Учитель

Ученик

Доска

Тетрадь

Организационный момент

Здравствуйте, садитесь.

Подготовка к изучению нового материала

На нескольких предыдущих уроках мы изучали арифметическую прогрессию.

Чем является по своей сути АП?

По своей сути АП является последовательностью чисел.

Верно.

Теперь дайте, пожалуйста, определение, какая числовая последовательность называется АП?

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

А какое условие должно выполняться чтобы последовательность вида: a1, a2, …, an являлась АП?

Числовая последовательность вида: a1, a2, …, an называется АП, если для всех натуральных n выполняется равенство:

an + 1 = an + d

где d некоторое число.

Хорошо, давайте выпишем формулу из определения на доску и обозначим ее (1), продиктуйте ее мне.

an + 1 = an + d (1)

Что такое d?

Число d называют разностью АП.

А как можно найти разность АП?

Чтобы найти разность АП необходимо из члена АП вычесть предыдущий член АП.

Верно. Давайте и эту формулу выпишем на доску, продиктуйте мне ее, обозначим ее (2).

Формулы (1) и (2) понадобятся нам по ходу урока.

d = an + 1 - an (2)

Теперь проведем небольшую устную работу.

Итак, первый пример. 3, 7, … АП.

3; 7;… - АП.:

Чему равен первый член АП?

3

Правильно, а второй?

7

Верно. Как найти разность АП?

К доске пойдет _______________;

Для того чтобы найти d, необходимо из второго члена АП вычесть первый член АП.

d = 7 – 3 = 4;

Теперь найдите пятый член АП.

К доске пойдет _______________;

Воспользуемся формулой n го члена АП.

a5 = a1 + 4 * 4

А как найти 17 член АП?

К доске пойдет _______________;

a17 = a1 + 16 * 4

Ну и, наконец, напишите, пожалуйста, как найти k член этой прогрессии.

К доске пойдет _______________;

ak = a1 + (n – 1) * d

ak = a1 + (n – 1)*d (3)

Правильно. Обозначим полученную формулу (3).

Переходим к следующему заданию.

Найдите номера членов АП удовлетворяющих условию an > 1000;

К доске пойдет _______________;

3+(n-1)*d>1000

4n>1001

n > 250.25

n = 251…

Верно. Обратите внимание, что условие выполняется не с 250, а с 251 члена.

Найдите сумму первых 5 членов данной прогрессии;

К доске пойдет _______________;

a1 = 3; a2 = 7; a3 = 11;

a4 = 15; a5 = 19.

S5 =3+7+11+15+19=57

Абсолютно верно.

Ну и, наконец, найдите сумму первых 50 членов данной прогрессии, как вы будите выполнять это задание?

Найдем с первого по пятидесятый член АП, а затем сложим полученные числа.

Можете ли вы быстро ответить на вопрос задачи?

Нет. Нам понадобиться какое то время для вычислений.

Вы правы, эта процедура займет длительное время.

А теперь представьте, какое время необходимо для вычисления суммы 1000 первых членов, а 10000…

На этом уроке мы с вами выведем формулу, с помощью которой можно не находя всех промежуточных членов АП, достаточно быстро, найти сумму первых n членов АП.

Изучение нового материала

Итак, открываем тетради, записываем в тетради число, тему урока «Формула суммы N первых членов АП».

Дата. Формула суммы N первых членов АП.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания

Запишем.

S = 1     + 2   + 3   +...+ 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 +...+ 3   + 2   + 1.

Заметим, что каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…).

А сколько таких пар?

100

Верно. Теперь, сложим равенства почленно, получим.

2S = 101 * 100

Выразим S.

Итак.

1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

(Рассказать учащимся о маленьком Карле Гауссе (1777-1855), который решил эту задачу, будучи 10-летним учеником.)

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму п первых членов арифметической прогрессии (ап) через Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания

Sn = a1 + a2   + a3   +...+ an-1 + an    (1)

Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a2    + a1   (2)

Чему же в данном случае равна сумма чисел, расположенных друг под другом?

Для первой и последней пары понятно а1 + аn, а как же дальше?

Рассмотрим пару чисел a2 + an-1

Как на ваш взгляд можно представить число a2 исходя из записанной нами ранее формулой (3) и как называется данная формула?

Формула (3) – формула n го члена АП, с помощью этой формулы a2 можно представить следующим образом:

a2 = a1 + (2 - 1) * d или просто a2 = a1 + d

Верно, запишем это.

a2 = a1 + d

А теперь подумайте, как аналогичным образом представить an-1 член АП?

an-2 = a1 + (n – 2 – 1) * d

an-2 = a1 + (n – 3) * d

Правильно, но давайте попробуем немного схитрить.

Как вы думаете, если известен член АП, как, зная разность АП получить предыдущий член?

Необходимо из известного члена АП вычесть d.

Верно, давайте вернемся к an-1, какой член АП идет после него?

an

Значит, как еще можно представить an-1 член АП кроме предложенного вами ранее способа?

an-1 = an – d;

Абсолютно верно, итак запишем:

an-1 = an – d;

Еще раз посмотрите на запись, поднимите, пожалуйста, руку те, кто не понял, или не до конца понял проведенные рассуждения.

Найдем сумму, a2 + an-1

a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = а1 + аn

Теперь, пользуясь аналогичными рассуждениями, распишем сумму a3 + an-2

a3 + an-2 = (a2 + d) + (an - 1 –d) = a2 + an-1 = а1 + аn

и т.д.

Заметим, что сумма каждой пары чисел равна а1 + аn

А сколько таких пар у нас получиться?

Таких пар у нас будет n.

Итак, теперь как в первом случае сложим почленно равенства (1) и (2), получим

 (I)

Выделим получившуюся формулу в рамочку. Это и есть первая формула для нахождения суммы первых n членов АП.

Этой формулой удобно пользоваться, когда нам известны первый и n ый член АП, а что делать, если нам даны только первый член АП и ее разность?

Для того чтобы ответить на этот вопрос распишем в формуле (I) an = a1 + (n – 1)*d, получим

откуда

 (II)

Выделим вторую формулу в рамочку. В дальнейшем, для успешного освоения данной темы, одной из основных ваших задач будет научиться правильно, применять необходимую формулу, для рационального решения поставленной в условии задачи.

Постановка домашнего задания

Изучение нового материала мы закончили. Откройте, пожалуйста, дневники, запишите домашнее задание.

№№ 369(а), 370(а), 371(а), 372, 374(а) + ФОРМУЛЫ и определения по теме АП на опрос.

Первичное осмысление нового материала

Итак, теперь мы с вами применим на практике полученные знания. Откройте учебники на странице 92, номер 369 (б). Итак ________________ прочитай пожалуйста условие задачи.

Найдите сумму первых 60 членов АП (an), если: a1 = -10,5, a60 = 51,5.

Хорошо, теперь давайте запишем условие задачи, напоминаю, что задачи на АП оформляются через «Дано». Итак, пишем в тетрадях слово «Дано», а под ним записываем данные известные из условия. ____________ продиктуй мне пожалуйста, что нам известно из условия и что требуется найти.

Дано:

a1 = -10,5

a60 = 51,5

Найти:

S60

Верно, запишем это.

Дано:

a1 = -10,5

a60 = 51,5

Найти:

S60

Итак, как вы думаете, какая из двух уже известных нам формул для нахождения суммы первых n членов АП нам подходит и почему?

Нам подходит первая формула , т.к. нам известны 1 и 60 член этой прогрессии, а так же n.

Верно, записываем, S60 равняется: -10,5 + 51,5 деленное на 2 и умноженное на 60. Следовательно, S60 равняется

Ответ:

Не забудьте записать ответ. Итак, переходим к следующей задаче. К доске пойдет _______________, № 370 (б). Проговаривай, пожалуйста, решение.

Найти сумму восьми первых членов АП: 14.2, 9.6,…

Итак, записываем «Дано»:

Из условия задачи нам известно, что первый член АП равен 14.2, второй 9.6. Формулой (I), мы пользоваться не можем, т.к. нам не известен восьмой член этой прогрессии. Следовательно, пользуемся (II), формулой предварительно найдя разность АП. Итак d = 14.2 – 9.6 = 4.6. Осталось только подставить цифры в формулу (II), итак:

Дано:

a1 = -10,5

a60 = 51,5

Найти:

S8

Решение:

d = 14.2 – 9.6 = 4.6

Ответ:

Подведение итогов

Итак, что мы изучали на уроке?

Мы изучали формулы для нахождения суммы первых n членов АП.

Как найти сумму первых n членов АП если известны первый член и разность АП

Как найти сумму первых n членов АП если известны первый и энный члены этой АП.

Хорошо, оценки за урок…

Спасибо за урок, до свидания.

Учитель

Ученик

Доска

Тетрадь

Организационный момент (2 мин)

Здравствуйте, садитесь.

Устная работа (3 мин)

Устная работа, задание на доске.

Первое задание, буква (а) _________________.

Мы знаем первый член АП, мы знаем тридцатый член АП, следовательно, можем применить формулу , для вычисления суммы. Подставляем в формулу значения, и проводим вычисления. Получаем, что .

1. В АП (an):

1. a1 = 5, a30 = 15. Найти S30.
2. a1 = 4, d = 2. Найти S12.

2. Тело в первую секунду прошло 15м, а в каждую следующую проходило на 2м больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло тело за 20с?

Верно.

Второе задание, буква (б) _________________.

Мы знаем первый член АП, мы знаем разность АП, следовательно, можем применить формулу , для вычисления суммы. Подставляем в формулу значения, и проводим вычисления. Получаем, что .

Хорошо.

Третье задание _________________.

Тело в первую секунду прошло 15м, следовательно, а1 = 15; т.к. следующую проходило на 2м больше, чем в предыдущую откуда d = 2. Необходимо найти какой путь прошло тело за 20с или S20. Решение аналогично предыдущей задачи, применяем формулу , для вычисления суммы. Подставляем в формулу значения, и проводим вычисления. Получаем, что . Итак за 20 секунд тело прошло 680 метров.

Проверка домашнего задания (5 мин) + Повторение изученного материала (3 мин)

Далее на уроке работа будет построена так: во-первых, проверим домашнее задание. Два человека выйдут к доске и продемонстрируют решение нескольких номеров. Пока они записывают, мы с вами повторим основные понятия темы АП, также повторим все формулы, изученные ранее. Далее прорешаем несколько задач на применение АП, и, наконец, в конце урока напишем небольшую самостоятельную работу по всей теме АП на 10 минут.

Итак, к доске _________________ № 371 (а),

и _________________ № 373.

Для всех остальных первый вопрос.

Чем является по своей сути АП?

По своей сути АП является последовательностью чисел.

Верно.

Теперь дайте, пожалуйста, определение, какая числовая последовательность называется АП?

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

А какое условие должно выполняться чтобы последовательность вида: a1, a2, …, an являлась АП?

Числовая последовательность вида: a1, a2, …, an называется АП, если для всех натуральных n выполняется равенство:

an + 1 = an + d

где d некоторое число.

Что такое d?

Число d называют разностью АП.

А как можно найти разность АП?

Чтобы найти разность АП необходимо из члена АП вычесть предыдущий член АП.

Хорошо, теперь добрались до формул.

По какой формуле можно вычислить n член АП?

То есть, зная первый член АП, и разность АП мы можем найти любой член АП.

А какой формулой может быть задана АП?

Верно, итак если мы какую либо последовательность чисел можем представить в виде, то эта последовательность будет являться АП. Это так называемый признак АП. Теперь переходим к повторению материала предыдущего урока.

Какую тему мы рассматривали на прошлом уроке?

Формулы суммы первых n членов АП.

Верно, следующий вопрос:

Как найти сумму первых n членов АП если известны первый и энный члены этой АП.

А если известны первый член и разность АП

Отлично, теперь обращаем свое внимание на доску. Проверяем № 371 (а) _________________ рассказывай решение задачи со всеми объяснениями. Условие задачи можешь не читать.

По условию b1 = -17, d = 6. Необходимо вычислить S9.

Решение. И так мы знаем первый член АП, мы знаем разность АП, следовательно, можем применить формулу , для вычисления суммы. Подставляем в формулу значения, и проводим вычисления. Ответ: .

Дано:

b1 = -17

d = 6

Найти:

Ответ:

Верно, присаживайся. Следующий номер  № 373 _________________ вперед.

По условию,  т.е. АП задана в общем виде. Необходимо вычислить S20.

Из общего вида АП мы можем найти 1 и 20 член АП и воспользоваться формулой . После этого подставим в формулу вместо букв конкретные значения и вычислим. Ответ: .

Дано:

Найти:

Ответ:

Закрепление изученного материала (11 мин)

Итак, открываем тетради, записываем в тетради число, тему урока «Формула суммы N первых членов АП».

Дата. Формула суммы N первых членов АП.

Номера задач, которые нужно решить записаны на доске, там же записаны тексты 3 дополнительных задач. Решаем задачи последовательно. Для тех, кто будет решать вперед доски предусмотрены следующие льготы:

1. Если решены все задачи классной работы + 3 дополнительные задачи – освобождается от СР и получает дополнительную оценку в журнал.
2. Если решены все задачи классной работы + 2 дополнительные задачи – освобождается от СР.
3. Если решены все задачи классной работы + 1 дополнительные задача – получает дополнительную оценку в журнал.

Итак, приступим.

№№

376 (II способа); 378; 382.

Дополнительные задачи:

1. Тело падает с башни, высотой 26м. В первую секунду проходит 2м, а за каждую следующую секунду - на 3м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдёт тело до падения?
2. Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй грузовой автомобиль, который в первый час прошёл 20км, а каждый следующий проходил на 5км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км?
3. Решить уравнение:

1. 3 + 7 + 11+...+ x = 289;
2. 8 + 5 + 2+...+* = 270

4. Найти сумму всех двухзначных натуральных чисел.

№ 376. Прочитайте условие задачи. Давайте обсудим решения данной задачи. Итак, какие мысли есть по поводу ее решения?

Поскольку необходимо найти S[15-30] = S30 – S15

Верно, пожалуйста, к доске, и оформи это решение.

Можно ли решить эту задачу другим способом?

Найти a15, a30 и составить новую прогрессию у которой  а1 = а15 (старой АП), an = а30 и  d = 3.

Отлично, пожалуйста, к доске, и оформи это решение.

И комментируй решение. Не забывайте про правильное оформление задачи. В СР за неправильное оформление задачи буде снимать по ½ балла.

Найдем ,

затем

.

a15 будет первым членом новой АП. Для того чтобы узнать, каким членом АП будет a30, решим уравнение , откуда . В новой АП мы знаем 1 и 16 член прогрессии, воспользуемся формулой  и вычислим . Запишем ответ.

Дано:

а1 = 10

d = 3

Найти:

Решение:

Ответ:

Хорошо. Я вижу, второй способ уже также доведен до конца. Обратите внимание, что т.к. необходимо найти , то нужно найти S14 а не S15, почему.

Нужно найти S14, а не S15, т.к. в множество  входят члены с порядковыми номерами с 15 по 30, и следовательно, АП разделилась на две части 1 – 14 и 15 – 30.

Дано:

а1 = 10

d = 3

Найти:

Решение:

Ответ:

Хорошо, присаживайтесь, класс, у вас есть минутка записать второй способ решения этой задачи в тетрадь.

Переходим к номеру 378. К доске _________________.

Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а7 = 18,5 и а17=-26,5.

Выразим а7 и а17 через формулу n го члена АП , а затем составим и разрешим систему уравнений , после чего разрешим ее относительно d, зная d найдем а1 и вычислим S20, так .

Запишем ответ.

Дано:

с7 = 18,5

с17 = 26,5

Найти:

Ответ:

Верно.

Переходим к номеру 382. К доске _________________.

Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду - 1 шар, во втором - 2, в третьем - 3 и т.д.

Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

Так как количество шаров в ряду равно номеру ряда, со ставим последовательность: 1; 2; 3; ...; Тогда количество всех шаров, размещённых в п рядах - это сумма первых п членов АП.

Дано:

1; 2; 3;…;n – АП.

Найти:

n-?

Ответ: n=10

Отлично.

Постановка домашнего задания (3 мин)

Открываем дневники, записываем домашнее задание.

№№ 377, 379, 380, 381 + ФОРМУЛЫ и определения по теме АП на опрос.

Самостоятельная работа (10 мин)

Итак, закрываем дневники. До конца урока осталось 13 минут. Сейчас мы проведем СР. На доске задание для первого и второго вариантов. Работайте, в вашем распоряжении 10 минут.

I вариант

375 (в)

Доп. задача 3(а)

Доп. задача 4

II вариант

375(г)

Доп. задача 3(б)

Доп. задача 4

Время вышло. Сдавайте тетради.

Подведение итогов, выставление оценок (3 мин)

Хорошо, оценки за урок…

Спасибо за урок, до свидания.

I вариант

II вариант

375 (в)

375(г)

Найдите сумму: всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Найдите сумму: всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

Дано:

Найти:

Ответ:

Дано:

Найти:

Ответ:

Доп. задача 3(а)

Доп. задача 3(б)

Решить уравнение: 3 + 7 + 11+...+ x = 289

Решить уравнение: 8 + 5 + 2+...+x = 270

Дано:

Найти:

Дано:

Найти:

Доп. задача 4

Найти сумму всех двухзначных натуральных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

Ответ: