Дидактические материалы для организации вступительных испытаний
тест по алгебре (11 класс) по теме

СПб ГБОУ СПО «Политехнический колледж городского хозяйства»

Дидактические материалы для организации и проведения вступительных испытаний по дисциплине  «Математика» на базе 11 классов

(для абитуриентов, окончивших школу до 2009 года)

2012

Согласовано:                                                                         Утверждено:

Предметной (цикловой) комиссией                              Заместителем директора по УР

Председатель

____________/______________ /                                   __________/__________________/

  (Подпись)                      (ФИО)                                                                (Подпись)                 (ФИО)

                «_____» __________2012 г.                                               «____»________2012 г.

                                                                  Разработал преподаватель

                                                                            ____________(В.А. Грешилова)

                                                                               (Подпись)                                (ФИО)

                                                                                                       «____» ____________2012 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Пояснительная записка……………………………………………………4
2. Примерная программа. Основные математические понятия и факты……………………………………………………………….……….4
3. Перечень теоретических вопросов………………………………………..9
4. Перечень заданий…………………………………………………………12
5. Примерные варианты вступительных тестов…………………………...24
6. Критерии оценки………………………………………………………….41
7. Ключ к тестам…………………………………………………….……….42
8. Бланк ответов……………………………………………………………...43
9. Литература…………………………………………...……………………44

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Задания и подборка теоретических вопросов по дисциплине «Математика», для формирования вариантов вступительных билетов (тестов), составлены в соответствии с государственными требования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников средних общеобразовательных учреждений на базе 11 классов, предназначены для организации вступительного экзамена по дисциплине «Математика».

При подборе заданий особое внимание уделяется разделам школьного курса, знание которых обязательно для изучения курса математики, предусмотренного учебной программой «Политехнического колледжа городского хозяйства».

От абитуриентов не требуется владения навыками сложных вычислений и преобразований, специальными приёмами решения уравнений и неравенств, хотя часть заданий предполагает наличие определённых знаний и умений, приобретённых не только в старших классах, но и в основной школе (формулы сокращенного умножения, задачи по геометрии из раздела «планиметрия»).

Данная методическая разработка позволяет формировать вступительные билеты (для проведения устного экзамена по математике) и вступительные тесты.

Методическая разработка содержит примерную программу вступительных испытаний, перечень заданий для формирования вариантов тестов, перечень теоретических вопросов для самоподготовки, примерные варианты вступительных тестов, критерии оценки, ответы, перечень литературы.

Представленные материалы могут быть использованы преподавателями математики для организации текущего контроля знаний студентов, обучающихся на первом курсе.

Примерная программа

Основные математические понятия и факты

Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.

Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

Логарифмы, их свойства.

Одночлен и многочлен.

Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.

График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теория Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определение и основные свойства функции: линейное, квадратичное y = ax2 + bx + c, степенной y = axn (nN), y = k/x, показательной y = ax, a>0 логарифмической, тригонометрических функций (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), арифметического корня y = .

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.

Система уравнений и неравенств. Решение системы. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.  Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

Преобразование в произведение сумм sin a  cos b; cos a cos b.

Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.

Производные функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ax, y = axn (nN), y = ln x.

Геометрия. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла.  Параллельные прямые.

Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразования подобия и его свойства.

Векторы. Операции над векторами.

Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

Центральные и вписанные углы.

Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призма; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

Формулы  площади поверхности и объема призмы.

Формулы  площади поверхности и объема пирамиды.

Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

Формулы  площади поверхности и объема конуса.

Формула объема шара.

Формула площади сферы.

Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала анализа.

Свойства функции y = kx + b и ее график.

Свойства функции y = k/x и ее график.

Свойства функции y = ax2 + bx + c и ее график.

Свойства корней квадратного трехчлена на линейные множители.

Свойства числовых неравенств.

Логарифм произведения, степени, частного.

Определение и свойства функции y = tg x и ее график.

Определение и свойства функции y = ctg x и ее график.

Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.

Формулы приведения.

Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Тригонометрические функции двойного аргумента.

Производная сумма двух функций.

Геометрия.

Свойства равнобедренного треугольника.

Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.

Признаки параллельности прямых.

Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого треугольника.

Признаки параллелограмма, его свойства.

Окружность, описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник.

Касательная к окружности и ее свойства.

Величина угла, вписанного в окружность.

Признаки подобия треугольника.

Теорема Пифагора.

Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности плоскостей.

Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность двух плоскостей.

Теоремы о параллельности перпендикулярности плоскостей.

Теорема о трех перпендикулярах.

Перечень теоретических вопросов:

Геометрия

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (формулировки и примеры).
2. Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры).
3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (формулировки и примеры).
4. Призма. Боковая поверхность прямой призмы. Прямая и правильная призмы (формулировки и примеры).
5. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойство противолежащих граней параллелепипеда. Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда (формулировки и примеры).
6. Пирамида. Правильная пирамида. Боковая поверхность правильной пирамиды (формулировки и примеры).
7. Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостями. Площадь боковой поверхности цилиндра (формулировки и примеры).
8. Конус. Сечение конуса плоскостями. Площадь боковой поверхности конуса (формулировки и примеры).
9. Сфера и шар. Сечения шара плоскостями. Площадь сферы (формулировки и примеры).
10. Формулы объемов многогранников: прямоугольного параллелепипеда, наклонного параллелепипеда, призмы и пирамиды (формулы и примеры).
11. Формулы объемов тел вращения: цилиндра, конуса и шара (формулы и примеры).
12. Касательная плоскость к шару.
13. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали (формулировки и примеры).
14. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
15. Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция (определения, свойства).
16. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор (формулировки и примеры).
17. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции (формулы и примеры).
18. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
19. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Центральные и вписанные углы.

Алгебра

1. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Логарифмы, их свойства.
4. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции (формулировки и примеры).
5. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность (формулировки и примеры).
6. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке (формулировки и примеры).
7. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума (формулировки и примеры).
8. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке (формулировки и примеры).
9. Определение и основные свойства линейной функции.
10. Определение и основные свойства квадратичной функции.
11. Определение и основные свойства степенной функции.
12. Определение и основные свойства показательной функции.
13. Определение и основные свойства логарифмической функции.
14. Определение и основные свойства функции .
15. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях (формулировки и примеры).
16. Неравенства. Решение неравенства. Понятие о равносильных  неравенствах.
17. Система уравнений и неравенств. Решения системы.
18. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n – го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n – го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии (формулировки и примеры).
19. Свойства функции  и ее график.
20. Свойства функции  и ее график.
21. Свойства корней квадратного трехчлена на линейные множители.
22. Свойства числовых неравенств.
23. Логарифм произведения, степени, частного.
24. Формулы приведения.
25. Зависимость между тригонометрическими функциями одного итого же аргумента.
26. Тригонометрические функции двойного аргумента.
27. Производная суммы (разности) двух функций (примеры).
28. Производная частного (примеры).
29. Производная произведения (примеры).
30. Производная степени (примеры).
31. Первообразная (формулировки и примеры).
32. Неопределенный интеграл (формулировки и примеры).

Перечень заданий

1. Найти значение выражения:

1)                         2)  

3)                          4)  

5)                  6)

7)                          8)  

9)                                    10)  

2. Найти область определения функции:

1)                          2)  

3)                          4)  

5)                          6)  

7)                           8)  

9)                          10)

3. Решите уравнение:

1)                   2)

3)                         4)

5)                         6)

7)                                 8)

9)                         10)

4. Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:

1)  ,                ;         2)  , ;        

3)  , ;                         4)  , ;                

5)  , ;                6)  ,  ;

7)  ,   ;        8)  , ;

9)  ,  ;                10)  ,  .

5. Решить систему уравнений:

1)   ;      2) ;        3) ;        4) ;

5) ;        6) ;        7) ;        8);

9) ;        10) .

6. Решить неравенство:

1) ;                2) ;                3) ;        

4) ;                5) ;                6) ;        

7);          8) ;                9) ;

10)  .

7. Найти значение производной функции в точке с абсциссой :

1)     =0;                     2)    =1;  

3)       =1;                4)    =0;

5)     =;                6)      =0;

7)    =1;                 8)         =;

9)                  10)      

8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

1)                 2)                 3)

4)                 5)                         6)

7)                 8)                 9)

10)

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой :

1)         =1;                        2)  =0;                

3) , =1;                        4) , =2;                

5) , =;                        6) ,        =;                

7) ,        =0;                8) , =;

9)  ,                   10)   ,  .

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (точки), когда производная функции:

11. Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку М (x,y):

1)  , M; (-1;4)        2)  ,  M (3;2);

3)  ,   M (2;15);                4)  ,   M (1;5);

5)   ,   M (9;10);                 6)  ,  M (0;4);

7)  ,   M (1;1);        8)  ,  M (0;3);

9)  ,  М (1;0);                10)  ,   M (0;1).

12. Решить уравнение:

1) sin(3x)=0;                2) ;                3) sin(2x)=-1;                4) ;

5) cos(2x)=1;            6) ;                7) ;                     8) ctg(4x)=0;

9) sin x = - 1,5;                10) ctg x = 2.

13. Решить задачу:

1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13см, а большее основание 12см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.
2. Основания прямоугольной трапеции равны 9см и 18см, а большая боковая сторона 15см. Найдите площадь трапеции.
3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол COD = 600. CD=10см. Чему равны диагонали прямоугольника?
4. Угол между высотами ромба, проведёнными из одной из его вершин, равен 300. Высота ромба равна 5см. Найдите периметр ромба.
5. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол ACD=600, BD=10см. Чему равна сторона CD?
6. Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен угол между высотами ромба, проведёнными из одной из его вершин?
7. В ΔABC угол A=900, угол B=300, AB=6см. Найдите две другие стороны треугольника.
8. В прямоугольной трапеции основания 5 и 17см, а большая боковая сторона 13см. Найдите площадь трапеции.
9. Дан параллелограмм ABCD AB=BD=4см, угол BDA=300. Найти  площадь параллелограмма.
10. Дан ромб ABCD. Угол А=600 , AB= 6см. Найти диагонали ромба.
11. Задача по теме «Объемы тел вращения»

Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объем шара, если АВ = 21 см, а ВО = 29 см.

12. Задача по теме «Призма».

В правильной треугольной призме АВС проведено сечение через вершину

 и ребро АВ. Найдите периметр сечения, если сторона основания равна 24 см, а боковое ребро – 10 см.

13. Задача по теме «Поверхности тел вращения».

Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

14. Задача по теме «Прямоугольный параллелепипед».

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 12 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом  . Найдите высоту параллелепипеда.

15. Задача по теме «Пирамида».

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а апофема – 15 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

16. Задача по теме «Поверхности тел вращения».

Образующая конуса равна 25 см, а радиус основания – 7 см. Найдите его объем.

17. Задача по теме «Шар».

Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см, проведенного на расстоянии 9 см от центра.

18. Задача по теме «Объем пирамиды».

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 7 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

19. Задача по теме «Цилиндр».

Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

20. Задача по теме «Площадь поверхности пирамиды».

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота – 12 см. Наудите площадь полной поверхности пирамиды.

21. Задача по теме «Конус».

Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину.

22. Задача по теме «Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда».

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда – 8 см. Найдите площадь его полной поверхности

23. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Прямая n параллельна прямой  m, прямая  m параллельна плоскости . Следует ли из этого, что прямая n параллельна плоскости ?

24. Задача по теме «Площадь сферы».

Сферу на расстоянии 8 см от центра сферы пересекает плоскость. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь сферы.

25. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Каждая из плоскостей  и  параллельна плоскости . Могут ли плоскости  и  пересекаться?

26. Задача по теме «Площадь поверхности цилиндра».

Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна  см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

27. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Плоскость пересекает плоскости  и  по параллельным прямым. Могут ли плоскости  и  пересекаться?

28. Задача по теме «Пирамида».

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.

29. Задача по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Каждая из плоскостей  и   параллельна прямой m. Могут ли плоскости  и    пересекаться?

30. Задача по теме «Площади поверхностей тел вращения».

Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 17 см, а один из катетов – 8 см, вращается около этого катета. Найдите площадь поверхности тела вращения.

31. Задача по теме «Сечения многогранников».

Высота прямой призмы равна 10 см, а ее основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь ее диагонального сечения.

32. Задача по теме «Площади поверхностей тел вращения».

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом, а его высота равна 12 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

Примерные варианты вступительных тестов

ВАРИАНТ 1

1. Найти значение выражения  

Варианты ответов:

1) 0;                        2) 1;                                3) -1;                                4) 2.

2. Найти область определения функции  .

Варианты ответов:

1) ;                2) ;        3) ;                4) .

3. Решите уравнение .

Варианты ответов:

1) x=2;                        2) x=0;                        3) x=1;                4) .

4.   Найти значение выражения , если х - является корнем уравнения  .          

Варианты ответов:

1) 3;                2) 5;                3) -5;                4) 9.

5. Решить систему уравнений                

Варианты ответов:

1) (1; -2,5);                2) (-2,5; 1);                        3) (-1; -2,5);        4) (-1; 2,5).

6. Решить неравенство:  
Варианты ответов:

1) [-3;3);                2) (-3; 3);                        3) (-9; 9);                4) [-3; 3].

7. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой

 x0 ,если ,    x0=0.    

Варианты ответов:

1) 2;                        2) 3;                                3) -3;                        4) 0.

8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции .

Варианты ответов:

1) возрастает на ,         убывает на ;

        2) возрастает на , убывает на ;        

3) всегда возрастает;                4) всегда убывает.

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если ,        x0=1.

Варианты ответов:

1) y=3x-3;                2) y=3x;                3) y=-3x;                        4) y=-3x-3.

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов:

Задание а)

1) (x1; x3)                2) (x2; x5);                3) (x2; x4);                        4) [x2; x5].

Задание б)

1) [a; x2)U(x4; b];        2) (x1; x2)U        (x4; x5);        3) [x2; x4];                4) [x2; x5].

Задание в)

1)  x2, b;                2) x1, x5;                3) x2, x3;                4) x2, x4.

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y), если ,         M(-1;4).

    Варианты ответов:

1) ;        2) ;        

3) ;        4) .

12. Решите уравнение sin(3x)=0.

    Варианты ответов:

1) ;        2) ;        3) ;        4) .

13. Решите задачу:

Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13см, а большее основание 12см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 8 см.

Варианты ответов:

1) 100см2        ;        2) 50 см2        ;                3) 25см2        ;                4) 50см.

ВАРИАНТ 2

5. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1)  0                        2)                         3) 1                                4)

6. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)                 2)                 3)                 4)

7. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) -2                        2) 1                                3) 2                        4) 0

8.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:                               

Варианты ответов:

1) x=-9                2) x=0                3) x=18                4) x=9

9. Решить систему уравнений:                        

Варианты ответов:

1) (1;4)                        2) (4;1)                3) (-1;-4)                        4) (2;2)

10. Решить неравенство:  
    Варианты ответов:

1)                 2) (-6;6)                        3) [-6;6]                4) [-6;6)

11. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:      x0=1;  

Варианты ответов:

1)         2)          3)         4) 

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

Варианты ответов:

1) всегда убывает         2) возрастает на  убывает на         

3) всегда возрастает        4) возрастает на         убывает на

  9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:          x0=0;

Варианты ответов:

1) y=2x                2) y=-2x                3) y=2x+1                        4) y=-2x-2

  10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                2)                 3)                4) 

Задание б)

1)         2)         3)         4) 

Задание в)

1)                  2)                 3)                4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):      M(3;2)

    Варианты ответов:

1)                 2)

3)         4) 

12. Решить уравнение:  

    Варианты ответов:

1)        2)         3)         4) 

13. Решить задачу:

Основания прямоугольной трапеции равны 9см и 18см, а большая боковая сторона 15см. Найдите площадь трапеции.

Варианты ответов:

1) 162см2                ) 324см2                        3) 162см                        4) 54см2

ВАРИАНТ 3

12. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1)                         2)                         3) -3                                4) 3

13. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)                2)        3)                 4)

14. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) x=6                2) x=-2                        3) x=4                4) x=2

15.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:                               

Варианты ответов:

1) x=35                2) x=40                3) x=24                4) x=30

16. Решить систему уравнений:                        

Варианты ответов:

1) (3;4)                2) (2;1) (1;2)                        3) (2;1)                4) (1;2)

17. Решить неравенство:  
    Варианты ответов:

1)                2)                3)                4)

18. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:         x0=1;        

Варианты ответов:

1) 0                        2) 175                        3) 50                        4) 50+25ln25

  8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

Варианты ответов:

1) возрастает на        , убывает на

        2) возрастает на , убывает на

3) всегда возрастает                4) всегда убывает

 9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:          x0=1;

Варианты ответов:

1) y=2x+1                2) y=-2x+1                3) y=2x                        4) y=-2x

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                 2)                3)                4) 

Задание б)

1)        2)         3)         4) 

Задание в)

1)                   2)                 3)                 4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):       M(2;15)

    Варианты ответов:

1)         2)        

3)         4) 

12. Решить уравнение:  sin(2x)=-1        

    Варианты ответов:

1)         2)         3)         4) 

13. Решить задачу:

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол COD = 600. CD=10см. Чему равны диагонали прямоугольника?

Варианты ответов:

1) 20см                2) 20см и 40см                3) 20см и 20см        4) 15см и 15см

ВАРИАНТ 4

1. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1) 1                        2) -1                                3) 0                                4) 2

2. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)                 2)         3)                 4)

3. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) -1                2) 1                        3) 0                4) 2

4.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:                       

Варианты ответов:

1) x=-7                2) x=7                3) x=0                4) x=2

5. Решить систему уравнений:                        

Варианты ответов:

1) (-2;-3)                2) (3;2)                        3) (3;-2)        4) (2;3)

6. Решить неравенство:  
   Варианты ответов:

1)                2)         3)                4)

7. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:              x0=0;

Варианты ответов:

1) 0                        2) -3                                3) 2                        4) 3

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

Варианты ответов:

1) возрастает на        , убывает на                 

2) всегда возрастает        

3) возрастает на , убывает на                

4) всегда убывает

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:          x0=2;        

Варианты ответов:

1) y=12x-1                2) y=12x-17                3) y=-12x+17                4) y=-12x+1

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                 2)                3)                 4) 

Задание б)

1)        2)         3)        4) 

Задание в)

1)                  2)                 3)         4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):       M(1;5)

    Варианты ответов:

1)                         2)

3)                4) 

12. Решить уравнение:  

    Варианты ответов:

1)        2)         3)         4) 

13. Решить задачу:

Угол между высотами ромба, проведёнными из одной из его вершин, равен 300. Высота ромба равна 5см. Найдите периметр ромба.

Варианты ответов:

1) 20см                2) 40см                3) 80см                        4) 25

ВАРИАНТ 5

8. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1) -2                2) 0                        3) 1                        4) -1

9. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)                2)         3)                4)

10. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) x=1                        2) x=1,5                        3) x=-1,5                4) x=-1

11.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:                    

Варианты ответов:

1) x=-9                2) x=9                3) x=0                4) x=

12. Решить систему уравнений:                     

Варианты ответов:

1) (2;1)                2) (1;2)                        3) (-1;2)        4) (-2;1)

13. Решить неравенство:  
    Варианты ответов:

1)    2)    3)    4)

14. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:     x0=;

Варианты ответов:

1) 2                        2) -2                                3) 0                        4) 3

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

Варианты ответов:

1) всегда возрастает                 2) всегда убывает

3) возрастает на        , убывает на        

4) возрастает на        , убывает на  

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:          x0=;        

Варианты ответов:

1) y=3                2) y=0                3) y=3+                4) y=-3

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                2)        3)                4) (x2; x4)

Задание б)

1)           2) [a; x2)U(x4; b]        3)        4) 

Задание в)

1)                  2)                3) x2; x4                4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):       M(9;10)        

    Варианты ответов:

1)                        2)        

3)                         4) 

12. Решить уравнение:  cos(2x)=1

    Варианты ответов:

1)        2)        3)        4) 

13. Решить задачу:

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол ACD=600, BD=10см. Чему равна сторона CD?

Варианты ответов:

1) 10см                2) 5см2                        3) 5см                        4) 100см

ВАРИАНТ 6

15. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1) 0,5                2) 0                        3) 0,755                4) 1

16. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)                2)        3)         4)

17. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) x=0; x=-2                2) x=0                3) x=0; x=2                4) x=-2

18.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:              

Варианты ответов:

1) x=-4                2) x=-2                3) нет решения                4) x=4

19. Решить систему уравнений:                     

Варианты ответов:

1) (1;3)                2) (3;0)                        3) (0;3)        4) (3;1)

20. Решить неравенство:  
    Варианты ответов:

1)        2) x=3                3)                4)

21. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:      x0=0;

Варианты ответов:

1) -3                        2) 3                        3)                         4) 

  8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

Варианты ответов:

1) всегда возрастает         2) возрастает на   убывает на         

3) всегда убывает        4) возрастает на         убывает на  

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:          x0=;        

Варианты ответов:

1) y=        2) y=                3) y=                4) y=-x

 10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                2)        3)                4) 

Задание б)

1)         2)         3)         4) 

Задание в)

1)                  2)                3)                4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):        M(0;4)

    Варианты ответов:

1)         2)

3)        4) 

12. Решить уравнение:          

    Варианты ответов:

1)        2)         3) 0        4) 

13. Решить задачу:

Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен угол между высотами ромба, проведёнными из одной из его вершин?

Варианты ответов:

1) 1200                2) 600                        3) 900                        4) 300

ВАРИАНТ 7

22. Найдите значение выражения .

Варианты ответов:

1) -1;                2) 12;                        3) 49;                        4) 0.

23. Найдите область определения функции  .

Варианты ответов:

1);                2);        3);                4) .

24. Решите уравнение .

Варианты ответов:

1) x=0;                2) x=2;                3) x=-24                4) x=1.

25.   Найдите значение выражения , если х - является корнем уравнения  .  

Варианты ответов:

1) 9;                2) 36;                3) 18;                4) x=-6.

26. Решите систему уравнений        .

Варианты ответов:

1) (1;2);                2) (-5;14);                        3) (14;-5);                4) (5;14).

27. Решите неравенство  .
    Варианты ответов:

1);        2) нет решений;                3) х – любое число;                4) .

28. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если           , x0=1.

Варианты ответов:

1)         ;                2) ;                        3) 0;                        4) 1.

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции            

Варианты ответов:

1) возрастает на        , убывает на ;

        2) возрастает на , убывает на        ;

3) всегда возрастает;                

4) всегда убывает.

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если  ;        x0=0.        

Варианты ответов:

1) y=-3x-2;                2) y=x+2;                3) y=3x+2;                        4) y=-3x+2.

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов:

Задание а)

1) ;            2);                           3);                4) ;

Задание б)

1) ;                    2);                 3) ;                 4) .

Задание в)

1)  a,b;                   2);                3);                4).

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y), если    ,   M(1;1).

    Варианты ответов:

1);                                         2);

3) ;                                         4) .

12. Решите уравнение  .

    Варианты ответов:

1) ;        2);           3) ;        4) .

13. Решите задачу:

В ΔABC угол A=900, угол B=300, AB=6см. Найдите две другие стороны треугольника.

Варианты ответов:

1) 12, 1;                2) 8, 16;                        3) 2, 4;                4) .

ВАРИАНТ 8

29. Найдите значение выражения .

Варианты ответов:

1) 0;                2) 1;                        3)-1;                4) .

30. Найдите область определения функции  .

Варианты ответов:

1) 5;                2) х-любое число        ;        3) нет решений;                4) 2.

31. Решите уравнение .

Варианты ответов:

1) x=3;                        2) x=-3;                        3) x=0;                4) x=2.

32.   Найдите значение выражения , если х - является корнем уравнения  .              

Варианты ответов:

1) 8;                2) 2,49;                3) 2;                4) 9.

33. Решите систему уравнений                     .

Варианты ответов:

1) ;                2) (1;2);                        3) ;        4) (2;1).

34. Решите неравенство  .
    Варианты ответов:

1);                2) ;3) ;        4) .

35. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если        ,        x0=.

Варианты ответов:

1) ;                        2) 2;                                3) -2;                        4) 0.

 8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции .

Варианты ответов:

1) возрастает на        , убывает на ;

        2) возрастает на , убывает на;        

3) всегда возрастает;                4) всегда убывает.

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если  

Варианты ответов:

1) y=2x;        2) y=;                3) y=        ;                4) y=2x+1.

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов:

Задание а)

1);                2);        3);                4) .

Задание б)

1) ;        2);        3);        4) .

Задание в)

1)  ;                2) ;                3) ;                4) .

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y), если    ,     M(0;3).

    Варианты ответов:

1) ;        2)        ;

3) ;        4) .

12. Решите уравнение  ctg(4x)=0.

    Варианты ответов:

1);        2) ;        3);        4) .

13. Решите задачу:

В прямоугольной трапеции основания 5 и 17см, а большая боковая сторона 13см. Найдите площадь трапеции.

Варианты ответов:

1) 55см2        ;        2) 25см2        ;                3) 50см;                4) 50см2.

ВАРИАНТ 9

36. Найти значение выражения:  

Варианты ответов:

1) 1                2) 6                        3) 2,6                        4) 4

37. Найти область определения функции:  

Варианты ответов:

1)         2)            3)                 4)

38. Решите уравнение: 

Варианты ответов:

1) x=        2,5                2) x=4                        3) x=1                4) x=2

39.   Найти значение выражения, если х - является корнем уравнения:             

Варианты ответов:

1) 10                2) 0                3) 11                4) 1

40. Решить систему уравнений:                     

Варианты ответов:

1) (4;1)                2) (1;4)                        3) (2;81)                4) (81;2)

41. Решить неравенство:  
    Варианты ответов:

1)                    2)                   3)                    4)

42. Найти значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:                          

Варианты ответов:

1) 2                        2) -4                        3) 0                        4) 4

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функций: 9)

Варианты ответов:

1) возрастает на   убывает на         2) всегда возрастает

3) возрастает на   убывает на         4)  всегда убывает  

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0:  9)                  

Варианты ответов:

1) y=-2x-10                2) y=2x-10                3) y=-2x+10                4) y=2x+10

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов: Задание а)

1)                 2)                 3)         4) 

Задание б)

1)           2)        3)         4) 

Задание в)

1)                  2)                 3)                 4) 

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y):         М(1;0)        

    Варианты ответов:

1)                                 2)         

3)                         4) 

12. Решить уравнение:  sin x = - 1.5        

    Варианты ответов:

1) нет решения        2)         3)         4) 

13. Решить задачу:

Дан параллелограмм ABCD AB=BD=4см, угол BDA=300. Найти  площадь параллелограмма.

Варианты ответов:

1)                 2)                         3)                         4) 

ВАРИАНТ 10

43. Найдите значение выражения  .

Варианты ответов:

1) 0;                2) 27;                        3) 24;                         4) 19.

44. Найдите область определения функции  .

Варианты ответов:

1) [-6;6];                2) (-2;2);              3)         все кроме 0;              4) .

45. Решите уравнение .

Варианты ответов:

1) x=3;                        2) x=-4;                        3) нет решений;                4) x=4.

46.   Найдите значение выражения , если х - является корнем уравнения .    

Варианты ответов:

1) 16 и 10;                2) 10;                3) 16;                4) 0 и 3.

47. Решите систему уравнений           .        

Варианты ответов:

1) (3;2), ;                2) (-2;3), ;        

3) (2;3), ;                4) (-3;2), .

48. Решите неравенство  .
    Варианты ответов:

1) ;                  2) (-3;3);                  3) [-3;3];                   4) .

49. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если ,   .

Варианты ответов:

1) 15;                        2) 12;                        3) 10;                        4) 4.

   8. Найдите промежутки возрастания и убывания функции  .

Варианты ответов:

1) всегда возрастает;                                               2) возрастает на , убывает на ;

3) возрастает на , убывает на;                        4) всегда убывает.  

9. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, если          ,   .

Варианты ответов:

1) y=-2x;                2) y=        2x-;                3) y=2x;                4) y=2x+.

10. Функция задана графиком, укажите промежутки (абсциссы точек), когда производная функции:

    Варианты ответов:

Задание а)

1) ;   2) ;        3) ;        4) . 

Задание б)

1) ;          2)         ;

3) ;          4) .

Задание в)

1) ;                2) ;                3) ;                4) .

11. Найдите первообразную функции y = f(x), график которой проходит через точку М(x,y), если    ,   M(0;1).        

    Варианты ответов:

1)        ;                        2) ;        

3) ;                        4) . 

12. Решите уравнение          ctg x = 2.

    Варианты ответов:

1) ;        2) ;        

3) ;                4) .

13. Решите задачу:

Дан ромб ABCD. Угол А=600 , AB= 6см. Найдите диагонали ромба.

Варианты ответов:

1) 12см и 6см;                2) 6см;                        3) 6см;                        4) 6см и 6см.

Критерии оценки

Оценка заданий теста в баллах

Отлично – 24 балла

Хорошо – от 19 до 23 баллов

Удовлетворительно – от 14 до 18 баллов

Неудовлетворительно – до13 баллов

Ключ к тестам по математике

Примерный вариант бланка ответов

Список литературы:

1. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В.Денисов, «Задачи по алгебре и началам анализа»; Москва; «Просвещение», 2003.

2. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и началам анализа (курс В) за курс средней школы 11 класс; Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова; Москва; «Дрофа», 2002.

3. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 класс общеобразовательных учреждений; А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Москва; «Просвещение», 2005.

4. Алгебра и начала анализа 10-11 класс; Учебник для общеобразовательных учебных заведений; Москва; Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. под редакцией академика А.Н.Тихонова, «Дрофа», 2008.