Опорные конспекты по алгебре для 9 кл
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Справочные материалы

по алгебре.

 9 класс.

                                               Составитель:   учитель математики

                                                                        МБОУ лицея №3

                                                                        Съедина Л.Н.

Свойства функции .

Исследование свойств функции без построения графика.

          У = .

1.   D(y):  х0.

2.   Е(у):  = 2 + ,    у(-;2)(2; ).

3.   нули:  у=0,    2х + 8 = 0,    х = -4.

4.   у>0   >0     2х + 8 >0 и х>0        или        2х + 8 < 0 и х< 0

                                  х >-4   и     х >0       или        х<-4   и     x< 0  

                                    х >0                                      х<-4  

                                   х (-;-4) (0; ).

       у<0   х(-4;0).

5. х1    1      2                х1< х2 , но   у1 > у2, значит,  функция убывающая.

        х2    2      5

        у1    10    6

        у2     6     3,6  

6.     у(х) = .      у(-х) ==    у(х)  -у(х).

         Функция ни чётная, ни нечётная.

Алгоритм определения чётности функции.

1. Определить является ли D(y)  симметричной относительно (0;0).

                     Да                                                                                     нет                       вывод: функция ни четная, ни нечетная.

2. Определить         чему равно        f(-x) =

 f (-x)  =   f(x)                             f(-x)  =  - f(x)                                             f(-x) f(x)  - f(x)

  чётная                                       нечётная                                          функция ни чётная, ни нечётная.

№1.  у=2х-5.      D(y)  =  R ;     у(-х)=-2х – 5 = -(2х + 5) -  функция ни чётная, ни нечётная.

Квадратный трёхчлен  ах2 + bх + с .        (а0)

Разложение на множители:

   ах2 +  bх + с = а (х-х1) (х-х2),  х1 и  х2 – корни трёхчлена.

Способы нахождения корней трёхчлена:

 ах2 + bх +с=0.

1. по формулам:             D = b2 – 4ас,       х1=         х2 = .

2. по теореме Виета:   а=1,         х1х2= с                х1+ х2= -b.

3. если    а+ b+с = 0,   то           х1= 1,                 х2=.

4. если    а+ с = b,     то           х1= -1,                 х2= - .

5. метод переброски:  ах2 + bх +с = 0.

                                    у2 + bу + ас = 0

                                   у1/2 найти по т. Виета,    х1/2= .                                                                    

Квадратичная функция у =  ах2 + bх +с .

                                     Алгоритм построения графика.

1.  Указать, что графиком является парабола и определить положение её ветвей.

2.  Найти координаты вершины:  х0= m =;   у0 = у ( х0).

3.  Указать ось симметрии  - прямая  х = m.

4.  Составить таблицу значений для х,  расположенных правее или левее оси  симметрии.

5.  Построить график.

        Например: у = 2х2+4х- 1.

     Графиком функции является парабола,

     ветви которой направлены вверх.

     Вершина  х0= m == -1 ;   у0= у( х0 ) =-3.

     Прямая х = -1 – ось симметрии.

-

Квадратичные неравенства.

a)   ах2 + bх +с<0    a>0   

                                                                                                                             у

                                    y                                                                    y                      

                        //////////////////    

                                              b                             x            

                                                                                        a           x                                                        х

                   D>0        (a;b)                                       D=0   нет решений                D<0 решений нет                                             

 b)       ах2 + bх +с>0     a>0

                                                                                                                             у

                                    y                                                                    y                      

     /////////////////                  //////////////////////                         //////////////////////////////////////

                                              b                             x                                     a                                                 //////////////////////////////////

                                                                                                   x                                                        х

D>0     (-;a) (b;+)                                                         D=0   (;a)(a;)                                D<0(-;+)

Метод интервалов.

Этот метод применяют для решения неравенств, представляющих собой произведение или частное.

Например:       х(х-2)(х+4)>0;        <0.

Алгоритм решения.

1. Задать функцию.
2. Найти область определения функции.
3. Нули функции.
4. Числовая прямая, на которой отмечены область определения и нули. Проверить знак функции на каждом промежутке.
5. Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют условию. Если в условии знак «>», то выбрать с «+», если в условии знак «<», то выбрать с «-».
6. Записать ответ.

№1.   х(х-2)(х+4)>0.                                     №2.        <0

                                                                                 1.   у =

           1. y = х(х-2)(х+4).                                             2.  D(y): х-8

      2.  D(y)=R.                                                        3.  у=0, х=0,  х=3.

      3.  y=0    x=0, x=2 ,  x=-4.                                4.

     4         -         +          -         +                                         -         +         -           +

                     -4             0      2              х                                 -8           0      3               х

     5. у>0, х (-4;0)(2;).                                    5.    у<0,  х (-;-8)(0;3).                                    

Элементы комбинаторики.

1. Перестановки – расположение всех данных элементов в определённом порядке. 

Например: а,в,с. Возможные варианты: авс, асв, вас, вса, сав, сва.                                                              Рn=n! = n (n-1) (n-2)…..1

2. Размещения – возможные варианты из n элементов по  k, взятых в определенном порядке.

                                 Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2: ав, ва, ас, са, вс, св.

Аnk = ;    ( k

3.Сочетания - возможные варианты из n элементов по  k, порядок расположения не важен.

                                 Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2:ав,ас,вс.

Сnk =  ,      ( k

 4.Вероятность события  равна  отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных.

Выделение квадрата двучлена.

.

ах2 + bх +с = a(х2 + m) + n.

1 .  Вынести общий множитель а за скобки.

       2х2 + 8х – 6 = 2(х2 +4х – 3)

2.    Выделить в скобке квадрат двучлена:  a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

        2(х2 + 2х2 +4 -4 -3)=2( (х+2)2 – 7) = 2 (х+2)2 – 14.

          Т.к.    2 (х+2)2 > 0, то наименьшее значение равно (-14).

№1.    4 х2 – 2х + 12 = 4(х2 -х + 3) = 4(х2 -  2х + -  + 3) = 4( (х -)2 +2) =4 (х -)2 + 11.

           Наименьшее значение равно 11.

а

а

У

х