МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ   РЕСПУБЛИКИ

                                               КАЗАХСТАН

                   ГУ «СРЕДНЯЯ ШКОЛА №4»

    УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ  КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ  

        "ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 6 КЛАССА"

                                                г. Кокшетау  

Составитель: учитель математики  Маликова Г. К.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ  

«ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ 6 КЛАССА»

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 6 КЛАССА  

В учебно-методическом комплексе даны:

 Рассмотрены основные теоретические вопросы курса 6 класса.

 методические указания для самостоятельной работы учащихся с учителем и для самостоятельной работы учащихся.

1. Пререквизиты курса (набор навыков и знаний, необходимых для освоения изучаемого курса):

1. знание математики в объеме средней школы.

2. Постреквизиты дисциплины: знания по данной дисциплине необходимы для изучения курса математики в 7 классе.

 Краткое описание дисциплины:

Курс «Основы школьного курса математики 6 класса» включает следующие основные разделы:

1.Отношение.Пропорция.Основное свойство пропорции; 2.Прямо и обратно пропорциональные величины. Масштаб; 3.Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Рациональные числа.; 4.Сложение чисел с одинаковыми и  разными знаками.; 5. Умножение. Деление.;

6. Алгебраические выражения.; 7.Линейное уравнение с одной переменной.; 8. Числовые неравенства;9. Сложение, вычитание, умножение и деление числовых неравенств. 10.Числовые промежутки.11.Решение линейных неравенств с одной переменной.

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

Список дополнительной литературы:

1. www.bymath.net/studyguide/ari/ari16.html

Тема №1: Отношение.Пропорция.Основное свойство пропорции .

Цели: Ввести понятие об отношении; его определение, пропорция, крайние и средние члены пропорции.

Глоссарий: 1. Кратным отношением двух чисел называется частное от деления одного числа на другое. Делимое называют предыдущим членом отношения, делитель - последующим. Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

2 . Определение пропорции:

Пропорция - это равенство двух отношений.

a: b = c : d

a, d — крайние члены пропорции;        b, c — средние члены пропорции

Например,     12 : 20 = 3 : 5;      a : b = c : d .

     Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции;  a и  d – во второй.

     Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции;  b и  с – во второй.

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.  

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.

 Это  постоянное  отношение  пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.  

Основное свойство пропорции:

«Произведение крайних  членов пропорции равно  произведению  средних  членов пропорции».

                 a × d = b × c

Алгоритм

Чтобы разделить число в отношении а : в, нужно:

1. Сложить а и в. (Получим общее количество частей.)
2. Разделить данное число на а + в. (Получим, сколько приходится на каждую часть.)
3. Умножить результат деления на а. (Получим число, которое содержит а частей данного числа.)
4. Умножить результат деления на в. (Получим число, которое содержит в частей данного числа.)

Тема№2: Прямо и обратно пропорциональные величины. Масштаб

Цели: Дать понятие о прямо и обратно пропорциональных величинах. Способствовать усвоению навыков выполнения операций расчетов через пропорции, и  решению задач.

Глоссарий:

1. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными.

Например, рост ребенка увеличивается при увеличении; его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребенка не удваивается.

Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции.

Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 тг. Сколько следует, заплатит за 1,5 кг этого товара?

Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой х стоимость (в тенге) 1,5 кг этого товара.

Запись будет иметь следующий вид:        

                         Количество товара                      Стоимость товара

    I покупка      3,2 кг                                               115,2 тг

    II покупка     1,5 кг                                                  х тг

Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую

одинаково направленными стрелками.

Запишем пропорцию:          

Теперь найдем неизвестный член пропорции:

                         х =  = 54

Ответ: 54 тг.

Задача 2. Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает 300 страниц?

(оформление решения задач с краткой записью на доске условия задачи, причём запись должна быть: страницы под страницами, а минуты под минутами)

    27 стр – 4,5 мин

  300стр  –  х мин?

Обратите внимание, что при увеличении кол-ва страниц, также увеличивается кол-во  минут. Увеличение величин будем изображать стрелками в верх. Такое отношение двух величин называется прямой пропорциональной зависимостью.

2. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одно величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

  Задача 1. Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увеличить вдвое, т.е. сделать ее равной 80 км/ то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т.е. 6 ч. Во сколько раз увеличится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80 : 40 будет равно не отношению 6 : 12, а обратному отношению 12:6. Следовательно, верна пропорция 80 : 40 = 12 : 6

Такие величины, как скорость и время, называют обратно пропорциональным величинами.

Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м Найдите ширину второго прямоугольника.

Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) второго прямоугольника, запишем кратко условие задачи:

                                               Длина                        Ширина

     I   прямоугольник          3,6 м                          2,4 м

    II  прямоугольник          4,8 м                             х м

Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками.

Запишем пропорцию:    

  Теперь найдем неизвестный член пропорции:      х =  =  1,8

Ответ:1,8  м

Задача 3.    Расстояние от пункта А до пункта В,  со скоростью 40 км/ч машина преодолевает за  1,4 ч. За какое время это же расстояние преодолеет машина со скоростью 80 км/ч?

40 км/ч   -  1,4 ч.

80км/ч    -  x  ч.

Обратите внимание, что при увеличении скорости, время уменьшается. Стрелки изобразятся в разные стороны. Такое отношение двух величин называется обратной пропорциональной зависимостью.

Алгоритм решения задач с помощью пропорций:

1. Неизвестное число обозначается буквой х.
2. Условие задачи записывается в виде таблицы.
3. Устанавливается вид зависимости между величинами.

Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками, а обратно пропорциональная зависимость – противоположно направленными стрелками.

4. Записывается пропорция.
5. Находится ее неизвестный член.

3. Масштаб

Определение:

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Масштаб 1: 100 000 значит, что в 1см карты умещается 100 000 см местности, или в одном сантиметре карты 1км местности.

Ни один географический объект – реку, мост, город, поселок – невозможно изобразить на топографическом плане, карте в натуральную величину. Люди всегда рисовали уменьшенные изображения местности, причем разные участки изображения уменьшали произвольно, в разной степени. Поэтому старинные чертежи местности не дают возможности понять, например, каково расстояние между берегами реки, чему равна длина реки и т.д.

Чтобы план местности был более точным, необходимо все его детали уменьшать в одинаково число раз с сохранением всех пропорций. Вот для чего нам нужен масштаб.

Масштаб показывает во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту, уменьшена по отношению к ее действительным размерам на местности.

Виды масштаба: -Численный, именованный и линейный.

Масштаб пишут по-  разному:

1) в виде отношения 1 : 100 (это означает, что 1 см плана заменяет 100 см на местности). Это численный масштаб.

2) можно просто записать в 1 см – 1 м. Масштаб записанный таком виде называют именованным.

3)Линейный масштаб представляет собой линию,  разделенную на равные отрезки.

Отрезки справа от нуля показывают,  какому расстоянию на местности соответствуют расстояния на плане в 1 см, 2 см и т.д.

Задача 1. Расстояние на карте Кемеровской области между городами Юрга и Кемерово равно 21 см.

Масштаб 1 : 400 000

Вычислите расстояние на местности.

Для решения задачи составляем пропорцию: 1 : 400 000 = 21: х         х = 21* 400 000

х = 8400000         

х = 84 км - расстояние  между городами Юрга и Кемерово на местности.

Ответ: 84 км.

Задача  2. Расстояние между г.Кемерово и Москва равно 3000 км.

Масштаб 1 : 20 000 000

Вычислите расстояние между городам Кемерово и Москва на карте.

Для решения задачи составляем пропорцию

1 : 20 000 000 = х : 300 000 000

     х =  =  15-  расстояние между городами Кемерово и Москва  на карте.              

Ответ: 15 см.

Задача 3.

Расстояние между г.Москва и Санкт-Петербург на карте 6,5 см. на местности 650 км. Найти масштаб карты.

Решение: 650 км = 65 000 000 см.

Найдем отношения

 =

Масштаб 1 : 10000000

Ответ: 1: 1 0000000 - масштаб карты.

4Множество и его элементы. Подмножество.

В разговоре мы часто употребляем слово «множество»: «множество людей присутствовало на празднике», «книга иллюстрирована множеством картинок», «на ночном небе видно бесконечное множество звезд» и т.д. А что обозначает «множество» с математической точки зрения?

Множество – одно из фундаментальных понятий современной математики. Оно используется практически во всех ее разделах. Оно является неопределяемым, исходным понятием математики, таким, как точка или прямая. Основы современной теории множеств заложил выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845-1918 гг.). Он описывал множество как «многое, мыслимое нами, как единое целое».

Будем считать множеством совокупность каких-либо объектов, рассматриваемую как единое целое.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Примеры:

  1. Множество дней недели состоит из следующих элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение.

2. Множество учеников Вашего класса.

3.  Множество всех натуральных чисел

4.  На рисунке изображено множество геометрических фигур.

а

б

в

г

д

к

л

м

н

о

Обычно множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского или русского алфавита, а для перечисления элементов множества используют фигурные скобки. Порядок, в каком перечисляются элементы множества – неважен.Примеры:

1. Обозначим множество дней недели буквой Н.

Тогда можно записать:

Н = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение}.

2. Обозначим множество геометрических фигур, изображенных на рисунке буквой Ф.             Тогда Ф = {а, б, в, г, д, к, л, м, н, о}.

3. Обозначим буквой У множество учеников Вашего класса.

Тогда У = {Саша Иванов, Саша Шевченко, …, Ира Петрова}.

4. Обозначим буквой N множество натуральных чисел.

Тогда N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

1.  Если объект входит в данное множество, то говорят, что он принадлежит множеству, и записывают этот факт следующим образом: a  A. Если объект не является элементом данного множества, то для записи этого факта используется знак :   б  А.

Примеры:

1.  понедельник  Н;   вторник Н;  среда  Н;  январь  Н;  март  Н.

2.   а  Ф;  м  Ф;   о Ф;    ю  Ф.

3.   Саша Иванов  У;     Джон Смит   У.  

4.   1 N;     25   N;     167  N;      N;   3,5  N.  

2. Множества могут содержать конечное число элементов или бесконечное число элементов. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. Множество, в котором бесконечное число элементов, называется бесконечным.

Число элементов  конечного множества называют его мощностью.

 Мощность множества Н равна 7, мощность множества Ф равна 10, мощность множество У равна количеству учеников класса.

 Множество натуральных чисел бесконечно и, значит, назвать число элементов в нем мы не можем.

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Если два множества состоят из одинакового количества элементов (имеют равные мощности), то они называются равномощными. Например, множество времен года и множество арифметических знаков равномощны, так как каждое из них содержит по четыре элемента.

Подмножество

3. Множество В называется подмножеством  множества А, если каждый элемент из В является элементом А. Записывается это так: B  A.  Также говорят, что А содержит (или включает) В.

1. Обозначим множество выходных дней недели буквой В, а множество рабочих дней (будни) – буквой Б.

Тогда: В = {суббота, воскресение}, Б = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.

B  Н;        Б  Н.

5. Пересечение множеств. Объединение множеств

Пересечение.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В.

А ∩ В := { х|х ϵ А ˄ х ϵ В}

Объединение

Объединением множеств А и В называется новое множество, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.

А U В := {х|х ϵ А ˅ х ϵ В}

Примеры:

1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда  А U В = {1, 2,3,4,5,6,7};

2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}.

 Найдём объединение и пересечение этих множеств:

А U В {2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, А ∩ В= {6}.

6. Диаграммы Венна (Venn diagrams) — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики: теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера, Диаграмма Венна четырёх множеств.

«Диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами, представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

7.Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Тема №3: Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Рациональные числа.

Цель: Открыть” множество отрицательных чисел, определить их место на координатной прямой, ввести обозначение отрицательных чисел, формировать понятие рациональные числа, научить применять их при решении задач.

Глоссарий: 1.

1. Положительные и отрицательные числа.

Прямую с выбранными на ней  началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

2. Координаты точки

Точка А имеет координату – 4 . А (-4)

Точка В имеет координату 4. В (4)

Точка О имеет координату 0.  О (0)

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

 Оно отделяет положительные числа от отрицательных чисел.

3. Противоположные числа

Два числа,  отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

                                     ____________________________________

                                                     - 5        +5

4. Целые числа

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами

. . .  , -5; - 4; -3; -2; -1 ; 0 ;  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , . . .

5. Модуль числа  1а1

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а)

Модуль числа 0 равен нулю: l0l = 0

 !!! Модуль числа не может быть отрицательным,

для положительного числа и нуля он равен самому числу,

а для отрицательного – противоположному.

Противоположные числа имеют равные модули: l – а l = l а l

Задача 1.

Между какими целыми числами на координатной прямой расположены числа -2,6 и  +1,5

Решение:

Число -2,6 расположено между числами -3 и -2.

Число 1,5 расположено между числами +1 и +2

6. Рациональные числа.

Число, которое можно представить в виде отношения a/n, где а- целое число, а n–натуральное называют рациональными числами.

Как же определить, является ли число рациональным?

 Если число можно представить в виде дроби a/n, где а- целое число, а n–натуральное, то число – рациональное.

Любое целое число a является рациональным числом, так как его можно записать в виде  

Например: -3 = - ; 2 = ; 0=

Рациональным числом будет и любая отрицательная дробь

Вывод:

1. Рациональные числа можно расположить на координатной прямой.
2. В рациональные числа входят: натуральные, 0, отрицательные и положительные, обыкновенные и десятичные дроби.
3. Рациональные числа используются для более точного измерения  чего-либо.

Свойства действий с рациональными числами. Правила

 Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Иными словами, если а, b и c — любые рациональные числа, то

        а + b = b + а

        а + (b + с) = (а + b) + с.

         Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:

        а + 0 = а,     а + (-а) = 0.

         Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и c — любые рациональные числа, то

         ab = ba,     a(bc) = (ab)c.

         Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа а имеем:          а • 1 = а,     а • 1/a = 1, если а ≠ 0.

        Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:

        а • 0 = 0.

         Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

        если а • b = 0, то либо а = 0, либо b = 0

        (может случиться, что и а = 0, и  b = 0).

         Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и c имеем:

         (а + b)с = ас + bс.

Тема №4: Сложение чисел с одинаковыми и  разными знаками

Цели: закрепить правила сложения, вычитания положительных и отрицательных чисел, навыки, умения при сложении и вычитании этих чисел.

Глоссарий: 1.Числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными.

2. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули.

3. Сумма отрицательных чисел всегда меньше каждого из слагаемых.

4. Разность отрицательна, если уменьшаемое больше вычитаемого.

5. Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

 Чтобы сложить два отрицательных числа необходимо сложить модули чисел и поставить знак минус перед суммой. Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо поставить знак числа большего модуля и найти разность модулей чисел.

Чтобы из одного числа вычесть другое необходимо вычитание заменить сложением, а вычитаемое на число, противоположное вычитаемому, и выполнить по правилу сложения двух целых чисел.

1. Запомни правила!

Чтобы сложить два числа с разными знаками надо из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак того числа модуль, которого больше.

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками надо сложить модули этих чисел и поставить их знак.

  2.   Образец №1.                                        2.   Образец №2.              

Найти сумму:  -15 + (-68)                      Найти сумму:   43 + (-98)  

 -15 + (-68) = - (15 + 68) = - 83.            43 + (-98) = - ( 98 – 43) =-55.

 1. Нашли сумму модулей слагаемых. 1.Из большего модуля вычли меньший.                    

2. Поставили знак слагаемых.               2. Поставили знак большего модуля.

Тема №5: Умножение. Деление.

        Цели: I. Учащиеся должны: 1 усвоить правило произведения двух чисел с разными знаками; правило произведения двух чисел с одинаковыми знаками; 2 умножать рациональные числа и находить их произведение; 3. правило деления чисел с разными и одинаковыми знаками; 4. научиться делить рациональные числа.

Глоссарий:

1. Правило умножения отрицательных чисел

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное». Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.

2. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел.

Образец:

1) 64 × (-10) = - 640                      6)

2) (- 2, 8) × 3 = - 8,4                      7)  

3) (-4,7) × (-5) = 23,5                     8) 6,02 × (-3,8) = - 22,876

4) 6,9 × (-0,1) = - 0,69                   9) 0 × (-32) = 0

5) (-6,08) × (-100) = 608               10) - 0,2 × (-2) = 0,4

3. Деление

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Например, разделить -12 на -4 — это значит найти такое число x, что -4 • х = -12. Сначала найдем знак числа x. Так как при умножении -4 на x получилось отрицательное число -12, то множители -4 и x должны иметь разные знаки. Поэтому x — положительное число. Теперь найдем модуль числа x. Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, | -12 | = | -4 | • | x |. Отсюда | x | = | -12 | : | -4 |. Но так как х — положительное число, то

х = | х |. Значит, х = 3.

Пишут: (-12) : (-4) = | -12 | : | -4 | = 3, или короче:

(-12) : (-4) = 12 : 4 = 3.

Например:

Чтобы разделить -24 на 4 — это значит найти такое число х, что 4 • х = -24. При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24, значит, множители 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х — отрицательное число. При это должно выполняться равенство | 4 | • | х | = | -24 |.

Отсюда | х | = | -24 | : | 4 | = 24 : 4 = 6. Значит, х — отрицательное число с модулем 6, т.е. х = -6.

Итак, -24 : 4 = -6.

Рассуждая таким же образом, получим, что 24 : (-4) = -6.

При делении чисел с разными знаками, надо:

 1) разделить модуль делимого на модуль делителя;

 2) поставить перед полученным числом знак −.разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уж находят модуль частного.

 Например, -3,6 : (-3) = - (3,6 : 3) = - 1,2.

    (- ) :  = - ( : ) = - ( * ) = -

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

Делить на нуль нельзя!

Тема №6: Алгебраические выражения.

Цели: Рассмотреть: понятие числового выражения, ввести понятие алгебраического выражения; сформировать умение различать числовые и алгебраические выражения, находить значения данных выражений.

Глоссарий:

Числовым  выражением  называют  всякую  запись,  из  чисел,  знаков  

арифметических  действий  и  скобок  составленную  со  смыслом.    

4  +  (6  –  3)  :  2  —  числовое  выражение    

7  +  :  –  21  —  не  числовое  выражение,  а  бессмысленный  набор  символов    

Алгебраическим  выражением  (буквенным  выражением)  называется,  

запись,  составленная  из  букв  и  знаков  арифметических  действий,  

также   в  нее  могут  входить  числа  и  скобки.  Как  и  числовое  выражение,  

алгебраическое  должно  быть  составлено  со  смыслом.    

        В  буквенном  выражении    (520  –  x  :  5)  ,  буква  x,  вместо  которой  

можно  подставить  различные  числа,  называется  переменной.    

      Таким  образом,  переменная  —  это  буква,  входящая  в  алгебраическое  

 выражение,  которая  может  принимать  различные  значения.    

      Если  вычислить  значение  алгебраического  выражения,  заменив  

переменные  какими-либо  числами,  мы  получим  значение  выражения  

при  данном  значении  переменных.    

          Множество  значений,  которое  может  принимать  переменная,  

не  лишая  выражения  смысла  называется  областью  определения  

этого  выражения.    

         Рассмотрим  область  определения  для  выражений:  

 x  –  11   —     x   может  принимать  любые  значения    

11  :  x  —    любые  значения  за  исключением  нуля  (x  ≠  0)    

(x  +  5)  :  (x  –  2)  —  любые  значения  за  исключением  двух  (x  ≠  2)    

 a – b             —   любые значения за исключением двух вариантов  a(a – b)                                       (a ≠ 0)           и              (a ≠ b)         

2.       Раскрытие скобок. Правила     

         Выражение а + (b + с) можно записать без скобок:

                                                    а + (b + с) = а + b + с.

        Эту операцию называют раскрытием скобок.

        Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + ( - b + с).

        Решение. а + ( - b + с) = а + ((-b) + с) = а + (-b) + с = а - b + с.

      Если перед скобками стоит знак " + ", то можно опустить скобки и этот знак " + ", сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком " + ".

          - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

      Обычно,  при  нахождении  области  определения,  мы  должны  

исключить  такие  значения  переменных,  при  которых  придется  делить  

на  нуль.    

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

        Значит:  -(а + b) = -a - b.

         Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак " - ", надо заменить этот знак на " + ", поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

        Значит:

  9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 + 5,48 = 5,48.

2. Коэффициент. Правила

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют упрощать выражения.

         Пример 1. Упростим выражение 0,3a • (-0,7 b).

         Решение. Это выражение является произведением четырех множителей:

          0,3а • ( -0,7)b. Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители, получим:

          0,3a • (-0,7b) = 0,3а • (-0,7) b = (0,3 • (-0,7)) • (аb) = -0,21аb.

         Число -0,21 называют коэффициентом в полученном выражении.

         Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

         Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями.

         Коэффициентом такого выражения, как а или аb, считают 1, так как а = 1 • а; ab = 1 • ab.

         При умножении -1 на любое число а получается число -а:

          -1 • a = -а.

  Поэтому числовым коэффициентом выражения -a считают число -1.

3. Подобные слагаемые. Правила

Распределительное свойство умножения (а + b) • с = ас + bс справедливо для любых чисел а, b и c.

        Замену выражения (a + b) • с выражением ас + bc

         или выражения с • (а + b) выражением са + сb также называют раскрытием скобок.

         Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми. Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами. Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

        Пример: Приведем подобные слагаемые в выражении 3а + а - 2а.

        Решение: В данной сумме все слагаемые подобны, так как у них одинаковая буквенная часть а.

        Сложим коэффициенты:

        3 + 1 - 2 = 2. Значит, 3а + а - 2а = 2а.

               Тема №7: Линейное уравнение с одной переменной

Цели: Сформулировать понятие о линейном уравнении с одной переменной, повторить свойства равносильности уравнений, алгоритма решения уравнений, приводимых к линейным

Глоссарий:

Линейным уравнение с одной переменной х называют уравнение вида  ах + b = 0.  Где a  и  b   -  любые числа (коэффиценты).

4. Решить линейное уравнение – значит найти все значения переменной (неизвестной), при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной  называют корнем уравнения.
5. Если а = 0  и  b = 0, то есть уравнение имеет вид  0 * х + 0 = 0,  то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).
6. Если  а = 0  и  b ≠ 0, то есть уравнение имеет вид  0 * х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, уравнение не имеет корней.

7.   Свойство 1.  При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями.

            x - 3 = 6         x = 6 + 3         x = 9

8.  Свойство 2.  При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями).

                      3x = 6 ;        3x : 3 = 6 : 3;          x = 2

9. Уравнение вида ax = b, называется линейным. 

Например:   1.  3x = 9   ( ax = b )

                     2.  3x - 3 = 9

                          3x = 9 + 3

                          3x = 12   ( ax = b )

Принято: цифры в алгебраических выражениях заменять  первыми буквами латинского алфавита - a, b, c, …,

а переменные обозначать последними - x, y, z.

10. Вывод:
11.   a ≠ 0     b - любое значение ax = b имеет один корень x = b : a
12.   a = 0     b ≠ 0                         ax = b не имеет корней
13.   a = 0     b = 0                         ax = b имеет бесконечно много корней
14.  3x = 3               один корень  x = 3 : 3 ;      x = 1
15.  0 • x = 5            корней нет
16.  0 • x = 0           бесконечно много корней;      x - любое число

Алгоритм решения линейного уравнения

ax + b = 0 в случае, когда  а ≠ 0

1.Преобразовать уравнение к виду  ax  = - b.

2.Записать корень уравнения в виде x =  ( -b ) : а.

 Алгоритм решения уравнения

ax + b = cx + d   ( a ≠ c )

  1.Перенести все члены уравнения из правой части уравнения в левую с противоположными знаками.

2.Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида  kx + m = 0, где k ≠ 0.

3.Преобразовать уравнение к виду kx = - m и записать его корень:  x = -m : k.

Выясним, сколько корней имеет линейное уравнение:

Примеры:

1) 4(х+7)=3-х;    2)  2х+3=2(х+5);                           3) -у+11у=19-14;

    4х+28=3-х;          2х+3=2х+10;                                  10у=5;

   4х+х=3-28;           2х-2х=10-3;                                     у=5:10;

   5х=-25;                  0х=7.                                               у=0,5.

    х=-25:5;               Ответ:                                             Ответ:0,5.

    х=-5.                  Уравнение не имеет корней.

  Ответ: -5

 4)    7-0,3м=2+1,7м;     5) х-4х=0;      6) х=-х                7)  5у=6у;

       -0,3м-1,7м=2-1,7      -3х=0;               х+х=0;                 6у-5у=0;

       -2м=0,3;                       х=0:(-3);        2х=0;                     у=0.

         м=0,3:(-2);                  х=0.                х=0:2;                  Ответ:0.

         м=-0,15.                     Ответ:0.         х=0.

       Ответ:-0,15.                                       Ответ:0.

                Тема №8: Числовые неравенства 

Цели: Рассмотреть понятие числовых  неравенств и свойства неравенства; формировать умение сравнивать числа и выражения, а так же умение пользовать свойствами неравенств.

Глоссарий:

 1. При сравнении двух действительных чисел x и y возможны три случая:

1. Если числа x и y равны между собой (), то .
2. Если x больше y (), то  (разность чисел, число положительное).
3. Если x меньше y (), то  (разность чисел, число отрицательное).

Запись  () означает, что  () или .

 Выражение, составленное из чисел и знаков неравенства (), называется числовым неравенством. Выражение, составленное из чисел, переменных и знаков неравенства называется неравенством с переменной или просто неравенством.  

Например: ;  ;

.

2. Неравенства:

Неравенства со знаками > и < называются строгими

x > a, x < a,  a < x < b –  строгие.

 Символическая запись

(a; +∞); (-∞; a); (a; b),  в которой используются круглые скобки, соответствует строгому неравенству, а на рисунке – незакрашенными точками а и в

Строгие неравенства – неравенства со знаками  > (больше) или < (меньше)

Пример:  х > 5;        3х > 2х -6 ;    х < 0;      2( 1 – 6х) < 4х

Неравенства:

Нестрогие неравенства – неравенства со знаками  ≥ (больше или равно) или  ≤ (меньше или равно)

 x ≥ a, x ≤ a,  a ≤ x ≤ b –  нестрогие.  

 Неравенства:

a соответствуют символической записи (а; b]; [а; b).

Символическая запись

[a; +∞); (-∞; a]; [a; b], в которой используются квадратные скобки, соответствует нестрогому неравенству, а на рисунке – закрашенным точками а и в.

Пример:  х ≥-4;    7х  - 9≥ 4( 1- х);           х ≤ 9;            16х ≤ 4х – 5

3. Знаки > и < - это противоположные знаки неравенства, а знаки > и > -неравенства одного знака.

4. Свойства числового неравенства:

1) Если   а >в и в >с, то  а >с.

 2) Если а > в , то а + с > в + с .

 3) Если а > в и  m > 0, то ; am > bm; если а > в и  m < 0, то ; am < bm

 4) Если а > в и с >d , то а+ с > в + d .

 5) Если а, в, с, d – положительные числа и , то  ас > вd.

 6) Если а и в – неотрицательные числа и а > в , то аn > вn   , где n – любое

натуральное число.

Тема №9: Сложение, вычитание, умножение  и деление  числовых неравенств

Цели: Рассмотреть  теоремы о почленном сложении, вычитании, умножении  и делении неравенств

Учащиеся должны научиться складывать, вычитать, умножать и делить  числовые неравенства с одинаковыми и разными знаками

Глоссарий: 

1. Сложение числовых неравенств:

1. Если сложить почленно верные числовые неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Примеры:

1)   а > в         2)          а< в                     3)     6 < 8

                +  c > d                   + c < d                          +2 < 7

           __________            ___________                    ______

           а+ с > в + d              а+ с < в + d                     8 <  15

2. Если знаки слагаемых неравенств  противоположны, то у одного слагаемого неравенства надо поменять местами левую и правую части (используя первое свойство неравенства). Таким образом, следует почленно сложить неравенства одного знака.

Пример:

              1)    8,2 > 5,3            заменим                       8,2  > 5,3                      

                 +  7   <  9,4            9,4  > 7                      + 9,4  > 7                          

                 __________                                               ________

                                                                                    17,6 >12,3

2. Вычитание числовых неравенств

1 способ:

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного знака. В результате получится неравенство, имеющее знак первого неравенства.

Примеры:

         1)       а > в         2)           12,7< 15                 3)         4,5 > 2,7

                -  c < d                    -   5,3  > 4,2                     -     (-2) < 1

           __________                  ___________                     _________

             а- с > в - d                     7,4 < 10,8                          6,5 > 1,7

2 способ:

3. Умножив обе части вычитаемого неравенства на (-1), следует сложить почленно уменьшаемое и вычитаемое неравенства.

Примеры:

  1)   5   > 3                   5   > 3                             5  > 3                                                          

     - (- 1)< 2                - (- 1)< 2 |*(-1)             + 1  > - 2                

    ________             ______________            ________

1. > 1   

2) Из двойного неравенства вычтем двойное неравенство и оценим разность

    х – у. Разность х – у надо привести к виду х + (-у). Для этого умножим второе неравенство на (-1). Затем используем почленное сложение неравенств.

  8 < х < 13                   - 3 <у < 5 |*(-1)              8 < х < 13                              

-         3 <у < 5             тогда - 5 <-у < -3           +    - 5 <-у < -3              

__________                                                       __________

   х – у                                                                 3 < х-у < 10

3. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

     Чтобы умножить неравенства надо:

1. Используя свойства неравенств (1 свойство), у перемножаемых неравенств знаки сделать одинаковыми.

2. Перемножаемые неравенства умножить почленно.

3. Перемножаемые неравенства и произведение будут неравенством одного знака.

НЕРАВЕНСТВА с одинаковыми знаками и с положительными членами умножаются почленно.

                    а > в            а< в                             6 < 8

                *  c > d         * c < d                          *2 < 7

           _________      __ _____                   ___________

           а* с > в * d      а* с < в * d                12  <   56

 Если неравенства имеют разные знаки, нужно их записать с одинаковыми знаками по 1 свойству.  Умножить почленно.

                 9 > 5                               9 > 5                    

             *  3 < 7                         *    7 > 3                            

         ___________                  __________                                                                                        

           меняем знак                      63>15  

4. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

1. Числа, являющиеся членами неравенства делителя, заменить обратным им, причем знак неравенства надо изменить на противоположный (5 свойство)
2. Знаки неравенств делимого и делителя должны быть одинаковыми.
3. Неравенства одного знака надо почленно перемножить.

           Пример:

                    20>8                                     20 > 8        

                  :  2< 4                                  *  >  

                 ______                                   _______

                                                                 10 > 2

Тема №10: Числовые промежутки.

Цели: выработать умение правильно употреблять термины «отрезок», «интервал», «полуинтервал», «пересечение множеств», «объединение множеств»; изображать  на координатной прямой числовые промежутки

Глоссарий

1. Числовые промежутки – отрезки, интервалы и полуинтервалы

Отрезок [ а; b ] – множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам   a ≤ х ≤ b; где a  <  b

[  ] скобки квадратные, концы промежутка принадлежат множеству.

На координатной прямой точки заштрихованные.

Например, отрезок

 [ 5;7 ] – это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам

 5 ≤ х ≤ 7

1. 7

Интервал  (а; b) - множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам   a < х  < b; где a  <  b

(  ) скобки круглые, концы промежутка не принадлежат множеству.

4. На координатной прямой точки не заштрихованные.

Например,  интервал       ( -1 ; 4 ) – это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам

 -1 < х < 4

      -1                    4

Полуинтервал  [а; b) - множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам   a ≤ х  < b; где a  <  b; полуинтервал  (а; b] - множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам   a < х ≤   b; где a  <  b

Например,  полуинтервал                 [ 7 ; +∞ ) – это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам

 х ≥ 7

1.                     +∞

полуинтервал                

 ( 10 ; 16 ] – это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам

 10 < х ≤ 16

    10                  16

2. Пересечением множеств А и В  называется множество, составляющее их общую часть.

∩ - пересечение множеств,        А ∩ В

Пример:

Промежуток [1; 5 ] является пересечением промежутков [0; 5 ] и     [1 ; 7]

 0         1  5              7

[0; 5] ∩ [1 ; 7]= [1; 5 ]

Объединением множеств А и В  называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В

U - объединение множеств,        А U В

3. Объединение промежутков не всегда является промежутком

Пример:

Промежуток [0; 7 ] является объединением  промежутков [0; 5 ] и     [1 ; 7]

[0; 5] U [1 ; 7]= [0; 7 ]

2        3              7          9

[2; 3] U [7 ; 9]

Тема№11: Решение линейных неравенств с одной переменной.

Цели:  Ввести понятие числового неравенства с одной переменной; уметь изображать на координатной прямой и решать неравенства.

Глоссарий:

1. Неравенства вида ах >в или ах < в называют линейным неравенством с одной переменной, где а и в – некоторые числа, х – переменная (неизвестная), в –свободный член.

5. Решением неравенства называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство
6. Решить неравенство, значить найти все его решения или доказать, что решений нет.
7. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными

2. Алгоритм решения неравенств с одной переменной

Решение неравенств основано на свойствах, которые приводят к алгоритму решения, сходному с алгоритмом решения уравнений.

     1. Перенести слагаемые, содержащие неизвестное, в левую часть, а      свободные члены – вправо.

     2. Приведя подобные слагаемые, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Решением неравенства является множество чисел, больших -6. Это множество представляет собой числовой промежуток.

Ответ: (-6; +∞)

3. Особое внимание надо уделять случаю, когда коэффициент перед неизвестным – отрицательное число.

Пример:

       -2х > 6 | * (-1), меняем знак неравенства на противоположный

       2х <  -6

         х < -6 : 2

         х < - 3     Ответ: (-∞; -3)

Тема №1 Отношение. Пропорция. Основное свойство пропорции

Задание для самостоятельной работы

               1. Найти неизвестный член пропорции:

1. х:14=36:7
2. =
3. =
4. Решить задачу: Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время проедет велосипедист 125 км с той же скоростью?
5. Четыре гнома посадили для Белоснежки 8 кустов роз. Сколько кустов роз посадят за то же время три гнома?

 Математические диктанты

Вставить пропущенные слова:

1.Пропорция-________________ двух отношений.

2 Основное свойство пропорции: В_________ пропорции _________________ крайних членов равно ________________ средних членов

3. как называются числа х и у в пропорции х:а=в:у?

4.как называются числа m  и   n в пропорции а: m= n:в?

5.Найти неизвестный член пропорции 21:х=36:12

Задачи для самостоятельного решения:

1. Решить задачу: Для перевозки груза машине грузоподъемностью 6 т нужно сделать 10 рейсов. Сколько рейсов понадобится сделать машине грузоподъемностью 4 т для перевозки этого же груза.
2. За 12 кг яблок заплатили 150 рублей. Сколько кг яблок можно купить на 200 рублей.
3. Для изготовления 12 приборов необходимо 360 г металла. Сколько металла нужно взять, чтобы изготовить 9 таких приборов?

Масштаб:

1. Масштаб карты 1:1000000. Расстояние между городами 3 км. Каким будет это расстояние на карте?
2. Масштаб карты 1:100. Каково расстояние между городами в действительности, если на  карте оно отображается отрезком длиной 7,2 см.
3. Масштаб карты 1:100000. Отрезком какой длины обозначается на ней расстояние в 50км?
4. Расстояние между пунктами на карте равно 8 см, а на местности 6 км. Какую длину будет иметь на этой карте отрезок в 9км?
5. Расстояние между пунктами на карте равно 8см, а на местности 160км. Каков масштаб этой карты?

Математические диктанты

1. Вставить пропущенные слова: Две величины называются прямо пропорциональными, если при ___________ (_________) одной из них в несколько раз другая ___________ (____________) во столько же раз.

1. Вставить пропущенные слова: Две величины называются обратно пропорциональными, если при ___________ (_________) одной из них в несколько раз другая ___________ (____________) во столько же раз.

Задания для самостоятельного решения:

№1

№2