Исследовательская деятельность на уроках математики
статья по алгебре по теме

1. Вступление

Математика всегда была неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Очень часто под основной целью математического образования подразумевают подготовку к будущей профессии, к поступлению в вуз. Но не менее важно воспитать в человеке способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому необходимо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли, с другой стороны  − развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Иначе говоря, математика нужна для интеллектуального развития личности.

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, учащиеся кратно повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания.  

На развитие учащихся, формирование познавательного интереса наиболее успешно влияют самостоятельные работы поискового и исследовательского характера. Такими видами деятельности являются практические работы с элементами исследования.

2. Исследовательская деятельность

Исследовательская деятельность – самостоятельная деятельность учащихся, но учитель может управлять процессом появления и преодоления затруднений, прогнозировать их появление. При определении задач и конкретных методических приёмов осуществления педагогической поддержки следует исходить из индивидуальных особенностей школьников, осознания ими самими проблем и затруднений в исследовательской деятельности.

Под исследовательской задачей понимаются конкретные аспекты поставленной научной проблемы, выяснение которых направлено на её решение. Такие задачи предполагают решение проблемы, ответ на которую не является очевидным и не может быть получен путем прямого применения известных схем. Решение проблемы является сложным процессом мыслительной деятельности человека, направленной на преобразование предмета, описанного в содержании задачи, разрешение противоречия между условием и требованием задачи, получение познавательного результата.    

Решение таких задач имеет для учащихся большое развивающее и воспитательное значение. Они способствуют развитию мышления, его определённого стиля, культуры, формируют геометрические представления. Навыки самостоятельной и исследовательской работы, способствуют более глубокому пониманию математики.

Однако исследования ученых показали, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока. Причем абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математики приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Таким образом, преобладает репродуктивный вид деятельности школьников.

В ходе поиска решения нестереотипных задач, в отличие от задач, выполненных по образцу, развиваются сообразительность, изобретательность, смекалка и другие, очень полезные в жизни каждого человека качества.  

Реализация исследовательских задач в школе имеет свою специфику. Важные ограничения накладывают на тематику, характер и объём исследований требования возрастной психологии. Для юношеского возраста характерны ещё невысокий общий образовательный уровень, несформированность мировоззрения, неразвитость способности к самостоятельному анализу, слабая концентрация внимания.

Для этого необходимо развитие поисковой активности, готовности к принятию самостоятельных решений, овладение общей ориентировочной основой исследовательской деятельности, воспитания деловитости, самостоятельности и ответственности, предприимчивости и целеустремленности.

В исследовательской деятельности главной целью является получение объективно новых знаний. При этом оцениваются не только знания, но и рассматриваются другие показатели, такие как:

1. участие в дискуссиях;
2. умение высказывать свою точку зрения;
3. сбор материала из различных источников;
4. активность при обсуждении вопросов;
5. умение задавать вопросы;
6. возможность выразить своё отношение к изучаемому материалу.

3. Задания исследовательского характера

При решении исследовательских задач у учащихся часто возникают затруднения, поэтому учителю следует задавать наталкивающие вопросы. Уметь задавать вопросы – одно из важнейших умений учителя, так как умело заданный вопрос обеспечивает правильный и конкретный ответ учащихся.

По характеру ответов вопросы могут быть:

1. репродуктивные (воспроизведение знаний; например, перечислить компоненты процесса обучения);
2. реконструктивные (требующие применения знаний в нестандартной ситуации: например, чем отличаются …, какова основная мысль…);
3. творческие (требующие осмысления и творческого подхода).

Для активизации мыслительной деятельности, для самостоятельного поиска ответа помогают конструкции-подсказки, например: почему…; какова причина…; в чем суть явления…; что изменилось бы, если…; чем отличается… и т.д.

Учитель должен помнить, что, встречаясь даже с очень одарённым учеником, он готовит из него не математика, а, прежде всего, всесторонне развитую личность, и эту работу он выполняет в тесном единстве с учителями других дисциплин. В процессе обучения в школе формируется человеческое сознание, взгляды, мировоззрение, убеждения, развиваются творческие способности учащихся. Для этого полезно использовать нестандартные математические задачи.

Каждая решаемая задача имеет методическую цель. Поэтому преподаватель должен стремиться не к тому, чтобы задача была решена быстро и безошибочно или только на развитие тренировки, а к тому, чтобы она была решена творчески, и чтобы из нее можно было извлечь как можно больше пользы для математического развития ученика.

Решая исследовательскую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к её решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи. Правильно поставленное обучение решению исследовательских задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду других участников.

Исследовательские задачи создают условия для проявления творческой активности учащегося, выражающейся в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию научных исследований. При решении исследовательских задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам.

При решении исследовательских задач воспитывается правильное мышление, и, прежде всего, учащиеся приучаются к полноценной аргументации, у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, чёткая расчленённость хода мышления, точность символики.

Исследовательские задачи воспитывают текстовым содержанием. Поэтому текст многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества.  Но воспитывает не только содержание задачи, но и весь процесс обучения решению этих задач.

Установлено, что в традиционных учебниках встречается недостаточно упражнений исследовательского характера. Как показывает практика, даже потенциал развивающих задач, имеющихся в учебниках, используется слабо.

Задания, исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так большая часть заданий школьных учебников звучит так: "Решить уравнение", "Доказать, что выражение … больше выражения …", "Упростите…" и т.п.

В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими:

1. "Исследовать …".
2. "Верно ли, что если …, то …".
3. "Определить, какое из выражений больше 1314 или 1413  ".
4. "Найти необходимое и достаточное условие, при котором обе последовательности стремятся к нулю".
5. "Существуют ли такие значения b, при которых квадратный трех член 2х2 + bх ─ 7  имеет два корня, один из которых является положитель ным числом, а другой отрицательным?"
6. "Существуют ли такие значения с, что множеством решений неравенства … является: а) числовой промежуток …;  б) множество всех чисел". 
7. "Верно ли, что функция … при любом значении а убывает в промежутке … и возрастает в промежутке …?"

После решения задач исследовательского характера необходимо, чтобы учащиеся осуществляли исследование ответа, вывода (т.е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при рассмотрении каждой задачи, особенно такой, которая предлагается в общем виде.

Для развития творческого мышления нужно постепенно формировать у учащихся умение определять, какие частные случаи необходимо выделить впоследствии.

Рассмотрим примеры задач исследовательского характера из курса алгебры IX класса.

Задача 1. Может ли корень уравнения ─3(х ─ 4) ─ b = х ─ 11   являться положительным числом? При каком условии?

Решение. Данную задачу можно решить как аналитическим, так и графическим способом.

I способ (аналитический). Выразим переменную   х  через b:

  х = (b + 1) : 2.

Корень является положительным числом, если   b ˃ ─ 1.

II способ (графический). Выразим из данного уравнения b : b = 2х ─ 1. Положим b = у  и построим график функции у = 2х ─ 1. По графику функции  найдем множество ее значений и проанализируем полученный результат. По рис. 1 видно, что значения функции изменяются в интервале (─ ∞; + ∞), аргумент также изменяются в интервале (─ ∞; + ∞). Из графика видно, что х ˃ 0,  если у ˃ ─ 1, т.е. b ˃ ─ 1.

               у

          1              у = 2х ─ 1    

                0      1            х

b = у            

                        Рис. 1

Задача 2. Верно ли, что при любом значении k система уравнений   

 х2 + у2 = 9,

 х ─ у =  k.

 имеет единственное решение?

Решение. Выразим х из второго уравнения системы и подставим в первое. Получим

(у + k) 2 + у2 = 9, или 2 у2 + 2у k + k2 ─ 9 = 0. 

Вычислим дискриминант D последнего уравнения: D = ─ k2 + 18. Система имеет единственное решение, если D = 0, т.е. при k1 = ─ 3√2  или  k2 = 3.

Но для любого значения k нельзя утверждать, что исходная система имеет единственное решение. Значит, на вопрос задачи надо ответить отрицательно.

Задача 3. Могут ли не пересекаться графики функций

у = ах2 + 3х ─ 4 и у = ах ─ 5?

Решение. Найдем условие, при котором графики данных функций пересекаются. Для этого составим уравнение ах2 + 3х ─ 4 = ах ─ 5, ах2 + х(3 ─ а) + 1 = 0.   

Его дискриминант D = а2 ─ 10а + 9.  Уравнение не имеет решения, если D ˂ 0, т.е. а а ɕ (1; 9). Следовательно, графики функций у = ах2 + 3х ─ 4 и у = ах ─ 5

    не пересекаются при а ɕ (1; 9). Значит, к задаче надо дать такой ответ: да, графики исходных функций могут не пересекаться.

Задача 4.  Могут ли числа  а, в, с  быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий?

Решение. Пусть d – разность арифметической прогрессии, а  q – знаменатель геометрической прогрессии. Представим числа а, в, с  в виде арифметической прогрессии: а, в = с + d, с = а + 2 d    и геометрической прогрессии: а, в = а q, с = а q2 .

Тогда   а + d = а q,          (*)

             а + 2d = а q2

Если а = 0,  то d = 0  и q  – любое действительное число, тогда последовательность выглядит так: 0, 0, 0.

Если  а ≠ 0, то от системы (*) переходим к квадратному уравнению

относительно q. Решая его, находим, что условие задачи выполняется

 лишь при d = 0. Тогда  q = 0, и последовательность выглядит так: а,  а,  а.

Задача 5.  Имеет ли решение уравнение

(х + 6) + (х + 9) + (х + 12) + (х + 15) + (х + 18) + (х + 21) + (х + 24) = 182 ?

Решение. Слагаемые в скобках – члены арифметической прогрессии с разностью, равной 3. Тогда, использовав формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, получим

  ((х + 6) + (х + 24)) · 7 : 2 = 182

Отсюда х = 11 Таким образом, данное уравнение имеет решение

 х = 11.

Задача 6. Существуют ли такие значения а, что уравнение (а2 + а ─ 2) х = а ─ 1  не имеет корней?

Задача 7. Найти значения параметра m, при каждом из которых уравнение 2x2 + 3x + m = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Решение. В соответствии с теоремой

D = 9 – 8m, 9 – 8m > 0, m < 9/8

                        x1 ∙ x2  > 0,                  x1 ∙ x2  = m,  

                        x1 + x2  < 0,                m > 0,  

                                    m < 9/8;                       x1 + x2 = –  3;

первое выполнено при m < 9/8 , второе – при условии m > 0, а третье – при всех значениях m.  

       m < 9/8 ,      

       m > 0,                    m  ɕ(0; 9/8).

       m ɕ (−∞; +∞);

Ответ: m ɕ(0; 9/8).  

Рассмотрим примеры задач исследовательского характера из курса алгебры X класса.

             Задача 8. Углом какой четверти является угол α, если sinα · cosα · tgα · ctgα ˃ 0?

    Решение. Заметим, что sinα и cosα не могут иметь в данном случае разные знаки, поскольку из данного неравенства следует, что если sinα и cosα разных знаков, то tgα  и ctgα тоже должны быть разных знаков, чего быть не может.

Если же sinα и cosα имеют одинаковые знаки, то tgα  и ctgα больше нуля. Значит, имеем два случая:

1.   sin α > 0,                2.            sin α < 0,

              cos α > 0,                            cos α < 0,

              tg α > 0,                            tg α > 0,

              ctg α > 0.                            ctg α >0.

В первом случае угол α принадлежит первой координатной четверти, во втором – третьей. Таким образом, рассмотрены все случаи, значит, α является углом первой или третьей четверти.

Ответ: α является углом первой или третьей четверти.

         Задача 9. Найдите наименьшее значение функции  g(x)=log3(16-x2)  на промежутке [0;√7].

Решение. Можно заметить, что на промежутке [0;√7] функция  y=16-x2 убывает, т.е. y(0) > y(√7). Функция  g(t)= log3t  возрастает на всей области  определения.  Значит, наименьшее значение на   промежутке [0;√7] функция  g(x)= log3(16-x2)  принимает в точке x0 =√7.          

g(√7) = log3(16 – (√7)2) = log3(16-7) = log39 =2.

Ответ: 2 .

4. Литература

1. Далингер И.А. Начала математического анализа. – Омск: ООО «Издатель-Полиграфист», 2002. – 158 с.
2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
3. Совертков П.И. Проектирование поисково-исследовательской деятельности учащихся и студентов по математике и информатике. – Сургут: РИО СурГПИ, 2004. – 167 с.
4. Теоретические основы подготовки  и проведения уроков  математики в средней школе: Учебно-методическое пособие / Сост. В.И. Седакова. – Сургут: РИО СурГПИ, 2003. – 82 с.
5. Воронько Т.А. Задачи исследовательского характера  //Математика в      школе.-2004. −№ 38.3
6. Кочагин В.В.  Тестовые задания к основным учебникам. Рабочая тетрадь. 2007                                                                                                          
7. Мордкович А.Г. Задачи исследовательского характера

    // Математика в школе.−2004.− №8.