матрица 3 порядка.
Найти ее миноры и алгебраические дополнения,
а также определить матрицы.
Квадратной матрицей, размером 3 х 3, называется матрицей:
а11 а12 а13 а11 а12 а13
А = а21 а22 а23 Ее определитель ∆ = det = а21 а22 а23
а31 а32 а33 а31 а32 а33
А11 А21 а31
Обратная матрица А –1 = А12 А22 А32
А13 А23 А33
где Аij = (-1) i + j • Mij - называется алгебраическим дополнением.
Mij – минор.
Пример: Дана матрица
1 2 3 Найдите ее определитель и
А = 0 1 1 обратную матрицу?
-1 1 2
1 2 3 1 2
∆ = 0 1 1 0 1 = 2 – 2 + 0 + 3 – 1 – 0 = 2
-1 1 2 -1 1
Для подсчета определителя применено правила Саррюсса.
1 1
А11 = (-1)1+1 • М11 = 1 2 = 2 – 1 = 1
0 1
А12 = (-1)1+2 • М12 = -1 • -1 2 = – 1 • (0 + 1) = -1
0 1
А13 = (-1)1+3 • М13 = -1 1 = 0 + 1 = 1
2 3
А21 = (-1)2+1 • М21 = -1 • 1 2 = – 1 • (4 - 3) = -1
1 3
А22 = (-1)2+2 • М22 = -1 2 = 2 + 3 = 5
1 2
А23 = (-1)2+3 • М23 = -1 • -1 1 = – 1 • (1 + 2) = -3
2 3
А31 = (-1)3+1 • М31 = 1 1 = 2 - 3 = -1
1 3
А32 = (-1)3+2 • М32 = -1 • -0 1 = – 1 • (1 - 0) = -1
1 2
А33 = (-1)3+3 • М33 = 0 1 = 1 - 0 = 1
1 -1 -1
А –1 = -1 5 -1
1 -3 1
Варианты:
- Дана матрица найдите ее определитель 1 -3 2
и обратную матрицу. 0 -2 3
4 -1 1
- Дана матрица найдите ее определитель 5 0 3
и обратную матрицу. -1 2 1
1 1 -1
- Дана матрица найдите ее определитель 2 3 -4
и обратную матрицу. 1 2 -2
0 1 3
- Дана матрица найдите ее определитель 1 2 -3
и обратную матрицу. 4 0 2
3 -1 2
- Дана матрица найдите ее определитель 3 1 -1
и обратную матрицу. 2 -2 -1
5 2 3
- Дана матрица найдите ее определитель 4 -4 1
и обратную матрицу. 3 5 2
2 3 5
- Дана матрица найдите ее определитель 3 1 0
и обратную матрицу. 5 0 4
1 2 3
- Дана матрица найдите ее определитель 0 2 4
и обратную матрицу. -4 -3 1
-3 3 -5
- Дана матрица найдите ее определитель 3 2 0
и обратную матрицу. -1 2 1
6 -1 3
- Дана матрица найдите ее определитель 1 5 0
и обратную матрицу. 0 3 5
-5 0 5
- Дана матрица найдите ее определитель 4 -1 3
и обратную матрицу. 3 -2 0
1 0 -1
- Дана матрица найдите ее определитель 4 -2 -3
и обратную матрицу. -3 5 0
0 3 5
- Дана матрица найдите ее определитель 2 5 0
и обратную матрицу. 5 3 -1
0 3 5
- Дана матрица найдите ее определитель 3 -1 5
и обратную матрицу. 4 -2 0
0 -1 -5
- Дана матрица найдите ее определитель -1 -3 -5
и обратную матрицу. 0 1 5
5 -4 -2
- Дана матрица найдите ее определитель 3 0 1
и обратную матрицу. -3 2 -4
1 0 -3
- Дана матрица найдите ее определитель 4 2 1
и обратную матрицу. 1 0 5
5 3 -3
- Дана матрица найдите ее определитель 5 1 0
и обратную матрицу. 1 4 5
2 4 3
- Дана матрица найдите ее определитель 3 -3 0
и обратную матрицу. 0 -2 2
1 0 -1
- Дана матрица найдите ее определитель 4 3 5
и обратную матрицу. -3 -4 -5
5 3 0
- Дана матрица найдите ее определитель 5 0 -1
и обратную матрицу. -1 -4 0
2 -4 0
- Дана матрица найдите ее определитель 2 -1 1
и обратную матрицу. 3 -2 2
4 -3 3
- Дана матрица найдите ее определитель 1 -3 2
и обратную матрицу. 0 -2 3
4 -1 1
- Дана матрица найдите ее определитель -1 3 0
и обратную матрицу. -5 2 4
6 1 1
- Дана матрица найдите ее определитель 3 -2 -5
и обратную матрицу. 2 -3 -4
3 0 -4
- Дана матрица найдите ее определитель 5 0 4
и обратную матрицу. 3 -5 -2
2 -3 -4
- Дана матрица найдите ее определитель 4 1 -2
и обратную матрицу. 2 -1 5
-5 2 3
- Дана матрица найдите ее определитель -1 3 4
и обратную матрицу. -3 0 -2
-2 3 5
- Дана матрица найдите ее определитель 4 -5 0
и обратную матрицу. 3 0 1
2 3 -2
- Дана матрица найдите ее определитель 2 -2 0
и обратную матрицу. 0 2 4
4 1 -1
Задание № 29. Решить систему 3-х линейных уравнений
методом Крамера. Сделать проверку
Дана система трех линейный уравнений с тремя неизвестными:
x + y + z = 3
x – y + 3z = 7
2x + 3y - z = 0
Для решения системы необходимо вычислить:
1 1 1 1 1
1) определитель ∆ = 1 -1 3 1 -1 = 1 + 6 + 3 + 1 – 9 + 2 = 4
2 3 -1 2 3
Для подсчета определителей применено правило Саррюсса.
3 1 1 3 1
2) определитель ∆ x = 7 -1 3 7 -1 = 3 + 0 + 21 – 0 – 27 + 7 = 4
0 3 -1 0 3
1 3 1 1 3
3) определитель ∆ y = 1 7 3 1 7 = -7 + 18 + 0 – 14 – 0 + 3 = 0
2 0 -1 2 0
1 1 3 1 1
4) определитель ∆z = 1 -1 7 1 -1 = 0 + 14 + 9 – 0 - 21 + 6 = 8
2 3 0 2 3
По методу Крамера:
x = ∆x/∆ = 4/4 = 1
y = ∆y/∆ = 0/4 = 0
z = ∆z/∆ = 8/4 = 2
Проверка:
x + y + z = 3
1 + 0+ 2 = 3
3 = 3
Ответ:
x = 1
y = 0
z = 2
Варианты:
- Метод Крамера
1) 2x – y + 3z = 4 2) x – 3y + z = 0
3x – 2y + 2z = 3 x + y – z = 1
5x – y + z = 2 x – 2y – 3z = 6
- Метод Крамера
1) 7x – 3y + z = -1 2) 2x – 3y + z = 0
3x – 2y + 3z = 4 x + y – z = 1
-x + 2y - z = 0 x – 2y + 3z = 2
- Метод Крамера
1) x – 2y = 3 2) x – 3y + z = 2
3x + 2y - z = 6 2x + y – 2z = 3
x – y + z = 1 -x + y + 5z = 8
- Метод Крамера
1) 2x – 3y + z = 0 2) x – y + 3z = 0
x + y - z = 1 4x – y = 2
x - 2y + 3z = 2 5x + y – 2z = 1
- Метод Крамера
1) x – y - 4z = -4 2) x – 3y + 2z = 4
x – 3y - 5z = -4 3x – 2y + z = 1
2x + y - z = -10 x – y + z = 3
- Метод Крамера
1) x + y - 3z = 0 2) x + y – 2z = -1
2x - y + z = -1 2x – 3y + z = 1
-5x + z = 2 4x – y = 5
- Метод Крамера
1) 7x – 3y + z = -1 2) 2x – 3y + z = 0
3x – 2y + 3z = 4 x + y – z = 1
-x + 2y - z = 0 x – 2y + 3z = 2
- Метод Крамера
1) 4x + 2y - 5z = 2 2) 3x – 2y + z = 5
x + y - z = 0 x + 2y – z = 1
x - 3y + 4z = 2 4x – 2y + z = 4
- Метод Крамера
1) x – 3y + z = 1 2) 2x – y - z = 4
2x + y - 2z = 3 3x + 4y – 2z = 1
-x - y + 5z = 2 3x – y + z = 2
- Метод Крамера
1) -x – y + 4z = 4 2) 2x – 3y + z = 0
2x + 3y - z = -1 3x – 2y + 3z = 4
2x + 7y = 0 x + y - 5z = 0
- Метод Крамера
1) x + y - 3z = 4 2) x + 3y – z = 4
x + 2y - z = 5 -2x + y – z = 5
-x - y + z = 0 x – 5z = 0
- Метод Крамера
1) 4x + 2y - 5z = 2 2) 3x – 2y + z = 5
x + y - z = 0 x + 2y – z = 1
x - 3y + 4z = 2 4x – 2y + z = 4
- Метод Крамера
1) x - 2y + z = 3 2) 3x – 4y + z = -2
3x +2 y - z = 0 x – y – 3z = -1
x - y + z = 1 4x – y + 5z = 0
- Метод Крамера
1) x + y + 2z = -1 2) x – y – 3z = -1
2x - y - z = 4 3x – 4y + z = -2
-x + y + 5z = 0 4x – y + z = 0
- Метод Крамера
1) 2x - 3y + 4z = 1 2) 3x – 2y + z =
x - 2y + z = -4 2x – y + z = 5
4x - y + z = 0 x – 2y + z = 3
- Метод Крамера
1) x + y + 3z = 1 2) 3x – 2y - 4z = 4
2x - y + z = 5 x + 2y – z = -1
x + 3y - 5z = 0 4x – y + z = 0
- Метод Крамера
1) 2x - 3y - z = -4 2) 3x – y + 4z = 4
x - 3y + z = -1 -x + 2y – z = 0
2x + y = 4 4x – y + z = 5
- Метод Крамера
1) 3x - y + z = 7 2) x + y – 3z = 3
x + y + z = 1 2x – y + z = 1
2x - 3y + z = 0 -x + y – 5z = 0
- Метод Крамера
1) 4x + 2y - 5z = 2 2) 3x – 4y + z = -2
x + y - z = 0 x – y + 3z = -1
x + 3y – 2z = 1 4x – y – 5z = 0
- Метод Крамера
1) 2x - 3y + 4z = 7 2) x – y + 5z = 4
x - 2y - z = 0 2x – y + 3z = 1
x - y + z = 2 x – y + z = 0
- Метод Крамера
1) x + y + 2z = -1 2) x – y – 3z = -1
2x - y - z = 4 3x – 4y + z = -2
-x + y + 5z = 0 4x – y + z = 0
- Метод Крамера
1) x - 2y + z = 3 2) x + y + 3z = 2
2x - 4z = -3 2x – y + 4z = 5
x + y - z = 4 -3x – y = 0
- Метод Крамера
1) 3x + 4y + z = -2 2) x – 3y + z = 2
x - y + 3z = -1 -x + 3y = 4
4x - y + 5z = 0 4x – y + 5z = 1
- Метод Крамера
1) x + 2y - 4z = 5 2) 2x – 4y + 3z = 0
6x - y + z = 1 -2x – y = 4
-x + y + z = 0 -5x – y – z = 1
- Метод Крамера
1) 3x - y + z = 7 2) x + y – 3z = 3
x + y + z = 1 2x – y + z = 1
2x - 3y + z = 0 -x + y – 5z = 0
- Метод Крамера
1) x + y - 4z = 5 2) 3x – 2y + 5z = 1
6x - y + z = 1 x – y + 3z = 0
x - y - z = 0 -5x – z = 2
- Метод Крамера
1) x + y - 3z = 4 2) x + 3y – z = 4
x + 2y - z = 5 -2x + y – z = 5
-x - y + z = 0 x – 5z = 0
- Метод Крамера
1) 3x - 2y + z = 4 2) -2x + 3y + 4z = -1
x + y - 5z = 0 2x – y + z = 4
-x - y + z = 1 -3x + y – 4z = 0
- Метод Крамера
1) x + y + 5z = 0 2) x – 3y + z = 4
-3x + y + z = 1 2x – y + z = 3
2x - y + 4z = 3 -x + y – 4z = 1
- Метод Крамера
1) x + y - 3z = 0 2) x + y – 2z = -1
2x - y + z = -1 2x – 3y + z = 1
-5x + z = 2 4x – y = 5
Задание № 30. Выполнить сложение и вычитание 2-х векторов.
Найти длину, орт и направление вектора.
Даны два вектора: а = (ах; ау; аz)
в = (вх; ву; вz)
Сумма векторов: а + в = (ах + вх; ау + ву: аz + вz)
Разность векторов: а - в = (ах - вх; ау - ву: аz - вz)
Орт вектора а , это единичный вектор е = а /│а│; где
│а│ - длина вектора. │а│ = √ ах2 + ау2 + аz2
Направлением вектора а , называются направляющие косинусы, т.е.:
cosα = ax / │а│ ; cosβ = ау / │а│ ; cosγ = аz / │а│
Пример: Даны два вектора: а = (1; 2; 3) в = (-2; 0; 1)
Найти: а + в = (-1; 2; 4) а - в = (3; 2; 2)
Найти длину, орт и направление вектора 3 а – 2 в
Решение:
1)вектор 3 а = (3; 6; 9)
вектор 2 в = (-4; 0; 2)
3 а - 2 в = (7; 6; 7)
Длина │3 а - 2 в │ = √ 72 + 62 + 72 = √ 134
е = 3 а - 2 в / │3 а - 2 в │ = (7/√34 ; 6/ √34 ; 7/√34)
cosα = 7/√34 ; cosβ = 6/ √34 ; cosγ = 7/√34
Варианты:
1. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; 0) в = (5; -2; 1) 3 а - 2 в = ?
2. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (4; 1; -1) в = (1; 2; 3) а + 2 в = ?
3. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (5; 0; 3) в = (1; 7; -1) 2 в - а = ?
4. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; -2) в = (5; 0; -2) 2 а + 3 в = ?
5. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; 2) в = (-1; 2; -3) 3 а - в = ?
6. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (0; 3; 4) в = (1; -1; 2) 2 а + 2 в = ?
7. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (5; 3; -1) в = (0; 2; 3) 4 в - а = ?
8. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (3; 0; 1) в = (-1; 2; -4) 5 а - в = ?
9. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; -2; 3) в = (2; -3; 4) 3 а - 3 в = ?
10. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 2; 4) в = (-2; 3; 0) -2 а - в = ?
11. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 0; -3) в = (2; -2; 1) 2 а - 3 в = ?
12. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (3; -2; -1) в = (2; 1; 3) 2 а + 3 в = ?
13. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; -2; -4) в = (2; 3; -1) 2 в - 4 а = ?
14. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (5; 0; -1) в = (3; -1; -3) 3 а - 1/2 в = ?
15. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 1; 4) в = (0; 2; 3) -3 а - 3 в = ?
16. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 2; -3) в = (0; 2; -3) в - 3 а = ?
17. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; 0) в = (2; -1; 3) 2 а - в = ?
18. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (5; -1; -1) в = (2; 1; -3) - а + в = ?
19. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 2; -3) в = (0; -4; 1) в - 3 а = ?
20. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (2; -3; 0) в = (1; -1; 3) 3 а - в = ?
21. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (2; -1; 0) в = (1; 1; 3) 3 а - 2 в = ?
22. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; -4) в = (3; 0; 1) 2 а - 4 в = ?
23. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; -1) в = (4; 0; -3) а - 2 в = ?
24. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (0; 3; -1) в = (1; -1; 2) 3 а - в = ?
25. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; -2; 4) в = (0; -3; 1) а + 2 в = ?
26. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (3; -3; 0) в = (1; -1; 2) а + в = ?
27. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 0; -3) в = (2; -3; -1) 2 а - в = ?
28. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (0; 3; 4) в = (1; -1; 2) 3 а - в = ?
29. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 2; 3) в = (-1; -3; 4) 2 а + в = ?
30. а) Найдите: а + в ; а - в
б) координаты, длину, орт и направление данного вектора
а = (1; 3; -2) в = (4; -2; 1) - 3 в + а = ?
Задание № 31. Найти синус и косинус угла между векторами.
Сделать проверку
cosα = | ( а , в ) |
│а│•│в│ |
где ( а , в ) - скалярное произведение векторов а и в
sinα = | │[ а , в ]│ |
│а│•│в│ |
где │[ а , в ]│ - длина векторного произведение векторов а и в
Пример: Даны два вектора: а = (1; 2; 3) в = (0; -1; -1)
Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
Решение:
cosα = | 1 • 0 + 2 • (-1) + 3 • (-1) | = | -5 |
√ 12 + 22 + 32 • √ 02 + 12 + 12 | √ 28 |
i j k
[ а , в ] = 1 2 3 = i 2 3 - j 1 3 + k 1 2
0 -1 -1 -1 -1 0 -1 0 -1 =
= 1 i + 1 j – 1 k
sinα = | √ 12 + 12 + 12 | = | √ 3 |
√ 12 + 22 + 32 • √ 02 + 12 + 12 | √ 28 |
Проверка:
sin2α + cos2α = 1
(√3/√28)2 + (-5/√28)2 = 1
3/28 + 25/28 = 1
28/28 = 1
Варианты:
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (3; 0; 1) в = (-1; 2; -4)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 1; 4) в = (0; 2; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 0; -3) в = (2; -2; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; -2; 4) в = (0; -3; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 2; 3) в = (-1; -3; 4)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (5; 0; -1) в = (3; -1; -3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (5; -1; -1) в = (2; 1; -3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; -1) в = (4; 0; -3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (2; -3; 0) в = (1; -1; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; -2; -4) в = (2; 3; -1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (3; -3; 0) в = (1; -1; 2)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 2; -3) в = (0; -4; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; 2) в = (-1; 2; -3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; 0) в = (2; -1; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; 0) в = (5; -2; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (0; 3; 4) в = (1; -1; 2)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (0; 3; 4) в = (1; -1; 2)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; -2; 4) в = (0; -3; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 2; 4) в = (-2; 3; 0)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; -2) в = (4; -2; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; -2) в = (5; 0; -2)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; -2; 3) в = (2; -3; 4)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 2; -3) в = (0; 2; -3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 3; -4) в = (3; 0; 1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (1; 0; -3) в = (2; -3; -1)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (2; -1; 0) в = (1; 1; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (4; 1; -1) в = (1; 2; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (5; 3; -1) в = (0; 2; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (3; -2; -1) в = (2; 1; 3)
- Найдите синус и косинус угла между векторами, и сделайте проверку.
а = (5; 0; 3) в = (1; 7; -1)
Задание № 32. Разложить вектор по двум векторам.
Пример: Даны вектора: а = (1; 2) в = (-2; 3) с = (0; 1)
Разложить вектор 3 а - 2 в по векторам а и с
Решение: 3 а = (3; 6) 2 в = (-4; 6) 3 а - 2 в = (7; 0)
Находим определитель ∆ , составленный из координат тех векторов, по которым просят найти разложение:
1 2
∆ = 0 1 = 1
Затем в определитель ∆ заменяем сначала первую строку на координаты вектора 3 а - 2 в, а потом вторую строку.
7 0 1 2
∆ n = 0 1 = 7 ∆ m = 7 0 = -14
Находим числа n и m:
n = ∆ n /∆ = 7/1 = 7 m = ∆ m /∆ = - 14/1 = -14
Ответ: 3 а - 2 в = 7 а - 14 с
Варианты:
1. а) Вычислите модуль вектора АВ и его направление, если
А (3; 0; 2) В (1; -1; 0)
б) Даны 3 вектора: а = (1; 1) в = (3; 0) с = (7; 2)
Написать разложение вектора 4 в - с по векторам а и в
2. а) Найти направляющие косинуса вектора d (4; -3; 1)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -3) в = (1; 0) с = (2; -2)
Написать разложение вектора 2 а + 3 в по векторам в и с
3. а) Даны 2 координаты вектора а х = 1 ; у = - 3
Определить третью координату при условии, что │ a │= √26
б) Даны 3 вектора: а = (0; 2) в = (3; -1) с = (1; -2)
Написать разложение вектора 2 в + 3 с по векторам а и c
4. а) Определить координаты точки А, с которой совпадает конец вектора
а = (3; 2; 2), если его начало совпадает с точкой В (6; -1; 2)
б) Даны 3 вектора: а = (4; 1) в = (2; -1) с = (5; 0)
Написать разложение вектора -2 а - 3 в по векторам в и с
5. а) Даны точки М (х; 2; 1) и N (3; 0; z) Найти: x z , если
1) MN = (4; -2; 1) 2) NM = (14; 2; -9)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -2) в = (0; 1) с = (4; -2)
Написать разложение вектора 2 а - 3 c по векторам в и с
6. а) Определить координаты точки P, с которой совпадает конец вектора
а = (5; -2; 0), если его начало совпадает с точкой M (-1; 3; 2)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -2) в = (0; -4) с = (1; -3)
Написать разложение вектора 2 в - с по векторам а и в
7. а) Найти модуль вектора и его орт с = (1; -4; 2)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -1) в = (2; -3) с = (1; 3)
Написать разложение вектора 2 в - с по векторам а и с
8. а) Найти орт вектора с (1; -2; -3)
б) Даны 3 вектора: а = (4; 1) в = (1; -3) с = (0; -2)
Написать разложение вектора 5 в - а по векторам а и с
9. а) При каких α β : вектора а (3; -4; β) и в (α; 8; 1) коллинеарны?
б) Даны 3 вектора: а = (5; 2) в = (1; -2) с = (3; 0)
Написать разложение вектора 3 с - в по векторам а и в
10. а) Проверите коллинеарность векторов:
1) а = (5; -1; 2), в (-10; 2; -4) 2) а = (3; 8; 1), в (6; 4; 5)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -3) в = (0; 2) с = (-1; -2)
Написать разложение вектора 2 а + с по векторам в и с
11. а) Вычислить длину и орт вектора MN , если
М (5; 1; 3) N (4; 2; -2)
б) Даны 3 вектора: а = (5; -2) в = (4; -2) с = (0; 3)
Написать разложение вектора 2 в + c по векторам а и с
12. а) Даны 2 координаты вектора а х = 5 ; у = 3
Определить третью координату при условии, что │ a │= √83
б) Даны 3 вектора: а = (1; -1) в = (2; -2) с = (1; 0)
Написать разложение вектора 2 в - 2 а по векторам в и c
13. а) При каких α β : вектора а (7; -2; β) и в (α; 4; 3) коллинеарны?
б) Даны 3 вектора: а = (0; -2) в = (1; -1) с = (3; -3)
Написать разложение вектора 2 с + а по векторам в и с
14. а) Вычислите длину и направление вектора с (5; 2; 1)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -2) в = (2; -3) с = (-2; -1)
Написать разложение вектора 2 а + с по векторам в и с
15. а) Найти длину и орт вектора АВ , если А (1; 2; -3) В (2; -3; 1)
б) Даны 3 вектора: а = (5; -1) в = (1; -2) с = (0; 3)
Написать разложение вектора 3 а - 2 в по векторам в и с
16. а) Даны 2 координаты вектора а х = 3 ; z = 1
Определить третью координату при условии, что │ a │= √74
б) Даны 3 вектора: а = (5; -2) в = (0; -1) с = (3; 1)
Написать разложение вектора 2 c + в по векторам а и c
17. а) Проверите коллинеарность векторов:
1) а = (5; -2; 3), в (10; 4; 6) 2) а = (1; -2; 0), в (2; -3; 0)
б) Даны 3 вектора: а = (5; -1) в = (3; 0) с = (1; -1)
Написать разложение вектора 2 в + с по векторам а и в
18. а) При каких α β : вектора а (5; α; 3) и в (β; 0; 6) коллинеарны?
б) Даны 3 вектора: а = (1; -2) в = (2; -3) с = (1; 1)
Написать разложение вектора 2 с + а по векторам в и с
19. а) Найти направляющие косинуса вектора d (4; -3; 1)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -3) в = (1; 0) с = (2; -2)
Написать разложение вектора 2 а + 3 в по векторам в и с
20. а) Найти длину и направление вектора в (1; 3; -2)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -2) в = (3; 0) с = (3; -3)
Написать разложение вектора 2 а - 3 с по векторам в и с
21. а) Найти длину и орт вектора с (5; 2; -3)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -3) в = (1; -2) с = (1; 1)
Написать разложение вектора 2 а + 2 вс по векторам в и с
22. а) Найти длину и направление вектора в (5; 1; 4)
б) Даны 3 вектора: а = (3; -2) в = (1; 1) с = (0; 2)
Написать разложение вектора 2 а - 3 с по векторам в и с
23. а) Найти модуль вектора и его орт с = (1; -4; 2)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -1) в = (2; -3) с = (1; 3)
Написать разложение вектора 2 в - с по векторам а и с
24. а) При каких α β : вектора а (5; α; 4) и в (β; 6; -2) коллинеарны?
б) Даны 3 вектора: а = (1; 3) в = (2; 0) с = (1; 1)
Написать разложение вектора с - 2 в по векторам а и в
25. а) Найти длину и направление вектора с = (5; -1; -3)
б) Даны 3 вектора: а = (2; 0) в = (1; 2) с = (3; 4)
Написать разложение вектора а + 3 с по векторам в и с
26. а) Найти орт вектора АС , если А (5; 2; -1) С (4; -2; 0)
б) Даны 3 вектора: а = (1; 3) в = (2; 4) с = (1; 5)
Написать разложение вектора 3 в - 2 с по векторам а и в
27. а) Даны точки М (х; 2; 1) и N (3; 0; z) Найти: x z , если
1) MN = (4; -2; 1) 2) NM = (14; 2; -9)
б) Даны 3 вектора: а = (1; -2) в = (0; 1) с = (4; -2)
Написать разложение вектора 2 а - 3 c по векторам в и с
28. а) Найти орт вектора d , если d = AD А (1; -2; 0) D (3; 4; -6)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -2) в = (3; -2) с = (1; -2)
Написать разложение вектора а - 2 c по векторам в и с
29. а) Найти длину и орт вектора MN , если
М (3; -2; 1) N (3; -3; -1)
б) Даны 3 вектора: а = (2; -3) в = (1; 2) с = (0; 1)
Написать разложение вектора 3 с - 2 в по векторам а и в
30. а) Найти длину и направление вектора в = (6; -3; 2)
б) Даны 3 вектора: а = (5; 0) в = (2; 3) с = (1; 4)
Написать разложение вектора 2 а - в по векторам а и с
Задание № 33. Найти площадь треугольника, если даны
координаты его вершин.
Пример: Даны три точки: А (1; 2; 3) В (0; 1; 1) С (-3; 0; 2)
Найдите площадь треугольника АВС?
Решение:
Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, длина которого находится как площадь параллелограмма, построенного на данных векторах. Половина длины векторного произведения и будет площадь треугольника.
В
Составляем два вектора: АВ = (-1; -1; -2)
А С АС = (-4; -2; -1)
Найдем их векторное произведение:
i j k
[АВ , АС] = -1 -1 -2 = i -1 -2 - j -1 -2 + k -1 -1
-4 -2 -1 -2 -1 -4 -1 -4 -2 =
= -3 i + 7 j – 2 k
│[ АВ , АС ]│ = √ 32 + 72 + 22 = √ 64
Ответ: S ∆ АВС = 1/2 √ 64
Два вектора а = (ах; ау; аz) и в = (вх; ву; вz) коллинеарны, если пропорциональны их координаты, т.е. ах / вх = ау / ву = аz / вz
Два вектора а = (ах; ау; аz) и в = (вх; ву; вz) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. ах • вх + ау • ву + аz • вz = 0
Варианты:
1. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (5; -2; 1) В (1; -2; 0) С (3; 2; -1)
в) При каком α векторы перпендикулярны?
а (2; α; 3) в (α; 1; -1)
2. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -3; 1) В (-2; -4; 3) С (1; -2; 3)
в) Найдите косинус угла образованного двумя векторами:
а (4; -1; 2) и в (6; -1; 0)
3. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; 1; 3) В (3; -2; 0) С (4; -2; 1)
в) Вычислите проекцию вектора а на вектор в
а (5; 1; 3) в (0; 1; 2)
4. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-3; -2; 4) В (0; -1; 2) С (-4; 3; 1)
в) При каком α векторы в и с перпендикулярны?
в (α; 1; 3) с (2; 3; α)
5. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; 4; 3) В (-2; -3; 4) С (1; 5; -1)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (3; 2; 1) в (-1; -3; 4)
6. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-3; 3; -1) В (4; -1; 3) С (-3; 0; 5)
в) Вычислите проекцию вектора а на вектор в
а (5; 1; -3) в (1; -1; 3)
7. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; 4; -4) В (3; 1; -3) С (1; -2; 2)
в) При каком α векторы а и в перпендикулярны?
а (5; α; 1) в (α; 1; 3)
8. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (3; -2; 3) В (-1; -5; 4) С (2; -4; 2)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (4; 3; 1) в (2; 4; -1)
9. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -1; 5) В (-5; 4; -3) С (2; 0; -2)
в) Вычислите проекцию вектора а на вектор в
а (3; 2; 1) в (-3; 2; -1)
10. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -3; 5) В (0; -5; 3) С (-1; 4; -3)
в) При каком α векторы а и в перпендикулярны?
а (4; α; -1) в (3; 2; -α)
11. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; 4; -3) В (-3; 2; -4) С (1; -4; -2)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (3; -2; -1) в (6; -1; 0)
12. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-3; -1; -4) В (-4; 3; 0) С (3; -5; -2)
в) Вычислите проекцию вектора а на вектор в
а (3; 1; -1) в (-3; 2; 2)
13. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; -5; 1) В (-1; 3; -5) С (4; -2; 1)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (α; -1; -2) в (6; α; 4)
14. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-3; -5; -3) В (-1; 4; -2) С (-2; 3; -4)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (3; -3; 2) в (2; -2; 4)
15. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; -3; 3) В (-4; 2; 4) С (-1; -5; 1)
в) Вычислите проекцию вектора в на вектор с
в (5; 1; 0) с (1; -2; 3)
16. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; -4; 0) В (1; -4; -3) С (3; -2; -4)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (-5; α; 3) в (α; 2; 1)
17. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-3; 3; 0) В (4; -4; -3) С (5; -5; -0)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (5; 1; 3) в (4; 2; -1)
18. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; 3; -1) В (-1; 4; -4) С (-3; -4; -1)
в) Вычислите проекцию вектора в на вектор с
в (3; 2; 1) с (1; 0; -3)
19. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (1; 0; -5) В (-5; -3; 4) С (-3; -4; 0)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (α; 2; 3) в (3; 1; α)
20. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -4; -1) В (-2; -3; -1) С (3; -5; -1)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (3; -1; 2) в (-3; 2; 4)
21. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -2; -2) В (3; 5; 2) С (4; -3; -1)
в) Вычислите проекцию вектора в на вектор с
в (5; 2; 1) с (-3; -2; -1)
22. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; 4; -4) В (-2; -3; -5) С (1; 4; 2)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (α; 1; -4) в (2; α; -6)
23. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -3; 5) В (-3; 1; -5) С (-1; -2; 4)
в) Найдите косинус угла между векторами:
а (3; 2; 1) в (-4; -6; 0)
24. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -1; 3) В (3; -3; 4) С (5; 4; -3)
в) Вычислите проекцию вектора с на вектор d
с (3; 2; -1) d (2; 1; -3)
25. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-2; -4; -3) В (-3; 2; -4) С (4; -4; -2)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (α; -3; 4) в (6; -1; α)
26. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-1; -3; 3) В (3; -4; -1) С (-3; 5; -3)
в) Найдите косинус угла между векторами:
в (3; -1; 4) d (5; -3; 0)
27. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; -2; 2) В (-3; 3; -3) С (4; -4; 4)
в) Вычислите проекцию вектора d на вектор с
d (3; -2; -4) с (0; -1; 2)
28. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (-5; 3; -1) В (-3; 5; -4) С (4; -3; -1)
в) При каком α векторы а и в ортогональны?
а (3; α; -1) в (1; -1; α)
29. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (2; 3; -5) В (-3; -3; 2) С (4; -3; -5)
в) Найдите косинус угла между векторами:
b (3; -1; 2) с (2; -3; 1)
30. а) Найдите площадь треугольника АВС
Если: А (3; 5; -4) В (5; -3; 1) С (1; -4; -2)
в) Вычислите проекцию вектора в на вектор с
в (3; -4; 5) с (3; -2; -1)
Задание № 34. Письменно ответить на вопросы по теме «Вектора».
- Чем характеризуется скалярная величина?
- Чем характеризуется векторная величина?
- Как найти длину вектора, если известны его координаты?
- Как найти координаты вектора, если известны координаты начала и конца?
- Что такое орт вектора?
- Какие вектора называют коллинеарными?
- Какие вектора называют ортогональными?
- Какие вектора называют комплексными?
- Условие коллениарности двух векторов?
- Условие ортогональности двух векторов?
- Что такое скалярное произведение двух векторов?
- Что такое векторное произведение двух векторов?
- Как найти косинус угла между векторами?
- Что можно сказать о двух векторах, если у них скалярное произведение равно нулю?
- Что можно сказать о двух векторах, если у них векторное произведение нулевой вектор?
Задание № 35. Решить задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве».
Пример 1. При каком значении С
прямая (х-3)/2 = (у+2)/7 = (z-1)/1 параллельна
плоскости 3х – 2у+С z – 2 = 0
Решение: Направляющий вектор прямой N = (2; 7; 1) перпендикулярен нормальному вектору плоскости n = ( 3; -2; С) , т. к. по условию прямая параллельна плоскости
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.
k А + l B + m C = 0
2 3 + 7 (-2) + 1 C = 0
6 - 14 + C = 0
C = 8
Ответ: прямая параллельна плоскости, если С = 8
Варианты:
- Как располагаются относительно друг друга две прямые:
х – 4у + z = 0 х – 5у – z +8 = 0
5х - у – z + 1 = 0 -х – 2у + z +1 = 0
(перпендикулярны, параллельны, пересекаются или скрещиваются?)
- Проверьте перпендикулярность и параллельность двух прямых:
2х – у + 6z -1 = 0 -х – 4у + z - 8 = 0
х - 3у + 5z + 8 = 0 -2х + у - z = 0
- Найдите косинус угла, образованного двумя прямыми:
х – 3у + 5z - 7 = 0 6х – у - z = 0
-х + 3у - 4z + 8 = 0 -3у + 2z - 7 = 0
- Найдите точку К , симметричную точке Т (6; -2; 1) , относительно плоскости -х + 4у + 3z - 7 = 0
- Найдите угол между прямой
х – 4у + z - 2 = 0 и плоскостью 2х - у + 6z - 1 = 0
-2х + у - z = 0
- Найдите проекцию точки Р (-7; 2; 3) на прямую
х – 3у + z = 0
-2х - у +7 = 0
- Найдите проекцию точки М (-2; 4; 7) на плоскость 3х-у+2z -6= 0
- Найдите точку пересечения трех плоскостей:
х - 2у + z - 6 = 0
5х - у + 2z - 1 = 0
-х + у - 3z + 2 = 0
- Напишите уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые:
(х-2)/3 = (у+1)/2 = z/-6 и 2х – 3у + z – 1 = 0
-х + у + 2z = 0
- Дана прямая 2х – у + 6 = 0 и точка М (0; -3; 2)
-х - у - z = 0
Напишите уравнение плоскости, в которой они лежат.
- Найдите угол между прямой
2х +у - z - 2 = 0 и плоскостью 4х - у + 2z - 6 = 0
-х - у - z = 0
- Найдите точку А , симметричную относительно прямой
х = 2t - 3 точке B ( 1; 2; -3)
y = - t + 1
z = 5t + 2
- Напишите уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:
А (1; -2; 3) , B (0; -4; 5) , С (1; 1; 5)
- Даны две прямые
х/1 = (у-1)/-2 = z/3 и 3х + у - 5z + 1 = 0
2х + 3у - 8z + 3 = 0
Докажите, что они перпендикулярны.
Напишите уравнение плоскости, которая через них проходит.
- Найдите точку М (0; 3; -2) относительно плоскости -3х + 2у - z - 4 = 0
- Найдите точку Q , симметричную точке Р (1; 3; -4) , относительно плоскости 3х + у - 2z = 0
- Даны три точки :
А (1; 2; 3) , B (-2; 0; 4) , С (1; 3; 4)
Напишите уравнение плоскости, которая через них проходит.
- Даны три точки :
М (1; 2; -2) , М2 (0; -3; 1), М3 (4; 0; -1)
Напишите уравнение плоскости, которая через них проходит.
- Найдите точку М , симметричную точке М2 (4; 1; 6) , относительно прямой
х – у - 4z + 12 = 0
2х + у - 2z +3 = 0
- Найдите точку Q , симметричную точке Р (0; 3; -2) , относительно прямой
х – 2у + z - 3 = 0
2х - у - 3z +1 = 0
- Даны две прямые
3х + у - 5z + 1 = 0 и (х+7)/3 = (у-5)/-1 = (z-9)/4
2х + 3у - 8z + 3 = 0
Докажите, что они параллельны.
Напишите уравнение плоскости, которая через них проходит.
- Дана прямая 2х – 5у + z - 3 = 0
х + 2у - z + 2 = 0
Вычислите проекции на оси координат какого-нибудь её направляющего вектора.
- Найдите точку Q , симметричную точке Р (2; -5; 7) , относительно прямой, проходящей через две точки :
М1 (4; 5; 6) и М2 (-2; -17; -8)
- Найдите проекцию точки М (1; 2; -3) на прямую, проходящую через две точки А (1; -2; -4) , B (0; -3; -5) ,
- Найдите проекцию точки Р (2; -1; 3) на прямую
х = 3t
y = 5t - 7
z = 2t + 2
- Найдите проекцию точки Р (5; 2; -1) на плоскость 2х-у+3z -23 = 0
- Прямая 2х – 3у + z - 1 = 0 и точка М (1; -2; 4)
-х – 3у – z + 11 = 0
принадлежат плоскости.
Напишите уравнение этой плоскости
- Дана прямая (х-4)/2 = (у-1)/-1 = (z+2)/3
и точка М (0; 1; 2)
Напишите уравнение плоскости, которая через них проходит.
- Найдите точку пересечения трех плоскостей:
х + у + 2z - 3 = 0
х + 2у - z + 1 = 0
5х - у + 3z - 2 = 0
- Через две прямые
(х-3)/2 = (у+1)/3 = (z+2)/-1 (х+1)/-4 = (у-4)/-6 = (z-1)/-2
проходит плоскость
Напишите уравнение этой плоскости.
Задание № 36. Письменно ответить на вопросы по теме
«Прямая и плоскость в пространстве».
- Как могут располагаться прямые в пространстве?
- Как могут располагаться плоскости в пространстве?
- Какое взаимное расположение прямой в плоскости в пространстве.
- Какие прямые называются параллельными?
- Какие прямые называется скрещивающимися?
- Когда говорят, что прямая перпендикулярна плоскости?
- Напишите уравнение плоскости.
- Напишите каноническое уравнение прямой.
- Напишите параметрическое уравнение прямой.
- Условие параллельности двух прямых.
- Условие параллельности двух плоскостей.
- Условие параллельности прямой и плоскости.
- Условия перпендикулярности двух прямых.
- Условия перпендикулярности двух плоскостей.
- Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- Как найти косинус угла между прямой и плоскостью.
Задание № 37. Сложить, вычесть, умножить и разделить два комплексных числа в алгебраической форме.
Найдите модуль и аргумент комплексного числа z.
Решите квадратное уравнение:
Пример 1. а) (2 - 3i) • (1 + i) = 2 + 2i – 3i2 = 5 – i
б) 3 + i 3 + i 2 + 3i 6 + 9i +2i +3i2 3 + 11i 3 11i
2 – 3i 2 – 3i 2 + 3i 22 + 32 13 13 13
Пример 2. x2 + x + 10 =0
Д = в2 – 4ас = 12 – 4 ∙ 1 ∙ 10 = -39 = -1 ∙ 39 = 39i2
х1 = -1 - √39 ∙ i х2 = -1 + √39 ∙ i
2 2
Пример 3 z = 1 + 5i
ρ = √x2 + y2 = √12 + 52 = √26
tg φ= y/x = 5/1
φ= arctg5
Варианты:
1. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-3 i |
2 + i |
а) (5 + 2i) • (3 – 4i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 3 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 1 - √ 3i
2. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-2 + 3i |
1 - 2i |
а) (-1 + 3i) • (2 – 5i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 5 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -3 + √ 3i
3. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
5 - i |
3 + 2i |
а) (2 - 2i) • (-3 + i); б)
2) Решите уравнение x2 + 2x + 13 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 + 2√ 3i
4. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
3 - i |
4 + 3i |
а) (-1 - 3i) • (2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 + 25 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -1 + i
5. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 - 3i |
2 + 5i |
а) (√3 + i) • (2√3 + i); б)
2) Решите уравнение x2 + 4 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 3i - 1
6. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
5 - 3i |
1 + i |
а) (2i - 3) • (1 – 2i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 4 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 - 3i
7. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-2 - i |
1 + 3i |
а) (5 - 2i) • (-1 – 3i); б)
2) Решите уравнение x2 – x + 4 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 5 - 2i
8. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
5 + i |
2 - √2i |
а) (2 + 3i) • (4 – i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 4 - i
9. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
6 - i |
3 + 2i |
а) (1 - 3i) • (2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – 4x + 21 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 - 3i
10. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
2 - 3i |
1 - 2i |
а) (7 - i) • (3 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – 4x + 5 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 1 - 3i
11. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 - 3i |
2 + i |
а) (2 - 5i) • (1 + i); б)
2) Решите уравнение x2 + 3x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 5 - 3i
12. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
2 - i |
4 + i |
а) (6 - i) • (3 + 2i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 3 - 4i
13. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
6 - 3i |
2 + i |
а) (3 - 2i) • (5 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – x + 4 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 5 - i
14. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 - i |
4 + 3i |
а) (5 + i) • (2 – 3i); б)
2) Решите уравнение x2 – 4x + 8 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 5 - 3i
15. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
3 + i |
2 + 3i |
а) (4 - i) • (2 – 3i); б)
2) Решите уравнение x2 + x + 3 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 + 7i
16. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
6 + i |
3 - 2i |
а) (1 - 7i) • (2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 - 7i
17. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
2 - 3i |
1 + i |
а) (4 + 3i) • (5 – i); б)
2) Решите уравнение x2 + 2x + 5 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 8 - i
18. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-2 + i |
3 + 2i |
а) (5 - i) • (2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – x +7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 - 5i
19. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-6 + i |
2 + 3i |
а) (-1 + i) • (-2 + 3i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 6 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -5 - 3i
20. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 - 3i |
2 + i |
а) (-1 - 2i) • (8 - i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 4 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -2 + i
21. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
2 + 3i |
1 - i |
а) (1 + i) • (3 – 2i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -3 + 2i
22. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-1 - 3i |
1 - i |
а) (4 - 2i) • (1 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -4 + 3i
23. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 + i |
-4 + 3i |
а) (-1 + 3i) • (1 – 2i); б)
2) Решите уравнение x2 – 5x + 7 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = 2 + 3i
24. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 + 3i |
2 - 3i |
а) (-2 + 3i) • (1 – 4i); б)
2) Решите уравнение x2 + 3x + 8 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -2 + 3i
25. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
1 - i |
-2 + 3i |
а) (6 - i) • (-1 + 3i); б)
2) Решите уравнение x2 – 2x + 9 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -2 + 8i
26. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
8 + i |
-2 + i |
а) (1 - 4i) • (-2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 + 4x + 9 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -5 + i
27. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
5 - i |
1 + 6i |
а) (8 - i) • (3 + 2i); б)
2) Решите уравнение x2 + x + 10 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -7 + 4i
28. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
5 - i |
-2 + i |
а) (8 + i) • (1 – 3i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 11 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -1 + 4i
29. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
2 - i |
-3 + 2i |
а) (-8 + 2i) • (1 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – 4x + 11 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -8 + i
30. 1)Выполнить действие с комплексными числами в алгебраической форме:
-5 + i |
1 + 2i |
а) (7 - i) • (-2 + i); б)
2) Решите уравнение x2 – 3x + 12 =0
3) Найдите модуль и аргументы комплексного числа:
z = -5 - 3i
Задание № 38. Записать комплексное число в тригонометрической форме.Найти произведение и частное
двух комплексных чисел в тригонометрической форме.
z1 = 2 – 2i
z2 = √3 i – 1
Пример 1
z1 = -1 – i
z2 = √3 - i
z1 = -1 – i = √2 ∙ (cos2250 + isin2250)
ρ1 = √12 + 12 = √2
cosφ = x/ρ = -1/√2 = - √2/2 sinφ = y/ρ = -1/√2 = - √2/2
φ1 = 1800 + 450 = 2250
z2 = √3 - i = 2 (cos3300 + isin3300)
ρ2 = √√32 + 12 = √4 = 2
cosφ = √3/2 sinφ =- 1/2
φ2 = 3600 - 300 = 3300
z1 ∙ z2 = ρ1 ∙ ρ2 ∙ (cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)) = 2√2(cos5550 + isin5500)
z1/z2 = ρ1/ρ2 ∙ (cos(φ1 - φ2) + isin(φ1 - φ2)) = √2/2 ∙ (cos (-1050) + isin(-1050))
Варианты:
1. z1 = 1 2. z1 = -3 – √3i 3. z1 = -1 - i
z2 = 2 + 2√3i z2 = 1 - √3i z2 = 1 + √3i
4. z1 = √2 + √2i 5. z1 = √3 - i 6. z1 = 2 – 2i
z2 = 3 + 3i z2 = 3 + 3i z2 = √3i - 1
7. z1 = -i 8. z1 = 2 + 2√3i 9. z1 = 1
z2 = √3 + 3i z2 = 1 - i z2 = √3 - i
10. z1 = √3i – 1 11. z1 = 1 – √3i 12. z1 = – 3i
z2 = -2 - 2√3i z2 = √2 + √2i z2 = 1 + √3i
Задание № 39. Возвести в степень комплексное число.
Варианты:
1. 10 2. 9 3. 20
4. 7 5. 12 6. 5
7. 11 8. 5 9. 13
10. 6 11. 21 12. 15
13. 19 14. 14 15. 17
16. 7 17. 16 18. 22
19. 8 20. 7 21. 23
22. 5 23. 11 24. 14
25. 18 26. 15 27. 13
28. 17 29. 20 30. 21
Задание № 40. Извлечь корень из комплексного числа.
Варианты:
1. 3√1 + i 2. 3√2 + 2√3i 3. 3√-1 - √3i
4. 3√√2 - √2 i 5. 3√√3 - i 6. 3√ -1 + i
7. 3√-3 - √3i 8. 3√1 - √3 i 9. 3√√2 + √2i
10. 3√-2 - 2√3i 11. 3√-6 i 12. 3√ -1 - i
13. 3√1 + √3i 14. 3√-3 i 15. 3√-1 + √3i
16. 3√√3 + i 17. 3√-2 + 2√3i 18. 3√1 + i
19. 3√2 - 2√3i 20. 3√-√2 - √2i 21. 3√-3 i
22. 3√3 + 3i 23. 3√-3 + 3i 24. 3√-3 - 3i
25. 3√-3 - 3i 26. 3√3 + √3 i 27. 3√-3 + √3i
28. 3√3 - √3i 29. 3√2 - 2i 30. 3√-2 + 2i
Задание № 41. Найти первообразную функции в точке.
Функция у = f(x) | Первообразная F(x) |
C = const | C • x |
xn | xn+1 / n+1 |
sin x | - cos x |
cos x | sin x |
1/cos2x | tg x |
1/sin2x | - ctg x |
1/x | ln x |
Три правила нахождения первообразных:
- Первообразная сумма равна сумме первообразных.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной.
- Если перед переменной Х есть коэффициент К, то первообразную нужно умножить на 1/К
Пример 1.
у = 2/сos2 5x + 4/√3-x
F = 2 • tg 5x • 1/5 + 4 • ((3-x) ½ / ½) • (-1) + C
Пример 2.
у = сos (3x – π/2) + 4√2-x в точке М (1; 2)
F = sin (3x - π/2) • 1/3 + 4 • ((2-x) 3/2 / 3/2) • (-1) + C
2 = sin (3 • 1 - π/2) • 1/3 + 4 • ((2-1) 3/2 / 3/2) • (-1) + C
2 = sin (3 - π/2) • 1/3 - 8/3 + C
C = 2 + 8/3 - sin (3 - π/2) • 1/3
F = sin (3x - π/2) • 1/3 + 4 • ((2-x) 3/2 / 3/2) • (-1) + 2 + 8/3 - sin (3 - π/2) • 1/3
Варианты:
1
- Найдите F:
у = cos3х/7 + 4/sin28x (3x - 5)6 + 4/2-x + v3x-8
2
- Найдите F:
у = 3/cos2 5x + sinx/9 + v3x - 2 + 4/(5-6x)7 + 3/2-x
3
- Найдите F:
у = 8/(cos23x) + sin4х + 3/5-6x + 3/(2-x)4 + v3x-2
4
- Найдите F:
у = 3/(sin28x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4/(2-5x) + 3/(4-3x)6
5
- Найдите F:
у = 8/(sin23x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4(3x-2)5 + 6/(8-x)
6
- Найдите F:
у = sin4x + 3/(cos28x) + v3x-2 + 4/(5-6x)7 + 4/(3x-2)
7
- Найдите F:
у = 8/(cos23x) + sin4х + 2/v3x-2 + 6/(5-x) + (4-2x)7
8
- Найдите F:
у = 3/(cos28x) + sin3х + 4v2x-1 + 6/(5-3x) + 4/(2-4x)3
9
- Найдите F:
у = 3/(cos28x) + 6sin5х/3 + v3x-1 + 2/(5-6x)4 + 3/(2-x)
10
- Найдите F:
у = sin8x + 3/(cos23x) + v5-6x + 4/(2-3x) + 5/(6-x)6
11
- Найдите F:
у = 3/(cos28x) + 6/v3x-3 + 4/(5-x) + (6-2х)7/7 + sin х/9
12
- Найдите F:
у = sin8х + 3/(cos25x) + v3x-2 + 4/(4-5x) + 3/(8-7x)2
13
- Найдите F:
у = (3-2x)7 + 6/(5-x) + cos8x + 3/(sin27x) + v3x-2
14
- Найдите F:
у = 4/(sin28x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4/(8-7x) + 5/(3-2x)4
15
- Найдите F:
у = 8sin4х + 5/(cos23x) + 6v3x-2 + 4/(5-6x)2 + 3/(2-x)
16
- Найдите F:
у = 4/(5-6x) + 2v3x-5 + sin4х + 5/(cos23x) - 4/(2-6x)3
17
- Найдите F:
у = 8/v3x-2 + (4-5x)6 - 2/(3x-5) + sin 4х/7 + 2/(cos23x)
18
- Найдите F:
у = 8/(cos23x) + sin х/11 + v3x-2 + 5/(2-4x) + 6/(8-5x)3
19
- Найдите F:
у = 7cos3x + 4/(cos25x) + v3x-2 + 4/(8-5x)7 + 6/(3x+1)
20
- Найдите F:
у = 7cos3x + 4/(sin23x) + 6v3x-2 + 4/(8-x) + 5/(3x-7)2
21
- Найдите F:
у = 5(3-2x)4 - 6/(3-2x) + sin 3х/5 + 6/(cos28x) + v3x-2
22
- Найдите F:
у = v3x-2 + 4/(5-6x) + 8sin4х + 3/(cos28x) + (5-2x)6
23
- Найдите F:
у = 8sin х/9 + 4/v3x-2 + 6/(sin23x) + (5-2x)4 + 8/(1-2x)
24
- Найдите F:
у = 8cos5x + 4/(3x-2) + v3x-2 + 6/(sin23x) + (5-3x)2
25
- Найдите F:
у = (3x-2)4 + 3/(5-6x) + cos8x + 4/(sin23x) + v5-6x
26
- Найдите F:
у = 7cos3x + 4/(cos25x) + v3x-2 + 4/(8-5x)7 + 6/(3x+1)
27
- Найдите F:
у = 5/v3x-2 + 4/(6-x) + 8/(3-2x)3 + sin 8х/7 + 5/(cos23x)
Задание № 42. Вычислить неопределенный интеграл.
Пример 1.
∫ (cos(3x - π/3) + 2v6-5x - 2 + 4/(sin2 (5x - π/6))) dx =
= sin (3x - π/3) • 1/3 + 2 ((6 - 5x) 3/2 / 3/2) • (- 1/5) + 4 ln |3-x| • (-1) +
+ 2 • (-ctg(5x - π/6)) • 1/5 + C
Варианты:
1. ∫ (сos3х/7 + 4/sin28x (3x - 5)6 + 4/2-x + v3x-8) dx
2. ∫ (3/cos2 5x + sinx/9 + v3x - 2 + 4/(5-6x)7 + 3/2-x) dx
3. ∫ ( 8/(cos23x) + sin4х + 3/5-6x + 3/(2-x)4 + v3x-2) dx
4. ∫ ( 3/(sin28x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4/(2-5x) + 3/(4-3x)6 ) dx
5. ∫ ( 8/(sin23x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4(3x-2)5 + 6/(8-x)) dx
6. ∫ (sin4x + 3/(cos28x) + v3x-2 + 4/(5-6x)7 + 4/(3x-2)) dx
7. ∫ ( 8/(cos23x) + sin4х + 2/v3x-2 + 6/(5-x) + (4-2x)7 ) dx
8. ∫ ( 3/(cos28x) + sin3х + 4v2x-1 + 6/(5-3x) + 4/(2-4x)3 ) dx
9. ∫ ( 3/(cos28x) + 6sin5х/3 + v3x-1 + 2/(5-6x)4 + 3/(2-x) ) dx
10. ∫ ( sin8x + 3/(cos23x) + v5-6x + 4/(2-3x) + 5/(6-x)6) dx
11. ∫ ( 3/(cos28x) + 6/v3x-3 + 4/(5-x) + (6-2х)7/7 + sin х/9) dx
12. ∫ ( sin8х + 3/(cos25x) + v3x-2 + 4/(4-5x) + 3/(8-7x)2) dx
13. ∫ ( (3-2x)7 + 6/(5-x) + cos8x + 3/(sin27x) + v3x-2 ) dx
14. ∫ ( 4/(sin28x) + cos5x + 6/v3x-2 + 4/(8-7x) + 5/(3-2x)4) dx
15. ∫ ( 8sin4х + 5/(cos23x) + 6v3x-2 + 4/(5-6x)2 + 3/(2-x)) dx
16. ∫ ( 4/(5-6x) + 2v3x-5 + sin4х + 5/(cos23x) - 4/(2-6x)3) dx
17. ∫ ( 8/v3x-2 + (4-5x)6 - 2/(3x-5) + sin 4х/7 + 2/(cos23x) dx
18. ∫ ( 8/(cos23x) + sin х/11 + v3x-2 + 5/(2-4x) + 6/(8-5x)3 ) dx
19. ∫ ( 7cos3x + 4/(cos25x) + v3x-2 + 4/(8-5x)7 + 6/(3x+1) ) dx
20. ∫ ( 7cos3x + 4/(sin23x) + 6v3x-2 + 4/(8-x) + 5/(3x-7)2 ) dx
21. ∫ ( 5(3-2x)4 - 6/(3-2x) + sin 3х/5 + 6/(cos28x) + v3x-2) dx
22. ∫ ( v3x-2 + 4/(5-6x) + 8sin4х + 3/(cos28x) + (5-2x)6) dx
23. ∫ ( 8sin х/9 + 4/v3x-2 + 6/(sin23x) + (5-2x)4 + 8/(1-2x) ) dx
24. ∫ ( 8cos5x + 4/(3x-2) + v3x-2 + 6/(sin23x) + (5-3x)2 ) dx
25. ∫ ( (3x-2)4 + 3/(5-6x) + cos8x + 4/(sin23x) + v5-6x) dx
26. ∫ ( 7cos3x + 4/(cos25x) + v3x-2 + 4/(8-5x)7 + 6/(3x+1) ) dx
27. ∫ ( 5/v3x-2 + 4/(6-x) + 8/(3-2x)3 + sin 8х/7 + 5/(cos23x) ) dx
28. ∫ ( 3/(cos28x) + 4/(5-6x)+ 8/v3x-2 + 4/(5-6x)2 + (4-2x)7 ) dx
29. ∫ (2v3x-5 + (4-5x)6 - 4/(3x-2) + sin 4х/7 + 6/(8-5x)3) dx
30. ∫ (7cos3x + 4/(5-6x) + 3/5-6x + 6/(cos28x) + v3x-2) dx
Задание № 43. Вычислить определенный интеграл.
Пример 1.
π π
∫π/2 sin(5x - π/3) dx = - cos(5x - π/3) • 1/5| π/2 =
= - 1/5 • cos(5π - π/3) – (-1/5cos(5 • π/2 - π/3)) =
= 1/5cosπ/3 – (-1/5sinπ/3) = 1/5cosπ/3 + 1/5sinπ/3=
= 1/5 • 1/2 + 1/5 • √3/2 = 1+√3/10
Пример 2.
2 3/2 2
∫1 ( √6 – x + 4/(2x+1))dx = (6-x)/ (3/2) • (-1) + 4 • ln|2x+1| • 1/2|1 =
3/2 3/2
= (6-x)/ (3/2) • (-1) + 4 • ln|2•2+1| • 1/2 – ((6-x)/ (3/2) • (-1) + 4 • ln|2•1+1| • 1/2=
= - 16/3 + 2ln5 – (-2/3 • 53/2 + 2 • ln3) = - 16/3 + 2ln5 + 2/3 • 53/2 - 2ln3 =
= - 16/3 + 2/3 • 53/2 + 2ln5/3
Задание № 44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Формула Ньютона Лейбница
b
S = ∫a f (x) dx = F(b) – F(a)
Пример 1. Найти площадь фигуры ограниченной линиями.
y = 7x
y = x2
Решение: 7x = x2
x • (x-7) = 0
x1 = 0
x2 = 7
7 7
∫0 7xdx = 7 x2/2 |0 = (7 • 72)/2 - (7 • 02)/2 = 343/2
7 7
∫0 x2 dx = x2/3 |0 = 73/3 - 03/3 = 343/2
S = 343/2 – 343/2 = 343/6
Варианты:
1.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = х2 б) y = х2 – 4х
y = 0 y = 1
х = 2
2.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = х2 – х - 5 б) y = 0,5х2 + 2х + 2
y = х - 2 у = х + 2
3.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = sinх б) y = х2 – 4х + 5
y = 0 y = 5
х = π/6
x = π/3
4.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 4/х2 б) y = 4 - х2
y = x2 + 3 y = 2 – x
х = -3
5.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = х4 б) y = х4
y = 0 y = 1
х = 1
x = -1
6.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = -х2 – 4x б) y = 2x - х2
y = 0 y = 0
х = -3
x = -1
7.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 2x – 1 б) y = x - х2
y = √х у = х2 - x
8.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 4 - х2 б) y = cosx
y = 3 у = 1
х = -π/2
x = π/2
9.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = (x – 1)2 б) y = 1/(x+1)2 + 1
y = 0 у = 0
x = 3 x = 0
x = 2
10.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = -x3 б) y = x2 – 4x + 6
y = 0 у = 1
x = -2 x = 1
x = 3
11.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = х2 – 4x + 5 б) y = 4 - х2
y = 0 y = 0
х = 0
x = 4
12.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 – 4x + 5 б) y = 1 - х3
y = 5 у = 0
x = 0
14.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = -x2 – 4x б) y = 4x - х2
y = -х у = 4 - x
15.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 – 4x + 6 б) y = 2 + x3
y = 1 у = 1
x = 1 x = -1
x = 3 x = 1
16.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 б) y = 6 – 2x
y = 2х у = 6 + x – x2
17.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 6 – 2x б) y = (x + 2)2
y = 6 + x – x2 y = 0
x = 0
18.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 4 - x2 б) y = 2x
y = 0 у = 0
x = 0 x = -1
x = 1
19.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x4 б) y = - (x – 1)3
y = 0 у = 0
x = -1 x = 0
x = 1
20.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = -x2 – 4x б) y = 4x - x2
y = 1 у = 4 - x
x = -3
x = -1
21.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 2x - x2 б) y = - (x – 1)3
y = 0 у = 0
x = 0
22.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 – 4x + 4 б) y = 4 - х2
y = 4 – x2 у = 3
23.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 3 – 2x - x2 б) y = x3 + 1
y = 0 у = 0
x = 0 x = 0
x = -2 x = 2
26.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = (x – 2)2 б) y = 2 - x3
y = 0 у = 1
x = 4 x = -1
x = 1
27.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = 9 - x2 б) y = x2
y = 0 у = 3x
x = 0
x = -2
28.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = (x – 1)2 б) y = 3 – 2x - x2
y = 0 у = 0
x = 3 x = 0
x = -2
29.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 б) y = 1 - x3
y = 2x у = 0
x = 0
30.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y = x2 б) y = -х2 + 4
y = 2x – x2 у = 2 - x
Задание № 45. Решите задачи по теме «Призма»
Основные формулы:
Snn = Sбок + 2 Sосн Sбок = Росн ∙ H V = Sосн ∙ H | Где: V - объем Sосн – площадь основания Sбок – площадь боковой поверхноси Snn -∙площадь полной поверхности Росн – периметр основания H - высота |
Пример: Три куба с рёбрами 1м, 2м, 3м переплавили в один куб.
Какую длину ребра имеет этот куб?
Дано: 3 куба a1 = 1м
a2 = 2м V = V1 + V2 + V3
a3 = 3м
Найти: a – ребро куба
Решение: V = Sосн ∙ H = a3
V1 = a3 V2 = a3 V3 = a3
V = V1 + V2 + V3
a3 = a3 + a3 + a3
a3 = 13 + 23 + 33
a3 = 36
a3 = 3 36 Ответ: a3 = 3 36
Варианты:
- Найти полную поверхность куба, если его диагональ равна 27см.
- Основание прямого параллелепипеда-параллелограмма со сторонами 3см и 5см, угол между ними 60о , площадь большего диагонального сечения 63см2 . Определить меньшую диагональ параллелепипеда, боковую поверхность и объем.
- Найдите площадь диагонального сечения куба, если его полная поверхность 72дм2.
- Основанием параллелепипеда служит ромб. Площадь диагональных сечений равны 100см2 и 105см2 , а длина их линии пересечения 10см. Определите площадь боковой поверхности и объем параллелепипеда.
- Найдите полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 20см, 15см и 16см.
- В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2см и 4см и образуют угол 160о , меньшая диагональ параллелепипеда 7см. Определите объем.
- Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит квадрат, равна 264см2 . Найти сторону основания параллелепипеда, если высота его равна 8см.
- Основанием прямоугольного параллелепипеда служит ромб, площадь которого 60см2 . Площадь диагональных сечений 72см2 и 60см2 . Найти объем параллелепипеда.
- В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся, как 1:2:3. Полная поверхность параллелепипеда равна 352см2 . Найдите его измерения.
- Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом в 30о . Площадь основания 16см2 . Площадь боковых граней 24см2 и 48см2 . Найти объем.
- В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся, как 7:24 , а площадь диагонального сечения равна 50дм2 . Определить площадь боковой поверхности.
- В прямом параллелепипеде стороны основания 1см и 2см образуют угол в 30о . Площадь боковой поверхности 60см2 . Определить объем.
- Определить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота H = 1м, площадь основания Q = 2м2 , площадь диагонального сечения М = 3м2 .
- Площади 3-х граней прямоугольного параллелепипеда 2м2 , 3м2 , 6м2 . Найдите его объем.
- Найдите полную поверхность прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8дм и 12дм и образуют угол в 30о , а боковое ребро равно 6дм.
- Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2см, 3см, 6см. Найдите ребро такого куба, чтобы объемы этих тел относились как их поверхности.
- Найдите полную поверхность прямого параллелепипеда, основанием которого служит ромб. Диагонали ромба равны 12дм и 14дм, а высота параллелепипеда 6дм.
- Высота прямого параллелепипеда с квадратным основанием равна 60см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью угол в 60о . Найдите объем параллелепипеда.
- Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 4320дм2 . Диагональ боковой грани 82дм. Найти высоту призмы.
- Измерения прямоугольного параллелепипеда 60см, 100см, 36см. Найдите ребро равновеликого ему куба.
- Найдите боковую поверхность правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой 13дм, а боковое ребро 5дм.
- Определить объем куба по
а) диагонали, равной 5см,
б) по его поверхности равной 200см2 .
- Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если её диагональ равна 14см, а диагональ боковой грани 10см.
- На сколько увеличится объем куба, если его диагональ увеличится на 1м?
- Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9см. А площадь полной поверхности 144см2 . Определить сторону основания и боковое ребро.
- Три куба с ребрами 4см, 2см и 5см переплавили в один. Какую длину ребра имеет этот куб?
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 20см и образует с плоскостью основания угол в 30о . Найдите Sбок , если площадь его основания Sосн = 100см2
- Как нужно измерить ребро куба, чтобы его объем увеличился в 2 раза?
- Как изменится объем куба, если его ребро увеличился в 3 раза?
- Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с тупым углом в L = 120о и сторонами a=2см и b=4см. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Определить объем параллелепипеда.
Задание № 46
Решите задачи по теме «Пирамида. Цилиндр. Конус. Шар.»
Основные формулы:
Пирамида.
Sбок = Росн/2 + h Sбок = Sосн/cosL V = 1/3 Sосн ∙ H | Где: V - объем Sосн – площадь основания Sбок – площадь боковой поверхноси L – двугранный угол Росн – периметр основания H – высота h – апофема |
Цилиндр.
Sбок = 2 πR ∙ H Snn = 2 πR2 + 2πR∙H Sосн = πR2 V = πR2 ∙ H | Где: V - объем Sосн – площадь основания Sбок – площадь боковой Поверхноси Snn – площадь полной поверхности R– радиус цилиндра H – высота |
Конус.
Sбок = (πR2 ∙ L)/360 Sосн = πR2 V = 1/3 πR2 ∙ H | Где: V - объем Sосн – площадь основания Sбок – площадь боковой Поверхноси R– радиус основания H – высота |
Шар.
V = 4/3 πR3 | Где: V - объем R– радиус шара |
Пример 1: Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого стороны 6м, 6м, 8м. Боковые рёбра равны между собой и равны 9м каждая. Определите объем.
Дано: SABC - пирамида
SA = SB = SC = 9м
AB=AC= 6м
BC = 8м
Найти : V.
Решение:
Sосн = p (p – AB)2 ∙ (p – AB)2
Где р – полупериметр р = (AB+AC+ВС)/2 = 10м
Sосн = 10 ∙ (10-6)2 ∙ (10-8) = 80м2
т.к. SA = SB = SC то АМ= МО= АВ2 – ВО2 = 36-16 = 20м
где ВО = ВС/2 = 4м
Н = АS2 – АМ2 = 81-16 = 65м
V = 1/3∙Sосн ∙ Н = 1/3 ∙ 80 ∙ 65 = 1/3 ∙ 5200 = 10 52/3 м3
Пример 2: Во сколько раз нужно уменьшить радиус основания цилиндра, если его объем уменьшится в 3 раза?
Дано: V- первоначальный объем
V1- уменьшенный объем
V/V1 = 3
R- первоначальный радиус
R1 – уменьшенный радиус
Найти: R/R1 = ?
Решение:
V = π R2 Н V1 = π R12 Н
V/V1 = (π R Н)/ (π R12 Н) = R/R12 = 3
(R/R1)2 = 3 R/R1 = 3
Ответ: радиус надо уменьшить в 3 раз.
Пример 3: Осевое сечение конуса равносторонний треугольник. Радиус конуса 4м. В конусе проведено сечение с углом при вершине 30о. Найдите площадь этого сечения.
Дано: конус
Δ SAВ - равносторонний треугольник
R = 4м
МSN = 30о
Найти : SΔМSN.
Решение:
т.к. SAВ - равносторонний треугольник, то L = 2R => L = 8м
SΔМSN. = ½ L2 sin30о = ½ 82 ½ = 16м2
Ответ: SΔМSN = 16м2
Варианты:
- Объем правильной шестиугольной пирамиды 6см3. Сторона основания 1см. Найти боковое ребро.
- По стороне основания равной 2м и высоте 5м. Определите апофему правильной треугольной пирамиды.
- Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды 12дм2 , а боковая поверхность 24дм2 . Определите объем.
- Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6см , а высота 4см. Найти объем.
- По стороне основания a = 2м и боковому ребру b = 3м. Определите высоту правильной треугольной пирамиды.
- Диагональ квадратного основания правильной пирамиды равна 6м, а высота пирамиды 15м. Найти объем.
- Найти объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны и равны 10см, 15см, 9см.
- По ребру a = 1м тетраэдра. Определить Snn.
- Найти Росн правильной четырехугольной пирамиды, если её высота равна 6м и апофема 6,5м.
- Ромб со стороной 1,5см служит основанием пирамиды, каждая грань которой наклонена к основанию под углом 45о . Sбок 3см2. Найти объем.
- Основанием прямой пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3см и 7см, а одна из диагоналей 6см. Высота пирамиды 4см. Определите боковые ребра.
- Основанием пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Наибольшее боковое ребро равное 6м, наклонено к основанию под углом 45о . Найти Sосн.
- Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна 1м и составляет угол в 30о с основанием. Найти объем.
- Прямоугольник, стороны которого 3м, 5м вращается вокруг меньшей стороны. Найти Snn и V .
- Радиус основания цилиндра 2м, высота 3м. Найти диагональ осевого сечения.
- Высота цилиндра 6м. Радиус основания 5м. Найти площадь сечения, проведенного параллельно основанию цилиндра на расстоянии 4м от неё.
- Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат, площадью в 4м2 . Найти объем.
- Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь которого 16м2 . Найти Snn и V.
- Диагональ осевого сечения цилиндра, длина которой 8см, образует с основанием угол в 30о . Найти объем.
- Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом, равным 30о, обращенным к основанию = 1000м3 . Найти высоту.
- Радиус конуса 3м, высота 4м. Найдите образующую конуса.
- Образующая конуса, равная 1м, наклонена к основанию под углом 30о . Найти объем.
- Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Радиус 5м. Найдите площадь осевого сечения.
- В конусе с H =20м и R =25м на расстоянии от центра, равным 12м, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения.
- В конусе с R =8м, проведено сечение с углом при вершине 30о . Образующие конуса наклонены к основанию под углом 30о Найдите площадь этого сечения.
- Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Его площадь 9м2. Найдите объем конуса.
- Образующая конуса 8м. Длина окружности основания С = 2πR∙= 6π м. Найдите объем.
- Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны, равной 2м. Найти объем полученной фигуры.
- Прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы. Найти объем полученной фигуры, если катеты треугольника 6м и 2м.
- В шаре, радиус которого 10см, на расстоянии = 6см от центра проведено сечение. Найти S сечения и V шара, у которого это сечение диаметральное.
- Rш∙= 10дм. Через конец радиуса под углом 60о к нему проведено сечение. Найти S сечения и V шара, у которого это сечение диаметральное.
- В шаре на расстоянии 8см от центра проведено сечение, площадь которого 706,5 см2 . Найти объем шара.
- В шаре на расстоянии 15см от центра проведено сечение, длина окружности которого 50,24см. Найти S и V шара.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебно-методический комплекс дисциплины "Русский язык и культура речи для студентов очной формы обучения специальности "Экономика и управление на предприятии (по отраслям)"
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Русский язык и культура речи» является совокупностью учебно-методических материалов, способствующих эффективному освоению студентами данной учебной дисципли...
Вопросы итоговой аттестации по физике для студентов 1 курса очной формы обучения
По окончанию изучения дисциплины "Физика" студенты сдают государственный устный экзамен в традиционной форме (по билетам). Экзаменационные материалы состоят из 24 билетов, каждый из которых соде...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/24/picture-1107006-1548292911.jpg)
Методические указания по выполнению контрольной работы по учебной дисциплине «БД.01. Русский язык» для студентов 1 курса заочной формы обучения
Методические указания по выполнению контрольной работы по учебной дисциплине "БД.01. Русский язык" для студентов 1 курса заочной формы обучения...
![](/sites/default/files/pictures/2015/10/17/picture-690524-1445105351.jpg)
Методические указания для студентов очной формы обучения по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
Методические указания предназначены для студентов 1 курса очной формы обучения специальности 44.02.01 Дошкольное образование ОУД.03 Иностранный язык (немецкий) по выполнению внеаудиторной самостоятель...
![](/sites/default/files/pictures/2023/03/23/picture-201400-1679569327.jpg)
Комплект материалов для проведения зачета по ОГСЭ.04 Физическая культура, Специальность 34.02.01 Сестринское дело 3 курс, 5 семестр; 4 курс, 7 семестр (очная форма обучения) 2018 - 2019 учебный год
Комплект материалов для проведения дифференцированного зачета по ОГСЭ.04 Физическая культура, Специальность 34.02.01 Сестринское дело 3 курс, 5 семестр; 4 курс, 7 семестр (очная форма обучения)...
![](/sites/default/files/pictures/2019/12/21/picture-1201185-1576925071.jpg)
ИСТОРИЯ Учебное пособие для студентов 2 курса очной формы обучения специальностей среднего профессионального образования
В учебном пособии рассматриваются методологические основы и понятийный аппарат дисциплины «История». Представленный материал соответствует требованиям ФГОС специальностей среднего професси...
![](/sites/default/files/pictures/2020/08/16/picture-1261956-1597568869.jpg)
Методические указания по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы (СРС) по дисциплине ФИЗИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА для студентов очной формы обучения. 2023 г.
Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Физическая культура» способствует активизации творческого потенциала личности, гармонизации духовных и физических сил, формированию таких об...