Производная функции одной переменной
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ БАНКОВСКАЯ ШКОЛА (КОЛЛЕДЖ)

«СРЕНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ЦЕНТРАЛЬНОГО  БАНКА  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОТКРЫТЫЙ УРОК

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

« Элементы высшей математики»

на тему

«Производная функции одной переменной»

10.10.2012 г.

Гр. БВ-4.

РАЗРАБОТАЛА И ПРОВЕЛА

Преподаватель                                                                                          Е.О.Кудрявцева

Г. САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012

ПЛАН

проведения открытого урока

по теме 2 «Производная функции одной переменной»

дисциплины «Элементы высшей математики»

преподавателем Кудрявцевой Е.О.

Дата проведения: 10.10.2012 г.

Место проведения: ауд. 314

Группа: БВ-4

Форма обучения: заочная.

Тема занятия: Производная функции одной переменной.

Вид занятия: комбинированный урок с элементами систематизации ранее полученных знаний, сообщения новых знаний и закрепление их на практике путем решения задач.

Оборудование:

1. кодоскоп;
2. пленки для кодоскопа:

а) чертеж касательной  к графику функции;

б)геометрический смысл производной.

1. раздаточный материал:

а) таблица производных элементарных функций;

б) условия практических задач.

Цели урока:

1. Обучающая – организовать деятельность учащихся по проверке  ранее  изученного  ввести понятие производной функции одной переменной, научить находить производную по определению и с помощью формул, рассмотреть производную с точки зрения экономики.
2. Развивающая – формировать умения применять новые   формулы при нахождении производных функций одной переменной, развивать навыки самостоятельной работы.
3. Воспитательная – продолжить воспитание мотивации учения, раскрывая практическую значимость изучаемого материала, воспитывать аккуратность при проведении расчетов.

Задачи урока:

1. Студенты повторяют основные положения школьного курса математики;
2. Учащиеся находят производную функции с помощью таблицы производных.
3. Учащиеся раскрывают связь с экономикой.

СОДЕРЖАНИЕ  И  ХОД   ЗАНЯТИЯ.

1. Организационный момент:                                                                            1 мин.

2. организовать внимание группы;
3. отметить присутствующих, проверить готовность к уроку;
4. сообщить план и цели проведения занятия.

2. Проверка домашнего задания по теме «Предел функции».                       5 мин.

Представление решения.

К доске вызываются 2 человека и записывают решение д.з. на доске.

Пример № 1.

Ответ:

Пример №2.

Вспомогательное решение.

Раскладываем числитель и знаменатель на множители:

Ответ: 10.

        5 мин.

3. Актуализация  ранее  приобретенных знаний.   

На доске записаны задания из разных тем школьного курса математики.

Студенты решают вместе с преподавателем.

4. Сообщение новых знаний.                                                                                    7 мин.

Вводная беседа              

Учитель говорит, что студенты  познакомятся с фундаментальным понятием математического анализа производной функции. Производная применяется  во многих науках: физике, химии, экономике и других. Она характеризует скорость протекания процесса, введут  понятие производной функции и научимся находить ее.                                                              

1. Определение производной;

Рассматриваем чертеж  графика функции и касательной к нему в точке М(х;у). применяю для демонстрации кодоскоп. (см. приложение 1)

2. Геометрический смысл производной;

Применяю кодоскоп .(см. приложение 2)

3. Правила дифференцирования элементарных функций.

Раздаю таблицы производныж элементарных функций. (см. приложение 3)

5. Закрепление пройденного материала путем решения практических заданий.  10 мин.

Учитель решает  вместе со студентами  задачи на нахождение производных элементарных функций с помощью таблиц производных ( см. приложение 3)

1. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'×sinx + (3x3-2x+1)×(sin x)' =
= (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.

2. Найти y', y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = +  = .

3. . Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ×2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x.

4. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x= .

6. Сообщения на тему «Производная с точки зрения экономики».                             5 мин.

Сообщение делают 2 студента.  

1-ый  студент.            

1. Производительность труда, издержки производства;

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную .

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время
t = t1 - t0: u = u(t1) - u(t0) = u(t0+t) - u(t0). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= u/t.

Производительностью труда рабочего z(t0) в момент t0 называется предел, к которому стремится z ср. при t0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t0) = u'(t0).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на х. Количеству продукции x+ х соответствуют издержки производства K(x + х). Следовательно, приращению количества продукции х соответствует приращение издержек производства продукции K = K(x + х) - K(x).

Среднее приращение издержек производства есть K/х. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел  называется предельными издержками производства.

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то  и называется предельной выручкой.

2- ой  студент.

2. Эластичность функции.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y  = f (x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают Ex (y) = x/y f  (x) = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

7. Контрольный срез знаний по новому материалу.                                         10 мин.

Студенты  самостоятельно выполняют задания.

.Найдите производную функции:

1 вариант

2 вариант.

3 вариант.

4 вариант.

8. Подведение итогов урока.                                                                                  1 мин.

Учитель подводит итоги урока:

1. Студенты знают определение производной   функции ;
2. Студенты знают  геометрический смысл производной;
3. Студенты находят производную функции с помощью таблицы производных.
4. Учащиеся раскрывают связь производной с экономикой.

Далее учитель сообщает оценки и делает необходимые пояснения к домашней работе.

9. Домашнее задание.                                                                                              1 мин.

(2): стр. 98, №18(3), 21(3), 22(4).

                                                                                                Итого :                      45 мин.

Литература:

1. Григулецкий В.Г. «Высшая математика для экономистов» Ростов-на-Дону: «Феникс», 2008.
2. Богомолов Н.В.  «Практические занятия по математике», М.: «Высшая школа», 2009.
3. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике», М.: «Айрис пресс», 2012.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

Таблица производных элементарных функций.

1. (u)' =  u1 u' (  R).

2. (au)' = au lna u'.

3. (eu)' = eu u'.

4. (loga u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos2u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin2u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).