Электронные пособия для подготовки к ГИА и ЕГЭ
рабочая программа по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Прямые и отрезки, связанные с окружностью секущая касательная хорда диаметр радиус О

Слайд 3

Угловой мерой дуги окружности является центральный угол, который опирается на эту лугу Углы, связанные с окружностью угловая мера дуги окружности вписанный центральный вписанный центральный

Слайд 4

Угол в один радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Радианная мера угла R O 1 радиан 1 радиан ≈ 57⁰17’45”, π радиан = 180⁰,

Слайд 5

Свойства вписанных углов β α Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Слайд 6

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону этой хорды , равны. α β Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180⁰

Слайд 7

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Слайд 8

Углы между хордами, касательными и секущими β γ α Угол между пересекающимися хордами: γ α β Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

Слайд 9

γ α β Угол между касательной и секущей: γ β α Угол между касательными:

Слайд 10

γ α Угол между касательной и хордой:

Слайд 11

• • Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности. Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности Свойства хорд

Слайд 12

• Наибольшая хорда является диаметром . Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

Слайд 13

• α ι R β Длина хорды :

Слайд 14

Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих Отрезки п ересекающихся хорд связаны соотношением: ab = cd a c d b

Слайд 15

A B C Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: AB=AC

Слайд 16

A B C D Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведённой из той же точки : AB 2 =AC∙AD

Слайд 1

Слайд 2

Четырёхугольники Виды четырёхугольников Р омб Произвольный четырёхугольник Параллелограмм Прямоугольник Квадрат Трапеция Прямоугольная Равнобокая

Слайд 3

Произвольный четырёхугольник Сумма внутренних углов равна 360 .     . Площадь (через диагонали и угол между ними): d 1 d 2  S=

Слайд 4

Четырехугольник , описанный около окружности c d a b r Четырехугольник можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны: a + c=b + d . Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны. Площадь : S=pr, где p=(a + b + c + d)/2 (полупериметр), r – радиус вписанной окружности. Формула S = pr справедлива для любого многоугольника, описанного около окружности.

Слайд 5

Четырехугольник, вписанный в окружность     c b d a d 1 d 2 c b d a Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180  . Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равна 180 . Теорема Птолемея Сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей: а ∙c + b ∙ d = d 1 d 2 Площадь (Формула Геррона ) где p = (полупериметр).

Слайд 6

Параллелограмм Определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма   Противолежащие стороны попарно равны. Противолежащие углы попарно равны Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна  . Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Слайд 7

Свойства параллелограмма (продолжение) c a b d d 1 d 2 Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон d 1 2 +d 2 2 =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 Каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника. Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре равновеликих треугольников (одинаковой площади). Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Слайд 8

Признаки параллелограмма. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник ― параллелограмм. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник ― параллелограмм. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник ― параллелограмм.

Слайд 9

Площадь параллелограмма a b h b h a Через сторону и опущенную на неё высоту a b  Через две прилежащие стороны и угол между ними  d 1 d 2 Через диагонали и угол между ними S= Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. S=ah a =b h b Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними S=a b∙sin  Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей

Слайд 10

Свойство произвольного четырехугольника, связанное с параллелограммом. Если соединить отрезками середины соседних сторон любого четырёхугольника, получится параллелограмм.

Слайд 11

РОМБ. Особое свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии. Определение: ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Слайд 12

Окружность, вписанная в ромб. B H A r d 1 d 2 d 2 d 1 r a h В любой ромб можно вписать окружность. Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям : r =h/2 где h  высота ромба, r = где d 1 и d 2  диагонали ромба, a его сторона. Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки , связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями :

Слайд 13

Площадь ромба. r d 1 d 2 a a  h Через сторону и высоту : S=ah Через сторону и радиус вписанной окружности : S=2ar . Через сторону и угол ромба : S=a 2 sin . Через диагонали :

Слайд 14

Прямоугольник. Особое свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. Две стороны параллельны и углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые. Две противолежащие стороны равны и углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые. Перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины, являются осями симметрии. Определение: прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Слайд 15

Окружность, описанная около прямоугольника. a d R b Около любого прямоугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности R=d/2 , где  диагональ прямоугольника.

Слайд 16

Площадь прямоугольника. d d  a b Через стороны : S=a*b . Через диагональ и угол между диагоналями :

Слайд 17

Связь между прямоугольником и ромбом. Если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, получится ромб. Если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получится прямоугольник.

Слайд 18

Квадрат. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам. 90  Четырёхугольник имеет четыре оси симметрии : -прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины ; -прямые, содержащие диагонали. Четырёхугольник обладает поворотной симметрией: он не изменяется при повороте на 90 . Определение: квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Слайд 19

Окружность, описанная около квадрата. Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности выражается через сторону a квадрата и его диагональ d следующим образом: a R

Слайд 20

Окружность, вписанная в квадрат. В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен половине стороны: r a

Слайд 21

Площадь квадрата. d a Через сторону: S=a 2 Через диагональ:

Слайд 22

Трапеция . Определение: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями , а две другие стороны – боковыми сторонами . Трапеция называется равнобедренной , если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов который прямой, называется прямоугольной .

Слайд 23

Элементы трапеции b m a n M N h d 2 d 1 a, b – основания( a b) , m, n – боковые стороны, d 1 , d 2 – диагонали, H- высота (отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный им), MN – средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Слайд 24

Площадь трапеции. M N b a h d 2 d 1  Через полусумму оснований и высоту: Через среднюю линию и высоту: Через диагонали и угол между ними: S=MN*h.

Слайд 25

Свойства трапеции. M N b a h Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, (например, высоту трапеции) пополам: MN ‖ a, MN ‖ b, MN = (a + b)/2

Слайд 26

Свойства трапеции.     Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180 : α + β = 180°, γ + δ = 180°.

Слайд 27

Свойства трапеции. A B C D O Треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади).

Слайд 28

Свойства трапеции. A B C D O Треугольники AOD и СОВ, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны. Коэффициент подобия κ равен отношению оснований: κ = AD/BC Отношение площадей этих треугольников равно κ² . ∆ AOD и ∆ COB подобны.

Слайд 29

A B C O D A Y Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в отношении OX/OY = BC/AD Это справедливо, в том числе, для самих диагоналей и высот.

Слайд 30

Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. Вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

Слайд 31

В С А D r O r r r Если трапеция описана около окружности, о треугольники АОВ и DOC прямоугольные (точка О – центр вписанной окружности. Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы, равны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Слайд 1

Слайд 2

Поставщик Цена бруса (руб. за 1 м 3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия А 3800 10300 Б 4500 8300 При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно В 3900 8300 При заказе на сумму больше 20 000 руб. доставка бесплатно. 1. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)?

Слайд 3

2. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку груза? Компания-перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км) Грузоподъем-ность автомобиля (тонн) А 3200 3,5 Б 4100 5 В 9500 12

Слайд 4

Тарифный план Абонентская плата Плата за трафик План «0» Нет 2,5 руб. за 1 Мб План «500» 550 руб. за 500 Мб трафика в месяц 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб План «800» 700 руб. за 800 Мб трафика в месяц 1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб 3. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана. Пользователь предлагает, что его трафик составит 650 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 650 Мб?

Слайд 5

Фирма Цена стекла (руб. за 1 м 3 ) Резка стекла (руб. за одно стекло) Дополнитель-ные условия А 300 17 Б 320 13 В 340 8 При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно 4. Для остекления веранды требуется заказать 25 одинаковых стекол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0, 4 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол. В какой фирме заказ будет стоить меньше всего? В ответе укажите стоимость этого заказа (в рублях).

Слайд 6

Автомобиль Вид топлива Расход топлива (литров на 100 км) Арендная плата (руб. за 1 сутки) 1 Дизельное 7 3700 2 Бензин 10 3200 3 Газ 14 3200 5. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 700 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант? Ответ дайте в рублях. Цена дизельного топлива 19 руб. за литр, бензина 22 руб. за литр, газа 14 руб. за литр

Слайд 7

Тарифный план Абонентская плата Палата за 1 минуту разговора Повременный 135 руб. в месяц 0,3 руб. Комбинированный 255 руб. за 450 минут в месяц 0,28 руб. за 1 минуту сверх 450 минут в месяц Безлимитный 380 руб. 0 руб. 6. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составит 650 минут в месяц. Какую сумму он должен будет заплатить за месяц , если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равно 650 минут? Ответ дайте в рублях.

Слайд 8

7. Семья из трех человек едет из Санкт - Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно- на своей машине. Билет на проезд на одного человека стоит 830 рублей. Автомобиль расходует 10 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равно 19 руб. за литр. Какая поездка (поездом или машиной) обойдется дешевле? В ответ напишите, сколько рублей она будет стоить . 8. Для того чтобы связать свитер, требуется 900 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю шерсть по цене 8 0 руб. За 50 г, а можно купить некрашеную шерсть по цене 50 руб. за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 2 руб. и рассчитан на окраску 300 г шерсти. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.

Слайд 9

9. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента : бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и 3 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2250 рублей, щебень стоит 600 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

Слайд 10

10. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах. Автобус Электричка Маршрутное такси От дома до автобусной станции 5 мин От дома до станции железной дороги 30 мин От дома до остановки маршрутного такси 20 мин Автобус в пути 1 ч 40 мин Электричка в пути 1 ч 10 мин Маршрутное такси в дороге 1 ч 20 мин От остановки автобуса до дачи пешком 5 мин От станции до дачи пешком 5 мин От остановки маршрутного такси до дачи пешком 15 мин

Слайд 11

11. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 35 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 30 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На схеме указаны расстояния между пунктами в километрах. А D C 28 В 42 30 45 Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Слайд 12

12. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 40 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ? Фирма такси Подача машины Продолжительность и стоимость минимальной поездки* Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки «Сивка – Бурка» 250 руб. Нет 12 руб. «Росинант» Бесплатно 20 мин, 300 руб. 16 руб. «Конёк – Горбунок» 120 руб. 10 мин, 180 руб. 13 руб. * Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

Слайд 13

13. В таблице даны условия банковского вклада в трёх различных банках. Предполагается, что клиент кладёт на счёт 10.00 руб. на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в конце года (в рублях). Банк Обслуживание счёта* Процентная ставка (% годовых)** А 40 руб./год 2 Б 8 руб./мес. 2,5 В Бесплатно 1,5 *В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта. **В конце года вклад увеличивается на указанное число процентов.

Слайд 14

ОТВЕТЫ Задача 1: 162300 Задача 2: 426400 Задача 3: 700 Задача 4: 3400 Задача 5: 4572 Задача 6: 311 Задача 7: 1330 Задача 8: 960 Задача 9: 5100 Задача 10: 1,75 Задача 11: 2,5 Задача 12: 620 Задача 13: 10159,2

Слайд 1

Слайд 2

Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного и равнобедренного треугольников

Слайд 3

№1 В треугольнике АВС угол С равен 90 , АВ = 10, АС = 8. Найдите sin А. А В С

Слайд 4

А В С №2 В треугольнике АВС угол С равен 90 , sin А = 0,6. Найдите cos А.

Слайд 5

А В С Н №3 В треугольнике АВС угол С равен 90 , высота СН равна 6, АС = 10. Найдите tg А.

Слайд 6

№4 В треугольнике АВС АС = ВС = 10, АВ = 12. Найдите sin А. А В С

Слайд 7

А В С Н №5 В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 10, высота АН равна 8. Найдите cos A .

Слайд 8

№6 В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, высота СН равна 8, АС = 8 . Найдите тангенс угла АСВ. В А С Н

Слайд 9

№7 В треугольнике АВС угол С равен 90 , АВ = 10, ВС = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине А. А В С

Слайд 10

А В С №8 В треугольнике АВС угол С равен 90 , sin А = 0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.

Слайд 11

А В С №9 В треугольнике АВС угол С равен 90 , АВ = 10, АС = 8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А.

Слайд 12

А В С №10 В треугольнике АВС угол С равен 90 , ВС = 4, sin А = 0,8. Найдите АВ.

Слайд 13

№11 В треугольнике АВС угол С равен 90 , tg А = 0,75; АС = 8. Найдите АВ. А В С

Слайд 14

№12 В треугольнике АВС угол С равен 90 , СН – высота, ВС = 6, cos A = 0 ,8. Найдите СН. А В С Н

Слайд 15

А В С №13 В треугольнике АВС АС = ВС = 10, sin A = 0 , 8. Найдите АВ.

Слайд 16

А В С Н №14 В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 10, cos А = 0,6. Найдите высоту АН.

Слайд 17

А С Н №15 В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, высота СН равна 5, tg С = 3/3. Найдите АС .

Слайд 18

Ответы №1 Ответ: 0,6 №9 Ответ:-0,75 №2 Ответ: 0,8 №10 Ответ: 5 №3 Ответ: 0,75 №11 Ответ: 10 №4 Ответ: 0,8 №12 Ответ: 4,8 №5 Ответ: 0,6 №13 Ответ: 12 №6 Ответ: 0,5 №14 Ответ: 8 №7 Ответ: 0,6 №15 Ответ: 10 №8 Ответ: -0,8

Слайд 1

Слайд 2

1. На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции ƒ(x) в точке x 0 .

Слайд 3

2. На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции ƒ(x) в точке x 0 .

Слайд 4

3. На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции ƒ(x) в точке x 0 .

Слайд 5

4 . На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции ƒ(x) в точке x 0 .

Слайд 6

5 . На рисунке изображен график функции ƒ(x) . Касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите ƒ’(4) .

Слайд 7

6 . На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) , определенный на интервале (-8 ; 3) . Определите количество целых точек, в которых производная функция отрицательна.

Слайд 8

7 . На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) , определенный на интервале (-8 ; 3) . Найдите количество точек, в которых производная функции ƒ(x) равна 0.

Слайд 9

8 . На рисунке изображен график функции y=ƒ(x) , определенный на интервале (-8 ; 3) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y= 18.

Слайд 10

9. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-8 ; 5 ) . В какой точке отрезка [ 0 ; 4 ] функция ƒ(x) принимает наименьшее значение?

Слайд 11

10. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-7 ; 5 ) . Найдите точку экстремума функции ƒ(x) на отрезке [ -6 ; 4 ] .

Слайд 12

11. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-3 ; 8) . Найдите количество точек максимума функции ƒ(x) на отрезке [- 2 ; 7 ] .

Слайд 13

12. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-3 ; 8) . Найдите промежутки убывания функции ƒ(x) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Слайд 14

13. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-11 ; 3 ) . Найдите промежутки возрастания функции ƒ(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Слайд 15

14. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-11 ; 3) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции ƒ(x) параллельна прямой y=3x-11.

Слайд 16

15. На рисунке изображен график производной функции ƒ(x) , определенный на интервале (-5 ; 3) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции ƒ(x) параллельна прямой y=2x+7 или совпадет с ней.

Слайд 17

16. Прямая y=4x+13 параллельна касательной к графику функции y=x 2 -3x+5 Найдите абсциссу точки касания. 17. Прямая y=2x+37 является касательной к графику функции y=x 3 +3x 2 -7x+10 Найдите абсциссу точки касания.

Слайд 18

Задача№1 Ответ:3. Задача№2 Ответ:0,5. Задача№3 Ответ-:3. Задача№4 Ответ:-0,25. Задача№5 Ответ:1,5. Задача№6 Ответ:4. Задача№7 Ответ:5. Задача№8 Ответ:5. Задача№9 Ответ:0. Задача№10 Ответ:-3. Задача№11 Ответ:2. Задача№12 Ответ:16. Задача№13 Ответ:6. Задача№14 Ответ:6. Задача№15 Ответ:-1. Задача№16 Ответ:3,5. Задача №17 Ответ:-3.

Слайд 1

Слайд 2

Если расстояние между двумя телами равно s , а их скорости v 1 и v 2 , то время t , через которое они встретятся, находится по формуле t=s/ ( v 1 +v 2 ) 1. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах . Решение. Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435-6 0 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время t=375/ ( 60+65 ) =3( ч). Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа проедет 60 · 4 = 240 (км). Ответ. 240. 1. Движение навстречу.

Слайд 3

2. Движение вдогонку. Если расстояние между двумя телами равно s , они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно ( v 1 > v 2 ) так, что первое тело следует за вторым, то время t , через которое первое тело догонит второе, находится по формуле t=s/ ( v 1 –v 2 ) 2. Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам? Решение. Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим по формуле t=0 , 3/1 , 5=0.2( ч). Следовательно, это время составляет 12 минут. Ответ . 12.

Слайд 4

3 . Движение по окружности (замкнутой трассе) Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v 1 и v 2 (v 1 > v 2 ) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v 1 - v 2 , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку: t=s/ ( v 1 - v 2 ) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v 1 > v 2 соответственно) , то первая точка приближается ко второй со скоростью V 1 - V 2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Слайд 5

3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это — то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение 14/ ( 80-x ) =2/3 , откуда 160 - 2х = 42, т. е. х = 59. Ответ. 59.

Слайд 6

4 . Движение по воде В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения — вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения. 4. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс? Решение . Пусть искомая величина равна 2х. Составим по условию задачи уравнение (x/28)+(x/22)+5=30 откуда (x/28)+(x/22)=25 , (11x+14x)/(28*11)=25 , 25x/308=25 , x=308. Значит, искомое расстояние равно 616 км. Ответ: 616.

Слайд 7

5 . Средняя скорость Напомним, что средняя скорость вычисляется по формуле v = s/t где S — путь, пройденный телом, a t — время, за которое это путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения . Например, если путь состоял из двух участков протяженностью s 1 и s 2 , скорости на которых были равны соответственно v 1 и v 2 , то S= s 1 +s 2 , t=t 1 + t 2 , где t 1 =s 1 /v 1 , t 2 =s 2 /v 2 5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км / ч, а вторую треть – со скоростью 16 км / ч, а последнюю треть – 24 км / ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км / ч. Решение. Обозначим длину всей трассы за время t 1 =s/ 12, вторую треть – за время t 2 =s/ 16, последнюю треть – за время t 3 =s/ 24. Значит, время потраченное им на весь путь, равно t 1 + t 2 + t 3 , т. е. s/12 +s/16 +s/24 = 9s/48. Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле: v = 3s : (9 s/48) = 3s∙ (48/9s) = 16 ( км / ч). Ответ : 16 .

Слайд 8

6. Движение протяженных тел В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние , равное сумме длин поезда и платформы. 6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров , второй — длиной 80 метров . Сначала второй сухогруз отстает о т первого и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние о т кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго ? Решение. Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х (м/мин) , равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 мину т второй сухогруз проходит расстояние l=400+80+120+600=1200( м). Поэтому x=1200/12=100( м / мин) , т. е. 6 км/ч . Ответ. 6 .

Слайд 9

7. Задачи на работу Ключевой в задачах на работ у является следующая задача : первый мастер может выполнить некоторую работ у за а часов , а второй мастер — за b часов . За какое время выполнят работ у об а мастера, работая вдвоем? Поскольку объем работы не задан, его можно принять равным единице . Тогда первый мастер за один час выполнит часть работы, равную1 /a , второй — 1/b , а оба мастера — часть работы, равную 1 /a+ 1/b Значит, всю работ у они выполнят за время t=1/(1/a+1/b) 7. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того , как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работ у над заказом они довели до конца уже вместе . Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? Решение. За 3 часа первый рабочий сделал 3/15 всей работы . Оставшиеся 12/15 работы рабочие делали уже вместе и потратили на это (12/15)/(2/15)=6( ч ) . Значит, время, затраченное на выполнение всего заказа, составляет 9 часов. Ответ. 9 .

Слайд 10

8. Задачи на бассейны и трубы Как уже отмечалось, задачи на бассейны и трубы аналогичны задачам на совместную работу. Модельная ситуация остается той же, только мастерам будут соответствовать насосы разной производительности, а работа будет заключаться в наполнении бассейна или иного резервуара. 8. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше , чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба? Решение. Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту, x > 0. Тогда вторая труба пропускает x + 6 литров воды в минуту. Составим по условию задачи уравнение 360 /x=(360/x+6)+10 откуда, сократив на 10, получим 36/x=(36/x+6)+1 и, следовательно, (36/x)-(36/x+6)=1 Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: (36(x+6)-36x)/x(x+6)=1 откуда x(x+6)=36∙6 и x 2 +6x-216=0 Корнями полученного квадратного уравнения являются числа -18 и 12, из которых только последнее удовлетворяет условию x > 0. Ответ. 12.

Слайд 11

9. Задачи на проценты и доли При решении задач на проценты важно четко понимать, что процент – это просто сотая часть числа. Поэтому, решая даже кажущиеся очень простыми задачи на проценты, следует немножко подумать и посчитать, прежде чем радостно вписывать в бланк неправильный ответ. Разумеется, это относится и к любым другим задачам. Отметим ещё следующее. Последовательное увеличение величины на некоторое число процентов, а затем уменьшение результата на то же число процентов не приводит к начальной величине: ведь второе действие мы совершаем уже с другой величиной. То же самое можно сказать и об обратной последовательности действий. Любопытно, что в любом слу­чае получим в итоге величину, меньшую начальной. Например, увеличив а на 10%, получим 1,1а. Уменьшив полученную величину на 10%, получим 1.1a*0 .9=0. 99a - полученная величина меньше начальной на 1%. При этом порядок действий не играет роли: если сначала уменьшить а на 10%, а затем результат увеличить на 10%, получим те же самые 0. 99a=0 .9 a*1.1 . В общем случае, при увеличении величины a на k % получим величину а 1 = а (1 + k/100 ). Если же теперь уменьшить a 1 на k %, получим величину a 1 =a 2 (1-(k/100))=a (1+(k/100))(1-(k/100) т.е. а 2 =a(1-(k/100)2)

Слайд 12

Задачи на проценты и доли (продолжение) 9. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки? Решение. Обозначим через Р стоимость одной рубашки, через К — стоимость куртки. Из условия задачи следует, что 5Р = 0,75К, откуда Р = 0,15К, и, следовательно, 7Р = 1,05К. Значит, семь рубашек дороже куртки на 5%. Ответ. 5.

Слайд 13

10. Задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Задачи на концентрацию традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников и абитуриентов, кажутся многим из них довольно сложными. В таких задачах речь обычно идет о растворах некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания. Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем опускать). В качестве модельной задачи рассмотрим следующую.Смешали о литров n-процентного водного раствора некоторого вещества с b литрами m-процентного водного раствора этого же вещества. Требуется найти концентрацию получившейся смеси. Воспользуемся ключевой идеей: проследим за изменениями, происходящими с чистым веществом. В первом растворе его было ( a/100 ) ∙n=an/100 ( литров) во втором растворе — ( b/100 ) ∙m= bm /100 ( литров) Значит, количество чистого вещества в полученной смеси будет равно an/100+bm/100 ( литров)

Слайд 14

а всего этой смеси получится а + b литров. Теперь уже найти искомую концентрацию к не представляет труда: k=((an/100+bm/100)/( a+b ))*100=(( an+bm )/( a+b ))%. Заметим, что растворы в этой задаче можно было бы заменить двумя сплавами разной массы и с разным содержанием чистого вещества (например, одного из двух металлов). Решение при этом практически не изменится, поменяются лишь единицы измерения и названия веществ. 10 . Виноград содержит 91 % влаги, а изюм — 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма ? Решение. Используем ключевую идею: будем следить за массой «чистого» , т.е . в данном случае «сухого » вещества в винограде и изюме . Пусть для получения 21 килограмма изюма требуется х кг винограда. Из условия следует, что мас­са «сухого » вещества в х кг винограда равна 0,09х кг. Поскольку эта масса равна массе «сухого» вещества в 21 килограмме изюма, т о по условию задачи можно составить уравнение 0,09 x = 0,93∙21, откуда 9 x = 93∙21 , т.е . х = 217 кг. Ответ . 217.

Слайд 15

11. Арифметическая прогрессия. 11. Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор? Решение. Пусть ребята в первый день покрасили а 1 метров забора, во второй — а 2 метров и т.д. , в последний — а n метров забора. Тогда a 1 +a n = 20 ( м ) а за n дней было покрашено S n =((a 1 +a 2 )/2)∙n=10n метров забора. Поскольку всего было покрашено 100 метров забора, имеем: 10n = 100, откуда n = 10. Ответ:10

Слайд 16

12. Геометрическая прогрессия . 12. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20 % на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке ещё один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44 % на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются? Решение . Через n лет в первом портфеле будет сумма 1000+1000*1. 2 +….+1 000*1.2 n =1000*(1.2 n+1 -1/1.2-1)=5000(1.2 n+1 -1)( руб.). В это же время во втором портфеле окажется 22200+2200*1.44+ ….+200*1.44 n-6 =2200*(1.44 n-5 -1/1.44-1)=5000(1.44 n-5 -1) Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение: 5000(1.2 n+1 -1) = 5000(1.44 n-5 -1) Отсюда 1.2 n+1 =1.44 n-5 , или 1,2 n+1 =1.2 2(n-5) Значит, n+1=2n-10 т.е . n = 11. Ответ. 11.