Проценты на ГИА
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

МБОУ СОШ 111

МТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА ПО ТЕМЕ «ПРОЦЕНТЫ»

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ  МОУ СОШ 111 ГОЛОВАНОВА О.Н.

БАРНАУЛ, 2013

Введение.

                        Проценты встречаются в повседневной жизни всюду, поэтому

 каждый человек должен уметь решать хотя бы простейшие задачи по теме.                                                

Кроме того, умение решать задачи на проценты необходимо и при  

 сдаче экзаменов. Поэтому в данном пособии рассмотрены и систематизированы различные виды задач на проценты.

   Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации учащихся 9-х классов по алгебре в новой форме и к ЕГЭ в 11 классе.

    Пособие рассмотрены различные типы задач по данной теме, которые встречаются в вариантах ГИА и ЕГЭ;

   По каждому типу включен необходимый теоретический материал, образцы решения заданий ;

   По  каждому типу задач  имеются  дидактические материалы;

  Дополняют пособие тесты, выполненные в программе Power Point;

  Представлен список использованной литературы.

Основные понятия.

Процентом называется одна сотая часть величины , то есть 1% = 1/100 от целого.  Значит, целое составляет 100%. 

Например: 10% =0,1;   45%=0,45; 2%=0,02; 3,5%=0, 035.

Чтобы заменить  проценты десятичной  дробью, надо разделить количество  процентов на 100. Например, 25% = 25:100 = 0,25%;   161%= 161:100=1,61.

Чтобы заменить десятичную дробь процентами, надо ее умножить на 100. Например, 0,831 = 0,831•100 = 83,1%;  0,115= 0,115    100=11,5.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%,  т.е.  .

Это надо знать:

Чтобы  обыкновенную дробь записать  в виде десятичной,  достаточно разделить ее числитель на знаменатель.

= 0, 3125, т.к

5,016

4 8    0,3125  

   20

   16

       40

        32

           80

           80

             0

Пропорции:

Еще одним важным понятием является понятие пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений: .

Числа 12 и 10 называются крайними членами,  5 и 24 – средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно один средний член  умножить на другой средний  разделить на известный крайний.

2. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов этой пропорции разделить на известный средний

Задачи на процентное отношение.

Для решения задач такого типа, важно усвоить одну простую мысль:  чтобы найти процентное отношение двух чисел, т.е. сколько процентов первое число составляет от второго, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах.

Нахождение процентного отношения:

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, можно первое число разделить на второе и результат умножить на 100, т.е.  

Примеры решения задач на процентное отношение.

Пример 1. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш оставляет  масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

 (составляет масса сушеных груш.)

 (теряется при сушке)

Пример 2. В апреле  было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? пасмурные дни?

Т.к. в апреле 30 дней,   (составляют солнечные дни)

 (пасмурные дни) или  100% - 40% = 69% (пасмурные  дни)

Задачи на нахождение числа по его процентам

Нахождение числа по его процентам.

Чтобы найти число по данному значению его процентов, надо проценты заменить дробью и это значение разделить на полученную дробь, т.е. если известно, что  а%  числа  х  равны в, то х = в : 0,01а

Пусть вся величина равна х  и она составляет 100%, тогда

a  %         -   b

100%   -    х

Х =  

Примеры решения задач на нахождение числа по его процентам.

Пример 1.   5 % числа   равны 150. Найти число х.

Способ 1.  5% =0, 05                        Способ 2.   5%     -    150

     х=150: 0,05;                                                   100%     -     х

     х= 3000.                                                            Х=

Ответ: 3000.

Пример 2.  На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

Способ 1.   32% =0,32,    Х= 416 :  0,32 =1300 (человек приняли участие в олимпиаде)

Способ 2.   32%          416                          х=   (учеников участвовали в олимпиаде)

                     100%         х

 Задачи на нахождение процентов от числа.

Нахождение числа по его процентам.

Чтобы найти проценты от числа, надо проценты заменить дробью и число умножить на эту дробь,   т.е. чтобы найти  а% от в, надо  в .0,01а.

 Пусть вся величина b  и составляет 100%, а искомая часть равна х, тогда

b  -    100%

х  -    a%

          х  =

Пример1. Найдите 30% от числа 60.

 Способ 1.    30 % = 0,3 ,     60     0,3 = 18.

Способ 2.    30 %   -      х                     х =

                    100%    -     60        

Пример 2.  Если суточная потребность организма в каротине 4,5 мг, то потребность организма в витамине А составляет 30% от потребности каротина. Какова суточная потребность организма в витамине А?

Способ 1. 30% = 0,3,   4,5    0,3 = 1,35 (мг) составляет витамин А.

Способ 2. 30%   -   х

                 100%  -  4,5              х =  = 1,35 (мг) составляет витамин А.

Задача «на сухое вещество»

   Практически любой продукт – яблоки, арбузы, грибы, картофель, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причём, воду содержат как свежие, так и сушёные продукты. В процессе высыхания испаряется только вода, а масса сухого вещества не изменяется.

Пример 1. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%.  Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих?

   Решение.

100 – 90 =10% составляет сухое вещество

17    0,1 = 1,7(кг) масса сухого вещества

100 – 15 = 85(%) - приходится на сухое вещество в сушёных грибах.

1,7 : 85 = 0,02 (кг) - приходится на 1% массы сушёных грибов.

0,02 · 100 = 2 (кг) - масса сушёных грибов.

Ответ: 2 кг сушёных грибов получится из 17 кг

               свежих грибов.

Пример 2. . Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре

 с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

Решение. В 35 г пюре содержится 35 · 0,08 = 2,8 г воды    и    35 - 2,8 = 32,2 г сухого вещества.

 Добавим в пюре х г воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нём - (2,8 + х) г.

 Заметьте, что сухого вещества останется по-прежнему 32,2 г.

Составим пропорцию:   35 + x        —        100%

                                            2,8 + x    —     86%

Решим пропорцию:    (35 + x)·86 = (2,8 + x)·100

Получим:  3010 + 86x = 280 + 100x;   2730 = 14x;   x = 195.                    

  Ответ:  195 граммов  воды.    

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

    Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а

иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой

или наблюдать за испарением воды, то есть усыхание. В задачах такого типа

эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.        Процентное  содержание  вещества в растворе  (например, 15%),  иногда

называют процентным раствором, например, 15%-й раствор соли.

   Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

 Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

   Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:   К = р / 100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример 1 . Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

Пример 2.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра

Задачи, связанные с банковскими расчетами.

Рассмотрим схемы расчета банка с  вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Увеличение вклада а по схеме простых процентов в течении всего срока хранения определяются  исходя только из первоначальной суммы вклада а независимо от срока хранения и количества начисления процентов. В  этом случае говорят о начислении простых процентов и применяется формула простых процентов:

        в= а(1+ 0,01рп),

        где  а – первоначальный вклад,

        в- сумма по прошествии п лет на вкладе по формуле простого процента,

        р- годовая процентная ставка.

Пример 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000руб. Какая сумма будет на его счете через 5 лет?

Решение: Используя формулу: в= а(1+ 0,01рп),

         в = 200000(1+0,08 . 5) = 280000(руб.)

 Ответ: 280000рублей.

 В банковском деле есть понятие – капитализация вклада, т.е. вычисление процентов на каждом следующем шаге исходя от величины, полученной на предыдущем шаге. Т.е., вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов и она присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк уже начисляет р% на новую увеличенную сумму. В этом случае говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты) и применяется формула сложных процентов:

        в=а(1+0,01р)n,

где а- первоначальное значение величины;

 в- новое значение величины;

р- количество процентов;

n-количество промежутков времени(количество увеличений)

Пример 2. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10 % годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000рублей, который не пополнялся, и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение: 1)  50000(1+0,1)3 = 66550 (рублей)- составит сумма вклада по истечении срока.

66550- 50000=16550 (рублей)- доход по истечении срока.

Ответ: 16550 рублей.

Дидактические материалы.

Задачи на процентное отношение.

1.1. Месячный проездной билет для студентов стоит 150 рублей. Сколько процентов от стипендии составляет цена проездного билета, если стипендия – 600 рублей?

1.2. Раствор соли массой 350 г. Содержит 14 г. соли. Определите концентрацию (процентное содержание) соли в растворе

1.3. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш оставляет  масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке

1.4. Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех  страниц ей осталось прочитать

1.5. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

1.6.  Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

1.7. Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

1.8. В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

1.9.  Зарплата повысилась с 500 р. до 600 р. На сколько процентов повысилась зарплата?

1.10. Зарплата мамы увеличилась на 70 %, а зарплата папы — только на 60 %. Означает ли это, что мама получила большую прибавку зарплаты, чем папа?

1.11.На собрании присутствовали 200 человек. За предложенную резолюцию голосовали 151 человек. Сколько процентов участников собрания голосовало за резолюцию?

1.12.По плану рабочий должен был изготовить 800 деталей, а изготовил 996 деталей. Сколько процентов плана он выполнил?

1.13. На 10 кг муки получилось 4,5 кг припёка. Сколько процентов  составляет  припёк от данного количества муки?

1.14. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

1.15. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

1.16. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?

   2.Задачи на нахождение числа по его процентам.

2.1. В школе на родительском собрании отсутствовало 12 человек, что составляет 7,5% от общего числа родителей. Сколько всего родителей должно было присутствовать на собрании?

2.2. Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?

2.3. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

2.4. . Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

2.5. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

2.6. Определить какую массу сырого картофеля нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20% массы сырья.

2.7. Ученик прочитал в первый день 15% книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

2.8. 60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек — на выставку. Сколько учащихся в классе?

2.9. Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 р. Сколько стоил товар до повышения цены?

2.10. Трава при сушке теряет 80%  своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

2.11. Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35% остальных рабочих отдыхали осенью и еще 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?

2.12. Из  молока получается 21% сливок, а из сливок 24% масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла

2.13. Мясо теряет при варке около 35%  своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?

2.14. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в
магазин?

2.15.В киоске в первый день продали 40% всех тетрадей, во второй день – 58%, а в третий день остальные 847 тетрадей. Сколько тетрадей продали в киоске за три дня?

2.16. Три группы школьников посадили деревья вдоль дороги. Первая группа посадила 40% всех деревьев, вторая – 60% оставшихся деревьев, а третья группа остальные 104 дерева. Сколько всего деревьев посадили школьники?

Задачи на нахождение процентов от числа.

3.1. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найти эти числа.

3.2.Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?

3.3.Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?

3.4.В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?

3.5.Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?    

3.6.В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?  (в ответе запишите целое число или десятичную дробь).

3.7.В семенах    сои  содержится  20 %  масла.  Сколько масла содержится в 700 кг сои?

3.8.Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Сколько стал стоить зонт в декабре?

3.9.Стоимость проезда в городском автобусе составляла 10рублей. В связи с инфляцией он подорожал на 20%. Сколько стал стоить проезд в городском автобусе?

3.10.Завод выпускает в месяц 300 изделий. В связи с модернизацией производства планируется выпуск увеличить на 20% . Сколько изделий в месяц планирует выпускать завод?

3.11.По расчетам предпринимателя завод должен приносить 15% прибыли. Сколько прибыли он планирует получить, затратив 200000руб.?

3.12.Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18кг. После того, как из нее выделили 40% одного вещества и 25% другого, в ней осталось их поровну. Сколько каждого вещества было в смеси?

3.13.За две книги заплатили 126 руб. Сколько стоит каждая книга, если одна из них на 25% дороже другой?

3.14.Для нормальной работы пансионата требуется 670 электрических лампочек. Каждый месяц требует замены 10% лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить работу пансионата в течение четырех месяцев?

3.15.Один насос может выкачать воду за 16 часов, другой за 75% этого времени. Первые три часа  насосы работали вместе, оставшуюся воду выкачал только первый насос. Сколько времени работал только первый насос?

3.16.На весенней распродаже шарф стоимостью 3500 рублей уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине такой же шарф уценили сразу на 45%. В каком магазина шарф выгоднее купить?

4. Задача «на сухое вещество»

4.1. Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

4.2. На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время содержание воды упало до98%. Сколько теперь весят ягоды?

4.3.Арбуз весил 20кг и содержал 99% воды, когда он немного полежал, то стал содержать 95% воды. Сколько теперь весит арбуз?

4.4. Только что добытый уголь содержит 2% воды. После некоторого времени он впитывает в себя еще некоторое количество воды и содержит уже 15% воды. На сколько увеличится при этом вес 27,75 т добытого каменного угля?.

4.5 Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед -16%. Сколько кг нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

4.6. На овощную базу привезли 10тонн крыжовника  при влажности 90%. За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%. Сколько теперь весит крыжовник?

4.7 В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то масса стала на 15кг меньше  при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

4.8. Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре

 с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

4.9. В свежих фруктах воды 72℅ , а в сухофруктах 20℅ воды. Сколько получиться сухофруктов из 20 кг свежих?

4.10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

4.11. Зерна свежей кукурузы содержат 40% влаги, а кукурузные хлопья – 8% влаги. Сколько килограммов свежей кукурузы нужно переработать, чтобы получить 15кг кукурузных хлопьев?

4.12. . Свежие яблоки содержат 80% воды по массе, а сухие яблоки 10% воды. Для получения сухофруктов было заготовлено 900кг яблок. Сколько килограммов сухофруктов получилось из свежих яблок?

4.13. . Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?

4.14. Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

4.15. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

5. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

5.1 Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 1200 г 15%-ного раствора. Сколько граммрв каждого раствора было взято?

5.2. Вычислить массу куска сплава цинка с медью, если, сплавив его с 3 кг чистой меди получают сплав с 90%-ным содержанием меди, а сплавив его с 2 кг сплава с 90%-ным содержанием меди , получают сплав с 84% содержанием меди.

5.3. Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы соляной кислоты и получили 45%-ный раствор. Найти отношение масс первоначально взятых растворов.

5.4. Если к раствору соли добавить 100 г воды, то его концентрация уменьшится на 40 %. Если к первоначальному раствору 100г соли, то его концентрация увеличится на 10%. Найти первоначальную концентрацию раствора.

5.5. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г
70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

5.6. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

5.7. При смешивании 5% -ного раствора кислоты с 40% -ным раствором кислоты получили 140 г 30% -ного раствора. Сколько грамм каждого раствора надо  было взять?  

5.8. Отлит сплав из золота и серебра. Отношение массы золота к массе серебра равно 3:5. Масса серебра на 12г больше, чем масса золота. Сколько грамм составляет масса сплава?

5.9. В 450г раствора содержится 8% пищевой соды. Определить концентрацию раствора , если добавить 10г пищевой соды.

5.1 Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

5.11. 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?

5.12. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка.

5.13 Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

5.14. В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% - ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.

5.15 Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?

5.16. Имеются два куска сплава цинка и меди с 30%ным и 18%ным содержанием меди. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 25% меди?

6. Задачи, связанные с банковскими расчетами.

6.1.Вкладчик положил в банк некоторую сумму. После начисления процентов он изъял 20 % исходной суммы, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше исходного вклада. Каков процент по вкладу?

Ответ: 10%.

6.2. Вкладчик положил в банк деньги под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 1% меньше исходной величины вклада. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов?

Ответ:  20%.

6.3. В банк помещен вклад в размере 3900рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725 %. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Ответ: 210 рублей.

6.4. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором?

Ответ: 4,04 %.

6.5. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?

6.6. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

6.7.Банк обещал своим клиентам годовой рост  вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

 6.8. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

 6.9. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент    сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

6.10. . Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесённая сумма равна 2 000 рублей?

6.11.По пенсионному вкладу банк выплачивает 10 % годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополняли и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

6.12. . Положили 6500 руб. под 3% годовых. Сколько денег на книжке  будет в конце года? Определите вид вклада.

6.13. В начале года на сберкнижку в Сбербанк было положено 1600 руб., а в конце года (до начисления %) взято 750 руб. В конце второго года на книжке оказалось 867 руб. Сколько % начисляет Сбербанк?

6.14. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

6.15. Два банка «Первый» и «Второй» предлагают свои вкладчикам одинаковую годовую доходность по депозитам в размере 12%. Причем банк «Первый» производит начисление сложного процента ежеквартально, а банк «Второй» - раз в полгода. Найдите значение ежеквартального процента для банка «Первый» и значение полугодового процента - для банка «Второй».

6.16. Клиент банка взял ссуду в размере 100 тыс. руб. на 4 года под 14% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными долями в конце каждого года после начисления очередных процентов. Найти величину ежегодного платежа.

Заключение.

Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам.

Литература

1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для    подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

3.Крамор В.С. , Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, М: Просвещение, 1990

 4. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике   М:   Наука, 1992.

5.Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2010.

6.Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С., Математика 8-9 классы. Сборник элективных курсов, Волгоград, «Учитель», 2007

7.Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение,  2009

8.  «Математика, 6», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003

9.Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

10.Руководство к решению задач по элементарной математике. Учебное пособие под редакцией проф. Карасева А.И. и доц. Кремера Н.Ш., Москва - 1990

11. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.

12.Материалы Интернета.