Урок на тему: "Признак возрастания (убывания) функции"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема урока: Признак возрастания (убывания) функции (1 курс, 2 ч)

В результате изучения темы студенты должны:

1. знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности.
2. уметь: исследовать несложные функции на промежутки монотонности, находить промежутки возрастания и убывания  функции.

Ход урока

1. А теперь дадим некоторые определения свойствам функции. “Мозговой штурм”

1. Что называют функцией?
2. Как называется переменная Х?
3. Как называется переменная Y?
4. Что называется областью определения функции?
5. Что называется множеством значения функции?
6. Какая функция называется чётной?
7. Какая функция называется нечётной?
8. Что можно сказать о графике чётной функции?
9. Что можно сказать о графике нечётной функции?
10. Какая функция называется возрастающей?
11. Какая функция называется убывающей?
12. Какая функция называется периодической?

2. Система упражнений.

1. Изобразите схематично график какой — либо непрерывной функции, обладающей следующими свойствами: функция возрастает на промежутке (-∞; 5); убывает на промежутке (5;0); постоянна на интервале (9;∞).
2. Известно, что производная функции f на отрезке (-7;8) меняет свой знак, причем f´(x)<0  на промежутке [-7;2) и f´(x)>0 на промежутке (2;8]. Опишите характер изменения функции на промежутке [-7;8].
3. Схематично изобразите график непрерывной на отрезке [-9;5] функции у= f(x), если: а) f´(x)<0 на промежутке [-9;-1];  б)f´(x)>0  на промежутке (-1;3);

            в)f´(x)<0 на промежутке (3;5].

4. Схематично изобразите график непрерывной на отрезке [-7;10] функции y=g(x), если: а)g´(x) >0   на промежутке [-7;-4) и g(-4)=5; б)   g´(x)<0  на промежутке (-4;3); в)g´(x) >0 на промежутке (3;10] и g(10)=7.

3. Самостоятельная работа 1 (СО)

Вариант 1.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=5х -7.

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на множестве R.

2) y´=(5x-7)´=5.

3) y´>0 на промежутке (-∞;∞), следовательно, функция у=5х-7 возрастает на промежутке (-∞;∞). Ответ: функция возрастает на промежутке  (-∞;∞).

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у=-9х+4.

Вариант 2.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=-8х2+3.

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на множестве R.

2) y´=(-8х2+3)´= -16х.

3) y´>0, если -16х>0. -16x>0 <=> x<0. Функция у возрастает  на промежутке (-∞;0).

4)у´<0, если     -16х<0. -16x<0 <=>  x>0. Функция у убывает  на промежутке (0;∞).

5) Так как функция у=-8х2+3 непрерывна в точке х0 =0, то у возрастает на промежутке (-∞;0] и убывает на промежутке [0;∞).

Ответ: функция возрастает на промежутке (-∞;0]; функция убывает на промежутке [0;∞).

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у=6х2-3.

Вариант 3.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=2х2-4х.

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на множестве R.

2) y´=(2х2-4х)´= 4х-4.

3) y´>0, если 4х-4>0. 4x-4>0 <=> 4х>4 <=> x>1. Функция у возрастает  на

 промежутке (1;∞).

4)у´<0, если 4х-4<0. 4x-4<0 <=> 4x<4<=> x<1. Функция у убывает  на промежутке

(-∞;1).

5) Так как функция у=2x2-4x непрерывна в точке х0 =1, то у возрастает на промежутке  [1; +∞) и убывает на промежутке (-∞; 1].

Ответ: функция возрастает на промежутке [1; +∞); функция убывает на промежутке   (-∞; 1].

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у=2x-3x2.

 Вариант 4.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=1/х.

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на промежутке  (-∞;0)ᴜ(0;+∞).

2) y´=(1/х)´= -1/х2.

3) y´>0, если -1/х2>0. Нет таких значений х. Нет такого промежутка, на котором функция является возрастающей.

4)у´<0, если  -1/х2 <0. х- любое число, кроме нуля.  Функция  убывает  на промежутке

(-∞;0) и убывает на промежутке (0;+∞).

Ответ: Функция  убывает  на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;+∞).

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у= -7/х.

 Вариант 5.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=1/(5-х).

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на объединении  промежутков  (-∞;5)ᴜ(5;+∞).

2) y´=(1/(5-х))´= 1/(5-х)2.

3) y´>0, если 1/(5-х)2>0. х- любое число, кроме  5.  Функция  возрастает   на промежутке (-∞;5) и возрастает  на промежутке (5;+∞).

4) y´<0, если 1/(5-х)2 <0. Нет таких значений х. Нет такого промежутка, на котором функция является убывающей.

Ответ: Функция  возрастает  на промежутке (-∞;5) и возрастает на промежутке (5;+∞).

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у= 2/(х+4).

Вариант 6.

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции у=х3-9х.

Примерное оформление решения:

1) Функция определена на  промежутке  (-∞;+∞).

2) y´=(х3-9х)´= 3х2- 9.

3) y´>0, если  3х2- 9>0.  х2- 3>0. Решаем неравенство методом интервалов. Функция   возрастает   на промежутке (-∞;-√3) и   на промежутке (√3;+∞).

4) y´<0, если  3х2- 9 <0.  х2- 3<0. Функция убывает на промежутке (-√3;√3).

5) Так как функция у=х3-9х  непрерывна в точках х0 =-√3 и х1=√3, то функция   возрастает   на промежутке (-∞;-√3] и   на промежутке [√3;+∞).   Функция убывает на промежутке [-√3;√3].

Ответ:  Функция   возрастает   на промежутке (-∞;-√3] и   на промежутке [√3;+∞).   Функция убывает на промежутке [-√3;√3].

2. Проанализируйте решение задания 1 и выполните аналогичное задание для функции у= 2-х3.

4. Самостоятельная работа 2 (СК)

Вариант 1.

1. Опишите характер изменения непрерывной функции f и схематично  изобразите ее график, если: а) f ´(x)<0 на промежутке [-5;-3);   б)f ´(x)>0  на промежутке (-3;-1);  

в)f ´(x)<0  на промежутке (1; +∞).

Вариант 2.

1. Опишите характер изменения непрерывной функции f и схематично  изобразите ее график, если: а)f ´(x)>0  на промежутке (-∞;-1);     б) f ´(x)<0 на промежутке (-1;3);

в)f ´(x)>0  на промежутке (3; 4].

Вариант 3.

1. Опишите характер изменения непрерывной функции f и схематично  изобразите ее график, если: а) f ´(x)<0 на промежутке [-6;-4)  и f(-6)=3, f(-4)=-2;   б)f ´(x)>0  на промежутке (-4; 2),  f(2)=1;  в)f ´(x)<0  на промежутке (2; 3].

Вариант 4.

1. Опишите характер изменения непрерывной функции f и схематично  изобразите ее график, если: а) f ´(x)>0 на промежутке [-5;1) и f(-5)=-2;   б)f ´(x)<0  на промежутке

(1;3),  f(3)=0; в)f ´(x)>0  на промежутке (3; 5), f(5)=6.

5. Итог урока.