Показательные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме
Урок формирования знаний, первичных навыков решения показательных уравнений.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 163.72 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока: «Решение показательных уравнений».
Тип урока: урок формирования знаний, первичных навыков решения показательных уравнений.
Учебные цели:
- формировать способность к обобщению, доказательству общих утверждений, способность к использованию свойств показательной функции в решении показательных уравнений;
- повторить и закрепить свойства показательной функции; повторить свойства степени;
- показать основные методы решения показательных уравнений.
Воспитательные задачи:
- формирование эстетических навыков при оформлении записей;
- воспитание внимательности и тактичности, взаимовыручки и взаимопомощи.
Развивающие задачи:
- развитие мыслительной деятельности;
- умения анализировать, обобщать, классифицировать;
- развитие речи.
Метод работы: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока.
- Организационный этап.
- Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся.
В форме беседы учитель задает вопросы, ученики, отвечая на них, зарабатывают жетоны для своего ряда.
Вопросы:
- Определение показательной функции.
- Область определения показательной функции.
- Область значений показательной функции.
- При каких значениях а, показательная функция у = аx возрастает? (убывает)
- Заполнить пропуски:
а) при а>1 функция _________: если х1<x2, то ____
б) при 0х1<x2, то ____
в) при а>0, а1 и
=
, то х1_______х2.
6. Последнее утверждение доказать методом от противного.
Доказательство:
Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется.
Пусть, например, х1 < x2. Тогда, если а > 1, то показательная функция возрастает и поэтому должно выполняться неравенство <
, если 0<а<1, то функция убывает и должно выполняться неравенство
>
. В обоих случаях получилось противоречие с условием
=
.
Каждый правильный ответ на первые пять вопросов – жетон; за доказательство 6 вопроса – 3 жетона.
Задания 7,8 и 9 можно провести в форме диктантов: за определенное время учащиеся самостоятельно выполняют задания, а затем самопроверка по ответнику и самооценка. Каждые 5 правильных ответов – жетон.
7. Сравнить с единицей.
а) 2-5
б) е)
к)
в) ж)
л) (
- 1)2
г) з)
м)
д) и)
н)
8. Вычислить: а) в) 155 : (7,5)5
б) г)
9. Полезные упражнения. Решить неравенства:
- 2х>-1
>-1
>-1
- 2tgx>0
Z
- 2arcsinx >
- 2arctgx >
R
- 2x > sinx – 1
R
- 2ctgx > cosx – 1
Z
- 2x > arcsinx -
- 2arccosx > arccosx -
>
sinx
R
>cosx
x2 + 1 x=0
sinx
+ 1 x=0
1 – x2 x=0
Подведение итогов проведения вводного повторения: по максимальному количеству жетонов – «отлично».
- Изучение нового материала (основной объем).
1.На доске написано несколько уравнений:
х2 = 16; 3х = 8; х3 = -27; 3х = 81; = 16;
= 5; х-2,5 = 1; 2х =
;
;
; cosx =
;
.
Выбрать уравнения а) степенные;
б) с переменной в показателе;
в) прочие.
2. Как бы вы назвали уравнения с переменной в показателе?
3. Дадим строгое определение.
Показательными уравнениями называют уравнения вида
, где а – положительное число, отличное от 1,
и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Наша цель – научиться их решать.
Попробуйте сами решить первые три из записанных.
- 3х = 81
- 2х =
Чем мы пользовались для их решения?
Какое вызвало наибольшую трудность?
Какие свойства степени пришлось применить при его решении?
Попробуйте решить уравнение 4) . Какие еще свойства степени потребовались?
4. Решение показательного уравнения вида (где а>0, а
1) основано на доказанной на летучке теореме: если а>0, а
1 и
=
, то х1 = х2, т.о. уравнение
равносильно уравнению f(x) = g(x).
Рассмотрим примеры:
1)
2)
3)
4)
Каждое уравнение учитель подробно прорешивает на доске.
Теперь попробуйте решить уравнение …
5. Решение уравнения вида начинается с деления левой и правой частей уравнения на
. Получим:
или
,
f(x) = 0.
Покажем это на примере решения уравнения .
А теперь самостоятельно решите уравнение .
6. А как подойти к решению уравнения ?
А если его немного преобразовать: ?
Рассмотрим решение показательного уравнения методом введения новой переменной.
где
>0, а
1.
Пусть , где t >0,тогда уравнение примет вид:
.
Пример:
Пусть , где t >0, тогда уравнение примет вид:
Учитывая, что t >0, имеем t =.
,
,
х = -1.
Ответ: -1.
Теперь попробуйте довести до конца уравнение
7.Решите уравнение 2х = 5.
Как быть?
Возникает проблема: как представить число 5 в виде некоторой степени числа 2. Мы пока не знаем. Между тем мы можем убедиться в том, что это уравнение тоже имеет корень. Как в этом убедиться?
Решим его графически (учитель на доске показывает решение).
Убедились, что уравнение имеет единственный корень. А как его записать? Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.
8. Подведем некоторые итоги.
Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:
- функционально-графический метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций;
- метод уравнивания показателей основан на теореме о том, что уравнение
равносильно уравнению f(x)= g(x), где а – положительное число, отличное от 1;
- метод введения новой переменной позволяет свести показательное уравнение к квадратному.
9. Попробуем систематизировать все решенные уравнения и составить конспект по изученной теме.
Учащиеся выдают свои версии, учитель помогает. В итоге предлагается плакат
«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (см. ниже)
10. Определение и разъяснение домашнего задания.
На дом вам предлагается: 1) п. 36;
2)классифицировать уравнения по методам решения:
№ 457а)б); 460а)б),461, 463а)б), 464а)б)
3) решить те, которые вам понятны;
4) попробовать решить «творческие»:
а)
б)
Дополнительные:
10.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Иррациональные уравнения. Показательные уравнения.Логарифмические уравнения.
Тип урока: Урок повторения. Форма урока – мастерская (групповая работа)Форма урока работа в группах. Коллективная форма работы, которая позволяет создать ситуацию взаимообучения учащихся и сущест...
Практический материал к зачету по теме "Показательная функция.Показательные уравнения и неравества"
....
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/23/picture-282909-1377236182.jpg)
Урок по алгебре в 11 классе по теме "Показательная функция. Показательные уравнения"
Урок по алгебре для 11 класса...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: "Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства".
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/02/picture-513776-1420186547.jpg)
Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства."
Контрольные работы по теме " Показательная функция. Показательные уравнения.Показательные неравенства " для учащихся 11 класса подготовлены в6 вариантах....
![](/sites/default/files/pictures/2021/03/30/picture-827798-1617100674.jpg)
Дидактический материал по темам: "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы", "Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества"
Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак...