Применение производной к исследованию функции
методическая разработка (алгебра, 11 класс) на тему

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВОХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РФ КОМИТЕТ ЗДРАВОХРАНЕНИЯ КУРСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБОУ СПО "ЛЬГОВСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ"

Методическая разработка компьютерного урока по математике
I курс

«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ»

подготовила

преподаватель математики

Азарцова Лилия Александровна

г. Льгов

 2011

Цели урока:

Образовательные:

1. Отработка навыков исследования функции с помощью производной;
2. формирование умений исследования функций по общей схеме и построение их графиков;
3. закрепление навыков нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной;
4. развитие навыков чтения графиков функций; умений использовать теоретический материал при решении практических задач;
5. выявление уровня овладения знаниями и качества знаний по данной теме;
6. актуализация имеющихся знаний;
7. создание условий для объективной самооценки обучающихся;
8. увеличение объёма повторяемого материала при уменьшении времени опроса с помощью компьютерных технологий.

Развивающие:

1. Расширение представлений об использовании графиков функций в различных областях научных знаний и практической деятельности людей многих профессий;
2. развитие навыков самоорганизации, умений работать в группе; умений доводить начатое дело до конца;
3. развитие зрительного и мысленного анализа, внимания и абстрактно- логического мышления; умений анализировать и делать выводы;
4. развитие умений осуществлять поисковые действия умственного и практического плана; самоанализировать и самокорректировать свои действия;
5. привитие навыков работы с научно-популярной литературной, ресурсами Интернета; углубление знаний обучающихся, расширение их кругозора;
6. развитие умений планировать полный или частичный ход решения;

Воспитательные:

1. Повышение интереса обучающихся к предмету; воспитание сознательного отношения к обучению;
2. учить видеть практическую пользу знаний;
3. воспитание чувства любви к ближнему, доброжелательности, взаимовыручки;
4. воспитание прилежания, активности, внимания, умений переключаться с одного вида работы на другой;
5. формирование отношения взаимной ответственности в группах;
6. продолжение формирования коммуникативных умений.

Тип урока: урок повторения, систематизации и углубления знаний.

Методы проведения урока:

• Психологический тест;
• использование компьютерных технологий;
• компьютерная игра «Лото»;
• представление презентаций;
• групповая работа;
• индивидуальная работа;
• игра в путешествие.

Главная методическая идея: строить урок на деятельной основе в игровой форме.

Оборудование: компьютеры, мультимедиа проектор, презентация к уроку, карточки-задания для групповой работы.

Литература: 

1. В.С. Шипачев «Высшая математика»
2. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1
3. В.П. Минорский «Сборник задач по высшей математике»
4. В.Т. Лисичкин «Математика»
5. И.П. Натансон «Краткий курс высшей математики»
6. Н.Я. Виленкин «Пределы, непрерывность»
7. С.М. Никольский «Элементы математического анализа»
8. М.А. Доброхотова «Графики функций»
9. Библиотечка «Квант» «Замечательные ученые»
10. В.П. Аникин «Русские пословицы и поговорки»

Межпредметные связи:

География. «Страны мира».

Русский язык и культура речи «Русские народные пословицы»

Информационные технологии: «Работа с офисными программами».

Структура урока:

1. Организационный этап.
2. Актуализация имеющихся знаний.
3. Подготовка к комплексному применению знаний
4. Основной этап.
5. Подведение итогов.
6. Задание на дом.

Ход урока:

1. Организационный этап

Приветствие, формулировка темы, эпиграфа, постановка целей, указание на предстоящий объем работы

Сегодня у нас урок-путешествие по теме «Применение производной к исследованию функции». Мы совершим путешествие на корабле «Производная» в удивительную страну «Функций».

Эпиграфом к нашему путешествию мы выбрали слова Сенеки:

«Если вы не знаете, в какую гавань держите путь, то ни

один ветер не будет для вас попутным»

Надеюсь, вы основательно подготовились к путешествию, и продемонстрируете свои умения исследовать функции с помощью производных, строить графики функций, характеризовать и распознавать функции по их графикам.

В ходе путешествия вам предстоит пройти психологический тест, сыграть в компьютерную игру «Лото», защитить презентации на тему русских народных пословиц, продемонстрировать умения «чтения» графиков функций, выполнить и защитить исследовательскую работу по построению графиков функций с помощью производных.

Для путешествия группа разбивается на 4 кают-компании.

2. Актуализация имеющихся знаний

«Отдать швартовые»

1. Путешествие начинается с морского причала, всем известно, как важно путешественникам уметь читать карту. Вам предлагается психологический тест: по изображению контура государства на географической карте, отгадать его название.

Варианты ответов: Франция, Египет, Россия, Индия, Швеция, Италия

2. А теперь проверим ваши знания производной в ходе математического лото.

         1 вариант                                                                   2 вариант

3. Подготовка к комплексному применению знаний

«Кают-компания»

Графики функции широко используются в различных областях научных знаний, поэтому умения строить, «читать», прогнозировать их «поведение» имеют огромную роль в практической деятельности людей многих профессий, в том числе и бухгалтера.

Презентация

1. Сейчас проведем презентацию команд. Каждой группе предлагается задание: «Прочитать график функции». При этом можете использовать общую схему исследования функции.

№ 1

1. Д – R
2. ни четная, ни нечетная, не периодическая
3. (0;0) – точка пересечения с ОУ, (0;0) и (2;0) – с ОХ
4. (-∞; 1) – убывает; (1; + ∞) – возрастает
5. х=1 – точка минимума (экстремума), х=0 – критическая точка
6. асимптот нет

№ 2

1. Д – R, Е – [-1;1]
2. функция нечетная, не периодическая. График симметричен относительно начала координат
3. (0;0) – точка пересечения с осями координат
4. (-∞; -1] U [1;+∞) – убывает; [1; 1] – возрастает
5. (-1; 1) – точка минимума, (1;1) – точка максимума
6. у=0 – горизонтальная асимптота

№ 3

1. Д – R, Е – [0;+∞]
2. функция четная, т.к. график симметричен относительно оси ОУ
3. (0;1) – точка пересечения с ОУ,
4. (-∞; -1] U [0;1] – убывает; [-1;0] U [1; +∞) – возрастает
5. (-1; 0), (1;0) – точки минимума, (0;1) – точка максимума
6. асимптот нет

№ 4

1. Д – R, Е – R
2. функция нечетная, т.к. график симметричен относительно начала координат
3. (0;0) – точка пересечения с осями координат
4. (-∞;+∞) – возрастает
5. точек экстремума нет
6. асимптот нет

2. А теперь проверим домашнее задание «Графики функций - пословицы».

1 –я группа

«Ум – добро, а два – и лучше того», «Повторение – мать учения»

2–я группа

«Как аукнется, так и откликнется», «Каков разум, таковы и речи», «Каков корабль, таково и плаванье»

3–я группа

«За двумя зайцами погонишься – ни одного не поймаешь»

4–я группа

«День дню рознь: ныне тепло, а завтра мороз», «Где работно, там и густо, а в ленивом доме пусто», «Высоко летаешь, да низко садишься»

4.Основной этап – проверочная исследовательская работа

Творческая мастерская

Каждой группе предлагается исследовать функцию и построить график. Одному учащемуся дается индивидуальное задание по исследованию функции, которое он выполняет на доске.

Вы должны провести исследование поведения функции с помощью производной; по общей схеме исследования функции и построить график функции.

Затем консультант группы с помощью компьютера проверит правильность выполнения задания по эталону графика функции и оценит работу группы в целом.

На эту работу вам отводится 10 минут.

Помните: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет».

1-я группа  Исследовать и построить график функции у = 3х2 – х3

1. Д – R
2. Функция общего вида
3. х=0, у=0, (0; 0),

у=0, х2 (3 - х) = 0; х1=0, х2=3; (0; 0), (3; 0)

4. у׀=6х – 3х2, у׀=0, 3х(2 – х) = 0; х=0, х=2

у׀              -        min     +    max        -

у                           0                 2

                             Уmin=0       Уmax=12–8=4

X max = 2,

(0; 0) – точка минимума, (2; 4) – точка максимума

2-я группа  Исследовать и построить график функции у = х4 – 4х2

1. Д – R
2. Функция четная
3. х=0, у=0

у=0, х2(х2-4) = 0; х1=0, х2= -2; х3=2 (0; 0), (-2; 0), (2; 0)

4. у׀=4х3 – 8х, у׀=0, 4х(х2-2) = 0; х=-√2, х=0, х=√2

у׀    -    min   +    max     -     min      +

у           -√2           0               √2

          (-√2; 4)     (0; 0)      (√2; -4)

У min = (-√2)4-4(-√2)2= 4 – 8 = -4

У max = 0, У min = √24 – 4·√22 = -4

3-я группа  Исследовать и построить график функции у = 3х5 – 5х3

1. Д – R
2. у (-х)= -3х5 + 5х3 = - (3х5 – 5х3) = -у (х)

функция нечетная – график симметричен относительно начала координат

3. х=0, у=0 : с ОУ: (0; 0)

с ОХ: у=0, 3х5 – 5х3 = х3 (3х2 - 5) = 0; х1=0, х2= ±; (0; 0), (-; 0), (; 0)

4. у׀=15х4 – 15х2, у׀=0, 15х2(х2-1) = 0; х= -1, х=0, х=1

у׀    +    max   -               -     min      +

у           -1             0                 1

          (-√2; 4)     (0; 0)      (√2; -4)

 (-1; 2) – точка максимума; (1; -2) – точка минимума

4-я группа  Исследовать и построить график функции у = х3 – 3х2

1. Д – R
2. функция ни четная, ни нечетная – общего вида
3. с ОУ: х=0, у=0 (0; 0)

с ОХ: у=0, х3 – 3х2 = 0; х2 (х - 3) = 0; х1=0, х2=3; (0; 0), (3; 0)

4. у׀=3х2 – 6х, у׀=0, 3х(х - 2) = 0; х1= 0, х2=2 – критические точки

у׀    +      max      -        min      +

у               0                   2

 (0; 0) – точка максимума; (2; -4) – точка минимума

5-я группа  Исследовать и построить график функции у = х4 – 8х2

1. Д – R
2. функция четная – график симметричен относительно оси ординат
3. с ОУ: х=0, у=0 (0; 0)

с ОХ: у=0, х2 (х2 - 8) = 0; х1=0, х2= -2√2; х3 =2√2  (0; 0), (-2√2; 0), (2√2; 0)

4. у׀=4х3 – 16х, у׀=0, 4х(х2 - 4) = 0; х1= -2, х2=0, х3= 2

у׀    -      min      +       max      -    min        +

у               -2                  0                 2

            (-2; -16)          (0; 0)           (2; -16)

5. Подведение итогов урока, выставление оценок, рефлексия

«Каюта отдыха»

Сегодня мы закрепили умения исследовать функции с помощью производных и строить их графики; «читать» графики функций.

Данные умения и знания пригодятся вам в жизни и в вашей профессиональной деятельности.

Рефлексия

Ребята, поднимите руку, кто доволен своей работой на уроке; а теперь те, кто работал хорошо, но умеет еще лучше; а у кого работа не получилась и он не доволен собой.

Активно поработали и заработали неплохие оценки, следующие ученики…

Спасибо за работу

6. Задание на дом

 Исследовать функции и построить их графики:

1. у (х) = х3 + 3х + 2
2. у (х) = х4 – 2х3 + 3

Самоанализ урока

1. Придя на работу в данное образовательное учреждение я начала работать над личной методической проблемой: «Приемы и методы инновационных технологий для активизации учебно-познавательной деятельности в процессе обучения математике» и данный урок является одним из примеров их внедрения.

2. Вам был предложен урок-путешествие с использованием информационных технологий на тему «Применение производной к исследованию функции».

3. Считаю, что выбранный мною метод проведения урока: урок-путешествие помог мне, радуя учащихся, а не пугая, открывать им яркие панорамы красочного мира, а не отгораживать от них этот мир забором мертвых схем, скучных правил и частоколом цифр.

4. На основе этого был выбран оптимальный объем учебного материала, наглядности, практических заданий.

5. При планировании и постановке целей урока были учтены возрастные и психологические особенности обучающихся данной группы, их учебные возможности, учтена связь с ранее изученным материалом, значимость данной темы в системе других, а так же учтена связь между теоретическим и практическим материалом.

6. На уроке я старалась добиться, чтобы самый слабый учащийся пережил радость успеха, даже, если он учится плохо, то не должен терять веру в свои силы.

7. Считаю, что целей урок достиг.