Тригонометрия в явлениях природы
статья по алгебре (10 класс) на тему

 Данилина Ольга Сергеевна

Учитель математики МАОУ «Гимназия №24» город Магадан                    

Тригонометрия в явлениях природы.

      Повторю опять банальную истину, что успех в работе педагога начинается только тогда, когда учителю удается пробудить интерес к предмету, который он преподает, когда в очень скучных, далеких от интересов своих питомцев вещах, вдруг вместе с ними он начинает открывать удивительные вещи.  И вот уже вы не найдете рядом равнодушных, и вот вас вместе захватывает процесс открытия, пусть и незначительного для всего мира, но такого значимого для вас. Наша работа началась с выяснения одного факта, который показался нам любопытным, но потом в процессе дальнейших исследований мы открыли много для себя интересного.

                     Построение графика тригонометрической функции начинается с рассмотрения тригонометрической окружности, когда начальный радиус совершает обороты вокруг центра координатной плоскости. На протяжении миллионов лет заход и восход солнца происходит со строгой периодичностью, что наводит на поиски того общего, что есть между этими явлениями. Проведем аналогию между вращением радиуса вокруг центра координатной плоскости и вращением земли вокруг солнца. Оборот вокруг солнца Земля совершает за 365 дней, получается, что за один день наша планета поворачивается  вокруг солнца примерно на один градус. Пусть начало годичного цикла вращения Земли приходится на 21 марта, что на графике тригонометрической функции соответствует точке sin 0=0. Через 32 дня происходит смена времени года, 21 декабря приходится на день зимнего солнцестояния. Поворот радиуса на 90º на графике соответствует точке максимума: sin 90º=1 и так далее: поворот Земли вокруг солнца примерно на 90º приводит к смене времени года, а поворот радиуса на тот же угол на графике соответствует смене нуля функции на точку экстремума или наоборот.

Мы использовали статью немецкого педагога Х.Шенфельда, в которой он говорит, что на протяжении ряда лет изложение сведений о тригонометрических функциях он делал нетрадиционным путем: исходя из наблюдаемой картины захода и восхода солнца и описания зависимости момента захода солнца от даты календаря.

Мы решили проделать этот опыт, тем более что отрывной календарь был у нас под рукой. Мы отметили моменты захода и восхода 1-го числа каждого месяца на широте Москвы и получили график на рис. Без труда можно узнать график тригонометрической функции.

На горизонтальной оси отметили месяцы года, на вертикальной -  время захода и восхода солнца .   А вот на экваторе,  как мы выяснили,  солнце в течении года заходит примерно в одно и то же время в 18 часов. Это уже прямая. Разумеется, что существуют отклонения от идеальной модели графика синуса, это объясняется наклоном земной оси и сплющенностью земного шара, к тому же солнце движется по эллиптической траектории. Эти условия незначительно искажают наш график. К тому же, в дальнейшем мы пришли к очень интересным выводам, о которых скажем в дальнейшем. На полученной нами модели поговорим о свойствах функции. Функцией называют зависимость одной переменной от другой, где каждому элементу из множества X ставится в соответствие единственный элемент из множества У. Каждому дню соответствует один момент захода солнца. Можно утверждать, что область определения функции - это время существования солнечной системы.. Область значений функции: [16.02; 22.17];  точка максимума - день летнего солнцестояния, точка минимума- день зимнего солнцестояния; промежутки возрастания: (21.12+365п; 21.06+365п), промежутки убывания: (21.06+365п; 22112+365п). Если провести горизонтальную прямую через 18 часов, то в качестве нулей функции выступают точки, которые соответствуют наступлению весны и осени. Рассматриваемые нами особые точки получили название астрономических начал наступления  весны, лета, осени и зимы и изучались в течении тысячелетий. Т.о. наш график получен в результате рассмотрения «нематематической модели», связанной с повседневной жизнью, путём составления таблицы времени захода солнца.

Далее мы построили график восхода солнца на широте Москвы, получив новую синусоиду. Используя имеющиеся данные о заходе солнца на широте Берлина, мы выстроили график захода солнца на широте немецкой столицы, поскольку мы ссылались на статью немецкого автора.

Заход солнца. Берлин

Мы наложили оба графика и обнаружили, что они не совпадают. График изображающий заход солнца на широте Москвы имеет большую амплитуду колебаний, он сильнее растянут вдоль вертикальной оси. Мы предположили, что если построить графики на широте Магадана, то они будет ещё более растянуты вдоль вертикальной оси по сравнению с имеющимися графиками. Чтобы подтвердить свои предположения, мы взяли данные восхода и захода солнца на широте Магадана. Как видно из полученного рисунка, мы оказались правы

Когда выяснили. что на экваторе солнце в течении года заходит и восходит примерно в одно и тоже время, в 18 часов и 6 часов утра,  графики захода и восхода солнца напоминают сильно сплющенную синусоиду, почти прямую, то вся картина выстроилась перед глазами.

Вывод: чем широта ближе расположена к северному полюсу, тем график имеет большее растяжение, и наоборот: чем широта ближе к экватору, тем он имеет меньше искажений и меньшую амплитуду колебаний. То есть при движении от экватора к полюсу синусоида начинает все больше «раскачиваться», а вот графики захода и восхода все больше приближаются друг к другу. На экваторе каждый день солнце заходит примерно в одно и то же время в 18 часов, но это не прямая линия, а очень сильно сплющенная синусоида. Там очень быстро темнеет в отличии от той картины, которая наблюдается у нас летом.  Оказалось, с помощью наших графиков можно объяснить  явление: «Белых ночей». На нашем рисунке видно, что летом графики захода и восхода солнца расположены очень близко друг к другу и, учитывая рассеянность земной атмосферы мы понимаем, почему магаданские летние ночи такие светлые и наоборот, видно, зимой солнце очень рано заходит и поздно восходит. Получается, чем ближе к северному полюсу, тем больше растянуты графики вдоль вертикальной оси, тем короче летние ночи и длиннее зимние.

Мы ознакомили с нашей теорией сотрудников Гидрометеоцентра, с которой они согласились

Нам приходилось пользоваться очень ограниченными данными. А нам было интересно пойти дальше. Мы ставили перед собой вопросы: как выглядят графики на широте полярного круга и за ним.

Наши предположения мы решили схематически  изобразить на схеме. Мы понимали, что чем дальше к полюсу, тем графики захода и восхода солнца будут растягиваться ещё больше и больше приближаться друг к другу. Мы решили, что на широте полярного круга, летом они соприкасаются, а за полярным кругом  происходит «разрыв».

Мы очень хотели довести нашу работу до конца. Уже после представления нашей работы на школьной научной конференции, мы обратились за помощью на кафедру  СМУ, изложив нашу теорию и выказав наше желание - убедиться в наших предположениях. По совету преподавателя астрономии выполнили лабораторную работу по определению приближенных моментов времени захода и восхода солнца на различных широтах. К сожалению, эти полученные нами данные являются лишь приблизительными и больше соответствуют значениям истинного солнечного времени, которое отличается от гражданского на величину η, где η- уравнение времени и определяется с помощью данных из  астрономического календаря ежегодника  и основного астрономического календаря, достать который со слов преподавателей очень проблематично. В чём мы и сами убедились. Тем не менее, в результате выполнения работы, мы совершенно убедились в том, что оказались правы, что демонстрирует полученный нами рисунок. Кроме этого сравнение результатов лабораторной работы с предыдущими данными поставили перед нами ряд новых вопросов.

В частности, имелось большое расхождение между временем захода и восхода солнца на одной и той же широте на разных графиках, мы разговаривали со многими людьми, пытаясь разобраться в причинах. Позже, благодаря нашим графикам мы выяснили интересный исторический факт, который многим был просто неизвестен. В начале прошлого века декретом советского правительства на территории нашей страны время было передвинуто на 1 час вперёд.

Выводы: мы считаем, что нашу работу нужно продемонстрировать на уроках математики и географии.  показав связь тригонометрических функций с природными явлениями.  Наша работа показывает, как изменяются эти явления в зависимости от широты местности. Например, она наглядно демонстрирует причину  появления   «белых ночей», полярной ночи и полярного дня. Можно продемонстрировать,  как солнце на экваторе заходит в одно и тоже время. Мы можем построить график захода и восхода на любой широте по 4 основным точкам, а также приблизительно вычислить время захода и восхода в любой день, тем более эти данные мы не смогли найти ни в Интернете, ни в библиотеке. Наши графики позволяют определить продолжительность дня и ночи в любой день года, что должно быть интересно для биологов. Мы без труда можем построить такие графики для населённых пунктов южного полушария.

Выбрав определенный масштаб построения графиков можно вычислить коэффициент растяжения графиков для определенной широты местности, что тоже облегчит задачу определения время захода и восхода солнца.

 Изменение амплитуды графиков, их искажение, в зависимости от широты доказывают сплющенность земного шара и наклон земной оси..

Представленный нами подход к данному вопросу дает новые возможности в изучении природных явлений, связанных с астрономией. Например, интересно было бы связать изменение наших графиков со сплющенностью Земли или с движением земного шара по эклиптике. Может быть можно рассмотреть производные построенных функций. Не исключено, что можно было и здесь обнаружить какую - либо связь. Однако, пока это только наши предположения.

Данилина О.С.