Готовимся к ЕГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа, алгебра, 11 класс) по теме

Готовимся к ЕГЭ по математикеПрезентация-практикум по подготовке к решению задач С6
Автор: Ефименко Мария Витальевна, учитель математики МБОУ «Глинищевская СОШ»Брянского района Брянской области
Цель задачи С6 – проверка умения строить и исследовать математические модели, направление исследования которых должен выбирать сам учащийся
Задания С6
Задания, в условии которых речь идет о целых числах
Задания, в условии которых речь идет о позиционной записи числа
задания, в которых математической моделью является уравнение, неравенство или их система
задания, в которых используются иные математические модели
Базовые знания
Если натуральное число а делится на натуральное число b без остатка, то число a можно представить в виде а=b·k, где k∊N.Если натуральное число а не делится на натуральное число b и a>b, то число a можно представить в виде а=b·k+с, где k∊N, с∊N, cПример 1: Проведите анализ условия задачи: «Найдите целые положительные решения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Рассмотрим задания, в которых математической моделью является уравнение или неравенство или их система, и требуется найти целочисленные решения
Пример 1: Проведите анализ условия задачи: «Найдите целые положительные решения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Данное уравнение линейно относительно переменной у, поэтому можно выразить переменную у через переменную х. Получится дробно-рациональное выражение, из которого желательно выделить целую часть.
Гипотеза: возможно, имеем дробь, у которой числитель будет конкретным числом. Разложив его на множители, можно будет определить, каким должен быть знаменатель, чтобы дробь оказалась целым числом. Таким образом, найдем значения х, а затем вычислим и соответствующее значение у.
Пример 1: Проведите анализ условия задачи: « Найдите целые положительные решения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Решение: , .Так как и х, у ∊N, поэтому имеем:
111 должно делиться на (2х+1), причем 111=1∙3∙37.
Пример 1: Проведите анализ условия задачи: « Найдите целые положительные решения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Рассмотрим всевозможные случаи:
Х
1
18
55
у
37
<0
<0
Ответ: (1;37).
Пример 2: Проведите анализ условия задачи: «Найдите все целые решения уравнения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Данное уравнение не является линейным относительно какой-то из переменных. Можно предложить метод разложения на множители.
Гипотеза: если уравнение удастся представить в виде А∙В=с, где А и В – выражения, а с – число, то разложение числа с на множители дает возможные варианты для чисел А и В.
Решение: Уравнение ⬄
(Варианты учета знаков можно не рассматривать, поскольку х и у – целые, значит, выражение является натуральным числом, а, значит, и должно быть натуральным числом).
Пример 2: Проведите анализ условия задачи: «Найдите все целые решения уравнения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
⬄
Итак, имеем совокупность трех систем:
Последние две системы совокупности не имеют целых решений.
Пример 2: Проведите анализ условия задачи: «Найдите все целые решения уравнения » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Первая система дает нам четыре решения:
Ответ: (2;2), (2;-2), (-2;2), (-2;-2).
Пример 3: Проведите анализ условия: «Найдите все целочисленные пары (х;у), удовлетворяющие уравнению » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Данное уравнение содержит иррациональные выражения, значит, имеет ограничения на области определения. Можно составить 3 неравенства с двумя переменными. Такие неравенства решают на координатной плоскости.
Гипотеза: в область определения уравнения попадает конечное число точек с целыми координатами и их них можно выбрать тех, которые и будут решениями уравнения.
Решение: Найдем ОДЗ данного уравнения, для этого составим систему неравенств:
Изобразим множество решений последней системы на координатной плоскости:
Пример 3: Проведите анализ условия: «Найдите все целочисленные пары (х;у), удовлетворяющие уравнению » и выскажите гипотезу о способе ее решения
⬄
Итак, множество всех решений системы является заштрихованная область с границей. Выберем в этой области интересующие точки с целыми координатами. Таковыми парами чисел являются (1;-1), (2;1), (3;0), (2;0). Из этих пар исходному уравнению удовлетворяет только пара (2;0).Ответ: (2;0).
Пример 3: Проведите анализ условия: «Найдите все целочисленные пары (х;у), удовлетворяющие уравнению » и выскажите гипотезу о способе ее решения
Решение: Определим ОДЗ данного неравенства , решив неравенство
Для остальных целых х данное неравенство, возможно, не выполняется, то есть для всех натуральных х, таки что х>1 выполняется неравенствох-1>log6(x+3).
Пример 4: Изучите решение задачи: «Найдите все целые решения неравенства »
Так как и х∊Z, то х∊{-2;-1;0;1;2;3;…}.
Начнем последовательно проверять:
х=-2: -3Пример 4: Изучите решение задачи: «Найдите все целые решения неравенства »
Докажем методом математической индукции, что n-1>log6(n+3), n∊N\{1}.
а) при n=2 – верно (это уже проверено);б) предположим, что данное неравенство верно для любого числа n=k, то есть, что k-1>log6(k+3).в) докажем, что из истинности неравенства при n=k последует истинность утверждения при n=k+1, то есть, что выполняется неравенство k>log6(k+4).Так как k-1>log6(k+3) – верно по предположению, то k>log6(k+4) – верно по свойствам неравенств, значит, нужно сравнить log6(k+3)+1 и log6(k+4).
Пример 4: Изучите решение задачи: «Найдите все целые решения неравенства »
Так как log6(k+3)+1=log6(6k+18)>log6(k+4), поскольку 6k+18>k+4, 5k+14>0, что верно для любого k=2;3;… .Итак, k≥log6(k+3)>log6(k+4), что и требовалось доказать. Ответ: -2;-1;0;1.
Ответьте на вопросы:
а) Каковы этапы решения рассмотренной задачи?б) Как возникла гипотеза?в) Каким методом проверялась гипотеза?г) Каковы этапы метода?д) Какие математические основы использовались для доказательства случая n=k+1?
Этапы решения:
Находим ОДЗ неравенства.Последовательно перебирая целые числа из ОДЗ, находим, при каких целых значениях справедливо данное неравенство.Выдвигаем гипотезу: для всех остальных целых значений данное неравенство не справедливо, и доказываем этот факт.
Возникновение гипотезы:
Перебирались подряд подходящие целые, а когда оказалось, что неравенство становится несправедливым, обобщили вывод на последующие целые числа, то есть высказали гипотезу, что для всех целых значений х>1 данное неравенство не справедливо.
Метод проверки гипотезы:
Гипотеза проверялась методом математической индукции
Этапы метода:
Этапы метода математической индукции:Проверить справедливость неравенства при n=2.Предположить справедливость неравенства для n=k.Доказать, что из справедливости неравенства при n=k следует справедливость неравенства при n=k+1.
Основы доказательства случая n=k+1:
При доказательстве неравенства при n=k+1 использовались монотонность логарифмической функции и свойства равносильных неравенств.
Задачи для самостоятельного решения:
Использованные ресурсы сети интернет
http://alexlarin.narod.ru http://mathege.info/category/zadaniya-ege/c6-zadanie-ege/ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С/ И.Н. Сергеев, В.С. Панферов. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.Гущин Д.Д. Время не ждет. Журнал «Математика в школе», 2010, №2, стр. 42-55.ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2012.