Показательные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Тема урока: «Решение показательных уравнений».

Тип урока: урок формирования знаний, первичных навыков решения показательных уравнений.

Учебные цели:

• формировать способность к обобщению, доказательству общих утверждений, способность к использованию свойств показательной функции в решении показательных уравнений;
• повторить и закрепить свойства показательной функции; повторить свойства степени;
• показать основные методы решения показательных уравнений.

Воспитательные задачи:

• формирование эстетических навыков при оформлении записей;
• воспитание внимательности и тактичности, взаимовыручки и взаимопомощи.

Развивающие задачи:

• развитие мыслительной деятельности;
• умения анализировать, обобщать, классифицировать;
• развитие речи.

Метод работы: объяснительно-иллюстративный.

Ход урока.

1. Организационный этап.
2. Проверка домашнего задания, воспроизведение  и коррекция опорных знаний учащихся.

В форме беседы учитель задает вопросы, ученики, отвечая на них, зарабатывают жетоны для своего ряда.

Вопросы:

1. Определение показательной функции.
2. Область определения показательной функции.
3. Область значений показательной функции.
4. При каких значениях а, показательная функция у = аx возрастает? (убывает)
5. Заполнить пропуски:

а) при а>1 функция _________: если х1<x2, то ____

б) при 0х1<x2, то ____

в) при а>0, а1 и  =, то х1_______х2. 

6. Последнее утверждение доказать методом от противного.

Доказательство:

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется.

Пусть, например, х1 < x2. Тогда, если а > 1, то показательная функция возрастает и поэтому должно выполняться неравенство <, если 0<а<1, то функция убывает и должно выполняться неравенство >. В обоих случаях получилось противоречие с условием =.

Каждый правильный ответ на первые пять вопросов – жетон; за доказательство 6 вопроса – 3 жетона.

Задания 7,8 и 9 можно провести в форме диктантов: за определенное время учащиеся самостоятельно выполняют задания, а затем самопроверка по ответнику и самооценка. Каждые 5 правильных ответов – жетон.

7. Сравнить с единицей.

а) 2-5

б)                                 е)                         к)

в)                                 ж)                         л) (- 1)2

г)                                 з)                         м)

д)                                 и)                                 н)

8. Вычислить:         а)                                 в) 155 : (7,5)5

                        б)                 г)

9. Полезные упражнения. Решить неравенства:

1. 2х>-1                                        
2. >-1                                        
3. >-1                                
4. 2tgx>0                                        Z                
5. 2arcsinx >                                
6. 2arctgx >                                R
7. 2x > sinx – 1                                R
8. 2ctgx > cosx – 1                        Z
9. 2x > arcsinx -                         
10. 2arccosx > arccosx -                         
11.  >                                 
12.  sinx                                R
13. >cosx                                
14.  x2 + 1                                x=0
15.  sinx+ 1                        x=0
16.  1 – x2                                x=0

Подведение итогов проведения вводного повторения: по максимальному количеству жетонов – «отлично».

3. Изучение нового материала (основной объем).

1.На доске написано несколько уравнений:

х2  = 16;  3х = 8;  х3 = -27; 3х = 81;  = 16;  = 5;  х-2,5 = 1;  2х = ;  ;  ;  cosx = ;  .

Выбрать уравнения         а) степенные;

                        б) с переменной в показателе;

                        в) прочие.

2. Как бы вы назвали уравнения с переменной в показателе?

3. Дадим строгое определение.

                        Показательными уравнениями называют уравнения вида

                         , где а – положительное число, отличное от 1,

и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Наша цель – научиться их решать.

Попробуйте сами решить первые три из записанных.

1. 3х = 81
2. 2х =
3. 

Чем мы пользовались для их решения?

Какое вызвало наибольшую трудность?

Какие свойства степени пришлось применить при его решении?

Попробуйте решить уравнение 4) . Какие еще свойства степени потребовались?

4. Решение показательного уравнения вида  (где а>0, а1) основано на      доказанной на летучке теореме: если а>0, а1 и  =, то х1 = х2, т.о. уравнение  равносильно уравнению f(x) = g(x).

Рассмотрим примеры:

        1)

2)

3)

4)

Каждое уравнение учитель подробно прорешивает на доске.

Теперь попробуйте решить уравнение …

5. Решение уравнения вида  начинается с деления левой и правой частей уравнения на . Получим:          или

,

f(x) = 0.

Покажем это на примере решения уравнения .

А теперь самостоятельно решите уравнение .

6. А как подойти к решению уравнения ?

    А если его немного преобразовать: ?

Рассмотрим решение показательного уравнения методом введения новой переменной.

 где >0, а1.

Пусть , где t >0,тогда уравнение примет вид:  

.

Пример:  

             Пусть , где t >0, тогда уравнение примет вид:

Учитывая, что t >0, имеем t =.

                ,

                ,

                х = -1.

Ответ: -1.

Теперь попробуйте довести до конца уравнение

7.Решите уравнение 2х = 5.

Как быть?

Возникает проблема: как представить число 5 в виде некоторой степени числа 2. Мы пока не знаем. Между тем мы можем убедиться в том, что это уравнение тоже имеет корень. Как в этом убедиться?

      Решим его графически (учитель на доске показывает решение).

Убедились, что уравнение имеет единственный корень. А как его записать? Придется нам в дальнейшем еще раз вернуться к этому уравнению.

8. Подведем некоторые итоги.

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений:

• функционально-графический метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций;
• метод уравнивания показателей основан на теореме о том, что уравнение  равносильно уравнению f(x)= g(x), где а – положительное число, отличное от 1;
• метод введения новой переменной позволяет свести показательное уравнение к квадратному.

9. Попробуем систематизировать все решенные уравнения и составить конспект по изученной теме.

Учащиеся выдают свои версии, учитель помогает. В итоге предлагается плакат

«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (см. ниже)

10. Определение и разъяснение домашнего задания.

На дом вам предлагается:         1) п. 36;

                                2)классифицировать уравнения по методам решения:

№ 457а)б); 460а)б),461, 463а)б), 464а)б)

3) решить те, которые вам понятны;

4) попробовать решить «творческие»:

                                        а)

                                        б)

Дополнительные:

10.