Формулы сокращенного умножения
методическая разработка (алгебра, 7 класс) на тему

План открытого урока

Подготовила: Агабабян Мариам Микаеловна, учитель математики ФГОУ–СОШ № 21 МО РФ

Класс: 7.

Предмет: Алгебра

Тема: «Формулы сокращенного умножения».

Цели и задачи: 

1. Ввести  понятие формулы сокращенного умножения;
2. Формирования умения самостоятельной исследовательской работы;
3. Получение и использование формул для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений;
4. Формирование умения работы в малых группах.

Оборудование: реквизит, наборное полотно, экран-полоска, плакаты, конверты с вложенными тестовыми заданиями.

Ход урока.

1. Проверка домашнего задания показала, что типичные ошибки наблюдаются в примерах на раскрытие скобок со знаком «-»  перед скобкой.

На доске два примера, выполненные с ошибками:

а(2а+Зb)-2аb(2а+Зb)=2а2+Заb-4аb+6b2

(2х-3)(х+2)-(5+х) (2х-1)=2х2+4х-Зх-б-10х+5-2х2-2

Ученики должны определить ошибки и продолжить упрощение.

2. Устные задания.

1. Найдите квадраты выражений:

с; -4; Зm; 5х2у3.

2. Найдите произведение Зх и бу. Чему равно удвоенное произведение этих выражений?
3. Прочитайте выражения:

а)        а+b        в) (а+b)2        д) (х-у)2

б)        а2+b2                 г) х-у        е) х2-у2

4. Выполните умножение:

(х+6)(х+5)

5. Объясните: как умножить многочлен на многочлен?

3. Сегодня мы продолжим изучение темы «Умножение многочлена на многочлен». Ещё в глубокой древности было обнаружено, что некоторые многочлены можно умножать коротким способом, быстрее, чем все остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько.

Урок у нас сегодня особый. Нам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул.

(Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы, которые были определены еще до урока.)

Выполним умножение многочленов. Каждая группа выполняет номер своего задания, и результат записывает на доске, на соответствующей строке (номер задания соответствует номеру группы) в правом столбике. Все задания даны в таблице:

Средняя часть таблицы, обведенная рамкой, в момент выполнения заданий закрыта бумажной полоской (экран).

Таблица 1

4. После того, как учащиеся заполнили таблицу, учитель просит их выяснить: есть ли нечто общее в условиях и ответах предложенных упражнений и можно ли выражение в левом столбце записать короче?

После ответов учеников, снимаем экран-полоску и обращаем внимание учащихся на то, что они фактически приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двучленов, то есть, возводили в квадрат сумму двух выражений.

Класс переходит к обсуждению полученных результатов. Ребята замечают, что во всех случаях результатом умножения является трёхчлен, у которого первый член представляет собой квадрат первого слагаемого данного двучлена, второй – удвоенное произведение первого и второго слагаемых, а третье – квадрат второго слагаемого. Такой анализ делает каждая группа.

А теперь без труда можно записать формулу квадрата суммы двучлена

(а+b)2=а2+2аb+b2

(показать формулу и её схему на плакате).

Попробуем прочесть её:

квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения + удвоенное произведение первого и второго выражения + квадрат второго выражения.

5. Для закрепления изученного к доске вызываются двое учеников, которые выполняют возведение в квадрат двучленов:

(8х+3) и (10х-7у).

6. Исторические сведения.

Эту формулу знали ещё математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали её геометрическое истолкование.

Далее следует обратить внимание на плакаты:

Первый плакат:

Второй плакат:

Начиная с VI века до н.э. они вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел они истолковывали как площадь прямоугольника. Алгебраические фоормулы у них принимали вид соотношений между площадями. Например: говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме отрезков равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С этого времени и происходит термин "квадрат числа".

7. Далее начинается самостоятельная работа по группам. Задания для работы взяты из учебника, но предлагается особый способ их решения.

По столам раздаются конверты с вложенными в них тестовыми заданиями

(смотри приложенный дидактический материал).

Ученикам предлагается достать тест №1 и выбрать из трёх предлагаемых вариантов ответа верный. Ответы должны быть показаны с помощью наборного полотна/

(смотри приложенный дидактический материал).

Использование наборного полотна даёт учителю возможность быстрой оценки правильности ответов.

Группа, выполнившая задание, получает оценки. Обычно старшему группы доверяется оценить работу своих товарищей с учётом "коэффициента трудового участия".

8. Учитель предлагает ученикам вывести другую формулу:  (а-b)2=        ).

Исследование начинается с вопроса: "Изменится ли результат, если будем возводить в квадрат не (а+b), а (а-b)?”

Выясняется, что если в таблице №1 во всех формулах левого (и среднего) столбцов знак "+" поменять на "–", то получаем новые формулы.

Ученики снова начинают выполнять умножения двучленов левого столбца по группам. В результате выясняется, что новые произведения отличаются от ранее записанных лишь знаком перед удвоенным произведением. В связи с этим выводом записывается

(а-b)2=а2-2аb+b2.

Параллельно показываются формула и её схема на плакате. Для закрепления материала на доске выполняется пример

(10у-7х)2=        

9. Исторические сведения: Формулы

(а+b)2=а2+2аb+b2

и

(а-b)2=а2-2аb+b2

называют биномами Ньютона, в честь математика, физика, философа XVII века Исаака Ньютона. Он вывел и другие формулы:

(а+b)3, (а-b)3, (а+b)4, (а-b)4

и связал коэффициенты одного разложения с коэффициентами другого.

Но это тема другого урока...

10. Далее ученикам предлагается выполнить самостоятельную работу по тестовым заданиям, но уже с использованием формулы (а-b)2.

XI. Выдача домашнего задания:

В дополнение к программному домашнему заданию выдаётся творческое задание: Вывести формулы:

а)        (b-a)2        в) (а+b)3

б)        (-a-b)2                г) (а-b)3

XII. Подводится итог урока:

        1. Каков результат нашей исследовательской работы?

        2. Выставляются оценки по группам, правильно выполнившим тестовые задания.