Тригонометрические уравнения.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Урок по теме: Тригонометрические уравнения.

(урок сдвоенный, тема рассматривается

 на элективных занятиях).

Решение уравнений с помощью подстановок:

sinx+cosx=t,  sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t.

Цели:

1). Образовательные:

Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.

Коррекция знаний, умений, навыков.

Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно     усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.

Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.

2) Развивающие:

Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.

Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.

3) Воспитательные задачи:

Формирование самостоятельности, мыслительной активности.

Ход урока:

Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.

Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений,

           которые решаются с помощью замены.

Закрепление нового материала.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание.

Вместе с учащимися разбираются свойства:

Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx)² = sin²x +cos²x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 - 1= - 7/ 16 , следовательно  sinx cosx = -7/32.

2)  Выразить tg²x+ctg²x , если tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx)²= tg²x+ctg²x + 2tgx ctgx= tg²x+ctg²x +

Следовательно tg²x+ctg²x = 7.

Вместе с учащимися разбирается уравнение

в котором используется одно из выведенных свойств.

Используем эту подстановку

при решении уравнений:

sin2x – 4 sin x = 4 + 4 cos x .

Решение.

4( sin x + cos x ) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Введем обозначение:

sin x + cos x = t , тогда  2sin x  cos x = t² -1.

Получаем : 4 t – ( t² - 1) + 4 = 0,

t²  - 4 t – 5 = 0.

Решая квадратное уравнение , получаем t2 = 5 , t2 = -1.

1).  sin x + cos x = 5. Нет решения, так как

│ sin x│≤ 1 , │cos x│≤ 1 .

2).  sin x + cos x = - 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на √2.

Получаем:

cos π ∕ 4 ∙ sin x + sin π ∕ 4 ∙ cos x = - √2 / 2.

sin ( x + π ∕ 4 ) = - √2 / 2 .

Решая тригонометрическое уравнение , получаем :

x + π ∕ 4 = -  π ∕ 4 + 2 π n       или   x + π ∕ 4 =  5 π  ∕ 4 + 2 π n  ,

где n ∈Z .

Ответ: - π ∕ 2 + 2 π n ; π + 2 π n , где n∈ Z .

Закрепление уравнений данного типа ( у доски-учащийся):

1).    2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

Решение.

2 ( sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0.

Введем обозначение:

sin x - cos x = t , тогда  2sin x  cos x = 1 - t².

Получаем:

2t + 1 - t² + 2 = 0;

t² - 2t – 3 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем:

t1= 3 , t2 = -1.

1).  sin x + cos x = 3. Нет решения, так как

│ sin x│≤ 1 , │cos x│≤ 1.

2).  sin x - cos x = - 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на √2.

cos π ∕ 4 ∙ sin x - sin π ∕ 4 ∙ cos x = - √2 / 2.

sin ( x - π ∕ 4 ) = - √2 / 2 .

Решая тригонометрическое уравнение , получаем :

x - π ∕ 4 = -  π ∕ 4 + 2 π n       или   x - π ∕ 4 =  5 π  ∕ 4 + 2 π n  ,

где n ∈Z .

Ответ:  2 π n  ;     3 π  ∕ 2 + 2 π n  ,

где n ∈Z .

sin 2x + 3√2(sin x-cos x ) =5.

Решение.

Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.

Применяя данную подстановку, получаем:

t² - 3√2t +4 = 0.

t1 = 2√2 , t2 = √2

1).  sin x + cos x =2√2. Нет решения, так как

│ sin x│≤ 1 , │cos x│≤ 1.

2).  sin x - cos x = √2.

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на √2.

Получаем:

sin ( x - π ∕ 4 ) = 1.

x - π ∕ 4 =  π ∕ 2 + 2 π n, где  n ∈Z .

x  =  3π ∕ 4 + 2 π n, где  n ∈Z .

Ответ: 3π ∕ 4 + 2 π n, где  n ∈Z .

Применим еще одну подстановку.

4tg²x+ctg²x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

Решение.

2tg x- ctg x = t.

4tg²x+ctg²x – 4 = t², получаем:

t²  + 3t – 4 = 0.

t1 = -4 , t2 = 1

1). 2tg x- ctg x = - 4.

2tg x- 1/tg x = - 4

2 tg²x+ 4tg x - 1 =0.

t1 = (-2 + √6)/2 , t 2 = (-2 - √6)/2.

х= arc tg (-2 + √6)/2 + π n         или

х= arc tg (-2 - √6)/2 + π n ,где  n ∈Z .

Ответ: arctg (-2  + √6)/2 + π n , arctg (-2 - √6)/2 + π n  ,

где  n ∈Z .

Закрепление темы:

tg²x+ctg²x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

Решение.

.

           Введем подстановку:

           tg x + ctg x = t, получаем :

                             t²  + 3t + 2 = 0.

                Решая квадратное  уравнение , получаем:

 t1 = - 2 , t2 = - 1.

tg x + ctg x = -2;

tg²x- 2tg x + 1 =0.

tg x =1.

                     x  =  π ∕ 4 +  π n, где  n ∈Z .

Уравнение

                       tg x + ctg x = -2 не имеет решения.

 Ответ:  π ∕ 4 +  π n, где  n ∈Z .

5). Решим уравнение ( учащиеся решают самостоятельно

с последующей проверкой ):

 2(tgx+ ctg x)=√3( tg²x+ctg²x) - 2√3=0.

Решение.

Проверка по этапам:

Квадратное уравнение относительно t:

                            √3 t²  - 2 t  = 0.

Корни уравнения:

      t=0    или    t= 2/√3,

     Ответ:   π n; arc tg( 3 √3)/2 + π n  , где  n ∈Z .

        IY .  Далее рассматриваются более сложные уравнения,

                     содержащие модули.

                   │ sin x + cos x│ = 1+2 sin x.

                    Решение.

Применяя подстановку : sin x + cos x = t, получаем :

│ t│=  t² .

Решая уравнения с модулем , получаем :

t = 0 или t= 1 , t = -1.

Далее решаем уже рассмотренные уравнения:

sin x + cos x = 0,

sin x + cos x =1,

sin x + cos x =-1.

 Объединяя решения, получаем ответ:

    Ответ:  - π/4+ π n ;  π  ∕ 2 n  ,

где n ∈Z .

     Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x  ,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3)  sin x + cos x - sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x - 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 - sin2 x,

6) 2(  sin2 x – cos2 x) =  tgx+ ctg x .

Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.