Реферат на тему :«Преемственность в изучении целых неотрицательных чисел в начальной и основной школе»
статья по алгебре по теме

МКОУ «Красногвардейская СОШ»

Реферат

по дисциплине «Методика преподавания математики»

на тему: «Преемственность в изучении целых неотрицательных чисел в начальной и основной школе».

  Выполнила: учитель математики

Дерябина Е. А.                            

Красногвардейский, 2013 год

План:

Введение                                                                                                                      3

Глава I. Преемственность как основная характеристика процесса обучения.

1.1 Понятие «преемственность» при изучении математики.                                 5                                                        

1.2 Логика построения основных содержательно-методических линий курса математики при изучении чисел.                                                                             13                                                                                                                    

Глава II. Способы реализации преемственности при изучении целых неотрицательных чисел на начальной и основной ступенях образования.

2.1 Анализ состояния проблемы преемственности в практике обучения.                             17

2.2 Методика изучения целых неотрицательных чисел, обеспечивающая преемственность в курсе " Математика".                                                                                                                          29

Заключение.                                                                                                                                             44

Список литературы.                                                                                                                               46

Введение

Центральным понятием всего курса математики в начальной школе и первой половине 5 класса является натуральное число. Основной содержательно-методической линией курса «Математика», изучаемого в начальной и основной школе, является числовая линия. Она группирует вокруг себя значительное число понятий данного курса, связанных с развитием понятия числа. Поэтому необходима разработка единого математического подхода к изучению натуральных чисел, что позволит обеспечить преемственность в изучении курса «Математика» на двух ступенях обучения.

Это обусловило выбор темы курсовой работы: "Преемственность в изучении целых неотрицательных чисел в начальной и основной школе".

В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики.

Для характеристики понятия преемственности в рамках математического образования обучение необходимо рассматривать как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний и умений, математической деятельности. Для характеристики преемственности в обучении необходим комплексный, системный подход, в котором находят отражение: логика построения основных содержательно-методических линий курса, учитывающая взаимосвязь и развитие изучаемых школьниками понятий. В данной работе будут рассмотрены некоторые способы реализации преемственности при изучении целых неотрицательных чисел на начальной и основной ступенях обучения. В современных программах и учебниках методика изучения натуральных чисел осуществляется в рамках концепции, представленной Н.Б. Истоминой, основной целью которой является развитие мышления учащихся в процессе усвоения математического содержания. Ориентируясь на это, строилась методика изучения натуральных чисел в 5 классе, а также в 6 классе.

Таким образом, основные направления методики изучения натуральных чисел в начальных классах получили свое дальнейшее развитие при изучении натуральных чисел и в 5 классе.

Цель исследования – выявление методики изучения целых неотрицательных чисел, которая обеспечивает непрерывность в начальной и основной школе.

Объект исследования — процесс обучения математики в начальных классах.

Предмет исследования — способы организации деятельности учащихся при изучении целых неотрицательных чисел.

Для достижения цели исследования потребовалось решить следующие конкретные задачи:

1) Выделить и изучить различные пути реализации преемственности в процессе обучения.

2) Рассмотреть методические концепции изучения целых неотрицательных чисел авторов программ традиционного обучения на основе преемственности.

Глава I. Преемственность как основная характеристика процесса обучения.

1.1 Понятие «преемственность» при изучении математики.                           

Преемственность часто понимают по-разному. Одни рассматривают ее как связь между отдельными предметами в процессе обучения (физика и математика, математика и черчение), другие – как простое использование ранее приобретенных знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета, третьи – как постоянство и единообразие требований, предъявляемых учащимся при переходе из класса в класс.

Во всех этих случаях преемственность понимается как некоторая связь. Однако представляется эта связь довольно поверхностной, не выражающей основных характерных особенностей преемственности. Более того, часто эта связь отражается во второстепенных деталях, не затрагивающих существа процесса обучения. А иногда эту связь сводят к установившимся традициям. Тогда как связь, называемая преемственностью, обладает важными для процесса развития особенностями, имеющими большое значение для всего процесса обучения в школе. По определению, которое можно найти в Большой Советской Энциклопедии (т. 20), преемственность представляет “связь между явлениями в процессе развития, когда новое, сменяя старое, сохраняет в себе некоторые его элементы. Преемственность есть одно из проявлений диалектики закона отрицания и закона перехода количественных изменений в качественные”.

Правильное понимание преемственности может принести пользу при организации всего процесса обучения в школе и его отдельных этапов. Более глубокое понимание проблемы преемственности может стать серьезным оружием в методологических исследованиях. Оно поможет лучше понять многие вопросы, и в частности такие, как вопрос о линейном и концентрическом построении курсов, вопрос о повторении в процессе обучения и другие.

Целесообразно такое построение курса, при котором повторение способствующее преемственности при изучении понятия или системы понятий, дает возможность проявиться основным качествам преемственности. На каждом новом этапе это не будет повторением тех же самых упражнений, выполняемых теми же способами. В упражнениях на повторение непременно должно появиться новое, отмирать старое, несущественное в соответствии с повышением уровня образования учащихся. Таким образом, преемственность требует глубокого методического изучения.

Проведенный анализ дидактических и методологических исследований, который не только позволил осмыслить многоаспектность проблемы преемственности обучения, но и помог решить одну из задач исследования.

Идеи преемственности обучения как опоры последующих знаний на предыдущие, закрепления предыдущих последующими, установление причинных связей между явлениями находили отражение в трудах русских и зарубежных педагогов.

В дидактических исследованиях можно выделить различные точки зрения на роль преемственности в учебном процессе. М. А. Данилов рассматривает преемственность как условие развития самого процесса обучения [14].

Преемственность как составная часть принципа систематичности и последовательности в обучении характеризуется Ю. К. Бабанским [3]. Ю. К. Бабанский считает координацию требований преподавателей различных учебных предметов к учащимся, соблюдение преемственности в изучении не только отдельных тем, но и учебных предметов, преемственности обучения в младших, средних, старших классах.

На необходимость обеспечения преемственности в "учении" указывал Ш. И. Ганелин [9]. Говоря о преемственности он отмечал, что это "такая опора на пройденное, такое использование и дальнейшее развитие у учащихся знаний, умений и навыков, при которых у учащихся создаются разнообразные связи, раскрываются основные идеи курса, взаимодействуют старые и новые знания, в результате чего у них образуется система прочных и глубоких знаний" [9 с. 4].

Важные для современного этапа выводы содержатся в работе Н. А. Цирулик "Дидактические условия успешного осуществления преемственности в обучении между начальными и средними классами" (1981 г.). Автор понимает преемственность в обучении как "связь между этапами работы учителя по развитию личности ученика, достигаемую тем, что в процессе обучения учитывается – не игнорируется, а используется – достигнутый учениками уровень развития, образования в целях дальнейшего непрерывного совершенствования.

По мнению автора, "преемственность будет между ступенями успешной", если: – при определении целей обучения выявляются различия, а также закономерные противоречия между требованиями к усвоению знаний и развитию, предъявляемыми к ученикам на разных этапах обучения;

– учебный материал преподносится в возможно более широких и разносторонних связях, которые обеспечиваются логической последовательностью изложения материала, применением познавательных задач, вопросов, упражнений на сравнение, сопоставление, классификацию, способствующих переосмыслению знаний и осознанию учащимися трансформации знаний, их усложнения;

– проводится разностороннее выявление результатов, полученных в ходе усвоения, для учета их в основном цикле процесса обучения.

Анализ дидактических работ по проблеме преемственности позволяет констатировать, что при выявлении общих закономерностей процесса обучения дидактическая наука придавала большое значение понятию преемственности, которая рассматривалась как необходимое условие формирования у учащихся прочных знаний, умений и навыков.

С методологических позиций преемственность – это связь между различными этапами, ступенями развития как бытия, так и познания, сущность, которая состоит в сохранении тех ил иных элементов целого или отдельных сторон его организации при изменении целого как системы, т.е. при переходе из одного состояния в другое. Связывая настоящее с прошлым и будущим, преемственность тем самым обуславливает устойчивость целого (Э. А. Баллер) [4]

Из предложенной трактовки преемственности следует вывод важный для педагогики: развитие и преемственность – два взаимосвязанных и взаимозависимых процесса, они не существуют один без другого. Одновременно при анализе развивающихся объектов необходимо рассматривать процесс преемственности, обеспечивающий целостность объекта при его изменении. Поэтому, с нашей точки зрения, при характеристике преемственности в обучении математике необходимо выделять:

-развивающееся целое, рассматриваемое в трех временных промежутках (прошлое, настоящее, будущее);

-противоречия, возникающие в ходе развития объекта;

-способы устранения противоречий, позволяющие этому целому не разрушиться, т.к. необходимо указать способ установления преемственной связи.

Рассматривая педагогический аспект проблемы преемственности, исследователи исходят из того, что под преемственностью в обучении следует понимать обеспечение связи между отдельными сторонами, этапами и ступенями обучения, расширение и углубление знаний, приобретаемых на предшествующих этапах обучения, поступательное развертывание всего учебного процесса в соответствии с содержанием, формами и методами обучения. (А. В. Батаршев) [5]

В данной трактовке преемственности неясно о каком развивающемся объекте идет речь. Большинство исследователей данной проблемы, говоря о преемственности в обучении, основной акцент делают на развитие системы знаний в процессе обучения. Но в проводимых ими рассуждениях трудно определить, о какой системе идет речь: системе знаний, которые ученик должен освоить, или системе знаний, которой владеет ученик. Вероятно, неявно идет речь о развивающейся системе знаний в сознании ученика.

Развитие системы знаний связано с разрешением противоречий. В литературе описываются разные виды противоречий, характерные для процесса обучения. Одни противоречия носят методологический характер (между непрерывным характером процесса познания и дискретным характером процесса учения). Другие носят психологический характер, связанные с наличным у школьника уровнем овладения знаниями, умениями, навыками и выдвигаемыми ходом обучения новыми задачами (коротко можно сформулировать как противоречие между "могу" и "надо"). Заметим, что при рассмотрении противоречий в обучении остается неясным вопрос, кто формулирует противоречия, и кто их разрешает. Из контекста становится понятным, что речь идет о противоречиях, которые возникают у ученика в процессе обучения, а разрешает эти противоречия учитель, ученик в этом процессе пассивен. Противоречие в сознании ученика связано с возникновением трудностей в усвоении учебного материала. Для развития ученика важно, чтобы он осознавал процесс преодоления возникших затруднений. Именно в ходе процесса преодоления трудностей учащийся осознает границы своего знания и незнания, что создает "поле преемственности". В качестве способов реализации преемственности в обучении исследователи называют обобщение материала, систематизацию знаний, установление внутрипредметных и межпредметных связей, моделирование, проведение аналогий и т.д. Практика работы школы показывает, что использование указанных приемов чаще всего не связывается с выявлением и разрешением противоречий, что приводит к частичному решению проблемы. Как было сказано выше, в связи с особенностью процесса обучения, где взаимодействуют два субъекта: "учитель" и "ученик", – в проблеме преемственности в обучении необходимо рассматривать два аспекта: внешний (деятельность учителя по установлению преемственности связей) и внутренний (организация процесса обучения, обеспечивающая установление преемственных связей самим учеником). Проблема преемственности в традиционном обучении обычно решается в большей степени с точки зрения внешней преемственности, поэтому больший акцент делается на установление преемственных связей при переходе учеников с одного этапа обучения на другой. Проблема преемственности в развивающем обучении обращается ко второму аспекту этой проблемы, связанной с установлением преемственных связей в процессе учебного познания. В психологической литературе названо одно из направлений в решении поставленной проблемы – поиск сквозных умений, пронизывающих весь курс учебного предмета (А. А. Люблинская) [18].

Данное направление не нашло дальнейшей разработки в самой психологии и, кроме того, требует переноса предлагаемого решения проблемы преемственности на методический уровень.

На методическом уровне основным предметом исследования проблемы преемственности явилось содержание математического образования, так как оно занимает ведущее положение по отношению ко всем другим компонентам процесса обучения.

Проблема преемственности в обучении математике не нова, и можно выделить этапы ее развития. Впервые наиболее остро эта проблема обсуждалась в 50-е гг. XX столетия. В существующей тогда десятилетней школе начальная школа имела самостоятельное значение для учащихся. Осуществлялся переход от обязательного начального четырехлетнего образования к обязательному семилетнему. Несогласованность между четвертыми и пятыми классами выражалась, главным образом, в различии методов обучения. К тому времени сложилась специфическая методика изучения арифметики в начальной школе, которая во многом расходилась с методикой преподавания курса арифметики в V кл. Довольно значительными были расхождения в преподнесении теоретических вопросов. В учебниках начальной школы почти не было обоснований правил, дети обучались в основном на задачах, а в V и VI классах удельный вес теоретических знаний резко увеличивался. Сильно отличались и формы затеей в тетрадях, требования к степени подробности в изложении решений текстовых задач.

Во второй раз проблему преемственности пытались особенно внимательно решать в начале 70-х гг., когда была введена трехлетняя начальная школа. В учебниках и методических руководствах была достигнута известная согласованность: начальная школа перестала быть обособленным звеном. Однако в формулировках требований к математической подготовке учащихся, оканчивающих начальную школу, и требований к знаниям, умениям и навыкам ребят, приступающих к учебе в IV классе, были допущены расхождения, которые оказывали негативное влияние в течение длительного времени и чувствуются и поныне.

В процессе реформы общеобразовательной школы, когда она стала одиннадцатилетней и обучение начинается с 6 лет, проблема преемственности возникла в третий раз. Для успешного решения проблемы преемственности на современном этапе необходимо уже сейчас начать экспериментальную подготовительную работу в этом направлении. Прежде всего следует полностью согласовать требования к математической подготовке учащихся, сформулированные в программах начальной и средних школ.

Обсуждая проблему преемственности, обычно выделяют содержание учебного материала предыдущего класса, которое нужно помнить к началу следующего года. Но важно и другое – согласование методов обучения, обеспечивающих достаточную подготовку учащихся младших классов к восприятию обобщенных фактов, правил, законов, постепенную адаптацию школьников к дедуктивному методу изложения.

В настоящее время в начальной школе достаточно широкое распространение уже получили учебники, качественно отличающиеся друг от друга и методически и по конкретному вложенному в них содержанию.

Наиболее массовые в настоящее время учебники для I-IV классов отражают вполне традиционный взгляд на формирование вычислительных навыков как важнейшую задачу обучения математике (во всяком случае, в начальной школе) и следуют существовавшей в 60-х гг. бурбакистской моде на раннюю алгебраизацию. Но в ряде других учебников, относящихся, как сейчас принято говорить, к развивающей системе обучения, реализован гораздо более широкий спектр представлений о содержания и сущности математики, а вообще о математической деятельности в формировании личности.

Учебники перестали сводиться, по существу, к чистой арифметике с элементами алгебры и геометрии. Однако в некоторых учебниках развивающая функция обучения математике реализуется весьма экстравагантно. Например, при изучении чисел больший акцент делается на формировании общего понятия числа и меньший – на умениях общаться с числами.

Существенные различия имеются и в конкретном математическом содержании. В некоторых новых учебниках для начальной школы начинается изучение дробей, а алгебраическое содержание включает, например, решение линейных уравнений с переменной в обеих частях.

Написанные авторами с различными психологическими, педагогическими и дидактическими представлениями, они в неполной мере учитывают потребности обучения математике на следующих ступенях, а следовательно, и вытекающие из нее и из современной концепции школьного математического образования последствия для обучения предмету, в частности иерархию целей и задач математики как предмета общего образования.

Многие реализованные в новых учебниках для начальное школы подходы не удовлетворяют учителей основной школы – или несоответствием современным представлениям о целях школьного, математического образования, новое системе работы, или, наоборот, выходящими за допустимые пределы новациями. Эта неудовлетворенность чаще всего имеет, естественно, субъективный характер, однако реальное решение проблемы преемственности в V классе зависит в настоящее время прежде всего от учителя, от его мнения, будь оно сколь угодно субъективным.

Поэтому новые учебники для начальной школы в настоящее время, быть может за несколькими исключениями, не имеют продолжения в основной школе. Поэтому вопросы преемственности в обучении математике между начальной и основной ступенями являются чрезвычайно важными на современном этапе.

1.2 Логика построения основных содержательно - методических линий курса математики при изучении чисел.

Принятие Федерального государственного образовательного стандарта общего образования нового поколения (начальное общее образование) величайшее событие в российском образовании, к которому оно шло с 60-х годов прошлого столетия: дидактическое исследование под руководством Л.В. Занкова, целью которого явилось экспериментальное обоснование взаимосвязи между обучением и общим развитием учащихся; психологическое исследование, основной целью которого явилось формирование у младших школьников теоретического мышления (Д. Б. Эльконин, В.В. Давыдов); реформа 69-70 года, результатом которой было внесение существенных изменений в содержание начального общего образования; реализация в школьной практике альтернативных учебников (начало 90-х годов прошлого столетия); эксперимент по модернизации начального образования (2000-2004гг.), наконец, апробация новых стандартов и их утверждение. Такой длительный многострадальный путь к утверждению стандартов нового поколения имеет как любое явление свои положительные и отрицательные стороны.

Положительным является прежде всего то, что в новых стандартах нашли отражение те инновационные научные идеи, которые активно разрабатывались педагогами, психологами и методистами: системно - деятельностный подход и личностно-ориентированное обучение, дифференциация, гуманизация и гуманитаризация образования, теория учебной деятельности, формирование общеучебных умений, взаимосвязь обучения, воспитания и развития учащихся и т.д.

Положительным является и тот факт, что в альтернативных учебниках (начало 90-х годов), а это значит и в практике эти идеи уже нашли то или иное воплощение, сыграв тем самым определенную роль в понимании и принятии новых стандартов определенной частью учителей практиков. Однако нельзя не согласиться с тем, что «эта часть учителей» весьма немногочисленна, поэтому не случайно на страницах печати речь идет о том, что учителю необходимо менять свое педагогическое сознание. Но как это сделать реально по отношению, например, к тем учителям, которые работают в школе уже не первый год и, следуя принципам знаниевой парадигмы, довольно успешно справляются с поставленными перед ними задачами? Или, например, по отношению к выпускникам педагогических университетов, которые «завтра» придут работать в школу по новым стандартам? Понимать и принимать в целом основные направления новых стандартов это не означает знать как их реализовать и тем более применить эти знания на практике.

Конечно, можно пойти по пути требований к ученику, начиная их со слов: « ученик должен…» как это было в знаниевой парадигме, или, сориентировать его на требования к результатам, подлежащим проверке и аттестации. Но как показывает практика этот путь обычно не приводит к перестройке педагогического сознания учителя, создавая условия для его творчества и новаторства (конечно, исключения возможны), а напротив «загоняет» его в рамки составления формальных планов, отчетов и натаскивания учащихся.

Думается, что учителю сегодня нужна помощь, которая учитывает реальные условия его педагогической деятельности. А это значит, что реализация основных направлений стандартов должна получить методическую интерпретацию, которая связана с содержанием учебных предметов и особенностями процесса их усвоения школьниками. Это в равной степени необходимо как учителю начальных классов, так и учителю предметнику, особенно, если речь идет о 5-6 классах, где проблема преемственности является наиболее актуальной.

Если мы хотим учить не только математике, но и с помощью математики развивать и воспитывать учащихся, формировать у него умение и желание учиться то прежде всего нужно принять определенную позицию, отвечая на вопрос: «Как организовать учебную деятельность учащихся?».

В зависимости от ответа на этот вопрос можно выделить две позиции. В соответствии с одной: знания (факты, правила, определения, способы действий) предлагаются ученикам в виде известного учителю образца, который они должны запомнить и воспроизвести. Затем путем тренировочных упражнений «отработать» соответствующие умения и навыки. В другом случае ученики сначала включаются в самостоятельную деятельность, которая направляется и организуется соответствующими заданиями, требующими анализа, сравнения, рассуждений. Высказывают, а затем обсуждают различные гипотезы, осознают – каким умением им нужно овладеть, то есть понимают, принимают и осознают, стоящую перед ними учебную задачу и «открывают» для себя новое знание самостоятельно, в сотрудничестве с другими детьми или с помощью учителя. Главный механизм такого «открытия» - образование новых связей, так как неизвестной ученику свойство, отношение, закономерность, способ действия раскрываются только через установление связей с уже известным. Таким образом, поиск неизвестного – это постоянное включение объекта во все новые системы связей.

Организация описанной выше деятельности учащихся, требует от учителя методического творчества, а любое творчество требует прежде всего времени. Поэтому решение проблемы организации деятельности учащихся должно быть возложено прежде всего на учебник, методический инструментарий которого реализует способы организации учебной деятельности учащихся, связанные с постановкой учебной задачи, с ее решением, с самоконтролем и самооценкой, способы организации продуктивного общения, которое является необходимым условием развития учебной деятельности; способы формирования понятий, осознание причинно-следственных связей, закономерностей и зависимостей. Дело в том, что « педагогическая наука имеет только два выхода в практику: либо через деятельность учителя (если он эту науку усвоил)… либо через учебник и методику его построения» (В.П. Беспалько Теория учебника, М, 1988).

Следует заметить, что введение альтернативных учебников в начальных классах и их нацеленность на развитие учащихся позволило не только выявить новые аспекты проблемы преемственности, которые связаны со способами организации учебной деятельности учащихся, но и наметить и апробировать различные пути решения этих проблем. Одним из таких путей является единая концепция курса математики для 1-6 классов, реализация которой позволяет обеспечить преемственность обучения математике в 1-4 и 5-6 классах не только в плане предметного содержания, но и в плане способов организации учебной деятельности школьников. Целесообразность этого подхода стала еще более очевидной в связи с принятием новых стандартов начального образования, в которых перед начальной школой ставится задача научить школьника учиться, овладеть не только предметными знаниями и умениями, но и общеучебными (интеллектуальными, регулятивными, коммуникативными) которые позволят школьникам успешно продолжить образование в 5-6 классах.

Глава II. Способы реализации преемственности при изучении целых неотрицательных чисел на начальной и основной ступенях образования.

2.1 Анализ состояния проблемы преемственности в практике обучения.

Анализируя состояние проблемы преемственности в практике при изучении натуральных чисел в школьном курсе математики мы исходим из следующего:

1. 1. анализ преемственности между изучением натуральных чисел позволит сделать вывод о преемственности между двумя ступенями образования;

2. преемственность при изучении натуральных чисел во многом определяется логикой построения математического содержания, которая находит свое выражение в программах и учебниках, поэтому при анализе состояния проблемы преемственности будем ориентироваться на программы и учебники;

3. натуральные числа являются содержанием одной из основных линий курса школьной математики, а именно, числовой линии;

4.  учитывая современный этап развития школьного образования, характеризующийся многообразием концепций, учебных программ, учебников и форм обучения, предметом анализа явились программы и учебники, наиболее распространены в массовой практике начальной школы и 5-6 классов.

Рассмотрим различные подходы к логике построения содержания числовой линии в начальных и 5-6 классах основной школы. В начальных классах в соответствии со стандартом, основной задачей изучения математики является "формирование представлений о натуральном числе, выработка прочных навыков вычислений с натуральными числами и нулем, обучение применению натуральных чисел при решении практических задач" [34,с. 11]. В соответствии с этим, основное содержание начальной школы связано с изучением натуральных чисел и нуля. Однако, в целом ряде альтернативных учебников рамки математического содержания расширены. Так, в содержание начального курса математики включено изучение:

1. обыкновенных дробей (В.В Давыдов [12]; Л.Г Петерсон [29]; П.М. Эрдниев [35] и др.);
2. обыкновенных и десятичных добей (Э.А. Александова [1]);
3. обыкновенных дробей и отрицательных чисел (Л.В.Занков и И.И. Аргинская   [2]).

Поскольку эти учебники используются в массовой практике, в пятые классы приходит довольно большое количество учеников, получивших начальную математическую подготовку по программам, построенных на разном содержании. Для этих случаев, конечно, осложняется реализации преемственности между начальными и пятым классами, которая должна обеспечить непрерывность математического содержания между образовательными ступенями и при этом "...не должно произойти недооценки тех сведений, тех познаний, которые дети получили в начальных классах. Они не должны рассматриваться лишь как пропедевтические, а должны войти в фонд дальнейшего развития личности" [31, с.5].

Помимо этого возникают и другие проблемы, связанные:

с учителем: если учитель начальной школы имеет реальную возможность выбора, то учитель основной школы просто ставится перед фактом, что ему придется работать в классе развивающего обучения. Зачастую, наряду с этим он будет вынужден работать как в классах развивающего обучения, так и в обычных, традиционных классах;

с организацией образовательного процесса: к концу обучения в начальной школе у ребенка из класса развивающего обучения сформирована учебно-познавательная деятельность, а также умение и желание учиться. Это означает, что "... основным побудительным и смысло-образующим мотивом учения для детей будет выступать учебно-познавательный интерес; что они окажутся в состоянии определять содержание очередной учебной задачи и находить средства и способы её решения; что у них появится способность сознательно контролировать свои действия и критически оценивать их результаты" [11, с. 15] Поэтому, в 5-6 классах они могут осуществлять рефлексию собственных действий. "Это этап обучения, когда учащиеся оттачивают свой "инструмент" деятельности, стараются использовать его более широко ..."[ 8 , c.15-16].

Решению этих проблем посвящен ряд статей - рекомендаций, среди которых можно выделить: статью Федерального центра развития и обучения им. Л.И.Занкова "Преемственность между начальным общим и основным общим образованием. Дидактическая система развивающего обучения Л.В.Занкова" [31], сборник материалов "Реализация развивающего обучения Л.В. Занкова в основной школе (5-9 классы)" [33], статью А.Б. Воронцова "Подходы к преемственности на разных ступенях образования в рамках системы ДБ. Эльконина - В.В.Давыдова" [8], работу В.В.Давыдова и В.В.Репкина "Организация развивающего обучения на этапе 5-9 классы" [13], В.Т.Кудрявцева "Преемственность ступеней развивающего образования: замысел В.В.Давыдова" [15] и др.

В практике 5-6-ых классов основной школы тоже функционирует много учебников:

2. 1. "Математика 5","Математика 6" авт. Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.СЧесноков, С.ШЛварцбурд [19 ];

2. "Математика 5", "Математика 6" под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина [23,24];

3. "Математика: учебник для 5-го класса с использованием калькулятора.", "Математика 6" авт. М.Б.Волович [20, 21 ];

4. "Число в окружающем мире. 5 класс авт. Г.Г..Левитас [17].

В этих учебниках содержание по линии числа отличается большей стабильностью по сравнению с начальными классами. Оно включает вопросы, связанные с изучением: обыкновенных и десятичных дробей, положительных и отрицательных чисел. К концу шестого класса учащиеся приобретают "систематизированные сведения о рациональных числах и овладевают навыками вычислений с ними..." [32, с.8]. Различия курсов проявляются в логике построения этого содержания как в последовательности его изучения, так и в установлении взаимосвязей между понятиями. В логике построения содержания курсов можно условно выделить три варианта.

I вариант.

Последовательность изучения числовых множеств имеет вид:

3. 1. Натуральные числа.

2. Дробные числа.

3. Десятичные дроби.

4. Делимость натуральных чисел.

5. Обыкновенные дроби.

6. Положительные и отрицательные числа.

7. Рациональные числа.

Такой вариант рсализовывался в практике школы с 70-х годов и в настоящее время он сохранился и достаточно широко применяется. Примером этого варианта являются курсы:

4. "Математика 5 (6)" (авт. Э.Р.Нурк, А.Э. Тельгмаа ) [27, 28 ];
5. "Математика 5 (6)" (авт. Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд) [22, 19 ];
6. "Математика 5 (6)" (авт. Л.Н.Шеврин, А.Н.Гейн, И.О.Коряков,
   М.В.Волков) [25, 26].

Причины, побудившие авторов этих учебников выбрать именно такой подход к изложению содержания, отражены в целях изучения каждой темы, которые зафиксированы в программах. Например, цель темы "Натуральные числа" - "Систематизировать и обобщить сведения о натуральных числах" [32, с.21] - продиктована преемственностью между начальными и пятыми классами; цель темы "Обыкновенная дробь" - "познакомить учащихся с понятием дроби в объеме, достаточном для введения десятичных дробей" [32, с.23] - обеспечивает преемственность в изучении десятичных дробей как частного случая общего понятия обыкновенных дробей; цель темы "Делимость чисел" - "завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для освоения действий с обыкновенными дробями" [17, С.28] -реализует преемственность в изучении натуральных чисел и обыкновенных дробей. Несмотря на всю обоснованность каждой темы и ее связи со следующей, можно заметить, что в целом курс математики 5-6 класса в этом варианте представляет собой совокупность отдельных вопросов, не составляющих непрерывной линии в изложении курса. Например, нарушается непрерывность в изучении натуральных чисел: в начале 5 класса рассматривается тема "Натуральные числа", в которой повторяются основные вопросы начальной школы, а тема "Делимость натуральных чисел" рассматривается только в начале 6 класса. Изучение обыкновенных дробей также разделено на два самостоятельных раздела: формирование понятия "дробь" и вычислительного навыка сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями в 5 классе, и преобразование дробей и арифметические действия с обыкновенными дробями в 6 классе. Проблема преемственности в этом случае решается путем введения в структуру учебника специальных разделов для повторения ранее пройденного материала. Например, упражнения для повторения даны: в каждой теме ("Математика 5" авт. Н.Я.Виленкин и др.); после изучения 2-3 новых тем ("Математика 5" авт. Э.Р.Нурк и др.); после изучения каждого параграфа ("Математика 5" авт. Л.Н.Шеврин и др.).

Анализ рассматриваемых учебников позволил выделить общие черты, характеризующие преемственность как между начальными и 5 классом, так и при изучении натуральных чисел и дробей. В качестве основного способа реализации преемственности между начальными и 5 классом выступает тема "Натуральные   числа", цель изучения которой "систематизировать и обобщить сведения о натуральных числах, полученные в начальной школе" [32, с. 14, с.21, с.29]. На эту тему отводится :

7. в учебнике "Математика 5" (авт. Э.Р.Нурк и др.) - 50 часов или 29,4% учебного времени (всего 170 часов);
8. в учебнике "Математика 5" (авт. Н.Я.Виленкин и др.) -59 часов или 34,8% учебного времени;
9. в учебнике "Математика 5" (авт. Н.Л.1Иеврин и др.) - 51 час или 30% учебного времени.

Как видим, третья часть учебного времени отводится повторению того материала, который дети изучали в начальных классах. "Систематизация и обобщение" этого материала заключается в том, что учащиеся на том же уровне, но в более сжатой форме повторяют все, что они изучали в начальных классах, в той же последовательности: обозначение, сложение и вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Для обобщения знаний о натуральных числах вводятся новые понятия: "натуральное число", "координатный луч", "класс миллиардов", "двойное неравенство" и буквенная символика для записи свойств арифметических действий в общем виде. Средством систематизации ранее изученных вопросов выступает объяснительный текст, в котором вводятся новые понятия и терминология. В объяснительных текстах связь с начальной школой выражена в формулировках типа: "В предыдущих классах ты уже изучил ..." ("Математика 5" авт. Э..Р.Нурк) "В младших классах вы научились..." ("Математика 5" авт. Л.Н.Шеврин). Сохраняется преемственность и в организации деятельности учащихся, которая, как и в начальных классах, представляет собой выполнение задания по образцу, данному в объяснительном тексте учебника или предложенного учителем. Для развития мышления учащихся вводятся специальные задания занимательного или творческого характера, логические упражнения, которые связаны с ранее изученными вопросами. Как видим, логика построения содержания 5  класса в полной мере не учитывает тот запас знаний и способов действий, которым дети уже овладели; в течение длительного времени (первого полугодия) им предлагается тот же материал, с которым они имели дело в начальных классах, при этом уровень знаний такой же, а порой значительно ниже, чем в начальной школе. Таким образом, снижается познавательная активность детей, так как они не видят возможности применить все свои знания в новых условиях, на новом математическом содержании. Такой способ осуществления преемственности через повторение на том же уровне носит формальный характер, так как в содержание этого повторительного раздела не заложена взаимосвязь между ранее изученными понятиями и способами деятельности, а весь материал начальной школы "растолковывается" с самого начала.

Рассмотрим, какая преемственная связь существует между натуральными числами и дробями в данных учебниках. Основным способом реализации преемственности изучения натуральных чисел и дробей выступают либо отдельные темы, например, "Деление дроби" ("Математика 5" авт. Н.Я.Виленкин и др.), "Дроби и деление натуральных чисел" ("Математика 5" авт.Л.Н.Шеврин и др.), либо отдельные абзацы в объяснительном тексте почти каждой темы, раскрывающие связь натуральных чисел и дробей в формулировках типа: "Дробные числа, как и натуральные, можно ..." ("Математика 5" авт. Э.Р.Нурк и др.).

Понятийная линия отражена в объяснительных текстах и обусловливается практической значимостью связи натуральных чисел и дробей. Эта связь заключается в формировании понятия о различных формах записи натуральных чисел в виде дробей и применении этого понятия при формировании вычислительных навыков. Но сущность этой связи детьми не осознается, так как почти не отражена в заданиях.

Преемственность в изучении натуральных чисел и дробей носит внешний, частный характер и не отражает взаимосвязей между этими числами в их развитии.

II вариант последовательности изучения числовых множеств в курсе "Математика" для 5-6 классов можно представить в таком виде:

1 .Десятичные дроби.

2.Обыкновенные дроби.

3.Положительные и отрицательные числа.

4.Рациональные числа.

Примером этого варианта являются курсы:

- "Математика 5: учебник для 5 (6) класса с использованием калькулятора" авт. М.Б.Волович [20, 21 ]; > - "Число в окружающем мире. 5 класс" авт. Г.Г.Левитас [17].

Сторонники этой последовательности: М.Б.Волович, Г.Г.Левитас объясняют ее целесообразность тем, что изучение десятичных дробей и действий над ними после натуральных чисел (в начальных классах) более доступно учащимся в силу принципа разрядности в записи чисел и опоры на этот принцип при выполнении арифметических действий. Так, например, М.Б.Волович выдвигает следующие доводы:

1) "Десятичные дроби - центральная тема 5 класса, а изучение ее начинается лишь в конце учебного года, и для полноценного закрепления просто не остается времени." [7 , с.39 ] По его мнению, это связано с тем, что " во-первых, приходится почти всю первую четверть повторять материал начальной школы: уж больно много пробелов в знаниях учеников, во-вторых, нужно время для знакомства с обыкновенными дробями, так как десятичные дроби вводятся как частный случай обыкновенных дробей" [7 , с. 39].

2) "Если знакомство с десятичными дробями осуществить в самом начале учебного года, то совсем не надо отдельно организовывать повторения. Действительно, можно ли выполнить сложение или вычитание, умножение или деление десятичных дробей, не вспоминая действия с натуральными числами? Совершенно невозможно! Вот и надо организовать повторение в ходе изучения нового материала. Тем более, что психологи доказали: такое повторение неизмеримо более действенно, чем традиционное."[7,с.39].

"Сэкономленное" за счет отказа от специального раздела "Повторение" время, М.Б.Волович предлагает использовать для работы с калькулятором.

Г.Г.Левитас разделяет точку зрения М.Б.Воловича на причины, которые  обосновывается целесообразность изучения десятичных дробей вслед за натуральными числами, когда вместе с усвоением десятичных дробей происходит и повторение самих натуральных чисел. При этом "сэкономленное" время Г.Г.Левитас предлагает использовать для изучения тем "Обыкновенные дроби" и "Рациональные числа" с целью интенсификации курса математики 5-6 классов. Это сократит время изучения двухлетнего курса на целый год, чтобы "было время для полноценной отработки учебного материала в 7-9 классах, т.к. на эти классы приходится большая учебная нагрузка, а достаточного времени учитель не имеет" [10, с.9].

Безусловно, преемственность в изучении десятичных дробей как продолжения курса натуральных чисел позволит избежать повторения начального курса математики на том же уровне, так как в этом случае учащиеся применяют свои знания в новых условиях, на новом математическом содержании; осознают взаимосвязь между натуральными и десятичными дробями, основанную на принципе разрядности в записи чисел. Но в этом случае:

1) преемственность реализуется, как бы, односторонне, через
"вычислительную" связь, но не через понятийную, так как у ребенка не
формируется понятие о дроби;

2) нарушается преемственность в изучении натуральных чисел, так
как тема "Делимость натуральных чисел" рассматривается только после
изучения десятичных дробей;

3) нарушается принцип историзма, согласно которому математические понятия "вводятся" в практику учащихся примерно в той же последовательности, как они возникали в практике человечества и в математической науке: обыкновенные дроби появились значительно раньше десятичных и десятичные дроби представляют собой частный случай обыкновенных дробей.

III вариант последовательности изучения чисел в 5-6 классах условно можно представить в виде:

1 .Натуральные числа. Делимость натуральных чисел.

2.0быкновенные дроби.

3.Десятичные дроби.

4.Положительные и отрицательные числа.

5.Рациональные числа.

Такая последовательность изучения чисел нашла отражение в учебнике "Математика 5 (6)" (авт. Г.В.Дорофеев и др. [23, 24]). В основу создания этого курса легла ведущая идея современной концепции школьного образования - идея гумманизации, ставящая в центр процесса обучения ученика с его интересами и возможностями, требующая учета особенностей его личности. Приоритет развивающей функции в обучении как основного направления перестройки школьного математического образования авторы курса видят в "усилении общекулътурного звучания курса и повышения его значимости для формирования личности подрастающего человека" [16 ,с.27]. Главными особенностями курса авторы считают:

"- выдвижение на первый план задачи интеллектуального развития учащихся и прежде всего таких его компонентов, как интеллектуальная восприимчивость, способность к усвоению новой информации, подвижность и гибкость, независимость мышления;

- создание более широкого круга математических представлений, чем это имеет место сейчас, и соответственно отказ от формирования некоторых специальных математических умений;

- перенос акцентов с формального на содержательное, развитие
понятий и утверждений на наглядной основе, повышение роли интуиции и
воображения как основы для формирования математического мышления и
интеллектуальных особенностей;

- формирование личностного отношения к математическим знаниям,
представления о математике как части общечеловеческой культуры,
усиление практического аспекта в преподавании, развитие умения применять
математику в реальной жизни;

- приведение курса в соответствие с возрастными особенностями учащихся, что выразилось в живом языке изложения, в опоре на жизненный опыт учащихся, доступный их пониманию, и в организации разнообразной практической деятельности" [16, с. 28].

Преемственная связь между начальными и пятым классом в этом учебнике осуществлена посредством изучения в начале пятого класса темы "Натуральные числа", в которой рассматриваются следующие вопросы: числа и счет, действия с натуральными числами, свойства арифметических действий, делимость чисел. Изучению этой темы отводится по программе 57 часов, что составляет 33,5% всего учебного времени и основная цель которой -"систематизировать и развить знания учащихся о натуральных числах, • закрепить и развить навыки действий с ними, познакомить с элементарными приемами прикидки и оценки." [32, с.40]. Систематизация знаний заключается в повторении материала начальной школы и ее можно охарактеризовать так же, как и систематизацию, рассмотренную ранее, в первом варианте. Способы реализации преемственности между начальными и 5 классами в этих вариантах одинаковы. Однако заметим, что в теме "натуральные числа" работа по формированию понятия натурального числа, начатая еще в начальной школе, продолжается. Знания детей о натуральных числах расширяются, дополняются, так как помимо повторения рассматриваются новые понятия и  вопросы: "простые числа", способ перечисления простых чисел ("решето Эратосфена"), доказательство Евклида о бесконечности простых чисел; "составные числа" и их разложение на простые множители; "свойства делимости"; признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 9, на 3. Это придает  завершенность изучению натуральных чисел.

Развитие знаний учащихся осуществляется посредством введения исторических, лингвистических, занимательных фактов как в объяснительные тексты учебника, так и в систему заданий.

Таким образом, связь между понятиями при изучении натуральных чисел и дробей отражена в объяснительных текстах, информационно насыщенных сведениями как математического, так и познавательного характера. Но вся понятийная информация не находит должного отражения в заданиях, не реализуется в учебной деятельности учащихся и, поэтому, ими не осознается. Анализируя логику изложения математического содержания в учебнике "Математика 5" авт. Г.В.Дорофеев, следует отметить тот положительный факт, что каждый вид чисел изучается без "разрывов", единой темой с учетом принципа историзма. Однако, между темами по изучению отдельного вида чисел существует разобщенность в силу специфики построения логики содержания числовой линии в сочетании с другими разделами курса. Например, между темами "Натуральные числа" и "Обыкновенные дроби" изучаются следующие вопросы: "Перебор возможных ситуаций", "Многоугольники"; между темами "Обыкновенные дроби" и "Десятичные дроби" - вопросы: "Случайные события", "Многогранники", "Таблицы и диаграммы", "Дроби и проценты", "Прямая и окружность". В этом случае говорить о реализации преемственных связей при изучении чисел с опорой на предыдущие знания о числе довольно сложно.

Проведенный анализ состояния проблемы преемственности в практике обучения математике позволил отметить, что все рассматриваемые учебники математики для 5-6 классов ориентированы на ученика, закончившего начальную школу по традиционной программе ("Математика 1-4" авт. М.И.Моро и др.). Поэтому, преемственные связи находят свое выражение в том, что курс математики 5 класса так же как и курс математики начальной школы сориентирован на отработку частных вопросов. Это оказывает влияние на способы реализации преемственности между ступенями образования, которые находят отражение и при изучении натуральных чисел и дробей. В качестве основных способов реализации преемственности выступают:

1. повторение, пронизывающее весь курс математики 5-6 классов. Это находит свое выражение как в специальном разделе "Натуральные числа", так и при изучении новых вопросов, где предлагаются упражнения для повторения ранее изученного материала в большинстве случаев с натуральными числами;

2. при введении нового материала используются объяснительные тексты, в которых авторы учебников взаимосвязь с вопросами, ранее изученными на начальной ступени, выражают формулировками типа: "Вы уже умеете ...", "В предыдущих классах вы изучали..." и т.д. Тем не менее эти фразы носят формальный характер, так как при дальнейшем изложении объяснительного текста эти знания и умения детей не используются, а все "разъясняется" с самого начала. При этом деятельность учащихся носит репродуктивный характер, отражает образец, данный в объяснительном тексте или учителем.

Эти способы реализации преемственности носят внешний, формальный характер и не формируют в сознании учащихся необходимую понятийную взаимосвязь, так как она не находит достаточного выражения в заданиях, которые являются основным средством организации учебной деятельности учащихся, а отражена только в объяснительных текстах учебника.

Если же рассмотреть преемственность между начальной и основной ступенями в случае, когда обучение в начальных классах ведется по развивающим программам, то разрыв между ними еще значительнее, так как работа по развитию учебной деятельности и мышления учащихся, начатая в начальных классах, не получает должного продолжения ни в одном из рассматриваемых учебников.

2.2. Методика изучения целых неотрицательных чисел, обеспечивающая преемственность в курсе " Математика"

Рассмотренная методика изучения целых неотрицательных чисел осуществлялась в рамках концепции, основной целью которой является развитие мышления учащихся в процессе усвоения математического содержания (Н.Б.Истомина).

 В соответствии с этой концепцией у учащихся начальных классов целенаправленно формируются приемы умственной деятельности: анализ,  синтез, сравнение, классификация, обобщение. Средствами достижения этой цели служат:

 1. Логика построения содержания начального курса математики, в
основе которой лежит тематический принцип, позволяющий сориентировать
курс на усвоение системы понятий и общих способов математических
действий. В русле этой логики курс математики построен таким образом, что
каждая следующая тема органически связана с предыдущей. Тем самым
создаются условия для повторения ранее изученных вопросов в процессе
изучения нового материала и для самостоятельного решения школьниками
новых учебных задач.

 2. Методические подходы к усвоению школьниками математических
понятий, в основе которых лежит установление соответствия между
предметными, вербальными, схематическими (графическими) и
символическими моделями, а так же формирование у учащихся
представлений об изменении, правиле (закономерности) и зависимости. Как показала практика обучения, этот методический подход к  формированию понятий позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его предметно - действенное и наглядно - образное мьшшение и постепенно вводить учащихся в мир математических понятий, терминов, символов, способствуя развитию как эмпирического, так и теоретического мышления.

 3. Система учебных заданий, процесс выполнения которых носит продуктивный характер и, исходя из психологических особенностей младших школьников, определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

Ориентируясь на те же средства развития мышления учащихся (логика  построения содержания курса, методические подходы к формированию понятий и систему учебных заданий), строилась методика изучения натуральных чисел и дробей в 5 классе, а также рациональных чисел в 6-ом классе.

Таким образом, основные направления методики изучения натуральных чисел в начальных классах получили свое дальнейшее развитие при изучении натуральных чисел и дробей в пятом классе.

Реализация данной методики в учебниках 5, 6 классах нашла свое  выражение: в замене объяснительных текстов диалогами, проблемными ситуациями, требующими активного использования приемов выбора, сравнения, классификации, преобразования, конструирования; в отказе от репродуктивного повторения; в приоритете обучающих заданий; в установлении взаимосвязи понятий курса 5, 6 классов с теми понятиями, которые учащиеся усвоили в начальных классах.

Охарактеризуем кратко содержание курса "Математика" по линии числа и общую направленность методики изучения целых неотрицательных чисел в начальных и пятом классах.

I класс.

 Отношения "столько же", "больше", "меньше" (установление взаимно  однозначного соответствия). Счет. Количественная характеристика групп предметов. Цифры. Взаимосвязь количественного и порядкового чисел.

Натуральный ряд чисел от 1 до 9, принцип его построения. Присчитывание и отсчитывание по единице.

 Смысл действия сложения и вычитания. Понятия целого и части. "Увеличить на ....", "уменьшить на ....". Сумма, слагаемые, значение суммы.  Переместительное свойство сложения. Уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. Взаимосвязь компонентов и результатов действия сложения и вычитания. Число и цифра нуль. Разностное сравнение.

Двузначные числа, их разрядный состав.

II класс.

Сочетательное свойство сложения.

Трехзначные числа, их разрядный состав.

 Смысл умножения. Названия компонентов и результата умножения. Умножение на 0 и на 1.

Переместительное свойство умножения. Понятие "увеличить в...".

III класс.

Сочетательное свойство умножения.

 Смысл деления. Названия компонентов и результата деления.  Взаимосвязь умножения и деления. Понятие "уменьшить в...". Кратное сравнение. Невозможность деления на нуль. Деление числа на 1 и на само себя.

Распределительное свойство умножения.

Деление суммы на число.

 Четырехзначные, пятизначные, шестизначные числа. Понятия разряда  и класса. Соотношение разрядных единиц. Разрядные слагаемые.

IV класс

 Смысл деления с остатком. Способы деления с остатком. Взаимосвязь  компонентов и результата деления (с остатком и без остатка).

V класс.

Натуральные числа.  Повторение основных понятий, свойств, способов действий, которые изучались в курсе математики начальной школы.

Делители и кратные. Простые и составные числа.

 Свойства делимости. Признаки делимости. Разложение на простые  множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Остановимся кратко на характеристике каждого вопроса.

 Первые шаги в формировании понятия числа у младших школьников связаны с выполнением ими определенных действий с предметными совокупностями. Количественная характеристика предметных групп осознается ребенком в   процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами, В этом случае количественная характеристика числа находит выражение в понятиях "столько же", "больше", "меньше".

Установление взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами связано с вычленением отдельных элементов и подготавливает детей к сознательному овладению операцией счета. На первом этапе счет выступает для ребенка как установление взаимнооднозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных, расположенных в определенном порядке.

Таким образом, в основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит счет предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данного множества ("количественное число"). С другой стороны, число как общая характеристика класса эквивалентных множеств осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы: "Больше?", "Меньше?", "Сколько же?" - могут быть получены как способом пересчитывания, так и способом установления взаимно-однозначного соответствия. Эти способы используются параллельно, дополняя друг друга.

Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие  одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете ("порядковое число"). Порядковая и количественная характеристика числа тесно связаны. Для осознания взаимосвязи между количественным и порядковым числом используются специальные практические упражнения.

 Например, учитель показывает детям полоску с кружочками и, указывая на последний, говорит:

10. Это пятый кружок.
11. Кто может сказать, сколько кружков нарисовано на полоске? (Пять).

В предлагаемом детям материале даны задания, при выполнении которых они сначала усваивают (или уточняют, если они пришли в школу подготовленными в этом плане) последовательность слов-числительных,  которой можно пользоваться для счета предметов. Затем овладевают операцией счета, то есть устанавливают взаимно-однозначное соответствие между предметом и словом-числительным. Заменяя слова-числительные знаками (в произвольном порядке), учащиеся знакомятся с цифрами.

В теме "Однозначные числа" учащиеся знакомятся с отрезком  натурального ряда чисел от 1 до 9. Пересчитывая предметы данной совокупности и заменяя слова-числительные соответствующими знаками (цифрами), они получают ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов. Принцип построения этого ряда осознается детьми в процессе выполнения различных заданий, которые связаны с операцией счета, присчитывания и отсчитывания.

Знакомство учащихся с лучом, отрезком и способом измерения длины  с помощью различных мерок позволяет ввести понятие "числовой луч" и применять его как наглядное средство для сравнения чисел, а затем для их сложения и вычитания.

В качестве математической основы разъяснения смысла сложения выступает теоретико-множественная трактовка суммы. Она легко переводится на язык предметных действий, что позволяет при формировании представлений о смысле сложения опираться на опыт детей, навыки счета и операции присчитывания и отсчитывания.

Для разъяснения смысла сложения используется идея соответствия  предметного действия его словесному описанию, математической записи и изображению на числовом луче. Для чтения математических записей вводится терминология: выражение, равенство, слагаемые, значение суммы. Употребление ее позволяет исключить такой термин как "примеры". Интерпретация сложения на числовом луче помогает ребенку абстрагироваться от предметных действий. Введение в программу темы "Целое и части" помогает детям осознать  взаимосвязь между сложением и вычитанием (представление о смысле действия сложения), между компонентами и результатами этих действий. Процесс усвоения состава однозначных чисел тесно связан с "изучением таким понятий, как "увеличить на...", "уменьшить на...", "целое и части", "число и цифра нуль", "разностное сравнение".

При изучении нумерации двухзначных чисел деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы  счисления и на соотношение разрядных единиц. Для этого используются как предметные наглядные пособия, так и калькулятор.

Во втором классе в теме "Умножение" большое внимание уделяется  разъяснению детям смысла этого действия как суммы одинаковых слагаемых и новой математической записи. Для этой цели предлагаются различные виды учебных заданий:

12. на выделение признаков сходства и различия данных выражений;
13. на соотнесение рисунка и числового выражения;
14. на запись числового выражения по данному рисунку;
15.  на выбор числового выражения, соответствующего данному рисунку и т.д.

Параллельно с разъяснением смысла умножения проводится работа,  целью которой является формирование навыков табличного умножения. Составление таблицы умножения органически включается в темы: "Умножение", "Переместительное свойство умножения", "Увеличить в несколько раз", "Площадь фигуры", "Измерение площади", "Сочетательное свойство умножения".

В соответствии с логикой курса школьники сначала усваивают смысл умножения и его табличные случаи и только после этого (в третьем классе) приступают к изучению деления.

Использование идеи изменения и соответствия предметных действий (предметных ситуаций) и математической записи позволяет рассматривать так называемые "деление по содержанию" и "деление на равные части" (без употребления терминологии) в их тесной взаимосвязи, а также во взаимосвязи с умножением, что дает возможность детям лучше усвоить понятие "уменьшить в несколько раз" и понятие кратного сравнения.

В теме "Деление" рассматривается взаимосвязь компонентов и  результатов действий умножения и деления, которая лежит в основе составления равенств, соответствующих случаям табличного умножения.

Нумерация многозначных чисел в курсе третьего класса представлена  темами: "Четырехзначные числа" и "Пятизначные и шестизначные числа". Основными способами усвоения десятичной позиционной системы счисления являются: анализ многозначных чисел с точки зрения их разрядного состава, выявление признаков сходства и различия в конкретных числах, построение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.

Содержание программы четвертого класса тоже соответствует  тематическому принципу. Последовательность изучения тем позволяет органически включить в каждую следующую ранее пройденный материал и тем самым выстроить знания, умения и навыки в определенную систему.

Для разъяснения смысла деления с остатком, также как и при  рассмотрении смысла действий сложения, вычитания, умножения и деления, используются задания на соотнесение предметных действий и математической записи. Чтобы освоить способ деления с остатком, дети прежде всего должны осознать взаимосвязь между делимым, делителем, неполным частным и остатком (с обязательным условием, что остаток меньше делителя). С помощью специальной системы заданий до учащихся доводится смысл определения: "Разделить числа а на натуральное число b -значит найти такие q иг, при которых a = bq +r , где 0 < г < b ", но при этом, конечно, буквенная символика не употребляется.

В пятом классе продолжается работа, начатая в начальных классах.

Тема "Натуральные числа" - первая тема в 5 классе, основные цели изучения которой: систематизировать, обобщить и развить знания учшцихся о натуральных числах; познакомить с новыми понятиями, к восприятию и усвоению которых учащиеся были подготовлены в начальных классах.

Данные цели реализуются при изучении всех вопросов, включенных в тему. При повторении курса математики начальных классов вводится понятие "натуральное число" (в начальных классах этот термин не вводится, речь шла о числах, которые используются для счета), вводятся также понятия координатного луча (в начальных классах - числовой луч), координата точки, единичный отрезок (в начальных классах - мерка), учащиеся обобщают на вербальном и символическом уровне изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов и знакомятся со способами округления (подготовительная работа к такому обобщению также осуществлялась в начальных классах).

В раздел "Натуральные числа" включается знакомство пятиклассников с классом миллионов и миллиардов, с двойным неравенством, с помощью буквенной символики обобщаются свойства сложения (переместительное и сочетательное) и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) - термины были введены в начальных классах.

Введение понятий "делимое" и "кратное", простые и составные числа  расширяют представления учащихся о натуральных числах и создают условия для включения заданий, нацеленных как на совершенствование вычислительных умений и навыков, так и на развитие логической грамотности учащихся.

Изучение свойств делимости опирается на знания, умения и навыки,  сформированные в начальном курсе математики: связь компонентов и результатов действий умножения и деления; замена выражений - суммы, разности, произведения, частного - значением этих выражений и наоборот; деление суммы на число и др. Например, изучение свойств делимости суммы на натуральное число опирается на знание учащимися свойства "деление  суммы на число". Например, в третьем классе при знакомстве с этим свойством учащимся предлагается задание:

1. Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом
столбике ?

Вычисли их значения.

 54 : 9            63 : 7

(36 + 18): 9         (49 + 14):7

36:9 + 18:9                   49:7 + 14:7

 72 : 8                    56:7

 (24 + 48): 8                     (42 + 14): 7

24:8 + 48:8                     42:7+14:7

Запиши столбики выражений по такому же правилу и вычисли их
значения:    36 : 4             48 : 6        27 : 3              45 : 9

В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают новый  способ действия. А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, затем на это число делится каждое слагаемое и полученные результаты складываются.

Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. Например:

 2.        Чем похожи выражения в каждой паре? Чем отличаются?

 (24 + 48): 8                            (42 + 14): 7

 (22 + 50): 8                             (40 + 16): 7

(36+18):9                        (49 + 14):7

(34 + 20):9                              (47 + 16):7

 3.        Какие суммы делятся на 4:

24+4 20+8 16+8 24+5 20+9 23+5 21+7 20+7 16+12   19+9    15+13    16+15

В процессе выполнения этих заданий учащиеся рассматривают различные случаи деления суммы на число, а именно: если каждое слагаемое делится на данное число, если каждое слагаемое не делится на данное число, если одно из слагаемых делится на данное число, а другое не делится. Результаты этих наблюдений используются в пятом классе при изучении свойства делимости суммы, знакомство с которым начинается с выполнения задания:

 4.        Чем похожи выражения? Вычисли их значения:

 (56+72): 8                      (63+49): 7

 (36+81): 9                      (64+56): 7

 (49+28): 7                      (64+72): 8

 (56+48):6                      (45+81):9

Анализируя признаки сходства и различия данных выражений,  учащиеся выдвигают предположения о свойствах делимости суммы. Эти предположения они проверяют на других числовых выражениях, которые составляют сами. Итогом работы является обобщенная формулировка свойства делимости, которая дана в учебнике:

16.  если каждое из натуральных числе делится на натуральное число а, то и  сумма этих чисел делится на это число;
17.  если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся, то вся сумма на число b не делится.

Дальнейшая деятельность учащихся направлена на осознание этих свойств. Для этой цели им предлагаются задания:

5. Не выполняя вычислений, выпишите выражения, в которых:

 а) число 9 является делителем суммы;

 б) число 8 является делителем суммы;

 в) сумма кратна числу 6;

 г) сумма кратна числу 11.

(54+36+72+81+18):9        (64+824+16+72):8

 (9+27+35+54+72): 9        (32+16+40+36+48): 8

 (99+9+18+27+81): 9        (88+176+80+40+56) : 8

 (42+12+36+18+6): 6        (88+66+77+222) : 11

 (24+84+48+54+60): 6        (99+44+22+33) : 11

 (108+72+64+26+42): 6        (110+440+220+777) : 11

Проверь себя, вычислив значения этих выражений.

6. Можно ли утверждать, что сумма чисел в каждом ряду делится на 2?

 а) 2, 4, 6, 8, 9, 10

 б) 7, 8, 12, 14, 26

 в) 24, 26, 28, 32, 34

Изучение свойств делимости, в частности свойства делимости суммы, находит дальнейшее развитие при изучении признаков делимости. Например, при изучении признака делимости на 5. Знакомство с признаком делимости на 5 начинается с задания:

7. Подумай, можно ли сформулировать признак делимости на 5 ?

Ориентируясь на знание свойств делимости и знание признака делимости на 10, учащиеся могут рассуждать следующим образом:

- Все числа, которые делятся на 10, делятся и на 5. Это легко доказать, так как любое число, делящееся на 10, оканчивается нулем (или несколькими  нулями) и его можно представить в виде произведения двух множителей,

 один из которых будет число 10. Например, 42040 = 4204-10 77700 = 7770 • 10

Число 10 делится на 5. А если один из множителей делится на натуральное число, то и все произведение будет делиться на натуральное число.

Но рассуждения могут быть и такими:

- На 5 могут делиться те числа, которые оканчиваются цифрой 5, так как в этом случае мы можем записать число в виде двух слагаемых, каждое из которых делится на 5. Например: 42045 = 42040 + 5 77705 = 77700 + 5

 Выполнение данного задания основано на знаниях, умениях и навыках,  усвоенных на предшествующих этапах и помогает осознать признак делимости на 5.

Введение понятий "наибольший общий делитель", "наименьшее общее  кратное" создает условия для совершенствования вычислительных навыков и готовит учащихся к усвоению темы "Обыкновенные дроби".

Изучение перечисленных вопросов в данной последовательности позволяет учащимся активно использовать при изучении нового материала ранее усвоенные (как в начальных классах, так и в 5 классе) знания, умения и навыки, что создает условия для самостоятельного выполнения заданий, нацеленных на усвоение нового материала.

Учебные задания являются основным средством организации учебной  деятельности учащихся. В них находят отражение цели, содержание, методы и формы обучения. Задания непосредственно выходят на ученика, обусловливая характер его учебных действий. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий в развивающем курсе 5, 6 классов имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с системой заданий, нацеленных на "отработку" знаний, умений и навыков.

Так, при построении курсов математики в начальных и 5-6 классах,  основной целью которых является формирование у учащихся знаний; умений и навыков, учитель обычно сам дает образец действий, сопровождая его необходимыми пояснениями, затем дети выполняют тренировочные задания, аналогичные тем, которые использовал учитель на этапе объяснения. После  этого возможны творческие или нестандартные задания. Они обычно обсуждаются фронтально или предлагаются так называемым сильным ученикам.

Подобное построение системы учебных заданий не оказывает  эффективного влияния на развитие мышления учащихся, так как процесс их выполнения не требует активного использования различных мыслительных операций.

В развивающем курсе математики, основной целью которого является  формирование приемов умственной деятельности в начальных классах и активное их использование в 5-6 классах в процессе усвоения математического содержания, последовательность предлагаемых видов заданий существенно изменяется. Сначала это частично - поисковые, творческие задания. Процесс их выполнения может быть связан с догадкой, опирающейся в начальных классах на опыт ребенка, а в 5-6 классах на уже усвоенные знания, умения и навыки, с обсуждением различных вариантов и возможных способов действий, с организацией целенаправленного наблюдения, позволяющего включать в активную познавательную деятельность всех учащихся.

Цель этого этапа - осознание школьниками той учебной задача, на  решение которой должна быть направлена его последующая деятельность.

Задания, предлагаемые для организации этой деятельности также отличаются от "тренировочных" заданий, обычно используемых на этапе  закрепления, вариативностью формулировок, возможностью действовать различными способами, необходимостью активно привлекать ранее усвоенные знания, умения и навыки, используя приемы умственных действий. Другими словами, в развивающем курсе "Математика" для 5-6 классов "тренировочные задания" тоже имеют продуктивный характер.

Важной характеристикой учебных заданий является та функция - контролирующая и обучающая, которую они выполняют в учебном процессе.

В рамках обучения, направленного на "отработку" знаний, умений и навыков, обычно выделяются следующие этапы: актуализация знаний -объяснение - закрепление - контроль - повторение. В этом случае в качестве приоритетных выступают контролирующие задания, так как они предлагаются ученикам на всех этапах усвоения материала, кроме объяснения. Приоритет контролирующей функции на всех этапах обучения оказывает отрицательное воздействие на мотивационную сферу учащихся. А именно: познавательная мотивация отступает на второй план, а на первый план выдвигается "мотивация благополучия" или "престижная мотивация", что снижает развивающий эффект обучения.

В системе развивающего обучения математике  приоритет на всех этапах усвоения математического содержания ( кроме контроля) отдается обучающим заданиям.

Обучающие задания выполняются как фронтально, так и в процессе  самостоятельной работы учащихся. При этом могут быть использованы различные методические приемы: организация целенаправленного наблюдения, анализ математических объектов с различных точек зрения, установление соответствия между предметной - вербальной - графической -символической моделями, предложение заведомо неверного способа выполнения задания - "ловушки", сравнение данного задания с другим, которое представляет собой ориентировочную основу, обсуждение различных способов действий.

Контролирующие задания ( репродуктивные, частично - поисковые, творческие ) используются только для выявления результатов работы с обучающими заданиями на этапе контроля и позволяют сделать вывод об уровне усвоения материала.

В построение уроков математики, на которых реализуется тематическое построение курса, система учебных заданий, адекватная его концепции, и создаются условия для активного включения всех учащихся в познавательную деятельность. Критериями оценки уроков являются: логика их построения, направленная на решение учебной задачи, вариативность предлагаемых учителем учебных заданий, вопросов и взаимосвязь между ними; продуктивная мыслительная деятельность учащихся, которая обеспечивается сочетанием различных методических приемов, средств и форм обучения; активным высказыванием детьми самостоятельных суждений и способов их обоснования.

Таким образом, учебные задания в курсе "Математика", нацеленного на развитие мышления учащихся:

18.  характеризуются возможность их выполнения различными способами:  практическими или дедуктивными (используя правила);
19. обладают свойствами ретроспективной и перспективной преемственности;
20. создают условия для повторения ранее изученных вопросов и
    самостоятельного построения обобщений.

Заключение.

В работе рассмотрен один из путей решения проблемы преемственности в обучении математике между начальной и основной школой. Пути решения проблем преемственности между отдельными ступенями школы, в том числе и в школьном курсе математики "двусторонние": с одной стороны – в совершенствовании требований к знаниям, умениям, навыкам учащихся как в начальном, так и в среднем звене, а с другой – в сохранении организационных форм, методов, средств обучения, характерных для работы учителя начальных классов.

Учитель начальных классов и учитель математики должны соблюдать в обучении: единообразие в трактовке понятий, в терминологии, в используемом языке; системность в изучении понятий.

Преемственность между начальными классами и 5-6 классами основной школы находит свое выражение:

21.  в единстве логики изложения содержания. Тематический принцип построения курса обеспечивает изучение математического содержания в органической связи каждой темы с предыдущей, что создает условия для  повторения ранее изученных вопросов на новом уровне, позволяет сопоставлять и соотносить их в самых различных аспектах, обобщая и систематизируя их, устанавливая причинно-следственные связи. При этом, если учащиеся начальной школы в большей мере опираются на жизненный опыт, интуицию, то ученики 5-6 классов активно применяют уже сформированные понятия и способы действий.
22.  в единстве методических подходов к изучению математических  понятий, свойств и способов, в основе которых лежат идеи изменения свойств (признаков) предметных, образных, схематических, символических и вербальных моделей, установление соответствия между ними, выявление закономерностей и различных зависимостей.

 Каждое из этих направлений реализуется в системе учебных заданий, отражающих цели, содержание, методы и формы обучения и обусловливающих характер учебной деятельности ученика.

Очевидно, что подготовка к работе учителя математики должна начинаться задолго до 1 сентября.

Список литературы.

1. Александрова Э.И. Математика: Рабочий вариант для 3 кл.: (Прогр.  развивающего обучения).- М.: Инфолайн, 1994.-142с.

2. Аргинская И.И. Математика:3 кл.: учеб.- М. Просвещение, 1993.- 160с.

3. Бабанский Ю. К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. – М.// Просвещение, 1985, 208 с.

4. Баллер Э. А. Преемственность в развитии культуры. – М, 1967

5. Батаршев А. В. Преемственность в дидактических приемах обучения// Советская педагогика, 1987, № 4, с. 71-73.

6. Воителева Г. В. Преемственность в изучении чисел в начальной и основной школе.- М: МГОУ, 1999г.

7. Волович М.Б. Математика в 5 классе - без перегрузок//Математика в  школе, 1994,№2.-с.39-40.

8. Воронцов А.Б. Подходы к преемственности на разных ступенях  образования в рамках системы Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова //Начальная школа.Плюс-минус, 1999,№4. -с. 9-16.

9. Ганелин Ш. Н. Педагогические основы преемственности учебно-воспитательной работы в V–VI классах// Советская педагогика, 1955, №7, с. 3-14.

10. Гребенникова Н.Л. Формирование у младших школьников системы  представлений о рациональных числах / Баш.гос.пед.ин-т, Стерлитамакский гос.пед.ин-т. - Уфа,Стерлитамак,1986.-39с.

11. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического  и экспериментального психологического исследования.-М.: Педагогика, 1986.-240 с.

12. Давыдов    ВВ.,    Горбов    С.Ф.,    Микулина    Г.Г.,    Савельева    О.В., Табачникова Н.Л. Математика 3 класса 2-ое полугодие: учебник-тетрадь  для учеников трехлетней начальной школы, которые обучаются по программе развивающего обучения (система Д.Б.Эльконин-В.В.Давыдова).-М.:ИНТОРД 1996.-160с.

13. Давыдов В.В., Репкин В.В. Организация развивающего обучения на  этапе 5-9 классов.-Феникс,1997, №5.- с.6-35.

14. Дидактика средней школы. Учебное пособие для студентов пед. институтов// Под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. –М// просвещение, 1975, 303 с.

15. Кудрявцев В.Т. Преемственность ступеней развивающего образования:  замысел В.В.Давыдова- Вопросы психологии, 1998,№5.-с.62-68.

16. Кузнецова Л.В., Минаева С.С, Рослова Л.О., Суворова СБ. Учебные  комплекты по математике для V-VI классов (авт. Дорофеев Г.В.). Общая характеристика нового курса математики V-VI классов. // Математика в школе, 1997, №4. -с. 27-29.

17. Левитас Г.Г. Число в окружающем мире. 5 класс. -М., 1999.

18. Люблинская А. А. О преемственности учебной работы в школе// Преемственность в процессе обучения в школе. – Л, 1969.

19. Математика: Учеб. для 6 кл. общеоразоват. учреждений /Н.Я.Виленкин,  В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.- М.:Мнемозина, 2009. -384с.

20. Математика: учеб. для 5-го класса с использованием калькулятора / М.Б.Волович. -М.: LINKA-PRESS, 1995

21. Математика: учеб. для 6-го класса / М.Б.Волович. - М.: LINKA-PRESS, 1996.

22. Математика в 3 классе Пособие для учителя трехлет. нач.  шк./А.С.Пчелко, М.И.Моро, М.А.Бантова и др.- М.:Просвещение, 1988.-159 с.

23. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений /  Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина. -М.:Просвещение,1999. - 288с.

24. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений /  Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.; Под ред. Г.В.Дорофссва, И.Ф.Шарыгина. -М.: Дрофа, 1999. -416с.

25. Математика: учеб.- собеседник для 5 кл. общеобразоват. учреждений/  Л.Н.Шеврин, А.Г.Гейн, И.О.Коряков, М.В.Волков - М. Лросвещение, 1994-220с.

26. Математика : Учеб. - собеседник для 6 кл. общеобразоват учреждений/ Л.Н.Шеврин, А.Г.Гейн, И.О.Коряков, М.В.Волков - М. Лросвещение, 1995.- 224с.

27. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учебник для 5 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1994. - 304с.

28. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика : Учеб. для 6 кл. сред. шк. - М.:  Просвещение. 1993. -224с

29. Петерсон Л.Г. Математика. Комплект учебников - тетрадей для 1,2 и 3  кл. -М.: Компания С-инфо фирма "Баллас",1996.

30. Преемственность математического образования в системе «ДОУ – начальная школа – основная школа» : материалы Всероссийской научно-практической конференции / отв.ред. Т. И. Уткина. – Орск : Издательство ОГТИ, 2010. – 235 с.

31. Преемственность между начальным общим и основным общим  образованием. Дидак. с-ма развивающего обучения Л.В.Занкова// Начальная школа, 1994, №7. - с.4-15.

32. Программно - методические материалы. Математика.5-11 классы.

33. Пышкало A.M. Методические аспекты проблемы преемственности в обучении математике // Преемственность в обучении математике / Сост. А.М.Пышкало. -М.'.Просвещение, 1978. -с.3-12.

34. Сизова М.Н. Преемственность в формировании аналогии при обучении  математике в начальных и 5-6 классах средней школы. Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. - Саранск, 1999. - 19с.

35. Эрдниев П.М. Математика: Эксперим. Учеб. пособие для 3 кл./  П.М.Эрднисв.- Комсомольск-на Амуре: Изд-во КГПИ, 1993.