ГРАФЫ
методическая разработка по алгебре (6 класс) на тему

"Знакомство с понятием "графы"  учащимися 5-6 классов".

В.А.Гусева, А.И.Орлова, А.Л.Розенталь

«Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах», Просвещение, 1977 год.

  № 1. Кто играет Ляпкина-Тяпкина?

             В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

   - Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

   - Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

   - Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.

   - …А мне – Осипа – не уступил ему в великодушии Дима.

   - Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

   - Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны? (Мы не спрашиваем, будут ли довольны зритель.)

  № 2. Сварливые соседи. 

         Житель пяти домов поссорились друг с другом и, чтобы не встречаться у колодцев, решили поделить их (колодцы) так, чтобы хозяин каждого дома  ходил к «своему» колодцу по «своей» тропинке. Удастся ли им это сделать?

                    А                            5                                                                         4

                                                                               В                                                              

   3

                                                                                                           Б

                                                                  2                                                                                        

                                                Д                                  

                      1                                                              Г

 №  3. Корзины, полные хлебцов. 

            В пяти корзинах лежат хлебцы пяти сортов. Хлебцы первого сорта лежат в корзинах Г и Д; хлебцы второго сорта – в корзинах А, Б и Г; в корзинах А, Б и В имеются хлебцы пятого сорта, в корзине В имеются к тому же хлебцы четвертого сорта, а в корзине Д – третьего. Требуется дать каждой корзине номер, но так, чтобы в корзине № 1 были хлебцы первого сорта (хотя бы один), в корзине № 2 – второго и т.д.

                              А                    Б                    В                     Г                     Д

 № 4. Первенство классов.

            В первенстве класса по настольному теннису принимали участие 6 учеников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

          Обсуждение.  Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников будем изображать точками: Андрея – точкой А, Бориса – точкой Б и т.д. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем соединять изображающие их точки  отрезками. Получается схема, показанная на рисунке.

                                               Б                         В                      

                                  А                                                      Г

                                                   Д                   Е

        Такие схемы называются графами. Точки А, Б, В, Г, Д называются вершинами графа, соединяющие их отрезки – ребрами графа.

И все же теория графов – наука сравнительно молодая: во времена Ньютона такой науки еще не было, хотя и были в ходу «генеалогические деревья», представляющие собой разновидности графов. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру, и появилась она в 1736 году в публикациях Петербургской академии наук.

№ 5. Сколькими способами можно пройти из А в В, двигаясь по линиям слева направо и сверху вниз?  

                                        А

                                                                                               В

№ 6. Группа туристов хочет попасть из деревни А в деревню В. (см. рисунок; рядом с каждой дорогой указано время, которое тратится на ее прохождение.) За какое наименьшее время это возможно?

                                                                      25                                      15

                                                     А

                                                                                              10

                                        30                 20                10                                                                                   35    

                                                                 5                            

                                                                                           15                10        

                                                                  25                                            

                                                                                                                15                         В

                                                                                                       20

                                                   35                                 10                          10    

  № 7.  В выходной день Миша решил навестить своих друзей: Алешу, Борю, Витю, Гену, Диму, Женю, Колю, Славу. Он начертил схему взаимного расположения домов, где живут мальчики, и дорог, соединяющих их. Посетил он их в следующем порядке: Алеша, Боря, Витя, Гена, Дима, Женя, Коля, Слава. Установите, какой дом кому принадлежит, если ни к одному из домов Миша не подходил более одного раза, Известно, что Миша живет в доме М, последним он посетил дом R.

№ 8. В шахматном турнире участвовало семь человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

Ответ:  21 партию

№ 9. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17 команд. Каждая команда с каждой из остальных должна сыграть два раза: на своем и на чужом поле. Сколько матчей будет сыграно в турнире?

Ответ: 272 матча

№ 10. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17 команд. Каждая команда с каждой из остальных должна сыграть два раза: на своем и на чужом поле. Сколько матчей будет сыграно в турнире?

№ 11. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в  зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какое платье носит каждая девочка?

      Ответ:  Аня в белом платье, Валя – в голубом, Галя – в зеленом, Надя – в розовом.

№ 12. В очереди за билетами в кино стоят друзья: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега; Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Кто с кем стоит?

      Ответ: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша.

№ 13. Три друга: Алеша, Боря и Витя – учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один – на трамвае и один – на троллейбусе. Однажды  после уроков Алеша пошел проводить  своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?

         Ответ:  Алеша в трамвае, Боря в автобусе, Витя на троллейбусе.

№ 14. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

         Ответ:  Иванов – слесарь, Борисов – токарь, Семенов – сварщик.

№ 15. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая жидкость?

         Ответ:  Молоко – в кувшине,  лимонад – в бутылке, квас – в банке, вода – в стакане.

№ 16. На даче поселились пять мальчиков: Андрюша, Боря, Володя, Гена и Дима. Все были разного возраста: одному был 1 год, одному 2 года, остальные 3, 4 и 5 лет. Володя был самым маленьким, Диме было столько лет, сколько Андрюше и Гене вместе? Сколько лет Боре? Возраст кого из мальчиков можно еще определить?

          Ответ:  Боре – 4 года, Володе – 1 год, Диме – 5 лет.

№ 17. На одной из улиц дачного поселка только пять домов. Они окрашены в разные цвета, и занимают их семьи поэта, писателя, критика, журналиста и редактора. В доме каждой семьи живет любимая птичка. Глава семьи получает на завтрак любимый им напиток, после чего отправляется в город, пользуясь любимым способом передвижения.

           Поэт пользуется велосипедом. Редактор живет в красном доме. Критик живет в крайнем доме слева, рядом расположен голубой дом.

            Тот, кто ездит на мотоцикле, живет в среднем доме.

            Тот, кто живет в зеленом доме, расположенным рядом с белым, справа от него, всегда отправляется в город пешком.

            В доме, где живет снегирь, на завтрак всегда бывает молоко.

            Тот, кто на завтрак получает какао, живет в доме, соседним с тем домом, где живет синица.

            В желтом доме на завтрак подают чай.

            Живущий рядом с любителем канареек утром пьет чай.

            Писатель пьет только кофе.

            Тот, кто ездит на своем автомобиле, любит пить томатный сок.

В доме журналиста живет попугайчик.

               А у кого живет сорока?

№ 18. В семье четверо детей: им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Анна, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше  Бори и сумма лет Ани и Веры делится на  три? Ответ:  Ане 15 лет.

№ 19. В пионерский лагерь приехали три друга Миша, Володя  и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из фамилий: Иванов, Семенов и Герасимов. Миша не Герасимов, отец Володи инженер, Володя учится в 6-м классе. Герасимов учится в 5-м классе. Отец Иванова слесарь. Какая фамилия у каждого из ребят?

№ 20. Четыре юных филателиста: Митя, Толя и Петя с Сашей – купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причем двое из них купили советские марки, один – болгарские и один – чешские. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран. Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме этого, известно, что Митя купил не болгарские марки. Определите, марки каких стран купил каждый из них.

№ 21. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвертое»; Боря сказал: «Второе», а Вова заметил. Что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

№ 22. Три подруги вышли в белом,  зеленом и синем платьях. Их туфли были одного из тех же трех цветов. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

№ 23. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг, квадрат. Цвета этих фигур – зеленый, желтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зеленой и синей. Справа от желтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее треугольника и ромба, причем треугольник лежит не с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой желтого цвета?

5