Разноуровневый урок по теме "Тригонометрические уравнения"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Разноуровневый урок по теме

«Тригонометрические уравнения»

Цели:

• совершенствовать умение решать тригонометрические уравнения базового и повышенного уровня сложности;
• развивать навыки преобразования тригонометрических выражений, организовать коррекционную работу над пробелами по теме «преобразование тригонометрических выражений» и «решение тригонометрических  уравнений» на уровне, соответствующем уровню сформированных навыков;
• воспитывать самостоятельность

Тема урока  выбрана на основе анализа результатов пробного экзамена в 11 «А» классе, в ходе которого было выявлено, что  учащиеся имеют значительные пробелы по темам «преобразование тригонометрических выражений» и «решение тригонометрических  уравнений». Справились на 100% с заданиями по указанным темам – 25% учащихся (группа «С»), справились только на базовом уровне сложности – 26% (группа «В»), не справились с заданием – 49% (группа «А»).

        Учащиеся рассаживаются в соответствии с 3 уровнями подготовки. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала, они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Оборудование:

1. Интерактивная доска
2. Презентация «Разноуровневый урок по теме «Тригонометрические уравнения»
3. Раздаточный материал, подготовленный учителем для организации самостоятельной работы. На столах учащихся лежат конверты с карточками, которые учащиеся используют на различных этапах урока. Для каждой группы учащихся используются задания, напечатанные на карточках различных цветов: для  группы  «С» – белые карточки; для  группы «В» – голубые; для  группы «А» – зеленые.

При повторении теоретического материала на доске высвечиваются повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные теоретические факты. При самопроверке самостоятельной работы на доске появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

I этап  - организационный (1 мин)

( Слайд №2) Учитель сообщает тему урока, его цели, назначение раздаточного материала, лежащего на столах. ( Слайд №3) Комментируется эпиграф к уроку ( «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.» Анатоль Франс)

I I этап   (9 мин)

Повторение теоретического материала по теме

«Решение тригонометрических уравнений»

( Слайд № 4)

- Что называют синусом, косинусом, тангенсом произвольного угла?

Ответ:

• Синусом угла α называется ордината точки единичной  окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α;
• Косинусом угла α называется абсцисса точки единичной  окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α;
• Тангенсом угла α называется  отношение синуса угла α к его косинусу.

- Каково множество значений функции y = sinx, y = cosx, y = tgx?

Ответ: [ -1; 1], [ -1; 1], (-∞; +∞).

- Что называют арксинусом числа а, арккосинусом числа а, арктангенсом числа а?

Ответ:

• арксинусом числа а €[ -1; 1] называется такое число α€[ -п/2; п/2], синус которого равен а;
• арккосинусом числа а €[ -1; 1] называется такое число α€[  0; п], синус которого равен а;
• арктангенсом числа а €(-∞; +∞), называется такое число α€ ( -п/2; п/2), тангенс которого равен а.

В ходе повторения ключевых понятий используется интерактивная модель тригонометрической окружности, выполненная учащимся группы «С».

Для закрепления понятий арксинуса, арккосинуса и арктангенса учитель предлагает учащимся выполнить задание « Найди ошибку» (Слайд № 5).

-Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями?

Ответ:

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: 1) sinx=а,  2) cosx=а,  3)tgx =а.

-При каких а эти уравнения имеют решения?

Ответ: 1) при а €[ -1; 1]; 2) при а €[ -1; 1]; 3) при а €(-∞; +∞).

 -Назовите  решения  уравнений:

1. sinx = 1 (слайд № 6).  Ответ: x = П/2 + 2Пn, n € Z.
2. sinx = - 1 (слайд № 7). Ответ: x = - П/2 + 2Пn, n € Z.
3. sinx = 0 (слайд № 8). Ответ:  x = Пn, n € Z.
4. sinx = а (слайд № 9). Ответ: x = (-1)ⁿarcsin a + Пn, n € Z.
5. cosx = 1 (слайд № 10). Ответ: x = 2Пn, n € Z.
6. cosx = - 1 (слайд № 11). Ответ: x = П + 2Пn, n € Z.
7. cosx = 0 (слайд № 12). Ответ: x = П/2 + Пn, n € Z.
8. cosx = а (слайд № 13). Ответ: x = ± arccos a + 2 Пn, n € Z
9. tgx =а (слайд № 14). Ответ: x = arctg a + Пn, n € Z.

Закрепление знаний (слайд № 15-16): установите соответствие между уравнениями и формулами их решений.

3-ий этап   (3 мин)

Устная работа по теме

« Преобразование тригонометрических выражений»

Учитель просит учащихся упростить выражения.

Решение с комментарием и ссылкой на необходимый теоретический материал.

(слайд № 17).

V I этап   (6 мин)

Коррекция знаний по теме

« Преобразование тригонометрических выражений»

Учащимся группы «С» предлагается самостоятельно решить задания, предложенные в белой карточке № 1..

         Учитель работает с учащимися группы «А» и группы «В». К доске приглашаются 2 наиболее подготовленных учащихся группы «В» для решения заданий.

Задание №1.

Cosx = - 0,6,  -П/2

Решение.

sin²x = 1 - cos²x;   sin²x = 1- 0,36 = 0,64; т.к. на (-п/2; п/2)  sinx >0, то sinx = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задание №2.

Найти корень уравнения  и записать в  ответ наименьший положительный корень   Cos ( П(2x+8)/6)=√3/2.

Решение.

 П(2x+8)/6 =± arсcos(√3/2) + 2Пn, n € Z,

П(2x+8)/6 = ± П/6+ 2Пn, n € Z,

П(2x+8) = ± П+ 12Пn, n € Z,

2x+8=± 1+ 12n, n € Z,

2x=± 1-8+ 12n, n € Z,

x=± ½ - 4+ 6n, n € Z,

x1= ½ - 4+ 6n, n € Z, при n=1 получим x1=0,5 - 4+ 6=2,5;

x2= - ½ - 4+ 6n, n € Z, при n=1 получим  x2= - 0,5 - 4+ 6= 1,5.

Наименьший положительный корень:1,5.

Ответ: 1,5.

Белая карточка №1

Вариант 1

1. Найдите sin, если cos0,6 и

2. Найти корень уравнения  и записать в  ответ наименьший положительный корень   Cos ( П(8x+8)/3)=½

3. Найдите , если .

4. Вычислить:         

Белая карточка №1

Вариант 2

1. Найдите , если  и

2. Найти корень уравнения  и записать в  ответ наименьший положительный корень   Cos ( П(4x-6)/3)=½

3. Найдите      , если .

4. Вычислить:

        Через 5 минут после начала работы учащихся группы «С» на экране высвечиваются ответы на задания, размещенные в белой карточке №1. Идет самопроверка. В случае необходимости учащемуся оказывает помощь ученик-консультант.

(слайд № 18).

V  этап   (8 мин)

Практическая разноуровневая работа по теме « Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения»

Учащиеся группы «А» и группы «В» приступают к выполнению заданий, размещенных на голубой карточке №1 и зеленой карточке №1 соответственно.

Голубая карточка №1

Вариант 1

1. Найдите , если .
2. Найти , если sin a = 0,6 и
3. Найти корень уравнения  и записать в  ответ наименьший положительный корень   Cos( П(4x-3)/3)=½

Голубая карточка №1

Вариант 2

1.Найдите , если sin a = - 0,3.

2. Найти       если

3. Найти корень уравнения  и записать в  ответ наименьший положительный корень   Cos( П(4x-2)/3)=½

Зеленая карточка №1

Вариант 1

1. Пример: 18 sin75ºcos75º  = 18 sin75ºcos75º   = 18

                            Sin150º             2 sin75ºcos75º

Найдите значение выражения:

                                                  1 6 sin202º             ;

                                                            Sin101º  cos101º                  

2. Найти cosa, если sin a = -0,6 и  3П/2< a <2п

Зеленая карточка №1

Вариант 2

1.  Пример Пример: 18 sin75ºcos75º  = 18 sin75ºcos75º   = 18

                            Sin150º             2 sin75ºcos75º

Реши самостоятельно:  38 sin35ºcos35º   ;  

                                                            Sin70º      

                                                   6 sin302º             ;

                                                            Sin151º  cos151º                  

2. Найти   sina, если cosa = -0,6 и  П/2< a <п.

 Учащиеся группы «С» под руководством учителя приступают к систематизации методов  решения уравнений, повышенного уровня сложности. Методы решения тригонометрических уравнений:

• Уравнения, сводимые к алгебраическим (слайд № 19)
• Метод разложения на множители (слайд № 20)
• Введение новой переменной (однородные уравнения, слайд № 21)
• Введение вспомогательного аргумента (слайд № 22)
• Уравнения, решаемые переводом суммы в произведение (слайд № 23)

Далее сильным учащимся предлагается решить самостоятельно уравнения повышенного уровня сложности (слайд № 24):

1. Решить уравнение:   7 sin²x + 4 sinxcosx -3 cos²x = 0.

Указать корни, принадлежащие отрезку [3П/2; 5П/2 ].

2. Решить уравнение: (4 sin²x + 16 sinx + 7) lg(cosx) = 0.

В дальнейшем следует  самопроверка.

 Решение.

№1.  (слайд № 25)

  7 sin²x + 4 sinxcosx -3 cos²x = 0, (: cosx≠0),

7 tg²x + 4 tgx – 3=0

        1) tgx= -1, x= - П/4 + Пn, n € Z;

        2) tgx= 3/7, x= arctg 3/7 + Пk, k € Z.

Отбор корней, принадлежащих отрезку [3П/2; 5П/2 ]:

Х1= arctg 3/7+2П; Х2=-П/4 + 2П=7П/4.

Ответ: - П/4 + Пn, n € Z; arctg 3/7 + Пk, k € Z;

             arctg 3/7+2П; -П/4 + 2П=7П/4.

№2. Решение (слайд № 26)

         1) cosx>0.

        2)  4 sin²x + 16 sinx + 7 = 0              или          lg(cosx) = 0;

sinx = - ½                                                     cosx= 1,  

sinx = -3 – исключаем, т.к. -3 не принадлежит отрезку [-1; 1].

Найдем решения, удовлетворяющие условию     cosx>0.

Х1= 2Пn;    Х2= -П/6 + 2Пk, n € Z, k € Z

Ответ: 2Пn;  -П/6 + 2Пk, n € Z, k € Z.

После решения и обсуждения двух уравнений повышенного уровня сложности учащиеся группы «С» приступают к выполнению самостоятельных работ (белая карточка №2). /см. приложение №1/

Через 8 минут после начала практической разноуровневой  работы учащимися группы «А» и «В» на экране высвечиваются ответы на задания, размещенные на голубой карточке №1 и зеленой карточке №1 (слайд № 27)

Идет самопроверка. По мере необходимости учащиеся получают консультацию учителя.

VI  этап   (15 мин)

Разноуровневая самостоятельная работа

Учащиеся группы «А» и «В» приступают к самостоятельной работе (голубая карточка №2 и зеленая карточка№2 соответственно), на выполнение которой отводится 15 минут. Учащимся группы «А» предлагаются задания аналогичные тем, которые разбирались на урок и два задания, которые они уже успешно демонстрировали /см. приложение №1/. Во время самостоятельной работы учитель при необходимости помогает слабым учащимся.

VII этап   (2 мин)

Подведение итогов. Домашнее задание

Учитель подводит итоги. Объявляет домашнее задание (слайд № 28).

Домашнее задание:  Пробный ЕГЭ 2014 г. (обмен вариантами);

                                   повторить п. 9, 11.