Олимпиадные задания часть 2
олимпиадные задания по алгебре по теме

Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 

7 класс

1. Решите числовой ребус   .
2. Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре будет вместе 100 лет?
3. Дети парами выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 2011 орехов?
4. Разрежьте прямоугольник со сторонами 4 и 9 на наименьшее число частей так, чтобы сложить из них квадрат.
5. На острове О живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и Б. Туземец А произнес фразу:

- По крайней мере один из нас (А или Б) – лжец.

Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

8 класс

1. Найдите все такие трехзначные числа , что сумма цифр числа  в 11 раз меньше самого числа .
2. Через точку P, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых.
3. На диагонали  квадрата  взяты точки  так, что прямая  пересекает сторону  в точке , прямая  пересекает сторону  в точке  и . Найдите длину диагонали квадрата, если .

4. Что больше:
5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов, стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы». (Воины, стоящие в концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец».) Какое наибольшее число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышло 2011 воинов?

Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

1. Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя подписал под каждым из Васиных чисел его квадрат.  После чего Маша сложила все числа, написанные на доске, и получила 2011. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.
2. Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного — ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)
3. В треугольнике  биссектрисы углов  пересекают описанную окружность в точках  соответственно. Отрезки  пересекаются в точке  и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник  равнобедренный.
4. Докажите, что при всех положительных  выполняется неравенство  
   

5. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры идут в строго возрастающем порядке, или тех, у которых цифры идут  в строго убывающем порядке? (Например, в первую группу входит число 12 459, но не входят числа 12 495 и 12 259).

Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

10 класс

1. В ряд выписаны числа от 21 до 30. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
2.  При каких  значениях  разность корней уравнения равна 3?
3. Даны п точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?
4. Найдите все тройки ненулевых чисел и , образующих  арифметическую прогрессию и таких, что из чисел и  также можно составить арифметическую прогрессию.
5. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке . Пусть и   - точки пересечения окружностей, одна из которых проходит через точки  и , а другая через  и . Найдите геометрическое место точек , если точка  лежит на отрезке  и не совпадает с его концами.

Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

11 класс

1. Каково наименьшее натуральное  такое, что  делиться на 770?
2. Докажите, что если , то уравнение  имеет 2 действительных корня.
3. Найдите , если ; ; , , .
4. В основании правильной пирамиды лежит многоугольник с нечетным числом сторон. Можно ли расставить стрелки на ребрах этой пирамиды (по одной на каждом ребре) так, чтобы  сумма полученных векторов  оказалась равной   ?

5. В классе 20 учеников. Каждый дружит не менее чем с 10 другими. Докажите, что в этом классе можно выбрать две тройки учеников так, чтобы любой ученик из одной тройки дружил с любым  учеником из другой тройки.

7 класс (решения и ответы)

Ответы и решения задач  муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Ответ: 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Ответ: 40 лет.

Решение:  Для решения задачи воспользуемся таблицей.

Уравнение: . Сейчас Игнату 40 лет.

3.  Ответ: не могло.

Решение: Заметим, что число орехов у каждой пары детей делится на 3. Это означает, что суммарное число орехов должно делиться на 3. Однако 2011 на 3 не делится.

4. Решение:

5. Ответ: А – рыцарь, Б – лжец.

Решение: Если А – лжец, то его утверждение неверно, т.е. оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – рыцарь. Тогда его утверждение верно и Б – лжец.

8 класс (решения и ответы)

Ответы и решения задач  муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Ответ: 198.

Решение: Трехзначное число   можно записать в виде .  Из условия  следует, что .  Справа стоит двузначное (однозначное, если с = 0) число, которое делится на 89, значит,  . Но тогда  

2. Ответ: часть окружности с диаметром OP, лежащая внутри данной окружности.

Решение: Пусть O — центр данной окружности, M — середина хорды, отсекаемой от окружности прямой, проходящей через точку P. Тогда PMO = 90o. Поэтому искомое множество — часть окружности с диаметром OP, лежащая внутри данной окружности.

3. Ответ: AC = BD = 10

Решение: Из условия следует равенство треугольников  ), откуда . Кроме того, . Поэтому треугольники  равны, и, значит, .

.  

4. Ответ: 3111 <1714   

Решение:  

5. Ответ: 1006 рыцарей

Решение: Заметим, что два воина, стоящие рядом, не могли оказаться рыцарями. Действительно, если бы они оба были рыцарями, то они оба сказали бы неправду. Выберем воина, стоящего слева, и разобьем ряд из оставшихся 2010 воинов на 1005 групп по два рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более одного рыцаря, т.е. среди рассматриваемых 2010 воинов не более 1005 рыцарей, т.е. всего в шеренге не более  1005 + 1 = 1006 рыцарей.

Рассмотрим шеренгу РЛРЛР…РЛРЛР. В такой шеренге стоит ровно 1006 рыцарей.

9 класс (решения и ответы)

Ответы и решения задач  муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Решение. Предположим, что никто из ребят не ошибся. Если Вася написал числа , то Петя должен был написать числа . Маша должна была посчитать сумму . Заметим, что если  – целое, то число – четное. Значит, S – сумма четных чисел, т.е. четное число и не может равняться 2011.
2. Ответ: на 15 банок.   Решение: На банку напитка уходит  бидона яблочного и бидона виноградного сока, значит, объем банки равен объема бидона. После изменения рецептуры на банку напитка уходит  бидона яблочного и  бидона виноградного сока, значит, объем банки равен объема бидона. Получим уравнение  .
3. Решение: Из условия следует подобие треугольников  – по первому признаку подобия треугольников (). Отсюда , но  (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Так как  – биссектрисы углов , половины которых равны, то отсюда следует: , т.е. треугольник равнобедренный.

4. Решение: Докажем, что при  выполняется неравенство . Действительно, домножим обе части неравенства на , или, что то же, . Теперь, сложив неравенство  с неравенством , мы получим требуемое.

5. Ответ: больше тех, у которых цифры идут в убывающем порядке.

Решение:  1) Запишем число первой группы в обратном порядке. Мы получим  число второй группы, причем из разных чисел первой группы получаются разные числа второй группы. В то же время числа второй группы, оканчивающиеся на 0, например 98 760, не могли быть получены «переворотом» из чисел первой группы (число 06789 = 6789 – не пятизначное). Значит, во второй группе чисел больше.

2) Числа первой группы получаются из числа 123 456 789 вычеркиванием четырех цифр, т.е. их , а числа второй группы – из числа 9 876 543 210 вычеркиванием пяти цифр, т.е. их .

10 класс (решения и ответы)

Ответы и решения задач  муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 

1. Ответ: Нельзя получить 0. Решение. Сумма этих чисел равна 255 – нечетному числу, а при замене перед каким – нибудь слагаемым «+» на «-» четность выражения не меняется. Посмотрим, как меняется эта сумма, если из нее взять два слагаемых и заменить их разностью этих чисел (вместо «+» поставить «-»). Если эти два числа были четные, то их сумма была четной, их разность тоже будет четной и четность общей суммы не изменится. Аналогично для двух нечетных чисел. Если же одно число было четное, а другое – нечетное, то их сумма была нечетной, их разность тоже будет нечетной и четность общей суммы тоже не изменится. Значит,  у нас могут получаться только нечетные суммы, т.е.  значение полученного выражения быть равным 0 не может.
2. Ответ: при  . Решение: Обозначив корни уравнения за  и , получим:

Выражая  и  из уравнений (1) и (3) и подставляя в уравнение (2), получим после упрощения уравнение . Решая его, найдем .

3. Ответ: . Решение: Первую точку можно взять п способами, вторую способом. Число прямых, проходящих через них, равно . Третью точку можно выбрать  способами. Тогда число  прямых, проходящих через эти три точки, равно , что  и определяет наибольшее количество плоскостей, которые можно провести через различные тройки из п точек.

4. Ответ: , , где . Решение: По условию  и выполняется одно из равенств: ,  или . В первом случае, решив систему , , получаем . Во втором случае получаем  или , . Третий случай аналогичен второму.
5. Ответ: отрезок  без его концов, где точка лежит на луче  и .

Решение:  Пусть  - окружность, проходящая через точки  и  и пересекающая  в точке . Тогда согласно свойству вписанных углов , поэтому точки ,, ,  лежат на одной окружности; если  лежит на отрезке , то , если  лежит вне этого отрезка (точка  на рисунке). Таким образом, , поскольку  и , т.е. окружности, проходящей через точки  и . Итак, мы показали, что точка  должна лежать на отрезке . Покажем теперь, что любая точка этого отрезка, кроме и , входит в искомое геометрическое  место точек. Действительно, пусть . Тогда, выбрав точку  так, чтобы , получаем, что  и .

11класс (решения и ответы)

Ответы и решения задач  муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

1. Ответ: 11! Решение:  , значит  делиться на 11. Наименьшее выражение, содержащее множитель 11, будет 11!, в это произведение будут входить и 7, и 10.
2. Доказательство: 1 способ. Так как  , то

        Рассмотрим первый случай. Так как  , то ветви параболы, заданной формулой , направлены вверх. А так как , то существуют точки параболы, лежащие ниже оси . Значит, парабола пересекает ось  в 2 точках. Поэтому уравнение имеет два действительных корня.

        Во втором случае ветви параболы направлены вниз, а , поэтому парабола пересекает ось  в 2 точках. Тогда уравнение  имеет снова два действительных корня.

2 способ. Рассмотрим неравенство . Раскрывая скобки в левой части, умножая неравенство на -4, затем прибавим к обеим частям неравенства , получим: . Преобразуем данное неравенство к виду: . Так как , то . Поэтому уравнение  имеет 2 действительных корня.

3. Ответ: , , , .

Решение: Очевидные решения , , . Понятно, что другие тройки чисел с нулевыми компонентами не являются решениями данной системы. Остается рассмотреть случай, когда . Тогда, очевидно,  - углы прямоугольного треугольника с катетами  ( - натуральное). Следовательно, тройка  - еще одно решение.

4. Ответ: Нельзя.

Решение: Пусть стрелки как-то расставлены. Спроектируем все полученные векторы на прямую, содержащую высоту SO пирамиды.  Проекции векторов, лежащих в плоскости основания равны  , а проекции векторов, лежащих на боковых ребрах, равны   или   -  . Из нечетности числа векторов, лежащих на боковых ребрах, следует, что сумма их проекций не может равняться , поэтому не может равняться  и сумма всех полученных векторов.

5. Пронумеруем всех учеников в классе с помощью натуральных чисел от 1 до 20 и обозначим через  число общих друзей  у  и -го учеников, а сумму всех таких чисел  через . Тогда, чтобы доказать утверждение задачи, достаточно показать, что для некоторых  и  выполняется неравенство .

        Всего чисел  будет . Так как у каждого ученика не менее 10 друзей в классе, то при подсчете числа  каждого ученика мы учитываем не менее   раз, поэтому .

        Таким образом, сумма 1140 целых  чисел не меньше 2400, поэтому одно из чисел  не меньше 3, что и требовалось доказать.