Преобразование графиков функций
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Преобразования графиков функций. Алгебра и начала анализа, 10 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Слайд 2

A B C x y 0 1 1 В качестве исходного графика функции y=f(x) выберем ломанную, состоящую из двух звеньев, заданных точками A(-5;-2), B(-2;4) и C(2;2) . Рассмотрим случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию.

Слайд 3

A B C x y I. y=f(x) +a , где a   . 1 1 0 В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a , по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси Oy : вверх на a ед.отр., если a >0 или вниз на a ед.отр., если a <0 . Например: 1) y=f(x)+ 3 ; A 1 B 1 C 1 y=f(x) y=f(x)+3 или 2) y=f(x) – 2 . A 2 B 2 C 2 y=f(x) -2

Слайд 4

A B C x y I. y=f(x) +a , где a   . 1 1 0 Понятие «параллельного переноса вдоль оси Oy вверх…, вниз…» можно заменить на «параллельный перенос на вектор с координатами ». A 1 B 1 C 1 y=f(x) y=f(x)+3 A 2 B 2 C 2 Задание . Запишите координаты концов новых полученных ломанных и сравните их с исходными. y=f(x) -2

Слайд 5

A B C x y 0 1 1 II. y=f(x – a ), где a   . В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a , по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси Ox : вправо на a ед.отр., если a >0 или влево на a ед.отр., если a <0 . Например: 1) y=f(x – 7 ) y=f(x) y=f(x -7) A 1 B 1 C 1 или 2) y=f(x –( –4 ))= f(x + 4 ) . A 2 B 2 C 2 y=f(x+4)

Слайд 6

A B C x y 0 1 1 II. y=f(x – a ), где a   . Вместо понятия «параллельный перенос вдоль оси O х вправо…, влево…» можно использовать понятие «параллельного переноса на вектор с координатами .» y=f(x) y=f(x -7) A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 y=f(x+4) Задание . Запишите координаты концов новых полученных ломанных и сравните их с исходными.

Слайд 7

A B C x y III. y= – f(x). 0 1 1 A 1 B 1 C 1 В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох. Задание . Запишите координаты концов новой полученной ломанной и сравните их с исходными. y=f(x) y= – f(x)

Слайд 8

A B C x y 0 1 1 IV. y=f( – x). В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Оу. A 1 B 1 C 1 Задание . Запишите координаты концов новой полученной ломанной и сравните их с исходными. y=f(x) y=f( – x)

Слайд 9

A B C x y 0 1 1 V. y= k  f(x) , k>0. В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к : «растяжению» графика функции от оси O х в k раз, если k >1 или «сжатию» графика функции к оси Ох в раз, если k <1 . Например: 1) y= 2  f(x); или 2) y= 0,5  f(x) . A 1 B 1 C 1 y=f(x) y=2  f(x) A 2 B 2 C 2 y=0,5  f(x) Если k<0 , то данный случай комбинируют с III . Задание . Запишите координаты концов новых полученных ломанных и сравните их с исходными.

Слайд 10

A B C x y 0 1 1 VI. y=f( k  x) , k>0. В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к : 1) «растяжению» графика функции от оси O у в раз, если k <1 или 2) «сжатию» графика функции к оси Оу в k раз, если k >1 . Например: Если k<0 , то данный случай комбинируют с IV . 1) y=f( 0,5  x); или 2) y=f( 2  x) . Задание . Запишите координаты концов новых полученных ломанных и сравните их с исходными. A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 y=f(x) y=f (0,5  x) y=f(2  x)

Слайд 11

A B C x y 0 1 1 VII. y= | f(x)|. Задание . Запишите координаты концов новой полученной ломанной и сравните их с исходными. В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох. A 1 M Вспомните определение модуля: y=f(x) y=|f(x)|

Слайд 12

A B C x y 0 1 1 VIII. y=f(|x|). Задание . Запишите координаты концов новой полученной ломанной и сравните их с исходными. В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси Оу) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси Оу. N F y=f(x) y=f(|x|)

Слайд 13

x 0 1 1 y Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории. ПРИМЕР 1 . Построить график функции, заданной формулой Решение . Преобразуем данную формулу: 1) Построим график функции 2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

Слайд 14

ПРИМЕР 2 . Построить график функции, заданной формулой Решение . Преобразуем данную формулу, выделив в данном квадратном трехчлене квадрат двучлена: 1) Построим график функции x 1 y 0 1 2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор

Слайд 15

ПРИМЕР 3 . Построить график функции, заданной формулой x y 1 0 Масштаб  :3 − 1 Решение . 1) y=sinx ; 2) y=sin ( 2x ) – «сжатие» к оси Оу в два раза; – параллельный перенос вдоль оси Ох влево на ед.отр.; 4) – «растяжение» от оси Ох в два раза; 5) – параллельный перенос на вектор .

Слайд 16

x y 1 0 Масштаб  :3 − 1 Остается воспользоваться свойством периодичности любой тригонометрической функции (определите наименьший положительный период самостоятельно) и достроить полученную часть до полного графика на всей числовой оси: