Математические развлечения
план-конспект урока (алгебра, 8 класс) по теме

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.

При разборе МС выделяются основные ошибки,“прячущиеся” в МС:

1. деление на 0;
2. неправильные выводы из равенства дробей;
3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
4. нарушения правил действия с именованными величинами;
5. путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
7. неравносильный переход от одного неравенства к другому;
8. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
9. ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

1.“Неравные числа равны.”

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-b = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим

(а-b)2 = = c(a-b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a2-2ab + b2 = = ca-cb,

из которого следует равенство

а2- аb - ас = аb -b2 -bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)

Разделив последнее равенство на (а-b-с),получаем, что

а=b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма

: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно,согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откудаа-b-с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а-0= b-0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а-b-с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла,поскольку равенство а0 = b0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны,неверен.

Неоценимую помощь оказывают МС для более глубокого осмысления материала на уроках геометрии. Например, софизм, который можно использовать на уроке по теме “Окружность”,повторяя при этом тему “Признаки равенства треугольников”:

2. Один рубль не равен 100 копеек.

1 р=100 коп

10 р=1000 коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10 р=100000 коп, откуда следует:

1 р=10000 коп.

Применение этого софизма является также пропедевтикой использования именованных величин при решении физических задач.

И, конечно, знакомить ребят с математическими софизмами, утверждая, что:

3. “Два умножить на два будет пять”

2*2=4

44=55,

вынесем за скобки слева 4, справа5

4(11)=5(11),

разделим левую и правую часть на (11),получим

4=5, откуда следует

2*2=5.

4.Единица равна нулю

Возьмем уравнение

х-а = 0.     (1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Разделив обе его части на х-а, получим

откуда сразу же получаем требуемое равенство

1=0.

Веселый тест

1.Какие числа употребляются при счёте?

-природные;   -натуральные; -естественные; -искусственные

2.Какой «дробный» член есть в футбольном команде?

-полувратарь;  -полутренер  -полузащитник;  -полунападающий.

3.Как называют верхний угол футбольных ворот?

-десятка; -девятка; -шестёрка; -пятёрка.

4.Какими бывают современные фотоаппараты?

-цифровые; -числовые; -формульные; -дробные.

5.Что выкидывает человек, совершая какой-нибудь предосудительный, странный, смешной поступок? 

-цифру; -число; -номер; -формулу.

6.Какое математическое действие с клетками обеспечивает рост органов живого организма? 

-сложение; -вычитание; -умножение; -деление.

7. Как называется расстояние между двумя отметками на измерительной шкале? 

-сложение; -умножение; -вычитание; -деление.

8.Что нужно брать с героев, а также со всех честных, добрых и порядочных людей?

-задачу; -пример; -уравнение;

-систему уравнений.

9. Какой результат арифметического действия является сладким

на вкус?

-разность; -сумма; -частное; -остаток.

10. Какой математический знак существует в строении цветка?

-корень; -стебель; -лист; -цветок.

11.Формулы какого умножения изучают на уроках математики в школе?

-скоростного; -ускоренного; - фигурного

-сокращённого;

12. Что иногда производят с персоналом предприятия?

- упрощение; - приведение подобных членов; - сокращение;

- вынесение за скобки.

13. Как заканчивается это известная пословица: «Ясно, как…»?

- дважды два; - трижды три; - пятью пять; - шестью шесть.

14. Как называется повторяющаяся группа цифр в записи бесконечной дроби?

- тайм; - период; - раунд; - гейм.

15. Какая геометрическая фигура подрабатывает в цирке гимнастическим снарядом?

- круг; - прямоугольник; - ромб; - трапеция.

16. Каким математическим словом характеризуют необщительного, скрытного человека?

- прямолинейный; - замкнутый; - пунктуальный; - вогнутый.

17. Что напоминает геометрическое тело называющееся тор?

- бублик   -рогалик; - крендель; - батон.

19. Какая из этих геометрических фигур дала название болезни и кости руки человека?

- прямая; - луч; - отрезок; - ломаная.

20.Закончите русскую пословицу: «Всякому мила своя…»

- высота  - сторона  - медиана  - биссектриса

Вы сидели и считали, и, надеюсь, не скучали.

Но закончилась игра – расставаться нам пора,

И давайте на прощание    скажем дружно…

Все. ДО СВИДАНИЯ!