Презентация "Урок для взрослых"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Доказательство неравенствПрезентация подготовленаучителем математики МОУ Романовская СОШ Атапиной Ириной Николаевной
«... Основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами». Э. Беккенбах, Р. Беллман.
«Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем геометрическом и среднем арифметическом нескольких чисел».
Задачи решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев – рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Тем более, что процесс доказательства неравенств неформален и мало алгоритмизуем.
Теоретические аспекты темы: «Доказательства неравенств»

Историческая справка.Общие сведения о неравенствах.Основные свойства неравенств.Некоторые важные неравенства.
Историческая справка.
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины.
Архимед ( III век до н.э.) указал границы числа π В трактате «Начала» Евклида, он доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического.В «Математическом собрании» Паппа Александрийского в III в. доказывается «Если a /b>c/d (a,b,c,d положительные числа), то ad>cb»
В 1557 году Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства.В 1631 году английский ученый Гарриот ввел знаки неравенства.Французкий ученый П.Буге (1698-1758) ввел знаки ≤,≥
Одно из самых известных замечательных неравенств – это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в1821 году французким математиком Огустеном Луи Коши. Ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.
Неравенство КошиДля любых неотрицательных чисел их среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все числа х1,х2,…,хn равны между собой.
Неравенство Коши – Буняковского.Неравенство Чебышева.Неравенство Бернулли.Неравенство Иенсона.
Неравенство Коши – Буняковского Для любых действительных чисел х1,х2,…,хn и у1,у2,…,уn
Неравенство Бернулли
Для любого х > -1 и любого натурального числа n (1+x)n≥ 1+nx
Основные методы доказательства неравенств
2.1 Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей 2.2 Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств 2.3 Метод оценивания2.4 Доказательство неравенств методом от противного2.5 Доказательство неравенств методом математической индукции2.6 Метод использования тождеств2.7 Метод ведения новых переменных (метод подстановки)2.8 Метод интерпретации или моделей2.9 Функционально – графические методы доказательства неравенств2.10 Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства
Неравенства в финансовой математике
Задача 1 . Доказать, что при х > 0 выполняется неравенство (1+x)1/3<1+1/3 x . Задача 2. (Вспомогательная.) При краткосрочных вкладах до востребования вклад S (например, рублей) увеличивается по следующему правилу: он растет ежедневно на р процентов от первоначальной суммы S (независимо от срока хранения). Найдите величину вклада спустя n дней его хранения в банке.
Задача3. (Вспомогательная.) Пусть увеличение так называемого срочного вклада S производится на р процентов через t месяцев хранения. Определите величину вклада Sn спустя nt (n - натуральное) месяцев хранения в банке, если договор продлевался (пролонгировался) после каждого из t, 2t, 3t, ... , (n - 1) t месяцев хранения.
Задача 4. Сравните возрастание через год вклада, положенного по договору под р % прибыли в год, и вклада той же первоначальной величины, если через каждые части года1/n,2/n,…, (n-1)/n (n натуральное, n > 2) по договору начисляются p/n %.
Метод оценивания в задачах ЕГЭ
В9 Найдите наибольшее значение функции y = 19 – 2 cos x – 18x/π на отрезке [-2π/3; 0].
Метод оценивания в задачах ЕГЭ
С3 Решите неравенство:
Метод оценивания в задачах ЕГЭ
С3 Решите неравенство:
Методические рекомендации по изучению темы: «Доказательства неравенств» в школьном курсе математики.
Ю.Н. Макарычев «Алгебра – 8», С.М. Никольский «Алгебра и начала анализа – 10», А.Г.Мордкович, П.В. Семенов «Алгебра и начала анализа – 10», А.Г.Мордкович, П.В. Семенов «Алгебра и начала анализа – 11», Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова «Алгебра и начала анализа – 10»,Подготовка к ЕГЭ.
Введение в программу темы «Доказательства неравенств» направлено на устранение существующей в школьном курсе математики резкой диспропорции между решением неравенств и доказательством неравенств, и, что особенно важно, доказательство неравенств – один из важнейших видов математической деятельности, тогда как решение неравенств – «привилегия» именно школьной математики.
Таким образом, изучение темы: «Доказательства неравенств» на профильном уровне дает возможность реализовать такие задачи как формирование учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; научить применять приемы доказательства неравенств при выполнении различных задач; уметь анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли и творчески относится к делу.