Урок №1

ТЕМА: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЦЕЛЬ: повторить основные элементы комбинаторики; рассмотреть этапы развития теории вероятностей как науки.

ФОРМА УРОКА: обзорная лекция.

ОБОРУДОВАНИЕ: презентация «ver_Urok№1» в рамках проекта.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.

2. Повторение.

 Устная работа.

Основные элементы комбинаторики. СЛАЙД 1-2.

1. Размещение

          Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.

2. Перестановки (). Если m = n, то эти размещения называются перестановками.

3.  Сочетания () – это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е. .

 Практическая работа. СЛАЙД 3-9.

Задача.1. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1) .

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти .

3) .

Задача.2. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.                                        Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

Задача.3. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять . Тогда всего перестановок по правилу умножения будет

Задача.4. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Задача.5. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение: .

Белые шары  

Черных шаров  

Тогда

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.

Задача.6. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй – не более 9 человек.

Решение:

Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4, либо из 5 человек.

, , , .

Задача.7. Десять команд участвуют в разыгрывание первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х  команд?

Решение: 1-е три места может будут распределены:  способов.

Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается =>  способом.

Тогда число возможных результатов = .

Задача.8. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них  не будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен.

Решение:

1. может не спросить ни одного, т.е. ,
2. если только 1, то ,

если только 2-х то  и т.д.

Тогда он всего опросит

III. Новый материал. Проект «Предмет теории вероятностей».

История СЛАЙД 10-17.

Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности можно разбить на следующие этапы. СЛАЙД 10.

2. Возникновение теории вероятностей как науки.  СЛАЙД 12-13. К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к        Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. СЛАЙД 5. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.

3. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. СЛАЙД14. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

4. Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. СЛАЙД 15. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.

В теории вероятностей создалось положение, когда дальнейшее ее развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования. Это было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова).

Понятие вероятности получило  большое распространение в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей.

Развитие теории вероятностей в начале ХХ в. привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических  основ, в первую очередь понятия вероятности. Следует иметь в виду и то, что к началу ХХ в. аксиоматический метод стал проникать во многие области математики (работы Д. Гильберта, Пеано и др.), что также оказало влияние на теорию вероятностей. В результате всего этого возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия — вероятности.

5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. СЛАЙД 16-17. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.

Первые работы этого периода связаны с именами С. Н, Бернштейна, Р. Мизеса, Э. Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы ХХ в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил А. Н. Колмогорову создать общепринятую аксиоматику.

В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки. Возникают самые различные определения вероятности, несводимые друг к другу. Многообразие определений основных понятий — существенная черта современной науки, и понятие вероятности не исключение.

IV. Домашнее задание. СЛАЙД 18.

1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение:

2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение:

3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:  способов.

4.   Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать: а) двух дежурных, б) старосту и его заместителя?

Теория вероятностей.                            

УРОК №2.

Тема: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.

ЦЕЛИ: разобрать основополагающее понятие теории вероятности;

             разобрать типы событий;

             рассмотреть примеры, поясняющие те  или иные события.

ОБОРУДОВАНИЕ: презентация учителя «ver_Urok№2».

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. Индивидуальный опрос по карточкам.

1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение:

2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение:

3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:  способов.

4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных (),

б) старосту и его заместителя ()?

Дидактический материал по теме   «Комбинаторика».

Карточка №1.

1. Из ведра, в котором находится 27 роз, выбирают букет из 7 роз. Сколькими способами может быть выбран букет?
2. У мамы есть 3 яблока, 2 груши и 4 апельсина. На протяжении девяти дней она дает своей дочери по одному фрукту. Сколькими способами она  это может сделать?
3. Сколько различных слов можно образовать при перестановке букв слова «аппетит»?

Карточка №2.

1. В кружке юных математиков 25 человек. Необходимо выбрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно избрать эту четверку, если  один человек может занимать только один пост?
2. Сколько различных слов можно образовать при перестановке букв слова «каникулы»?
3. У мамы есть три яблока, две груши и четыре апельсина. На протяжении девяти дней она даёт своей дочери по одному фрукту. Сколькими способами она это может сделать?

Карточка №3.

1. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколько различных слов можно образовать при перестановке слова «соединение»?
3. Сколько существует четырехзначных номеров, не содержащих цифр 0, 7, 8?

Карточка №4.

1. Трое юношей и две девушки решили после окончания школы поступить на работу в своём родном городе. В городе имеется 3 завода, на которые набирают только мужчин, два, где нужны только женщины, и два, которые принимают на работу и мужчин и женщин. Сколькими способами пять выпускников могут распределиться на работу?
2. Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 1,2 и 3, если допускается повторение этих цифр?
3. На вечер пришли десять одиннадцатиклассников, девять десятиклассников и восемь десятиклассников. Сколькими способами из них можно составить команду из шести человек (по 2 человека от каждого класса)?  

3. Лекция с примерами. Решение задач.

СЛАЙД 1. Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

ВОПРОС: Какие понятия являются основополагающими в геометрии?

ОТВЕТ: точка, прямая.

В теории вероятности тоже есть основные понятия.

РЕБУС: событие. СЛАЙД 2.

В теории вероятности основным является понятие события.

СЛАЙД 3-6.

|| Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий.

Осуществление этого комплекса условий называется опытом или испытанием, экспериментом. 

|| Эксперимент (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).

Примеры: сдача экзамена, наблюдение за дорожно-транспортными происшествиями, выстрел из винтовки, бросание игрального кубика, педагогический эксперимент.

|| Эксперимент называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Полного совпадения всех условий для каждого испытания добиться невозможно (по ряду объективных причин), поэтому при выполнении неполного комплекса условий интересующее событие может не наступить, и будет иметь место какое-нибудь другое. В силу изменяющихся независимо от воли исследования неучтенных условий при повторении испытаний будут наступать те или иные события, неизвестные заранее (их называют случайными).

|| Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта). Их обозначают заглавными буквами А  В  С  Д … (латинского алфавита).

Рассмотрим несколько наиболее излюбленных в теории вероятностей примеров случайных экспериментов. СЛАЙД 7-10.

Опыт 1: Подбрасывание монеты. Испытание – подбрасывание монеты;  события – монета упала гербом или решкой.

Напомним, что «решка» - лицевая сторона монеты (аверс), «орел» - обратная сторона монеты (реверс). В теории вероятности имеют в виду идеальную монету, которая при подбрасывании с равными шансами может выпасть на «орла» или «решку». Для реальных монет это может быть не совсем так – ведь, в конце концов стороны монеты могут быть не совсем одинаковые, кроме того монета может упасть на ребро, закатиться в щель.

Опыт 2: Подбрасывание кубика. Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент.

Шесть случайных событий. ВОПРОС: какие?

Опыт 3: Выбор перчаток. В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки.

Опыт 4: «Завтра днем – ясная погода». Здесь наступление дня – испытание, ясная погода – событие.

СЛАЙД 11-13.

|| Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

Пример:

1. наступление дня по прошествию ночи – достоверное событие;
2. при подбрасывании кубика выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5 или 6. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.

Приведите примеры достоверных событий.

|| Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Пример: при подбрасывании кубика выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, нет.

Приведите примеры невозможных событий.

Примеры.  M={если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 350 С, то она в жидком состоянии} или H={образование белого творожистого осадка хлорида серебра в результате взаимодействия поваренной соли с нитратом серебра} – достоверные события;

C={формирование зелёных семян гороха при опылении гомозиготных растений с жёлтыми и зелёными семенами} или F={появление двух выигрышей по одному лотерейному билету} – невозможные события;

L={появление в ходе реакции (неконтролируемой) разветвлённой молекулы полимера} или N={выпадение какой либо грани при подбрасывании игрального кубика} – случайные события;

L={появление на свет кроликов-альбиносов} и N={появление на свет кроликов с серой окраской шерсти} в одном помёте – противоположные события

СЛАЙД 14-15.

ЗАДАНИЕ 1. Охарактеризуйте  события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.

Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:

а) задумано четное число (случайное);

б) задумано нечетное число (случайное);

в) задумано число, не являющееся ни четным,  ни нечетным

 (невозможное, так как любое натуральное число либо четное, либо

нечетное);

г) задумано число, являющееся четным или нечетным (достоверное).

ЗАДАНИЕ 2. В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.

Охарактеризуйте следующее событие:

а) из мешка вынули 4 шара и они все синие (невозможное, в мешке

только 3 синих шара);

б) из мешка вынули 4 шара и они все красные (случайное);

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета

(невозможное, в мешке шары только трех разных цветов);

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного

 цвета (достоверное – в мешке нет черных шаров).

Кроме случайного события с опытом связано еще одно основополагающее понятие: исход. СЛАЙД 16-20.

|| Исходом (или элементарным исходом, элементарным событием) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.

События, являющиеся результатом других, предыдущих событий, называются ИСХОДОМ. 

Попробуем определить число возможных исходов в каждом из рассмотренных выше опытах.

Опыт 1. – 2 исхода: «орел», «решка».

Опыт 2. – 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Опыт 3. – 3 исхода: «обе перчатки на левую руку», «обе перчатки на правую руку», «перчатки на разные руки» или 4 исхода: «обе перчатки на левую руку», «обе перчатки на правую руку», «первая перчатка на левую руку, вторая на правую», «первая перчатка на правую руку, вторая на левую» (4 исхода).

1. Однозначные исходы предполагают единственный результат того или иного события: смена дня и ночи, смена времени года и т.д. 
2. Неоднозначные исходы  предполагают несколько различных результатов того или иного события: при подбрасывании кубика выпадают разные грани; выигрыш в Спортлото, результаты спортивных игр

Исходы – элементарные события, состоят только из одного исхода и не делимы на более мелкие.

СЛАЙД 21-23.

ЗАДАНИЕ 3. Запишите множество исходов для следующих испытаний.

а) В урне четыре шара с номерами два, три, пять, восемь. Из урны наугад извлекают один шар. (4 исхода)

б) В копилке лежат три монеты достоинством в 1 рубль, 2 рубля, и 5 рублей. Из копилки достают одну монету. (3 исхода)

в) В доме девять этажей. Лифт находится на первом этаже. Кто-то из жильцов дома вызывает лифт на свой этаж. Лифтовый диспетчер наблюдает, на каком этаже лифт остановится. (8 исходов).

ЗАДАНИЕ 4. Найдите количество возможных исходов.

а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. (3 исхода: Луговая, Сосновая, Озёрная).

б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. (2 исхода – 2 и 4)

в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку (1 исход); событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику (3 исхода).

ЗАДАНИЕ 5. В каждом из следующих опытов найдите количество возможных исходов:

а) подбрасывание двух монет (3 исхода);

б) подбрасывание двух кнопок (3 исхода);

в) подбрасывание двух кубиков (для 1 – 6 вариантов, для 2 – 5 вариантов и т.д., значит исходов 6+5+4+3+2+1=21);

г) подбрасывание монеты и кубика (12 исходов);

д) подбрасывание монеты, кнопки и кубика (монета и кнопка – 4 исхода, кубик – 6 исходов, всего 4*6=24 исхода).

СЛАЙД 24.

4. Итог урока.

Вопросы

1. Может ли событие быть одновременно и невозможным и достоверным?
2. Является ли исход событием?
3. Сколько исходов у исхода?
4. Назовите основные понятия комбинаторики.

5. Домашнее задание:

выучить определения, выполнить задания:

№1. Объясните, что такое достоверное, невозможное и случайное событие.                Приведите примеры.

№2.  Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное:

а) летних каникул не будет  (невозможное);

б) бутерброд упадет маслом вниз (случайное, может упасть и маслом вверх);

в) учебный год когда-нибудь закончится (достоверное).

№3.

Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают (случайное);

б) их дни рождения совпадают (случайное);

в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля (невозможное);

г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня) (случайное);

д) дни рождения в этом году (достоверное).

№4.

Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Какие?

Теория вероятности.

Урок №3.

Тема: Типы случайных событий и действия над ними.

Цели: Отработка навыков решения задач.

Оборудование: презентация «ver_Urok№3».

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания. (Устно).

№1. Объясните, что такое достоверное, невозможное и случайное событие.  

Приведите примеры.

№2.  Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное:

а) летних каникул не будет  (невозможное);

б) бутерброд упадет маслом вниз (случайное, может упасть и маслом вверх);

в) учебный год когда-нибудь закончится (достоверное).

№3.

Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают (случайное);

б) их дни рождения совпадают (случайное);

в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля (невозможное);

г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня) (случайное);

д) дни рождения в этом году (достоверное).

№4.

Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Какие?

3. Диктант.

Для каждого из событий определите, каким оно является – невозможным, достоверным или случайным:

а) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 января (с);

б) из 25 учащихся двое справляют день рождения 30 февраля (н);

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – мальчик (с);

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это – девочка (с);

д) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему – 14 месяцев (н);

е) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет (д);

ж) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны (н).

4. Усвоение нового материала в процессе решения задач.

ВОПРОС: Какие типы событий вы знаете? (достоверные, невозможные, случайные).

|| Событие  называется противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А, и наоборот.

Например, событие А – «выпало четное число очков» и  - «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика – противоположные.

Примеры: если сейчас день, то сейчас не ночь; если человек спит, то в данный момент он не читает; если число иррациональное, то оно не является четным.

Придумайте два противоположных события.

Задание 1. Назовите событие противоположное данному:

1. при бросании монеты выпала решка (при бросании монеты выпал орел);
2. Алеша вытащил выигрышный билет в розыгрыше лотереи («Алеша вытащил без выигрыша билет в розыгрыше лотереи» или «Алеша не вытащил выигрышный билет в розыгрыше лотереи»);
3. в нашем классе все умные и красивые (в нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый);
4. мою соседку по парте зовут или Таня, или Аня (мою соседку по парте зовут не Таня  и не Аня);
5. явка на выборы была от 40% до 47% (явка на выборы была менее 40% или более 47%);
6. сегодня хорошая погода («сегодня пасмурно» или «сегодня плохая погода»).

|| Два события А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента.

Пример. А – «идет дождь», В –  «на небе нет ни облачка» – несовместные.

Пример. Коля и Саша играют в шашки. А – «Коля проиграл», В – «Саша выиграл» –совместные, С – «Витя наблюдал за игрой».

Примеры: совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное; несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.

Придумайте два совместных события.

Придумайте два несовместных события.

Задание 2: Укажите совместность – несовместность случайных событий:

а) (Катя со Славой играли в шахматы)

        А – «Катя выиграла», В – «Слава проиграл»;

б) (Катя со Славой играли в шахматы)

        А – «Катя проиграла», В – «Слава проиграл»;

в) (бросили кубик)

        А – «выпала шестерка», В – «выпала пятерка»;

г) (бросили кубик)

        А – «выпала шестерка», В – «выпало четное число очков»;

д) (взяли кость домино)

        А – «одно число 2», В – «сумма обоих чисел 9»;

е) (взяли кость домино)

        А – «оба числа больше трех», В – «сумма чисел = 8»;

ж) А – «квадратное уравнение имеет два корня», В – «дискриминант больше нуля»;

з) А – «квадратное уравнение не имеет корней», В – «дискриминант равен нулю».

1. Суммой (объединением) нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. (, )

Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе.

Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что наступить А или В, тогда + заменяется словом «или».

Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможные события: А – «вынут красный шар», В – «вынут белый шар», С – « вынут черный шар». Тогда А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», В+С – «вынут не красный шар».

Примеры: пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; А - пошли на дискотеку; В - пошли в библиотеку, то А + В - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома. 

На диаграмме Эйлера-Венна сумму событий можно изобразить так (прямоугольник – изображение множества всех возможных исходов опыта ):                                                                                                                                                            

А

В

Диаграмма, иллюстрирующая сумму несовместных событий.                                                                                                       

В

С

А

     Сумма трех совместных события:

                                                                                       

2. Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания ()

Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик».

Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда АВС – «выпало 4 очка».

Примеры: пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то АВ - из урны вытянули два белых шара;

А - идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом;

А - число четное, В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.

На диаграмме Эйлера-Венна пересечение (произведение) изображают так:                                                                                                                                                              

В

А

        

Задание 3. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

1. А – учитель вызвал к доске ученика, В – учитель вызвал к доске ученицу (учитель вызвал к доске ученика или ученицу).  
2. Родила царица в ночь  А – не то сына, В – не то дочь (царица родила сына или дочь).

5. Решение тренировочных упражнений.

Задание 4. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию шесть уроков»; 3) «сегодня первое января»; 4) «температура воздуха в Салехарде +20С» - составить все возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Задание 5. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события:

1. «вынута карта красной масти» и «вынут валет»;
2. «вынут король» и «вынут туз».

6. Итог урока.

Вопросы

1. Могут ли события быть одновременно и несовместными и совместными?
2. Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?

Задание.

Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?

Решение. а) На кубике не выпало 1; б) Света не получила на экзамене «5» (в том случае, если Света сдавала экзамен, то можно утверждать, что Света получила какую-то другую оценку); в) после ночи не наступает утро. Заметим, что событие, противоположное событию в) является невозможным (во всяком случае, в нашей обыденной жизни).

7. Домашнее задание.

1. Придумать пары противоположных, совместных, несовместных событий.
2. Придумать и сложить два или три события.
3. Придумать и умножить два или три события.

Теория вероятностей.

УРОК № 4.

Тема: Классическое определение вероятности.

Цели:  - разобрать понятия классической вероятности;

 - рассмотреть свойства вероятности.

Оборудование: презентация «ver_Urok№4».

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Тест. 

Тест №1. «Случайные исходы, события, испытания». СЛАЙД 1-6.

1. О каком событии идёт речь? Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля.

      А) достоверное;            В) невозможное;               С) случайное.

2. Это событие является случайным:

       А) слово начинается с буквы «ь»;

       В) ученику 8 класса 14 месяцев;

       С) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8.

3. Найдите достоверное событие:

       А) На уроке математики ученики делали физические упражнения;

       В) Сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2006 года;

       С) Подкинули монету и она упала на «Орла».

4. Среди пар событий, найдите несовместимые.

      А) В сыгранной Катей и Славой партии шахмат, Катя проиграла и Слава проиграл.

      В) Из набора домино вынута одна костяшка, на ней одно число очков больше 3, другое число 5.

     С) Наступило лето, на небе ни облачка.

5. Охарактеризуйте случайное событие: новая электролампа не загорится. Это событие:

     А) менее вероятно;        В) равновероятное;             С) более вероятное.

6. Какие события из перечисленных ниже являются противоположными? В колоде карт лежат четыре туза и четыре короля разных мастей. Достают карту наугад. Событие

    А) достанут трефового туза;

    В) достанут туза любой масти;

    С) достанут любую карту кроме трефового туза.

7. Колобок катится по лесным тропкам куда глаза глядят. На полянке его тропинка расходится на четыре тропинки, в конце которых Колобка поджидают Заяц, Волк, Медведь и Лиса. Сколько исходов для выбора Колобком наугад одной из четырёх тропинок.  

       А) 1;                               В) 4;                                С) 5.

8. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Сколько исходов двух совместных выстрелов?            

       А) 4;                               В) 3;                                С) 2.

9. Два шахматиста играют подряд две партии. Сколько исходов у этого события?                                    

      А) 4;                                В) 2;                                С) 9.

10*. Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта?    

     А) 8;                                 В) 9;                               С) 6.

IV. Лекция с необходимым минимумом задач.

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятность», например: «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает» и т.д. Здесь интуитивно оценивается возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции. Например, мы заранее знаем, что на детский сеанс пойдет большинство школьников, чем взрослых, или что при выполнении многих видов работ вредна торопливость, т.к. в спешке можно сделать  брак.

Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции,  невозможно и трудно. Например, это можно сказать про события «герб появится 2 раза при пятикратном бросании монеты». Каждое событие обладает определенной степенью возможности наступления, т.е. определенной оценкой. Такую оценку называют вероятностью события. СЛАЙД 7-12

В  толковом  словаре  С.И. Ожегова  и Н.Ю. Шведовой:

«Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Классическое определение.

Определение : Вероятность события (Р(А)) – это численная мера объективной возможности его появления. СЛАЙД 5-7

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ     ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ:

А – некоторое событие,

m – количество исходов, при которых событие А появляется,

n – конечное число равновозможных исходов.

|| Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

Такое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим.

Пьер-Симо́н Лапла́с

ПРИМЕРЫ. СЛАЙДЫ 13-18

ПРИМЕР 1. В школе 1300 человек, из   их 5 человек хулиганы.

Вероятность: P(A)=6/36=  =1/6.

Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза? РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР 2. При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?

РЕШЕНИЕ: Составим следующую таблицу

ПРИМЕР 3. Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

РЕШЕНИЕ: 

Всего 10 букв.

Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5;

буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10;

буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5;

буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5;

буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10.

Примеры, НЕТ НА СЛАЙДАХ.

ПРИМЕР: Какова вероятность появления четных очков при одном бросании игрального кубика?

РЕШЕНИЕ: Пусть А – событие «выпадет четное число»  N=6, т.к. число возможных исходов 6 ( 1  2  3  4  5  6). М=3, т.к. только 3 четных очка. Значит, Р(А) = 3:6=0,5.

ПРИМЕР: В классе 30 учащихся. Из них 12 юношей , остальные девушки. Известно, что к доске д.б. вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки?

РЕШЕНИЕ: Число всех возможных исходов=количеству способов,  которыми можно выбрать двух учащихся из30. N=. Число  благоприятствующих исходов равно М= . Тогда Р(А)= М:N = 51:145.

Свойства вероятности: СЛАЙД 19-21

1.Вероятность достоверного события равна 1.

2.Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность события А не меньше нуля , но не больше единицы.

СЛАЙД 22-23. Рассматривается еще статистическая вероятность; здесь в качестве вероятности событий принимается его относительная частота. Статистическая вероятность обозначается W(A). Она равна отношению числа испытаний, в которых событие А наступило к общему числу произведенных испытаний.

V. Решение задач. Самостоятельная работа (). СЛАЙД 24-34.

Задача 1. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. 

Решение. а) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна:

P=3:9=1/3=0,33(3)

б) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна P=2:9=0,2(2)

в) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 7 (4+3). Вероятность равна P=7:9=0,7(7)

Задача 2. В коробке лежат 10 одинаковых шаров, на каждом из которых написан его номер от 1 до 10. Найдите вероятность следующих событий: а) извлекли шар № 7; б) номер извлеченного шара – четное число; в) номер извлеченного шара кратен 3. 

Решение. Мы имеем  всевозможных случаев 10.

а) Благоприятных 1. Вероятность P=1:10=0,1

б) Шаров с четными номерами 5 (2,4,6,8,10). Вероятность равна P=5:10=0,5

в) Благоприятных 3.(3,6,9). Вероятность равна P=3:10=0,3

Задача 3. Мальчики играли в “Орлянку”. Но монетка куда-то закатилась. Предложите, как заменить ее игральным кубиком?

Решение. Считать "орел" -  четное число, а "решка" - не четное число.

Задача 4. Какую справедливую игру можно предложить двум девочкам, у которых есть 3 красных и 1 белый шарик и мешок?

Решение. Всевозможных событий 6 (красный №1 - красный №2; красный №1 - белый; красный №2 - белый; красный №3 - красный №2; красный №3 - красный №1; красный №3 - белый) из них благоприятных 3. Выигрывает тот, кто вытаскивает 2 красных шара.

Задача 5. В настольной игре сломалась вертушка с тремя разными секторами: красным, белым и синим, но есть кубик. Как заменить вертушку? 

Решение. Считать на кубике 1 и 2 - красный сектор, 3 и 4 - синий сектор, 5 и 6 - белый сектор.

VI.  Домашнее задание. СЛАЙД 35-36.

Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны? 

Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1, m2, m3 -числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3, m2=8, m3=9. Поэтому   P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?

Задание 3. В настольной игре потеряли кубик. Как заменить его с помощью разноцветных фишек?

Ответ. Каждой стороне кубика определить цвет фишки.

 Дополнительные задачи. СЛАЙДОВ НЕТ.

 Задача 1. Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность появления m гербов (m=0,1,2)?

Решение. Рассмотрим возможные  при бросании двух монет исходы. Очевидно, их можно описать схемой  ГГ, ГР, РГ, РР, где Г означает выпадение герба, а Р- надписи. Таким образом, возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты предполагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других. Поэтому все четыре случая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив через Pm 

Задача 2. Одновременно бросают две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми? вероятность выпадения m  гербов, легко получим P0=1/4, P1=2/4=1/2, P2=1/4. 

Решение. Так как любое из возможного числа очков на одной кости может сочетаться с любым числом очков на другой, то общее число различных случаев равно n=6*6=36. Легко убедиться в том, что все эти случаи попарно несовместимы, равновозможны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми. Это будет, если число очков на брошенных костях равно 2+6, 3+5, 4+4, 5+3 или 6+2, причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе- на второй кости. Отсюда видно, что событию А, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благоприятствуют m=5 случаев. Поэтому P(A)=5/36.

Теория вероятностей.

УРОК № 5.

Тема: Классическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель:  выработать умение решать задачи на определение классической вероятности с использованием основных формул комбинаторики.

Оборудование: презентация «ver_Urok№5».

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны? 

Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1, m2, m3 -числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3, m2=8, m3=9. Поэтому   P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?

Задание 3. В настольной игре потеряли кубик. Как заменить его с помощью разноцветных фишек?

Ответ. Каждой стороне кубика определить цвет фишки.

3. Самостоятельная работа (проверочного характера).

Заполнить таблицу:

IV. Практикум по решению задач.

Задача 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит,  

Задача 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

 (только один вариант расположения букв – «КРОТ»)

Задача 3. На четырех карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: а) число 123;  б) число 312 или 321;  в) число, первая цифра которого 2?

Решение. Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения важен). Общее число исходов:

Рассмотрим события и их вероятности:

а) Событие А={из трех карточек образовано число 123},  (единственный вариант);

б) Событие В={ из трех карточек образовано число 312 и 321},  (два варианта размещения карточек);

в)Событие С={из трех карточек образовано число, первая цифра которого 2}. Если первая цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть

Задача 4. В ящике лежат 1 белый и три черных шара. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 черных шара; 2) белый и черный шар?

Решение. Исходы – все возможные пары шаров, выбираемые из четырех шаров  в ящике; порядок выбора шаров не учитывается. Общее число исходов

1) Событие А={вынуты два черных шара};

2) Событие В={вынуты белый и черный шары};   (выбор белого, затем – черного);

Задача 5. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.

Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует  исходов.

2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака , выбор второй буквы из оставшихся .

3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.

4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.

V. Домашнее задание.

Задача 1. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр !, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал правильный номер?

Решение. Исходы – перестановки из трех элементов (1, 5, 9); общее число исходов:

Событие А={абонент набрал верный номер};

Задача 2. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

а) 3-х карточек получится слово РОТ;

б) 4-х карточек получится слово СОРТ;

в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?

Решение. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения .

Исходное множество содержит т=5 элементов.

Обозначим буквами А, В, С случайные события, указанные в условии задачи. Найдем их вероятности.

а) Выбираются 3 карточки, k=3, общее число исходов

б)

в)

Задача 3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Общее число возможных исходов

А={все три тетради в наборе – в клетку}.

 Дополнительные задачи.

Задача 1. Четыре билета на елку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова векроятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

Решение.

Задача 2. Случайно нажимают три клавиши из одной октавы. Найдите вероятность того, что:

1. звучат ноты «си» и «до»;
2. не звучит нота «фа»;
3. звучит нота «ля»;
4. получится до-мажорное звучание.

Решение. Исходами являются все наборы по 3 клавиши из 7 имеющихся в октаве; порядок расположения клавиш в наборе не учитывается. Общее количество исходов

1. А={ звучат ноты «си» и «до»}. К двум клавишам добавляют третью – любую из 5 оставшихся,
2. В={ не звучит нота «фа»}. Выбираем три клавиши из шести, исключая «фа»,
3. С={звучит нота «ля»}. Выбираем две клавиши из шести, исключая «ля»,
4. D={получилось до-мажорное звучание};  (должны быть нажаты три соседние клавиши в начале октавы, единственный вариант).

Теория вероятностей.

УРОК № 7.

Тема: Статистическое определение вероятности. Комбинаторные методы решения задач.

Цель:  выработать умение решать задачи на определение частоты, статистической вероятности (с использованием основных формул комбинаторики).

Оборудование: презентация «ver_Urok№7».

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Решение.

Задача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение.

а)

б)

в)

3. Математический диктант (проверка теории).

1) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.

  (         , А – некоторое событие, m – количество исходов, при которых событие А появляется, n – конечное число равновозможных исходов.

2) Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.     (                   , где        - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний).

3) Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности? (исходы равновозможные).

4) Чему равна частота достоверного события? (W(A)=1).

5) Чему равна частота невозможного события? (W(A)=0).

IV. Практикум по решению задач.

Задача 1. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Решение. 

w = 5/100 = 0,05

Ответ:   = 0,05.

Задача 2. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов..

Решение. 

Ответ: 102 попадания.

1. Новый материал. Вероятностная шкала.

Что вероятнее?

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события:

1. А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};
2. В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};
3. С={при бросании кубика выпадет шестерка};
4. D={пpu бросании кубика выпадет четное число очков};
5. Е={в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};
6. F={пpu бросании кубика выпадет семерка};
7. G={в следующем году в Москве выпадет снег};
8. Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов - тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

События:        невозможные                                          случайные                                   достоверные

Вероятность:              0                                                       0,5                                                     1

Пример 1. Вова хочет вытянуть наугад одну  карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее:

1. Маша: Это будет король.
2. Саша: Это будет пиковая дама.
3. Гриша: Эта карта будет красной масти.
4. Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

Решение :

1. Как сравнить между собой шансы предсказателей?
2. Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами:
3. А={Вова достанет короля};
4. В={Вова достанет пиковую даму};
5. С={Вова достанет карту красной масти};
6. D={Вова достанет карту пиковой масти}.
7. Всего в колоде:
8. королей - 4;                             Р(А)=4/36
9. пиковая дама - 1;                    Р(В)=1/36
10. карт красных мастей-18;       Р(С)=18/36
11. пик- 9;                                     Р(D)=9|36

                                   BA       D               C

Пример 2. Что вероятнее: А={получить шестерку при подбрасывании кубика} или В={вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}?

1. Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий.
2. На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки.
3. Стало быть, событие. В более вероятно?
4. Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы. Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».
5. В примере 1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36».
6.  А вот в этом примере ситуация сложнее:
7. шестерок на кубике -1, а всего граней у куба - 6;

     шестерок в колоде - 4, а всего карт в колоде - 36.

Решение :

1. Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4шанса из 36», ведь 1/6 больше 4/36.
2. Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в числителе - сколько шансов за осуществление данного события, а в знаменателе - сколько всего возможно исходов. Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 1).

Пример 3. Попробуем на основе нашего опыта общения по телефону сравнить между собой степень вероятности следующих событий:

1. А ={вам никто не позвонит с 5 до 6 утра};
2. В ={вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра};
3. С ={вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21};
4. D ={вам никто не позвонит с 18 до 21}.

Решение :

1. Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А - очень вероятное, почти достоверное, а В - маловероятное, почти невозможное.
2. Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятные, чем D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.

2. Решение задач.

Задача 3. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 000 деталей?

Решение. По результатам контроля можно оценить вероятность

события А={произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Р(А)  = 0,005.

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 • 0,005 = 125 бракованных.

Задача 4. Население города Калуги составляет около 400 000 жителей. Сколько калужан родились 29 февраля?

Решение. Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

Это значит, что среди 400 000 жителей Калуги следует ожидать около человека, которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

Задача 5. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов, на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Решение:  

1. Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно.
2. В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N.
3. Тогда  вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет   86/ N

1. С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте:

     86/N=6/78

1. Отсюда N = 86 78/6 =1118

      Сравнивая вероятности всех возможных исходов эксперимента, можно предсказывать, каким из них эксперимент закончится скорее всего. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

VII. Домашнее задание.

Практическое задание. В письменном тексте одной из «букв»  считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.

Теория вероятностей.

УРОК № 8.

Тема:  Геометрическое определение вероятности.

Цели урока:

1. Дать геометрическое определение вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события.  
2. Развивать умения решать задачи.
3. Способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес и способности к изучению математики.

Оборудование: презентация «ver_Urok№8».

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.

Практическое задание. В письменном тексте одной из «букв»  считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.

3. Самостоятельная работа.

4. Частично-поисковая деятельность.

Как оценить вероятность того, что стрелок попадает в «десятку»? Как оценить, насколько вероятнее футболист попадает мячом в большие ворота, чем в маленькие, при тех же расстоянии и силе удара?

Существует целая серия задач, в которых можно подойти к определению вероятности из геометрических соображений.

Проблема.

Опыт 1.  

Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?

Причины невозможности применения известных формул:

1. Число исходов бесконечно.
2. Вероятность будет зависеть от размеров карты (масштаба).

Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия.

Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия.

Отношение этих площадей и даст искомую вероятность. 

Общий случай: в некоторой ограниченной области W случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

А



L

Геометрическое определение вероятности.

|| Если предположить, что попадание в любую точку области  равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей .

|| Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.

|| Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: .

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.

Площадь закрашенной части квадрата  16см2 – 4см2 = 12см2. Значит, .

Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии?

1

рубль

1. Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями. (Решение не показывать)

Опыт 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?

Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга: .

V. Решение задач.

Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ;  2) АС;  3) МС;  4) МВ;  5) АВ?

                А             М                              С                                              В

Решение.

1) A={точка Х попадает на отрезок АМ},  АМ=2см, АВ=12см, .

2) В ={ точка Х попадает на отрезок АС},  АС=2см+4см=6см,  АВ=12см, .

3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, .

4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,  .

5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},  .

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?

Решение.

А={попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее}

а)

б)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Решение. 

VII. Обобщение изученного материала. Итог урока.

1. Что  такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)?

(Если предположить, что попадание в любую точку области W равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей .  |Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. |Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: ).

2. Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными? (нет, только равновозможные исходы).

VIII. Домашнее задание.

                   

Задача. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

А

Решение.

IХ. Итоги занятия.