Периодические функции
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 3

Учитель

Короткова

Ася Эдиковна

г. Курганинск

2008г.                                                         

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение ………………………………………………           2-3

Периодические функции и их свойства …………….           4-6

Задачи …………………………………………………           7-14

Введение

Отметим, что у задач на периодичность в учебно-методической литературе нелёгкая судьба. Объясняется это странной традицией-допускать те или иные небрежности в определении периодических функций, которые приводят к к спорным решениям и провоцируют инциденты на экзаменах.

        Например, в книге «Толковый словарь математических терминов» - М, 1965г., даётся следующее определение: «периодическая функция – функция  

y = f(х), для которой существует число t > 0, что для всех х и х+t из области определения f(x + t) = f(х).

        Приведём контр-пример, показывающий некорректность этого определения. По этому определению периодической с периодом t = 2π будет функция

с(x) = Cos(√x)2 – Cos(√4π - x)2 с ограниченной областью определения [0; 4π], что противоречит общепринятой точке зрения о периодических функциях.

        Аналогичные проблемы возникают и во многих новейших альтернативных учебниках для школы.

        В учебнике А.Н.Колмогорова приводится следующее определение: «Говоря о периодичности функции f, полагают, что имеется такое число Т ≠ 0, что область определения Д (f) вместе с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х параллельным переносом вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т. Функцию f называют периодической  с периодом Т ≠ 0, если для любого из области определения значения этой функции в точках х, х – Т, х + Т равны, т.е. f (х + Т) = f (х) = f (х – Т)». Далее в учебнике написано: «Поскольку синус и косинус определена на всей числовой прямой и Sin (х + 2π) = Sin х,  

Cos (х + 2π) = Cos х для любого х, синус и косинус – период функции с периодом 2π».

В этом примере почему-то не проверяется требуемое в определении условия что

Sin (х – 2π) = Sin х. В чём дело? Дело в том, что это условие в определении лишнее. Действительно, ведь если Т > 0 – период функции f(х), то Т тоже будет являться периодом этой функции.

        Хочу привести ещё одно определение из учебника М.И.Башмакова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» «Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что равенство

f (х + Т) = f(х) выполняется тождественно при всех значениях х».

        В приведённом определении ничего не говорится об области определения функции, хотя имеется в виду х из области определения, не любые действительные х. По такому определению периодической может быть функция у = Sin (√х)2, определенная только при х ≥ 0, что неверно.

           В едином государственном экзамене имеются задачи на периодичность. В одном научно- периодическом журнале в качестве тренинга по разделу С ЕГЭ было приведено решение задачи: « является ли функция у (х) = Sin2 (2+х) – 2 Sin 2 Sin х Cos (2+х) периодической?»

        В решении проявляется, что у (х – π) = у (х) в ответе – лишняя запись

«Т = π» (ведь вопрос о нахождении наименьшего положительного периода не ставиться). Так ли необходимо для решения этой задачи проводить непростое тригонометрическое образование. Ведь здесь можно ориентироваться на понятие периодичности, как на ключевое в условии задачи.

Решение.

f1(x) = Sin х – периодическая функция с периодом Т = 2π

f2(x) = Cos х – периодическая функция с периодом Т = 2π, тогда 2π – период и для функций f3(x) = Sin (2 + х) и f4(x) = Cos (2 + х), (это следует из определения периодичности)

f5(x) = - 2 Sin 2 = Const, её периодом является любое число, в том числе и 2π.

Т.к. сумма и произведение периодических функций с общим периодом Т, также является Т-периодичной, то данная функция периодичная.

        Надеюсь, что приведённый в этой работе материал, поможет при подготовке к единому государственному экзамену в решении задач на периодичность.

Периодические функции и их свойства

О п р е д е л е н и е: функция f(t) называется периодической, если для любого t из области определения этой функции Df существует число ω ≠ 0, такое, что:

1) числа (t ± ω) є Df ;

2) f (t + ω) = f(t).

1. Если число ω = период функции f (t), то число kω, где k = ±1, ±2, ±3, … тоже являются периодами функции f(t).

П р и м е р. f (t) = Sin t. Число Т = 2π – наименьший положительный период данной функции. Пусть Т1 = 4π. Покажем, что Т1 тоже является периодом данной функции.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin  (t + 2π) = Sin t.

Значит, Т1 – период функции f (t) = Sin t.

2. Если функция f(t) – ω – периодическая функция, то функции f (аt), где а є R, и f (t + с), где с – произвольная константа, тоже являются периодическими.

Найдём период функции f (аt).

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), т.е. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Следовательно, период функции f(аt) – ω1 = ω/а.

П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin t/2.

П р и м е р 2. Найти период функции у = Sin (t + π/3).

Пусть f(t) = Sin t; у0 = Sin (t0 + π/3).

Тогда функция f(t) = Sin t примет тоже значение у0 при t = t0 + π/3.

Т.е. все значения, которые принимает функция у принимает и функция f(t). Если t толковать как время, то каждое значение у0 функцией у = Sin (t + π/3) принимается на π/3 единиц времени раньше, чем функцией f(t) «сдвигом» влево на π/3. Очевидно, период функции от этого не изменится т.е. Ту = Т1.

3. Если F(x) – некоторая функция, а f(t) – периодическая функция, причём такая, что f(t) принадлежит области определения функции F(x) – DF, тогда функция F(f (t)) – периодическая функция.

        Пусть F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) для любого t є Df .

П р и м е р. Исследовать на периодичность функцию: F(x) = ℓ sin x.

Область определения данной функции Df  совпадает с множеством действительных чисел R. f (х) = Sin х.

Множество значений этой функции – [-1; 1]. Т.к. отрезок [-1; 1] принадлежит Df  , то функция F(x) периодическая.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π – период данной функции.

4. Если функции f1(t) и f2(t) периодические соответственно с периодами ω1 и ω2  и ω1/ω2 = r, где r – рациональное число, то функции

      С1f1(t) + С2f2(t) и f1(t) · f2(t) являются периодическими (С1 и С2 – константы).

Замечание: 1) Если r = ω1/ω2 = p/q, т.к. r – рациональное число, тогда

 ω1q = ω2p = ω, где ω – наименьшее общие кратное чисел ω1 и ω2 (НОК).

Рассмотрим функцию С1 f1(t) + С2 f2(t).

Действительно, ω = НОК (ω1 , ω2) - период данной функции

С1 f1(t) + С2 f2(t)  = С1 f1(t+ ω1q) + С2 f2(t+ ω2p) + С1 f1(t) + С2 f2(t) .

2) ω – период функции f1(t) · f2(t), т.к.

f1(t + ω) · f2(t + ω =f1(t +ω1q) · f2(t =ω2p) = f1(t) · f2(t).

О п р е д е л е н и е: Пусть f1(t) и f (t) – периодические функции с периодами соответственно ω1 и ω2, тогда два периода называются соизмеримыми, если  ω1/ω2 = r – рациональное число.

3) Если периоды ω1 и ω2 не соизмеримы, то функции f1(t) + f2(t) и  

f1(t) · f2(t) не являются периодическими. Т.е., если f1(t) и f2(t)отличны от константы, периодичны, непрерывны, их периоды не соизмеримы, то f1(t) + f2(t), f1(t) · f2(t) не являются периодическими.

4) Пусть f(t) = С, где С – произвольная константа. Данная функция периодичная. Её периодом является любое рациональное число, значит, наименьшего положительного периода она не имеет.

5) Утверждение верно и для большего числа функций.

П р и м е р 1. Исследовать на периодичность функцию

                                                f(х) = Sin х + Cos х.

Решение. Пусть f1(х) = Sin х, тогда ω1 = 2πk, где k є Z.

Т1 = 2π – наименьший положительный период.

f2(х) = Cos х, Т2 = 2π.

Отношение Т1/Т2 = 2π/2π = 1 – рациональное число, т.е. периоды функций f1(х) и f2(х) соизмеримы. Значит, данная функция периодична. Найдём её период. По определению периодической функции имеем

Sin (х + Т) + Cos (х + Т) = Sin х + Cos х,

Sin (х + Т) - Sin х = Cos х - Cos (х + Т),

2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,

Sin Т/2 (Cos Т+2х/2 - Sin Т+2х/2) =0,

√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, следовательно,

Sin Т/2 = 0, тогда Т = 2πk.

Т.к. (х ± 2πk) є Df, где f(х) = Sin х + Cos х,

f(х + t) = f(х), то функция f(х) – периодическая с наименьшим положительным периодом 2π.

П р и м е р 2. Является ли периодическая функция f(х) = Cos 2х · Sin х, каков её        период?

Решение. Пусть f1(х) = Cos 2х,  тогда Т1 = 2π : 2 = π (см. 2)

Пусть f2(х) = Sin х, тогда Т2 = 2π. Т.к. π/2π = ½ - рациональное  число, то данная функция является периодической. Её период Т = НОК  

(π, 2π) = 2π.

Итак, данная функция периодическая с периодом 2π.

5. Пусть функция f(t), тождественно не равная константе, непрерывна и периодична, тогда она имеет наименьший положительный период ω0 , всякий другой период её ω имеет вид: ω = kω0,  гдк k є Z.

Замечание: 1) В этом свойстве очень важны два условия:

f(t) непрерывна, f(t) ≠ С, где С – константа.

2) Обратное утверждение не верно. Т.е., если все периоды соизмеримы, то отсюда не следует, что существует наименьший положительный период. Т.е. у периодической функции наименьшего положительного периода может и не быть.

П р и м е р 1. f(t) = С, периодическая. Её период – любое действительное число, наименьшего периода нет.

П р и м е р 2. Функция Дирихле:

              0, если х – рациональное число;

D(х) =

                 1, если х – иррациональное число.

Любое рациональное число является её периодом, наименьшего положительного периода нет.

6. Если f(t) – непрерывная периодическая функция и ω0 – её наименьший положительный период, то функция f(αt + β) имеет наименьший положительный период ω0/‌‌/α/. Это утверждение следует из п. 2.

П р и м е р 1.  Найти период функции у = Sin (2х – 5).

Решение. у = Sin (2х – 5) = Sin (2(х – 5/2)).

График функции у получается из графика функции Sin х сначала «сжатием» в два раза, затем «сдвигом» вправо на  2,5. «Сдвиг на периодичность не влияет, Т = π – период данной функции.

Легко получить период данной функции, используя свойство п. 6:

                                             Т = 2π/2 = π.

7. Если f(t) – ω – периодическая функция, и она имеет непрерывную производную f'(t), то f'(t) тоже периодическая функция, Т = ω

П р и м е р 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Её производная f'(t) = Cos t

                        f'(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.

П р и м е р 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Её производная

                        f'(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.

П р и м е р 3. f(t) =tg t, её период Т = πk.

                        f'(t) = 1/ Cos2t – тоже периодическая по свойству п. 7 и имеет период Т = πk. Её наименьший положительный период Т = π.

З А Д А Ч И.

№ 1

        Является ли функция f(t) = Sin t + Sin πt периодической?

Решение. Для сравнения решим эту задачу двумя способами.

Во-первых, по определению периодической функции. Допустим, что f(t) – периодическая, тогда для любого t є Df имеем:

                 Sin (t + Т) + Sin π (t + Т) = Sin t + Sin πt,

                 Sin (t + Т) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + Т),

                 2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

Т.к. это верно для любого t є Df, то в частности и для t0, при котором левая часть последнего равенства обращается в ноль.

Тогда имеем: 1) Cos 2t0 +Т/2 Sin Т/2 = 0. Разрешим относительно Т.

Sin  Т/2 = 0 при Т = 2 πk, где k є Z.

                   2) Cos 2πt0+ πt0/2 Sin πТ/2 = 0. Разрешим относительно Т.

                Sin πТ/2 = 0, тогда Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, где n є Z.

                Т.к. имеем тождество, то 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, чего быть не может, т.к. π – иррациональное число, а n/ k – рациональное. Т.е., наше предположение что функция f(t) – периодическая было не верным.

        Во – вторых, решение гораздо упрощается, если воспользоваться приведёнными выше свойствами периодических функций:

 Пусть f1(t) = Sin t, Т1 = 2 π; f2(t) = Sin πt, Т2 - 2π/π = 2. Тогда, Т1/Т2 = 2π/2 = π –иррациональное число, т.е. периоды Т1, Т2 не соизмеримы, значит, f(t) не является периодической.

Ответ: нет.

№ 2

        Показать, что если α – иррациональное число, то функция

                                  f(t) = Cos t + Cos αt

не является периодической.

Решение. Пусть f1(t) = Cos t,  f2(t) = Cos αt.

Тогда их периоды соответственно Т1 = 2π, Т2 = 2π//α/ - наименьшие положительные периоды. Найдём, Т1/Т2 = 2π/α//2π = /α/ -  иррациональное число. Значит Т1 и Т2 несоизмеримы, а функция

f(t) не является периодической.

№ 3

        Найти наименьший положительный период функции f(t) = Sin 5t.

Решение. По свойству п.2 имеем:

f(t) – периодическая; Т = 2π/5.

Ответ: 2π/5.

№ 4

        Является ли периодической функция F(х) = arccos x + arcsin x?

Решение. Рассмотрим данную функцию

F(х) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,

т.е. F(х) – периодическая функция (см. свойство п. 5, пример 1.).

Ответ: да.

№ 5

        Является ли периодической функция

                                 f(х) = Sin 2х + Cos 4х + 5 ?

решение. Пусть f1(х) = Sin 2х, тогда Т1 = π;

                            f2(х) = Cos 4х, тогда Т2 = 2π/4 = π/2;

                            f3(х) = 5, Т3 – любое действительное число, в частности Т3 можем предположить равным Т1 или Т2. Тогда период данной функции Т = НОК (π, π/2) = π. Т.е., f(х) – периодическая с периодом Т = π.

Ответ: да.

№ 6

Является ли периодической функция f(х) = х – Е(х), где Е(х) – функция, ставящая аргументу х в соответствие наименьшее целое число, не превосходящее данное.

Решение. Часто функцию f(х) обозначают {x} – дробная часть числа х, т.е.

                 f(х) = {x} = х – Е(х).

                Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует такое число Т >0, что х – Е(х) = х + Т – Е(х + Т). Распишем это равенство

{x} + Е(х) – Е(х) = {x + T} + E(х + Т) – Е(х + Т),

{x} + {x + T} – верно для любого х из области определения Df, при условии, что Т ≠ 0 и Т є Z. Наименьшее положительное из них Т = 1, т.е. Т =1 такое, что

                       х + Т – Е(х + Т) = х – Е(х),

                  причём, (х ± Тk) є Df, где k є Z.

Ответ: данная функция периодична.

№ 7

        Является ли периодичной функция f(х) = Sin х2.

Решение. Допустим, что f(х) = Sin х2 периодическая функция. Тогда по определению периодической функции существует число Т ≠ 0 такое, что:  Sin х2 = Sin (х + Т)2 для любого х є Df.

                               Sin х2 = Sin (х + Т)2 = 0,

                  2 Cos х2 + (х+Т)2/2 Sin х2-(х+Т)2/2 = 0, тогда

                     Cos х2 + (х+Т)2/2 = 0 или Sin х2-(х+Т)2/2 = 0.

                  Рассмотрим первое уравнение:

                    Cos х2 + (х+Т)2/2 = 0,

                   х2 + (х+Т)2/2 = π(1+2 k)/2    (k є Z),

                   Т = √ π(1+2 k) – х2 – х.                                         (1)

                  Рассмотрим второе уравнение:

                  Sin х2-(х+Т)2/2 = 0,

                  х + Т = √- 2πk + х2,

                  Т = √х2 - 2πk – х.                                                   (2)

                  Из выражений (1) и (2) видно, что найденные значения Т зависит от х, т.е. не существует такого Т>0, что

                         Sin х2 = Sin (х+Т)2

                  для любого х из области определения этой функции. f(х) – не периодична.

Ответ: нет

№ 8

        Исследовать на периодичность функцию f(х) = Cos2 х.

Решение.  Представим f(х) по формуле косинуса двойного угла

                            f(х) = 1/2 + 1/2 Cos 2х.

                  Пусть f1(х) = ½ , тогда Т1 – это может быть любое действительное число; f2(х) = ½ Cos 2х – периодическая функция, т.к. произведение двух периодических функций, имеющих общий период Т2 = π. Тогда наименьший положительный период данной функции

                                     Т = НОК (Т1, Т2) =π.

                  Итак, функция f(х) = Cos2х – π – периодична.

Ответ: π – периодична.

№ 9

        Может ли областью определения периодической функции быть:

                                  а) полупрямая [а, ∞),

                                  б) отрезок [0, 1] ?

Решение. Нет, т.к.

                 а) по определению периодической функции, если х є Df, то х ± ω тоже

                 должны принадлежать области определения функции. Пусть х = а, то

                 х1 = (а – ω) є  [а, ∞);

                 б) пусть х = 1, то х1 = (1 + Т) є  [0, 1].

№ 10

        Может ли периодическая функция быть:

            а) строго монотонной;

            б) чётной;

            в) не чётной?

Решение. а) Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует Т≠0 такое, что для любого х из области определения функций Df чтсла

(х ±Т) є Df и f (х±Т) = f(х).

Зафиксируем любое х0 є Df, т.к. f(х) – периодическая, то (х0+Т) є Df и f(х0) = f(х0+Т).

Допустим, что f(х) строго монотонна и на всей области определения Df, например, возрастает. Тогда по определению возрастающей функции для любых х1 и х2 из области определения Df из неравенства х1< х2 следует, что f(х1) < f(х2). Вчастности, из условия х0<х0 + Т, следует, что

                       f(х0) 0 +Т), что противоречит условию.

Значит, периодическая функция не может быть строго монотонной.

б) Да, периодическая функция может быть чётной. Приведём несколько примеров.

   f(х) = Cos х,     Cos х = Cos (-х),    Т = 2π,   f(х) – чётная периодическая функция.

                                0, если х – рациональное число;

                D(х) =

                                1, если х – иррациональное число.

D(х) = D(-х), область определения функции D(х) симметрична.

Функция Дирехле D(х) является чётной периодической функцией.

f(х) = {x},

f(-х) = -х – Е(-х) = {-x} ≠ {x}.

Данная функция не является чётной.

в) Периодическая функция может быть нечётной.

f(х) = Sin х,   f(-х) = Sin (-х) = - Sin = - f(х)

f(х) – нечетная периодическая функция.

f(х) – Sin х · Cos х,  f(-х) = Sin (-х) Cos (-х) = - Sin х Cos х = - f(х) ,

f(х) – нечётная и периодическая.

f(х) = ℓSin x,   f(-х) = ℓSin(- x) = ℓ-Sin x≠ - f(х),

f(х) не является нечётной.

f(х) = tg x – нечётная периодическая функция.

Ответ: нет; да; да.

№ 11

        Сколько нулей может иметь периодическая функция на:

1) [a, б]; 2) на всей числовой оси, если период функции равен Т?

Решение: 1. а) На отрезке [а, б] периодическая функция может не  иметь нулей, например, f(х) = С, С≠0; f(х) = Cos х + 2.

б) На отрезке [а, б] периодическая функция может  иметь бесконечное множество нулей, например, функция Дирехле

                 0, если х – рациональное число,

   D(х) =

                 1, если х – иррациональное число.

в) На отрезке [а, б] периодическая функция может  иметь конечное число нулей. Найдём это число.

Пусть Т – период функции. Обозначим

          Х0 = {min x є{a,б}, таких что f(х) = 0}.

Тогда число нулей на отрезке [а, б]: N = 1 + Е (в-х0/Т).

Пример 1. х є [-2, 7π/2], f(х) = Cos2х – периодическая функция с периодом Т = π; х0 = -π/2; тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке

N = 1 + Е (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + Е (8π/2π) = 5.

Пример 2. f(х) = х – Е(х), х є [-2; 8,5]. f(х) – периодическая функция, Т + 1,

х0 = -2. Тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке

                      N = 1 + Е (8,5 – (-2)/1) = 1 + Е (10,5/1) = 1 + 10 = 11.

Пример 3. f(х) = Cos х, х є [-3π; π], Т0 = 2π, х0 = - 5π/2.

Тогда число нулей данной функции на заданном отрезке

N = 1 + Е (π – (-5π/2)/2π) = 1 + Е (7π/2π) = 1 + 3 = 4.

             2. а) Бесконечное число нулей, т.к. х0 є Df и f(х0) = 0, то для всех чисел

Х0 +Тk, где k є Z, f(х0 ± Тk) = f(х0) =0, а точек вида х0 ± Тk бесконечное множество;

б) не иметь нулей; если f(х) – периодическая и для любых

х є Df функция f(х) >0 или f(х)<0. Например:

                  f(х) = Sin х +3,6; f(х) = С, С ≠ 0;

                  f(х) = Sin х – 8 + Cos х;

                  f(х) = Sin х Cos х + 5.

№ 12

        Может ли сумма не периодических функций быть периодической?

Решение. Да, может. Например:

1. f1(х) = х – непериодическая, f2(х) = Е(х) – непериодическая

      f(х) = f1(х) – f2(х) = х – Е(х) – периодическая.

2. f1(х) = х – непериодическая, f(х) = Sin х + х – непериодическая

     f(х) = f2(х) – f1(х) = Sin х – периодическая.

Ответ: да.

№ 13

        Функция f(х) и φ(х) периодические с периодами Т1 и Т2 соответственно. Всегда ли их произведение есть периодическая функция?

Решение. Нет, только в случае, когда Т1 и Т2 – соизмеримы. Например,

                  f(х) = Sin х · Sin πх, Т1 = 2π, Т2 = 2; тогда Т1/Т2 = 2π/2 = π – иррациональное число, значит, f(х) не является периодической.

f(х) = {х} Cos х = (х – Е(х)) Cos х. Пусть f1(х) = х – Е(х), Т1 = 1;

f2(х) = Cos (х),  Т2 = 2π.   Т2/Т1 = 2π/1 = 2π, значит f(х) не является периодической.

Ответ: Нет.

                        Задачи для самостоятельного решения

Какие из функций являются периодическими, найти период?

1. f(х) = Sin 2х,                                 10. f(х) = Sin х/2 + tg х,

2. f(х) = Cos х/2,                               11. f(х) = Sin 3х + Cos 4х,

3. f(х) = tg 3х,                                   12. f(х) = Sin2 х+1,

4. f(х) = Cos (1 – 2х),                       13. f(х) = tg х + ctg√2х,

5. f(х) = Sin х Cos х,                        14. f(х) = Sin πх + Cos х,

6. f(х) = ctg х/3,                                15. f(х) = х2 – Е(х2),

7. f(х) = Sin (3х – π/4),                     16. f(х) = (х – Е(х))2,

8. f(х) = Sin4 х + Cos4х,                    17. f(х) = 2х – Е(х),

9. f(х) = Sin2 х,                             18. f(х) = х – n + 1, если n ≤ х≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

        Пусть f(х) – Т – периодическая функция. Какие из функций периодические (найти Т)?

1. φ(х) = f(х + λ) – периодическая, т.к. «сдвиг» вдоль оси Ох на ω не влияет; её период ω = Т.
2. φ(х) = а f(х + λ) + в – периодическая функция с периодом ω = Т.
3. φ(х) = f(kх) – периодическая функция с периодом ω = Т/k.
4. φ(х) = f(ах + в) - периодическая функция с периодом ω = Т/а.
5. φ(х) = f(√х) не является периодической, т.к. её область определения Dφ = {x/x ≥ 0}, а у периодической функции область определения полуосью быть не может.
6. φ(х) = (f(х) + 1/(f(х) – 1) – периодическая функция, т.к.

         φ(х +Т) = f(х+Т) + 1/f(х +Т) – 1 = φ(х), ω = Т.

7. φ(х) = а f2(х) + в f(х)  + с.

Пусть φ1(х) = а f2(х) – периодическая, ω1 = т/2;

            φ2(х) = в f(х) – периодическая, ω2 = Т/Т = Т;

            φ3(х) = с – периодическая, ω3 – любое число;

тогда ω = НОК(Т/2; Т) = Т, φ(х) – периодическая.

Иначе, т.к. областью определения данной функции является вся числовая прямая, то множество значений функции f – Еf є Dφ, значит, функция

φ(х) – периодическая и ω = Т.

8. φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.

     φ(х) – периодическая с периодом ω = Т, т.к. для любого х функция f(х) принимает значения f(х) ≥ 0, т.е. её множество значений Еf є Dφ, где

Dφ – область определения функции φ(z) = √z.

№ 15

        Является ли функция f(х) = х2 периодической?

Решение. Рассмотрим х ≥ 0, тогда для f(х) существует обратная функция √х, значит, на этом интервале f(х) – монотонная функция, тогда она не может быть периодической (см. № 10).

№ 16

        Дан многочлен P(х) = а0 + а1х + а2х + …аnх.

Является ли Р(х) периодической функцией?

Решение. 1. Если тождество равно константе, то P(х) – периодическая функция, т.е. если аi = 0, где i ≥ 1.

      2.Пусть P(х) ≠ с, где с – некоторая константа. Допустим P(х) – периодическая функция, и пусть P(х) имеет вещественные корни, тогда т.к. P(х) - периодическая функция, то их должно быть бесконечное множество. А по основной теореме алгебры их число k таково, что k ≤ n. Значит, P(х) не является периодической функцией.

    3. Пусть P(х) тождественно неравный нулю многочлен, и он не имеет вещественных корней. Допустим, P(х) – периодическая функция. Введём многочлен q(х) = а0, q(х) – периодическая функция. Рассмотрим разность P(х)  - q(х) = а1х2 + … +аnхn.

Т.к. в левой части равенства стоит периодическая функция, то функция, стоящая в правой части, тоже периодична, причём, она имеет хотя бы один вещественный корень, х = 0. Т.к. функция периодична, то нулей должно быть бесконечное множество. Получили противоречие.

P(х)  не является периодической функцией.

№ 17

        Дана функция f(t) – Т – периодическая. Является ли функция fк(t), где

k є Z, периодической функцией, как связаны их периоды?

Решение. Доказательство проведём методом математической функции. Пусть

f1 = f(t), тогда f2 = f2(t) = f(t) · f(t),

f2 – периодическая функция по свойству п. 4.

F3 = f3(t) = f(t) · f2 – периодическая функция по свойству п. 4.

………………………………………………………………………….

        Пусть fк-1 = fк-1(t) – периодическая функция и её период Тк-1 соизмерим с периодом Т. Умножим обе части последнего равенства на f(t), получим fк-1·f(t) = f(t) ·fк-1(t),

                            fк = fк(t) – периодическая функция по свойству п.4.      ω ≤ Т.

№ 18

Пусть f(х – произвольная функция, определённая на [0; 1]. Является ли функция f({x}) периодической?

О т в е т: да, т.к. множество значений функции {x} принадлежит области определения функции f(х), то по свойству п.3 f({x}) – периодическая функция, её период ω = Т = 1.

№ 19

        f(х) – произвольная функция, определённая на [-1; 1], является ли функция f(sinx) периодической?

        О т в е т: да, её период ω = Т = 2π (доказательство аналогично № 18).