Урок "решение уравнений в комплексных числах" в 11 классе
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема урока: «Решение уравнений в комплексных числах»

(11 класс с углубленным изучением математики, учитель Кабанова И.В., лицей №32 г.Белгорода)

Тип урока: урок закрепления и комплексного применения знаний и способов деятельности.

Цели урока:

1) способствовать закреплению умения решать уравнения в комплексных числах

2) содействовать развитию у учащихся умения систематизировать материал, сравнивать различные способы решения уравнений, выбирать оптимальный из них.

В ходе урока используется компьютерная презентация.

Ход урока

1. Организационный момент:

1. Приветствие
2. Постановка задач урока, плана его проведения.

   II.Проверка домашнего задания.

 У доски три ученика выполняют задания:

1) Решить уравнение: 12х4+37х3+49х2+37х+12=0

Решение:

уравнение возвратное, разделим почленно на х2 (х=0 не является корнем уравнения)

12х2+37х+49+37/х+12/х2=0

12(х2 +1/х2) +37(х+1/х)+49=0

пусть х+1/х =t, тогда  х2 +1/х2 =t2-2. Имеем:

12t2+37t+25=0

t1 =-1, t2= -25/12.

х+1/х=-1                                 или  х+1/х=-25/12

Ответ: ; .

2)  Решить уравнение:

Ответ: i

3)Решить уравнение: (z2-z)4=16

Пусть  z2-z=t, тогда имеем:

t4 -16=0, (t2-4)(t2+4)=0,

(t-2)(t+2)(t-2i)(t+2i)=0,

t=2,   t=-2,   t=-2i,     t=2i

1) z2-z=2               2) z2-z=-2                  3) z2-z=-2i

z2-z-2=0                 z2-z+2=0                       z2-z+2i=0

z1=-1,  z2=2                      

Ответ: -1; 2; ; .

В это время идет фронтальная работа с классом.

III. Этап актуализации и проверки знаний и умений.

1. Фронтальная работа по вопросам:

1. что называется комплексным числом?
2. что такое мнимая единица?
3. как изображается комплексное число на плоскости?
4. какую форму записи может иметь комплексное число?
5. что такое модуль комплексного числа, как его вычислить?

Демонстрация слайда №2. Определить условия, задающие данное изображение множества точек на комплексной плоскости:

Проверка знаний основных формул и правил операций над комплексными числами. Учащимся предлагается выполнить на листочках задания по вариантам (слайд №3)

Учащиеся меняются вариантами, идет взаимопроверка (ответы демонстрируются через проектор). Обсуждение результатов.

Слайд №4. Учащимся дается задание по рядам: выполнить задания, ответ найти в таблице, выписать соответствующие буквы или их сочетание на листочке.

В это время учитель проверяет выполнение домашнего задания работавших у доски.

1 ряд.   а) i121 = i120∙i=i

б)  ; r = 2,

в) x2 +7ix – 12 = 0,  D= - 49 + 48 = - 1,

2. ряд.  а) i-38 =

б)  r = 2,

в) z4 – 16 = 0, (z2-4)(z2+4) = 0,  z1,2=±2, z3,4=±2i

3. ряд .    а) i18(3 – 6i) = -(3 – 6i)= -3 + 6i

б)  r = 2,

в) x2 + 10x + 50 = 0,  D = 100 – 200 = - 100,

Проверяем выполнение задания по таблице с помощью проектора: должно получиться имя английского математика Абрахам де Муавра. Учащимся демонстрируется его портрет (слайд №5), дается краткая информация об этом ученом.

Листочки с решением сдаются на проверку.

4. Этап применения знаний и способов действий.

Какими основными методами мы пользуемся при решении уравнений с комплексными числами?

Сколько корней имеет уравнение n-й степени с действительными коэффициентами?

Что можно сказать о комплексных корнях уравнения с действительными коэффициентами? (сопряженные)

 Учащимся предлагается набор уравнений, к каждому из которых они предлагают способ решения. (слайд №6)

1. (z-i)6 =z2+2iz-1
2.   z4 =1
3.   6x4 +19x3+25x2+19x+6=0
4.   |z|-2z=2i-1
5.   (z+1)4 =(z-i)4
6. z 12 -65z6 +64=0
7. z3 +z 2+z+1=0
8. (z2 +3z+6) +2z(z2 +3z+6)-3z =0

Работа в группах: по одному представителю у доски решают уравнения №3,4,5.

Пока учащиеся работают, учитель проверяет самостоятельную работу, выполненную на листочках.

Решение уравнения №3:

6x4+19x3+25x2+19x+6=0       ‌‌‌‌:x2

6x2+19x+25+

 Решение уравнения №4:

Решение уравнения №5:

  (z+1)4 = (z-i)4

(z+1)4 - (z-i)4 = 0

((z+1)2 – (z-i)2)((z+1)2 + (z-i)2) = 0

(z2 + 2z + 1 – z2 + 2zi + 1)( z2 + 2z + 1 + z2 - 2zi – 1) = 0

(2z + 2zi + 2)( 2z2 + 2z - 2zi) = 0

2z + 2zi + 2 = 0,  

2(z + zi + 1) = 0

z(1+i) = -1

z =

2z2 + 2z - 2zi = 0

2z(z + 1 – i) = 0

z = 0; z = -1 + i

Ответ: 0; -1 + i; .

После обсуждения и проверки решений, учитель комментирует итоги самостоятельной работы.

5. Применение знаний и умений при выполнении более сложных заданий.

Демонстрация слайда №7

1. Найти значения а и b, при которых i является корнем уравнения х4-(2а +b+1)х3 +(3а+5b)х2- -8х+13=0 . При найденных значениях а и b найти остальные корни уравнения.

1. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющего корни х1=1, х2 =х 3=1-i .

Учащиеся обсуждают ход выполнения первого и второго задания . Класс работает самостоятельно, один ученик решает у доски.

VI. Домашнее задание: решить уравнения со слайда №6: № 1,2,6,7,8.

VII. Рефлексия (слайд №8)Выбрать ту четверть, которая соответствует отношению к изучаемой теме.

VIII. Подведение итога урока, оценка работы учащихся