Решение тригонометрических уравнений (подготовка к ЕГЭ)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме
Предварительный просмотр:
Разработка темы
«Решение тригонометрических уравнений»
в итоговом повторении в 11 классе,
при подготовке к экзаменам.
Цель уроков:
- Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
- Повторить методы решения уравнений.
- Решить сложные уравнения , встречающиеся на ЕГЭ.
- Проверить усвоение материала.
1 урок: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).
2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».
4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.
6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Урок №1: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»
Цель:
- Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
- Решение уравнений, с выбором ответов.
- Воспитывать умение применять полученные знания.
Ход урока:
- Решение уравнений вида .
- Решение уравнений вида
- Решение уравнений вида и
- Итог урока.
Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:
.
и
Вспомним, как они решаются.
- Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
.
где
Частные случаи:
Решить уравнения:
Ответ: .
Ответ: .
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ(найти соответствие):
№ уравнения | Уравнение | № ответа | Ответ |
1 | a | ||
2 | b | ||
3 | c | ||
4 | d | ||
5 | e |
2.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
, где
если , то
Частные случаи:
Решить уравнения:
1.
Ответ: .
2.
Ответ: .
3.
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):
№ уравнения | Уравнение | № ответа | Ответ |
a | |||
b | корней нет | ||
c | |||
d | |||
e |
3.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
Решить уравнения:
1.
Ответ: .
2.
Ответ: .
3.
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)
№ уравнения | Уравнение | № ответа | Ответ |
a | |||
b | |||
c | |||
d |
Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:
решение аналогичное предыдущему случаю.
4.Итог урока:
Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:
.
Можно обращаться за консультацией.
Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.
Уроки №2-3: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами»
Класс делится на небольшие группы по 2-3 человека, заранее они получают задания по одному из методов решения уравнений, а затем на уроке показывают своё решение. Остальные учащиеся записывают решение и задают интересующие их вопросы, на которые отвечает данная группа.
ЦЕЛИ УРОКА:
- систематизировать знания учащихся по теме;
- показать различные методы решения тригонометрического уравнения на примере одного уравнения;
- воспитание у учащихся культуры мышления;
- формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;
- показать красоту решения уравнений.
ПЛАН УРОКА:
- Решение тригонометрических уравнений различными способами;
- Используя формул половинного угла;
- Используя формулы приведения
- Приведение к однородному квадратному уравнению;
- Введение вспомогательного угла;
- Используя формулы понижение степени;
- Используя универсальные подстановки;
- Решение уравнения возведением в квадрат;
- Итог урока.
ХОД УРОКА :
1. Постановка целей урока и конечного результата (каждая группа объясняет свое решение, используя кодоскоп, отвечает на возникшие вопросы).
1.
Используя формул половинного угла.
;
;
;
; или разделим на ;
, ; ;
, . , ;
, .
Ответ: , ; , .
2.
Используя формулы приведения
;
из суммы делаем произведение
;
;
;
;
;
, ;
, ;
, ; , ;
, . , .
Ответ: , ; , .
3.
Приведение к однородному квадратному уравнению.
;
;
;
; (верно при любых )
;
; или ;
; , .
, .
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: , ; , .
4.
введение вспомогательного угла
;
;
;
;
, ;
, ;
если , то
, ;
, ;
если , то
, ;
, ;
, .
Второй способ:
разделим на :
;
;
;
, ;
, или , .
Ответ: , ; , .
5.
Используя формулы понижение степени:
;
Проверка ОДЗ: ;
;
;
.
Возведем уравнение в квадрат:
, умножим на 2;
;
;
;
;
; или ;
, ; , ;
, ; , .
Если -нечетное, , то ;
-1=1 – неверно .
Если -нечетное, , то ;
;
-1=1 – неверно.
Если k – чётное, , то ,
следовательно ,
1=1 верно
если n – чётное, ,то ,
следовательно ,
1=1 верно.
Ответ: , ; , .
6.
Используя универсальные подстановки:
; ; , при .
Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней , корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.
;
Если , , то ;
;
;
– неверно.
Следовательно , не является корнем уравнения.
Выполним подстановку:
, пусть ;
;
;
;
; или ;
; ;
, ; , ;
, . , .
Ответ: , ; , .
7.
Решим уравнение возведением в квадрат. Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.
;
;
;
;
;
, ;
, .
Проверка корней:
Если ; ;
;
1=1 – верно;
; ;
;
1=1 – верно;
; ;
;
-1=1 – неверно;
; ;
-1=1 – неверно;
Ответ: , ; , .
ИТОГ УРОКА:
- Сегодня на уроке мы с вами решили одно уравнение семью способами и это ещё не предел методов решения. При решении уравнений вы можете использовать один из предложенных способов, самое главное каждое уравнение имеет решение и его надо найти!
- оценивается работа каждого учащегося, подчеркивается самостоятельность, грамотность при выполнении заданий, взаимопомощь, активность.
ЗАДАНИЕ НА ДОМ:
Решите уравнение всеми предложенными способами и попытайтесь найти ещё хотя бы один другой способ решения.
Уроки №4-5: «Решение более сложных уравнений, предложенными способами»
ЦЕЛИ УРОКА:
- обобщить полученные знания;
- научить нахождению чужих ошибок и не делать своих;
- показать красоту решения тригонометрических уравнений.
ПЛАН УРОКА:
- Разбор ошибок (с использованием кодоскопа);
- Решение тригонометрических уравнений различными способами;
- Решение уравнений разложением на множители;
- Решение с помощью замены переменных;
- Решение однородных уравнений;
- Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения;
- Преобразование произведения в сумму;
- Введение вспомогательного угла;
- Решение линейных уравнений;
- Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей;
- Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ.
- Итог урока.
1. Разбор ошибок (с использованием кодоскопа)
1. sinx=0.5
x=(-1)narcsin0.5+2n,
x=(-1)n + ,.
2. cos3x=0.5
3x=arccos0.5+2n, ,
3x= +2 n, ,
x= .
3. sin4x=2
4sinx=2,
sinx=0.5,
x=(-1)narcsin0.5+ n, ,
x=(-1)n+ .
4. tg2x=5
2x=arctg5+ n, ,
x=arctg2.5+ n, .
2. Решение тригонометрических уравнений различными способами.
1. Решение уравнений разложением на множители:
а) sin2x-cosx=0,
2sinx cosx cos x=0,
cosx(2sin x – 1 =0,
2sin x-1 =0 или cos x =0
sinx=0.5 x=+ k, .
x=(-1)n+ n, .
Ответ: (-1)n+ n, , + k, .
Для домашней работы: sinx+cosx=sinxcosx + 1
2. Решение с помощью замены переменных:
а) 6cos 2x+5sinx-7=0,
6(1-sin 2x)+5sinx-7=0,
6-6sin 2x +5sinx-7=0, sinx=t, ItI 1,
6t2 -5t+1=0,
t= t=
sinx= или sinx =0.5
x=(-1)narcsin + n, x=(-1)k + k,
Ответ: (-1)narcsin + n, , (-1)k + k,
Для домашней работы: 1) cos 2x + cosx – 2=0;
2) tg 2x – 3tgx + =0.
б) sin 4x+cos 4x – 2sin2x + sin 22x=0,
прибавим и вычтем 2sin2x·cos2x для выделения полного квадрата
(sin2x + cos 2x)2- 0.5(4sin2 xcos2x) + sin22x - 2sin2x = 0,
1- sin22x – 2sin2x + sin22x=0,
sin2 2x – 2sin2x + 1 =0, sin2x = t, -1t1
t2 – 8t + 4 = 0,
D=64- 16 = 48 , D>0, 2 корня
t = 4- 2,
t = 4 +2, (не удовлетворяет условию -1t1)
sin2x = 4-2 ,
2x = (-1)k arcsin(4-2 ) + k,
x = (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .
Ответ: (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .
3. Решение однородных уравнений
asin x +bcosx = 0
asin 2x + bcosxsinx + c cos 2x = 0
Метод: разделив обе части уравнения на sinx( sin 2x) или на cosx(cos 2x) отличных от нуля, иначе не выполняется основное тригонометрическое тождество, получим уравнение линейное или квадратное относительно новой переменной:
atgx + b = 0, a tg 2x + btgx + c =0
Решим уравнение:
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x = 2,
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x -2 sin 2x – 2 cos 2x =0,
4sin 2x + sinxcosx -3cos 2x = 0 /Разделим на cosx, cosx отличен от нуля
4tg 2x + tgx – 3 =0
tgx=t,
4t2 + t -3=0,
t= -1, t =
tgx = -1, tgx=
x= - + Пn, . x = arctg + Пk, .
Ответ: - + Пn, , arctg + Пk, .
Для домашней работы: sin 5x +cos5x = 0,
3sin 2x – 2sinx cosx – cos 2x = 0.
4. Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения
Необходимо действовать по принципу: «увидел сумму, делай произведение»
cos3x + sin2x – sin4x =0,
cos3x + 2 cossin = 0,
cos3x- 2 cos3x sinx = 0,
cos3x (1 – 2sinx) = 0,
cos3x = 0 sinx = 0.5
3x = + П n, , x= (-1)k+ Пk, .
x=+ n,
первая серия корней содержит полностью вторую серию корней, следовательно
Ответ: + k, .
5. Преобразование произведения в сумму:
sin5x cos3x = sin6xcos2x,
0.5(sin2x + sin8x) = 0.5(sin8x + sin4x),
sin2x + sin8x =sin8x + sin4x,
sin2x – sin4x = 0,
-2 sinx cos3x =0,
sinx = 0 cos3x = 0
x = П n, 3x = +П k, ,
x = +П k, .
Ответ: П n, , +П k, .
6. Введение вспомогательного угла:
(a,b,c отличные от нуля)
; .
Решим следующее уравнение
разделим на (так как )
,
, , .
,
,
, ,
, .
Ответ:
Для домашней работы: 1),
2)
3).
7. Решение линейных уравнений:
1 способ:
Используя универсальную подстановку:, , , но применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, не является ли корнем данного уравнения ( иначе будет потеря корня). Это делается путем подстановки данной серии корней в первоначальное уравнение.
Подставим и убедимся, что это корень уравнения
,
0-1= -1,
- 1= -1(верно).
пусть
2 способ решения этого уравнения:
sinx+cosx= -1,
если
если
Ответ:
8. Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей:
а) 2sin3x+4cosx=7
Следовательно:
Мы доказали, что данная сумма не должна превосходить 6, а по условию она равна 7, значит уравнение не имеет решения.
б) 3cos3x+cosx=4,
,
то равенство возможно, если имеет решение система:
,
подставим во второе уравнений значение переменной первого уравнения:
, получили верное равенство, следовательно , является решением системы уравнений.
Ответ:
9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ
Чаще всего при решении уравнения используется несколько способов, например С1 из ЕГЭ 2002г.
D<0, решений нет.
Ответ: .
Домашнее задание:
Задание В3 из ЕГЭ 2003:
Найти сколько корней имеет уравнение:
Домашнее задание:
Решить уравнение: ЕГЭ-2006:
Домашнее задание:
Задание С2 из демоверсии 2007 года:
Домашнее задание:
Итог урока
Сегодня на уроке мы повторили и разобрали различные способы решения тригонометрических уравнений.
Домашнее задание было выдано в течение урока, а так же вам необходимо подготовиться к контрольному тесту по данной теме, который будете сдавать на компьютерах.
Каждый отвечающий получил оценку.
Урок №6: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Тест по теме «Тригонометрические уравнения». Для запуска программы выполните следующие действия:
- На диске CD-ROM открыть папку «ТРИГОНОМ_УРАВНЕНИЯ»
- Запустить программу trigon.exe
- В появившемся окне выбрать нужный вариант.
- Решить предложенное уравнение и выбрать вариант ответа. Нажав на кнопку соответствующую варианту ответа, произойдет переход к следующему заданию. Всего заданий для каждого варианта семь.
- После выполнения всех заданий компьютерная программа выдаст результат на экран. Программа ставит следующие оценки:
«ОТЛИЧНО» – при всех правильных ответах;
«ХОРОШО» – при одном неверном ответе;
«УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при двух неверных ответах;
«НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при трех и более неверных ответах;
- Для выхода из программы нажмите кнопку «Выход».
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Повторение теории и решение тригонометрических уравнений в рамках подготовки к ЕГЭ
В рамках подгоовки к ЕГЭ: - Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.- Решение уравнений, с выбором ответов.- Воспиты...
решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул
конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...
урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»
Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений,...
Решение тригонометрических уравнений и неравенств(подготовка к ЕГЭ)
Рассмотрены способы решения тригонометрических уравнений и неравенств...
Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.
Вопросы, включенные в программу курса недостаточно изложены в школьных учебниках, поэтому необходимо расширить количество часов, отводимых на их изучение и круг задач, связанных как ...
Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней. Подготовка к ЕГЭ, 15 задание
Данная разработка предназначена для учащихся 10-11 классов. Презентацию можно разделить на два-три урока. Цели: подготовка к ЕГЭ, закрепление изученного материала, отбор корней с использованием окружн...
Тема самообразования "Подготовка слабовидящих учащихся к ЕГЭ (решение тригонометрических уравнений)".
Рассмотрены организация учебного процесса к подготовки слабовидящих детей к ЕГЭ, а также решение тригонометрических уравнений....