Подборка дидактического материала по теме «Теория вероятностей» раздела «Реальная математика»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

МОУ ДПО «Учебно-методический центр»

г. Серпухов Московской области

Проект

Методика подготовки учащихся 9 классов

к Государственной итоговой аттестации

Подборка дидактического материала

по теме «Теория вероятностей»

раздела «Реальная математика»

Выполнила
слушатель учебного курса

«Актуальные проблемы и методические особенности подготовки учащихся 9 классов к Государственной итоговой аттестации по математике»

 учитель математики

МОУ СОШ № 6 г. Серпухова Московской области

Степушкина Наталья Юрьевна

Руководитель курса: учитель математики МОУ «СОШ № 7 с углубленным изучением отдельных предметов»

 Сапронова О.Н.

Серпухов, 2013г.

Содержание         

Введение…………………………………………………………………………...         3

Необходимость овладения основными приёмами и методами решения

задач  теории вероятностей ………………………………………………………4                                                                                                  

Методические рекомендации по использованию дидактического материала...5

Основные приёмы и методы решения задач теории вероятностей……………7

Заключение………………………………………………………………………..        8

Список использованных источников……………………………………………10                                                                                       Приложение 1. Теоретические сведения……………………………………......11

Приложение 2. Задачи для решения на уроке 1………………………………...13

Приложение 3. Задачи для решения на уроке 2………………………………...14

Приложение 4. Задачи для самостоятельного решения………………………..15

Приложение 5. Задачи для факультативного занятия………………………….17

Приложение 6. Задачи для проверки знаний учащихся………………………..21

Подборка дидактического материала

по теме «Теория вероятностей»

раздела «Реальная математика»

Введение

        В соответствии с Федеральным компонентом образовательного стандарта по математике одной из обязательных содержательных линий основного общего и среднего (полного) образования является линия «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Учитывая, что стохастическое содержание не являлось обязательным при реализации программ по математике предыдущего поколения и прежде не включалось в учебники по математике, перед учителями математики остро встает проблема расширения и углубления знаний по данной теме.

        В экзаменационной работе по математике задачи по теории вероятности и статистики входят в обязательную (1 часть) работы, которая обеспечивает удовлетворительную оценку. К сожалению, решению этих задач по программе алгебры отведено не достаточное количество времени. Именно поэтому необходимо  повторить теоретический и практический материал по этой теме.

  Цель работы: подобрать материалы для повторения темы «Теория вероятностей», чтобы подготовить учащихся к решению задач на государственной итоговой аттестации. 

   Исходя из этого, можно выделить следующие задачи, реализация которых позволяет достичь поставленной цели. 1) Определить содержание материала для повторения. 2) Определить последовательность повторения. 3) Подобрать задачи для систематизации знаний, для самостоятельного решения. 4) Дать полезные методические рекомендации для  подготовки к решению задач  теории вероятностей учащимися.

        Ожидаемый результат работы. Выпускник должен научиться: решать простейшие задачи по теме; использовать простейшие комбинаторные схемы для вычисления вероятностей событий в классической модели; применять основные вероятностные идеи для моделирования реальных процессов и явлений.

Необходимость овладения основными приёмами и методами

решения задач теории вероятностей

        Теория вероятностей сравнительно недавно стала изучаться в средней школе. В настоящее время элементы теории вероятностей вводятся во все классы. Изучение этой темы, прежде всего, призвано развить один из специальных типов мышления – комбинаторных и вероятностных возможностей интеллекта учащихся, который необходим современному человеку, как в общекультурном плане, так и для профессионального становления.

        Уже с 2011 года задачи по этой теме включены как на ЕГЭ, так и в экзаменационную работу 9 класса. Основным дидактическим средством для повторения материала к экзамену являются тексты рассматриваемых типовых задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ГИА, ЕГЭ или составлены учителем. Изучив структуру и особенности экзаменов по математике, представляется обобщающее повторение по теме «Теория вероятностей».  Материалы можно использовать на уроках 9 класса  при повторении темы, а также при подготовке к ЕГЭ.

        Государственным стандартом образования предусмотрен  обязательный минимум: случайные события, достоверное и невозможное события, несовместные события, событие, противоположное данному событию, сумма двух случайных событий. Классическая вероятностная схема. Классическое определение вероятности. Частота события. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

        Изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.

Уметь: находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;  находить вероятности случайных событий в простейших случаях;  использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией.

        Необходимо восстановить предыдущие знания, устранить имеющиеся пробелы в 9 классе и систематизировать полученные знания. Для подготовки к экзамену используются следующие сборники: 1) Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. 2) Ф.Ф.Лысенко. Тематические тесты к государственной итоговой аттестации.

Методические рекомендации по использованию дидактического материала

        В начале подготовки к экзамену учащимся необходимо напомнить понятие о таком разделе математики, как теория вероятностей, и напомнить этапы изучения этого раздела. Затем рассмотреть виды задач, методы решения задач, некоторые приемы, используемые при решении этих задач. На более высоком уровне будут предложены учащимся комбинированные варианты, условия которых предполагают различные типы задач. Можно выделить пять типов задач: с игральным кубиком (кубиками), с монетой (монетами), с жеребьёвкой, различные задачи на классическое определение вероятности, задачи на применение формул сложения и умножения.

        Методическая разработка темы «Теория вероятностей на государственной итоговой аттестации» содержит теоретические сведения, необходимые для повторения темы; задачи для двух уроков повторения «Решение задач»; задания для самостоятельной работы; тестовые задания для проверочной работы; методические рекомендации  по подготовке к ГИА-9 по математике. 

        При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя

из теоретических положений курса. Если ученик  видит несколько путей

решения задачи, то он должен сравнить их и выбрать самый рациональный.

Полезно до начала вычислений составить краткий план решения. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны) входящих в нее параметров, букв. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, чисел. Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. Решение задач данного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

        После решения достаточного количества соответствующих задач учащимся рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь учеников от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Иногда правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул без понимания сущности теоретических положений.

        Вопросы для самопроверки. 1) Дайте классическое и статистическое определение вероятности. 2)Сформулируйте принцип практической невозможности маловероятных событий. 3) Дайте определение суммы событий. 4) Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместимых событий. 5) Можно ли считать эту теорему частным случаем теоремы сложения

вероятностей совместных событий? 6) Дайте определение произведения событий. 7) Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий. 8) Формула полной вероятности.

        Для повторения  темы «Теория вероятностей» нужно воспользоваться теоретическим материалом (приложение 1), разобрать задачи (приложение 2, приложение 3), а также самостоятельно решить рекомендованные задачи (приложение 4). При решении вероятностных задач используется раздел элементарной математики - комбинаторика. Перед изучением основных теорем необходимо хорошо усвоить действия над событиями их классификацию. Особое внимание нужно уделить формуле полной вероятности. Более сложные задачи (приложение 5) можно рассмотреть на факультативном занятии. Проверить  знания учащихся можно используя тексты самостоятельных работ  разных уровней (приложение 6). Для наглядности на уроках можно воспользоваться презентациями (Задачи по теории вероятностей. Бросают кубик. http://nsportal.ru/stepushkina-natalya-yurevna).

Основные приёмы и методы решения задач теории вероятностей

Типы задач: 1) Задачи, где можно выписать все элементарные события эксперимента (В случайном эксперименте подбрасывают монету. Какова вероятность выпадения решки?  Решение.  При одном подбрасывании монеты всего равновозможных результатов 2, для двух – 4, для трех -  8, для n – 2n). На решение ничего не повлияет, если бросят несколько монет одновременно.

2) Задачи, где все элементарные события выписать сложно, но можно подсчитать их количество (задачи на жеребьевку).

3) Использование формулы вероятности противоположного события

(Р(А-) + Р(А) =1).( В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным. На стенде испытаний – 500 фонариков. Неисправных среди них 5

Вероятность купить неисправный фонарик 5 : 500 = 0,01. Значит, исправный можно купить с вероятностью  1- 0,01 = 0,99).

Алгоритм решения задач на применение

классического определения вероятности.

1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедится, что они равновозможны.

2. Найти общее число элементарных событий N.

3. Определить какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число NA(событие можно обозначить любой буквой)

4. Найти вероятность события А по формуле Р(А) = NA /N.

        Таблицы для определения количества благоприятных вариантов

        Задачи для устной работы на уроках (по таблице проследить этапы решения задач, указать на основные группы задач)

Заключение

 В работе даны методические рекомендации для  подготовки к решению задач тории вероятностей на государственной итоговой аттестации. Определено содержание материала для повторения по комбинаторике, а так же последовательность повторения. Подобраны задачи для систематизации знаний и самостоятельного решения. Составлены презентации к урокам итогового повторения. При помощи всех методических рекомендаций появляется возможность помочь коллегам восстановить предыдущие знания учащихся, устранить имеющиеся пробелы знаний девятиклассников.

        Анализ известных подходов к изучению теории вероятностей и статистики и мой личный опыт  позволяют сделать следующие выводы, что для успешного решения задач по комбинаторике, теории вероятностей и статистике необходимо:

1. Начинать изучение материала в 5 классе (некоторые вопросы в начальной школе).  
2. Дать законченное элементарное представление о комбинаторике, теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи. Подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром.
3. Избегать излишнего математического формализма; иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.
4. Использовать сквозные примеры и задачи при обсуждении разных тем. Подбирать примеры и задачи с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся.
5. На протяжении всех лет обучения знакомить учащихся с вероятностно-статистическими подходами к анализу эмпирических данных, причем большую роль отводить задачам прикладного характера, анализу реальных ситуаций. Избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач.
6. Найти возможность повторения и закрепления на новом материале ранее изученного.
7. В процессе обучения много времени отводить задачам, требующим от учащихся работы в малых группах, самостоятельного сбора данных, обобщения результатов работы групп, проведения самостоятельных исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, подготовки долгосрочных заданий, дающих детям возможность ощутить себя первооткрывателями, так как все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью.

На мой взгляд, все это должно способствовать усвоению новых для учащихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире.

Список использованных источников

1. Сборник нормативных документов МАТЕМАТИКА Федеральный компонент государственного стандарта. - М.: Дрофа, 2006.
2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев – математика, 5-11 класс. Составители: Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002.
3. Ю.Н. Миндюк, Н.Г. Миндюк. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. Под редакцией С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2003.
4. Н.Б.Истомина, Е.П. Виногродова. Учимся решать комбинаторные задачи 3 (4)

класс. Рабочая тетрадь. Смоленск: «Ассоциация XXI век».

5. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятность. Статистика: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7 – 9 кл. – М.: Мнемозина, 2008. (к учебникам А.Г. Мордковича).
6. Ткачева М.В.,Федорова Н.Е. Алгебра, 7 – 9: Элементы статистики и вероятность. – М.: Просвещение, 2003. (к учебникам А.Ш. Алимова и др.).
7. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика, 5 – 9 кл. – М.: Дрофа, 2002.
8. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе".
9. Ф.Ф.Лысенко «Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012» - Ростов н/Д: Легион – М,2012.
10. Ященко И..В.,Семенова А.В., Захаров П., И. Подготовка к экзамену по математике ГИА. Методические рекомендации. - М.:МЦНМО.2009 М: Просвещение, 2012.
11.   http://combinatorica.narod.ru/
12.   http://mmmf.math.msu.su/
13.   http://portfolio.1september.ru/
14.  www.alleng.ru/d/math/math176.htm
15.  ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/combinatorika.htm
16.  arm-math.rkc74.ru/DswMedia/burntanya.doc

Приложение 1

Теоретический материал

        Определение: События называются несовместными (независимыми), если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.  

        Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий происходит независимо от  других и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном опыте).

        О сумме вероятностей. Если происходят независимые события, то вероятность таких событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

        Пример с игральной костью: Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

        Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна 0,5. Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6  = 0,5.

        Об умножении вероятностей. Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности   соответственно равны Р(А) и Р(В). Тогда вероятность совершения событий А и В одновременно равна произведению вероятностей. Вычисляется по формуле: Р(А . В) = Р(А) .  Р(В).

        Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

        Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна  1/6. Оба эти события несовместные (независимые). Вероятность выпадения шестёрки в первый раз и во второй раз равна произведению: 1/6 . 1/6 = 1/36.

        Говоря простым языком: когда происходит событие, и ПРИ ЭТОМ происходит (ят) другое (другие), то вероятности этих событий перемножаются.

        При рассуждениях при решении задач используется  понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения независимых событий. Независимые события происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду. Это значит, что они происходят в оговоренный промежуток времени или при одном испытании. Например: Две лампы перегорают в течение года (одновременно в течение года). Два автомата ломаются в течении месяца (одновременно в течение месяца). Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно при одном  испытании). Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят одновременно во время одного испытания.

        Определение: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

        Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

        Определение: События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

        В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Приложение 2

Задачи для решения на уроке 1.

1) В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

2) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии

3) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Великобритании, 8 спортсменов из Франции, 10 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

4) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5) В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

6) В чемпионате по гимнастике участвуют 24 спортсменки: 9 из России, 6 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

7) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

8) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

9) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

10) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 10 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

Приложение 3

Задачи для решения на уроке 2.

1) Бросают игральный кубик. А: “выпадает 5 очков”; В: “выпадает четное число очков”; С: “выпадает нечетное число очков”; D: “выпадает число очков, кратное 3”.  Решение:  Р(А)=1/6        Р(В)=3/6=1/2          Р(С)=3/6=1/2         Р(D)=2/6=1/3.

2) Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение выпавших чисел будет четным числом. Решение: нечет-6, чет-15. 6/15 = 2/5 вероятность: на 2 нечета выпадет 5 четных.

3)  При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа? Вероятность: P(A)=6/36 =1/6.

4) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Благоприятных исходов 4.  4/36 = 0,111111…  Округлим до сотых. Ответ: 0, 11.

5) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Благоприятных исходов 5. Вероятность = 5/36 = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.

6) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. 

Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Всего благоприятных исходов 6. Вероятность = 6/36 = 0,16666. Ответ: 0, 17

7) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет нечетное число очков. Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Вероятность найдем, как отношение числа 18 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. 18/36 = 0,5. Ответ: 0, 5.

8) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.  Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 *6 = 216. Благоприятных исходов 3.
3/216 = 0,0138888…Округлим до сотых. Ответ: 0, 01.

9) В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.  Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 *6 = 216. Из них благоприятные исходы 15.Вероятность =15/216 = 0,06944… Округлим до сотых. Ответ: 0, 07

10) Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых. Решение: посчитать число неблагоприятных для нас исходов: выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Неблагоприятных исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Вероятность = 30/36 = 0,83333… Ответ. 0,83

Приложение 4

Задачи для самостоятельного решения.

1. Телевизор у Любы сломался и показывает только один случайный канал. Люба включает телевизор. В это время по одному каналу из двадцати пяти показывают кинокомедии. Найдите вероятность, что Люба попадет на канал, где комедия не идет. Ответ: 24/25.

2. Телевизор у Любы сломался и показывает только один случайный канал. Люба включает телевизор. В это время по двадцати пяти каналам из пятидесяти показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где комедия не идет. Ответ: ½.

3 . Валя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 50. Ответ: 1/50.

4. Вова выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 49. Ответ: 1/50.

5. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 20. Ответ: 1/60.

6. Женя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 2. Ответ: ½.

7. Максим выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 98. Ответ: 1/100.

 8. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4. Ответ: ¼.

9. Леша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 0. Ответ: 1/10.

 10. Витя наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно начинается на 9. Ответ: 1/9.

11. На экзамене 40 билетов, Оскар не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ: 3/10.

12. Саша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе десять кабинок, из них 5 — синие, 2 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Саша прокатится в красной кабинке. Ответ: 3/10.

13. В каждой пятидесятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Наташа покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Наташа не найдет приз в своей банке?  Ответ: 49/50.

14. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 2 черных, 5 желтых и 13 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси. Ответ: ¼.

15. На тарелке двадцать шесть пирожков: 6 с мясом, 5 с капустой и 15 с вишней. Леша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом. Ответ: 3/13.

Приложение 5

Задачи для факультативного занятия.

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

        Решение: Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике, и при этом оно окажется бракованным равна  0,35∙0,04 = 0,0140. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике, и при этом оно окажется бракованным равна  0,65∙0,02 = 0,0130. Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это независимые события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027. Ответ: 0,027.

2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

        Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз, и при этом ещё выиграть ещё второй раз. В случае, когда происходят независимые события при условии того, что они выполняются определённым образом (происходят одновременно), то вероятности этих событий перемножаются (используется правило умножения).

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:  0,62∙0,2 = 0,124. Ответ: 0,124.

3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. 

        Решение. Необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности складываются: 0,3 + 0,25 = 0,55.

Ответ: 0,55.

4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

        Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью   1 – 0,9 = 0,1   (промах и попадание это  события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1). Если речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий при условии, что произойдёт одно событие из них и при этом другое (последующие) событие в одно время, то вероятности каждого отдельного такого события перемножаются. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561. Округляем до сотых, получаем 0,07. Ответ: 0,07.

5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

        Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049. Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951. Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки: 1) «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049; 2) «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651; 3) «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651; 4) «исправен-исправен»     0,93∙0,93 = 0,8649. Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4:  0,0651 + 0,0651 + 0,8649 = 0,9951. Ответ: 0,9951.

6. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

        Решение. То есть необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа. По условию вероятность перегорания лампы 0,2. Значит, вероятность исправности лампы в течение года равна 1 – 0,2 = 0,8 (это независимые события). Вероятность события: «не перегорят обе» равна 0,8∙0,8 = 0,64; «не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,8∙0,2 = 0,16; «перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,2∙0,8 = 0,16. Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна не перегорит, равна 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96 Можно было решить так: Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,2∙0,2 = 0,04 Эти события независимые, но при одновременном их совершении их вероятности перемножаются. То есть вероятность равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа  равна  1 – 0,04 = 0,96. Это событие противоположное  тому событию, когда перегорят обе лампы. Ответ: 0,96.

7. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 20 револьверов, из них только 8 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

        Решение: Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,2. Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8. Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна (8/20) ∙0,2 = 0,08.  Вероятность взять не пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна  (12/20) ∙0,8 = 0,48.  Эти события несовместны, значит искомая вероятность  равна сумме вероятностей этих событий:  0,08 + 0,48 = 0,56.  Ответ: 0,56.

8. На фабрике керамической посуды 5% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

        Решение. Число всевозможных и благоприятных исходов явно не задано (так как о количестве тарелок в условии нет информации).Пусть  n – это количество тарелок, которые произвёл завод. В продажу поступят все качественные тарелки (это 0,95n) и 10% не выявленных дефектных тарелок (это 0,1 от 0,05n), то есть 0,95n + 0,1∙0,05n = 0,955n тарелок, это и есть число всевозможных  исходов. 0,95n - число благоприятных исходов, то вероятность купить качественную тарелку равна: 0,95n/0,955 n = 0,99476.  Округляем до сотых, получим 0,99. Ответ: 0,99.

9. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

        Решение. Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты, равна:0,2∙0,2∙0,2 = 0,008. Ответ: 0,008.

Приложение 6        

Задачи для проверки знаний учащихся

Самостоятельная работа по теме: «Вероятность событий»

1 вариант (обязательный уровень)

1. В денежно – вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность: 1) вещевого выигрыша;   2) какого – либо выигрыша?
2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: 1) 1 очко;2) более 3 очков?
3. В мешке содержится жетоны с номерами от 1 до 50 включительно. Какова вероятность того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит только одну цифру 3?
4. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет однозначный номер?

Самостоятельная работа по теме: «Вероятность событий»

2 вариант (обязательный уровень)

1. В денежно – вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность: 1) денежного выигрыша;  2) никакого выигрыша?
2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: 1) 3 очка; 2) менее 4 очков?
3. В мешке содержится жетоны с номерами от 1 до 50 включительно. Какова вероятность того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит только одну цифру 5?
4. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет двузначный номер?

Самостоятельная работа по теме: «Вероятность событий»

1 вариант (продвинутый уровень).  Решение задач с помощью комбинаторики.

1. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 3.
2. Брошены две игральные кости – белая и черная. Какова вероятность того, что:

а) на белой кости выпало четное число очков, а на черной – нечетное;

б) появится 2 и 3 очка?

3) Двузначное число составили из цифр 0,1,2,3,4. Какова вероятность того, что это число: а) четное;      б) делится на 5?

4) На четырех карточках написаны буквы о, т, к, р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили в ряд. Какая вероятность того, что получится слово «крот»?

Самостоятельная работа по теме: «Вероятность событий»

2вариант (продвинутый уровень).  Решение задач с помощью комбинаторики.

1. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше 27.
2. Брошены две игральные кости – белая и черная. Какова вероятность того, что:

а) появятся два четных числа очков;

б) появится четное и нечетное число очков.

3) Двузначное число составили из цифр 0,1,2,3,4. Какова вероятность того, что это число: а) нечетное;      б) делится на 4.

4) На четырех карточках написаны буквы о, т, с, п. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили в ряд. Какая вероятность того, что получится слово «стоп» или слово «пост»?