ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОВ И ПРИЕМОВ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТВОВЫХ ЗАДАЧ

Купцова И.Н.

учитель математики

МБОУ СОШ №22

г. Южно-Сахалинска

Этапом модернизации образования являются педагогические технологии. Какова же роль отводится учителю в них? Выполнять социальный заказ государства, т. е. формировать личность:

1. Адаптированную к быстроменяющимся современным условиям
2. Способную к самоопределению и самореализации
3. К самостоятельному принятию решений и доведения их до исполнения
4. К рефлексивному анализу собственной деятельности
5. Вооруженную необходимыми ключевыми компетентностями.

Это цель, к которой стремится каждый педагог. Отсюда главная задача:

1. Повысить уровень общей математической подготовки выпускника
2. Готовить к продолжению образования в высших учебных заведениях путем развития поисковой, проектной, творческой деятельности.

Актуальность избранной темы.

Находясь в рамках обновления образования (тестирование, ЕГЭ), проводя элективные курсы в выпускных классах периодически сталкиваешься с тем, что особую сложность большинство учащихся испытывают при решении различного рода текстовых задач. Поэтому, тема, над которой я работаю на протяжении ряда лет педагогической деятельности была, есть и будет актуальна: “Оптимизация системы методов и приемов обучения решению текстовых задач”.

Постановка проблемы.

Умение решать задачи – важнейший показатель освоения и понимания курса математики. Исследования результатов деятельности учащихся отслеживают иную картину. Поэтому возникла проблема: помочь научиться решать задачи по математике. Создавшееся положение заставила меня проанализировать причины неудач:

1. С психологической точки зрения.

Проводя анкеты, беседы в практике сталкиваешься с тем, что, как только учащимся предложено решить задачу, настроение падает, возникает состояние тревожности, нежелание к процессу и т. д.. Для того, чтобы ученик овладел умением решать задачи, он должен твердо этого захотеть и направить все свои силы и способности на овладение умениями в этом деле. Массовые исследования показали, что основными мотивами решения задач учащимися являются внешние мотивы благополучия: чтобы не ругали родители и учителя; оценка; престиж. Это хорошие факторы, дающие хотя бы внешний стимул к активности в процессе решения задач. Но у подавляющего большинства учащихся решение задач не вызывает большого интереса, они пассивно относятся к этому процессу и многие из них предпочитают списывать с доски или у одноклассников.

Вывод: недостаток традиционной методики, которая формирует лишь частные умения в решении типовых задач, а не обобщенное умение поиска способа решения.

 В связи с этим:

1. Необходимо помочь учащимся овладеть общими идеями и методами используемыми при решении задач
2. Научиться видеть преимущества различных способов разбора и решения применительно для конкретной задачи
3. Научиться переделывать, придумывать задачи
4. Научиться развертывать текст задачи, данной в свернутом виде, текст переводить на математический язык
5. Уметь различными способами записывать условие задачи и т. д.

2.   Мониторинг эмоционального состояния школьников.

  Решение задач - это сложнейший умственный процесс, требующий больших эмоциональных затрат. Однако, по статистике последних лет, плохое самочувствие у 34% учащихся, агрессивны – 61% учащихся, способных к полноценному качественному образованию – 5%.

  3.    Узкий кругозор.

         При чтении текстовых задач большинство учащихся испытывают трудности  в осмыслении текста условия задач, смысла заложенных в нем слов.

  4.    Социальная среда семей учащихся общеобразовательных школ.

         В силу материального достатка семьи отсутствует возможность использования информационных технологий и технических средств.

5.     Материально – техническая база общеобразовательной школы.

        Частичная возможность активно работать с новыми информационными технологиями и активно использовать на уроках математики технические средства, что влечет к низкой мотивации обучения учащихся и влияет на их психологическое состояние.

Цель исследования.

Разработать систему заданий, позволяющих сформировать умения и навыки по решению текстовых задач.

Задачи исследования.

1. Ознакомиться, проанализировать и систематизировать информацию из литературных источников разных авторов.

2. Выявить основы и принципы методики формирования математических понятий через содержание материала.

3. Изучить различные подходы к решению неожиданных по формулировке задач.

4. Показать применение методов и приемов, отобранных из множества классификаций методов обучения, способствующих обучению учащихся на уроках математики в общеобразовательной школе.

5. Обосновать значимость методов и приемов, позволяющих осознанно решать задачи.

Объект исследования.

Технология обучения, разработка методов оптимизации учебного процесса для повышения результативности обучения по предмету, анализ и их теоретическое обоснование.

Предмет исследования.

Набор задач, упражнений,  позволяющих сформировать систему математических понятий

Гипотеза.

Если применять систему заданий, охватывающих все содержание учебного предмета, то это позволит сформировать ценностные ориентации личности (способность к самооценке своей учебной деятельности, понимание значимости полученного собственного результата, готовность к рефлексии собственной деятельности, способность к перебору возможных вариантов, их оцениванию и выбору оптимального варианта решения и т.д.) и тем самым повысить качество образования.

Методы исследования.

1. Анализ методической и психолого-педагогической литературы по данной теме.
2. Наблюдение за учебной деятельностью учащихся и отслеживание собственных методов работы.
3. Отслеживание сформированности учебных умений, которые связаны с самостоятельным получением знаний и их применением в практической деятельности учащихся

II.Основная часть

Одной из важнейших проблем современного школьного образования является разрыв между знаниями школьников и умением их использовать. Так как тема “Текстовые задачи” в рамках обновления образования всегда встречается на собеседованиях и экзаменах, то нас интересует, в первую очередь, умение применять и использовать научные знания как важнейшее средство реализации педагогической технологии. Эффективным методом решения данной проблемы является применение интерактивных методов в образовании:

1. Метод создания проблемной ситуации и постановки проблемы (метод парадоксов, метод софизмов, метод потенциально творческих задач, метод ограничений и др.)
2. Метод управления поисковой деятельностью учащихся (метод пошагового управления, метод наведения на открытие, метод дискуссий и др.)
3. Метод побуждения к рефлексии (метод контробраза, метод кодирования и схематизации учебной информации и др.)
4. Метод проектирования, моделирования на уроках математики в системе личностно-ориентированного обучения учащихся
5. Эвристический, исследовательский метод обучения
6. Информационно- репродуктивный метод (один из возможных приемов: решить несколько типов задач; написать на доске задачу, совершенно не похожую на задачу, ранее рассмотренные на уроке, при этом ученики, слушая учителя, воспринимают его мыслительную деятельность как образец рассуждения; предложить несколько задач, используемых на ЕГЭ, олимпиадах, учащимся на применение подхода, продемонстрированного учителем; на следующих уроках перейти к обучению учащихся исследовательской деятельности в процессе поиска решения учебной задачи, являющейся программной, но совершенно новой для учеников на данном этапе обучения).

Классификация данных методов формирует у ребенка способность:

1. Абстрагировать, осуществлять синтез, рассуждать по аналогии, видеть сходство и различие, осуществлять переход данного текста задачи на математический язык
2. Использовать математический аппарат, выбирать методы решения с опорой на уже освоенные учебные задачи, переходить от одной математической модели к другой и изучению её свойств
3. Владеть методами проверки, прикидки результата, конкретизации, перехода от абстрактных объектов к реальным объектам
4. Контролировать и оценивать собственные действия при решении задач, выражать ясно и точно свои мысли в речи, логически грамотно воспринимать речь, проводить аргументированные рассуждения, отстаивать свою позицию, понимать необходимость проверки любых предложений
5. Искать выход в сложившейся ситуации, анализируя саму эту ситуацию, взвешивая все “за” и ”против”, совершая ошибки, уметь грамотно выполнять алгоритмические предписания и др.

Круг задач, относящихся к теме “текстовые задачи”, очень широк. Условно выделяют: задачи на движение, задачи на работу и производительность труда, задачи на процентное содержание и концентрацию, задачи на числа.

Успех в решении задач рассматриваемой темы во многом зависит от удачного выбора неизвестных и далеко не всегда в качестве неизвестных удобно выбирать те величины, которые необходимо найти по условию задачи. Как правило, в качестве неизвестных удобно выбирать те величины, используя которые наиболее просто записать условия задачи в математической форме (т.е. в виде уравнения, системы уравнений, неравенств и т.д.). Для каждого вида задач существуют рекомендации по выбору неизвестных.

 Разумеется, рассматриваемые задачи имеют идеализированный характер. Так, в задачах на  движение предполагается, что повороты тел и изменение их скорости происходят мгновенно (что ясно из физики является не возможным). В задачах на процентное содержание и концентрацию считается, что растворы и сплавы идеально перемешаны и т.д.

Можно  предложить следующую схему решения текстовых задач:

1. Выбирают удобные для описания условий задачи неизвестные;
2. Составляют необходимые уравнения или системы уравнений (реже неравенств);
3. решают полученные уравнения или системы уравнений;
4. отбирают подходящие по смыслу задачи решения.

Задачи на процентное содержание вызывают у школьников чуть - ли не ужас, хотя они не сложнее задач других тем. Поэтому остановлюсь на решении таких задач подробнее.

Важность данной темы актуальна. Необходимо владеть знаниями и умениями при поступлении в учебные заведения (техникум, училище) на базе 9 классов. Так, один из вопросов к вступительному экзамену по математике: “Проценты. Решение задач на проценты: нахождение числа по его процентам; нахождение процентного отношения чисел.” В целях  эффективной  сдачи экзамена  учащемуся для подготовки предлагается  перечень практических заданий вида:

1.1 Найдите 25% от 56.

1.2 Найдите число, если 1% его равен 75.

1.3 Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг. клубники?

1.4 Книга стоила 25 руб. После повышения цены она стоит 30,25руб. На сколько процентов выросла  стоимость книги?

1.5 Найдите число, 34% которого равны 170.

1.6  На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

1.7 Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

1.8 Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

1.9  Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

1.10  За несколько книг уплатили 320 руб. Стоимость одной из книг составила 30%, а другой -45% израсходованных денег. На сколько руб. первая книга дешевле второй?

1.11 Площадь участка поля -80га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй-60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько га?

1.12  На поле собрали с каждого гектара 44 ц. пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы той же площади на 25%. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле?

1.13 Сколько процентов составляет: а) число 8 от числа 200;  б)  число 2,1 от 14;  в)  число 0,363 от 6,6?  

Анализ тематического планирования  позволяет   сделать вывод, что на изучение данной темы  отводится  недостаточное количество часов(17 ч):

1. понятие  процента - 5 кл. - 4 час

2. нахождение  процентов  от  данного числа – 6 кл. - 4час.

3. нахождение  числа  по его процентам  -  6 кл. - 5 час.

4. изменение величины в процентах        -   6 кл. – 4 час.

Соответственно, нет тщательной отработки  темы  на протяжении школьного курса обучения, поэтому у учащихся 10-11 классов возникают трудности при решении тестов ЕГЭ (В-9*- задачи с экономическим уклоном).

Учителю есть над чем подумать, как построить свою работу при обучении данной темы.

В процессе  обучения  учащихся решению текстовых задач существуют арифметический, алгебраический, графический и практический методы, что входит в современный стандарт математического образования.  

 1. При арифметическом способе процесс решения начинается с анализа условия, выделяются существенные связи между данными в условии задачи, создаётся модель условия задачи, т. е. происходит перевод текста на математический язык. Затем создаётся схема решения задачи, включается поиск операций, необходимых для осуществления найденной схемы, полученный результат сверяется с условием задачи. Достижение правильного решения возможно только при постоянном контроле над всеми выполняемыми операциями. Арифметический способ используется не только для развития логического мышления учащихся, но и для показа вариантности решения задач. А это позволяет погрузить ребенка в ситуацию выбора.

 2. Алгебраический метод решения задачи не менее важен, т. к. он развивает абстрактное мышление, способность к обобщению. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

 3. При графическом способе необходимы следующие умения: правильное построение графической схемы по условию задачи; поиск существенных признаков, важных для решения данной задачи и решение задачи; обратный переход от разрешенной схемы к условию задачи и запись ответа; контроль и оценка собственной деятельности.

 4. Некоторые задачи можно решать, выполняя действия с предметами. Такое решение можно назвать практическим.

В данной работе приведу примеры моделей уроков обучения учащихся решению задач различными способами с помощью методов обучения, покажу несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания задачи, помогающих установить верно ли решена задача, способы разбора задачи: от разбора вопроса к данным (анализ) и от данных к вопросу (синтез).

Применение методов по теме урока:

«Задачи на проценты с помощью оценочного листа».

Ход урока.

 1.

1. Основные понятия (три вспомогательные задачи, либо устный счет в виде познавательных задач)
2. Задачи, связанные с процентами; рекомендации и типичные ошибки при решении задач (отслеженные в ходе анализа работы на протяжении лет)
3. Схема выхода из затруднения
4. Самоконтроль (оценочный лист)

2. Актуализация знаний (подготовка к решению задач).

Цель: заинтересовать, формировать внутреннюю потребность и мотивацию к обучению и саморазвитию (т. е. решить одну из проблем неудач, понизить уровень тревожности).

Предлагаю сюжетные задания по математике на тему: «Здоровье»: в целях расширения кругозора, аккуратности, собственного имиджа, познавательности, вычислительных навыках.  

1. Например:

1. Человек может произнести членораздельно около 300 слов в минуту. Сколько слов произнесут две болтушки- пятиклассницы за первые 5 минут урока?

Ответ: 3000 слов.

                          На самом деле с такой скоростью мало кто способен говорить, только                                спортивные комментаторы или общественные деятели. Но абсолютный рекорд говоруна – 552 слова в минуту. Можно провести дома тест – прочесть членораздельно отрывок текста за одну минуту и посчитать слова (текст из учебника по данной теме).

2. Борода солдата Дина Гиора из сказки «Волшебник Изумрудного города» имела длину около 1,5 м. Борода норвежца, жившего в начале ХХ века, была на 383 см длиннее. Из темницы какой глубины смог бы вытащить своего друга Фараманта бравый солдат, если бы он стал обладателем такой роскошной бороды? Учтем при этом, что рост Фараманта был 140 см.

Ответ: 6м 73 см.

                           Длинные волосы надо начинать расчесывать с концов, использовать бальзам – ополаскиватель. Вредно туго заплетать волосы в косички, от этого они редеют.

3. Расшифруйте фамилию великого врача и ученого Древнего Рима, заложившего основы медицины и анатомии на 15 веков вперед, расположив числа, не кратные 9, в порядке убывания:

                           649243 - С                                 101235   – Л                                 150724 – К

                           41507   - П                                  161217  – М                              8232323 – А

                           13961  – Й                                  52457     – Е                                  32683  – И

                           11007  – Т                                  2302110 – О                              633331    - Х

Ответ: Асклепий.

2. Устные работы (на доске или модель, заготовленная заранее, проектируется с помощью мультимедиааппарата).  

1. Вводная часть

(разбор всех задач на % → исследование).

Процентом числа называется его сотая часть, например,

1% - это одна сотая часть числа, 1% от числа 500 – это число 5,

3% - это три сотых числа, 3% от числа 500 – это число 15.

Отсюда легко получаются соотношения, которые полезно помнить:

50% числа х – это его половина (0,5 х);

25% числа х – это его четверть (0,25 х или ¼ х);

20% числа х – это его пятая часть (0,2 х или 1/5 х);

75% числа х – это его три четверти (0,75 х или ¾ х);

100% числа х – это все число (х).

Решение любых задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

Задача 1.  (нахождение процентов от числа)

Дано:                                                                     Решение:

         100% - это 800                                                            17% от 800 – это

       1% - это 800 : 100 = 8                                                800 ∙ 17% =

          17% - это 8 ∙ 17 = 136                                             = 800 ∙ 0,17 = 136

Найти: 17% от 800 ?

Ответ:17% от 800 –это 136.

Задача 2.  (нахождение числа по его процентам)

Дано:                                                                    Решение:

         3% - это 18                                                                 x, если 3% = 18 – это

         1% - это 18 : 3 = 6                                                     18/13 %= 18/0,03 = 600

         100% - это 6 ∙ 100 = 600

Найти: у какого числа 3% = 18 ?

Ответ: у числа 600, 3% которого равно 18.

Задача 3.  (нахождение процентного отношения чисел)

Дано:                                                                    Решение:

         100% - это 1200                                                         ?% сост. 60 от 1200 – это

         1% - это 1200 : 100 = 12                                            60/1200 ∙ 100 = 0,05 ∙100 = 5%

         60 : 12 = 5%

Найти: сколько % составляет число 60

            от числа 1200 ?

Ответ: число 60 составляет 5% от 1200.

2. Актуализация знаний

(заинтересовать и подготовить учащихся к решению задач)

Задача 1.

 Записать в виде десятичной дроби или натурального числа:

            68%                          4,5%                                370%                         200%

устанавливается время, проверка по образцу, учащиеся оценивают себя сами с помощью оценочного листа.

            0,68                           0,045                                 3,7                                 2

Задача 2.

 Записать в % :

             0,87                              5,3                                 0,026                              3

      (     87%                            530%                               2,6%                  300%    )  

Задача 3.

Решив эту задачу, узнайте, к какому возрасту появляются 28 постоянных зубов?

При первом изменении – величина уменьшилась на 30 %

При втором изменении – величина увеличилась на 60%

Найти: на сколько % в итоге изменилась величина?

Решение:

1. 100% - 30% = 70% = 0,7
2. 100% + 60% = 160% = 1,6

(0,7 ∙ 1,6)S = 1,12S – величина S выросла на 12%.

Ответ: 12 лет.

Задача 4.

Дано:

         Один ученик – это 4% всего класса

Найти: сколько в классе учеников?

Задача 5.

Во сколько раз увеличили число 2, если его увеличили на 300% (уменьшили на 80%)?

2 + 2 ∙ 3 = 6 + 2 = 8 (раз).

Задача 6.

Найти группу равносильных утверждений и составить слово:

                                                                       1.  увеличили на 100%

                  Число 4:                                     2. уменьшили на 50%

                                                                       3.  увеличили на 400%

                                                                         1.  увеличили в 8 раз        Б

           Варианты:                                          2.  уменьшили в 2 раза      З

                                                                         3.  увеличили в 10 раз      О

                                                                         4.  увеличили в 20 раз      У.

Ответ: ЗУБ.

3. Постановка проблемы

Устные задания готовят учащихся к решению задач на проценты. В качестве про блемы предлагаем использовать составление модели к решению следующей задачи.

Задача 1.

 «В одном банке вклад 12000 рублей через год превратился в 12840 рублей, а в другом банке вклад в 15000 рублей превратился в-15900 рублей. В какой банк выгоднее вкладывать деньги?»

В процессе работы над задачей учащиеся повторят основную формулу процен тов (b=а*(р/100), где a-число, b-часть величины, р- процентное соотношение); проведут анализ условия задачи, выделят, что дано, какой главный вопрос задачи.

Учитель предлагает учащимся составить свои варианты записи условия зада чи. Через 3 минуты рассмотреть все предлагаемые гипотезы. Выбрать наиболее эффективный способ - модель, которая заготовлена заранее и проектируется с по мощью мультимедиааппаратуры  100% - 12000 руб.

                                                            Вклад в начале

I банк                                                                                                              ? % «прирост»

                                                            Вклад через год

                                                                                                                               12840 р.

100 % - 15000 р.

                                                            Вклад вначале

II банк                                                                                                            ? % «прирост»

                                                            Вклад через год

                                                                                                                                15900 р.

Если данная модель не предложена самими учащимися, то её вводит учитель. Используя формулу, получим р1=107 %, р2= 106 %

Ответ: в первом банке выгоднее хранить сбережения.

  Само решение учащиеся проводят самостоятельно с последующей
проверкой ответов.

                  ИЛИ

Задача 2.

Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие -12% . Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Решение:

                                                       100 %- 22 кг.

Свежие грибы

Сухие грибы

                                                 100 %- ? кг.

При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется. Она составляет 10% от 22 кг или 2,2 кг. В сухих грибах на те же 2,2 кг приходится 88% . Значит, масса сухих грибов равна частному 2,2 кг: 0,88.

Запишем это решение “по шагам”:

1) 100% - 90% = 10% - составляет сухое вещество в свежих грибах.

2) 10% =0,1

22 ∙ 0,1 = 2,2 (кг) - масса сухого вещества в свежих грибах.

3) 100% - 12% =88% - составляет сухое вещество в сухих грибах.

4)88% =0,88

2,2: 0,88 = 2,5 (кг)

Ответ: масса сухих грибов равна 2,5 кг.

Эта задача на проценты является составной и новой для учащихся, не похожа на задачи, решаемые на прошлых уроках. Происходит фиксация затруднения, постановка проблемы.

Далее, в ходе диалога, каждый учащийся ищет правильный ответ сам, что формирует у них способность к поиску выхода из сложившейся ситуации, понимание того, что правильный ответ в ситуации можно найти, анализируя саму эту ситуацию, взвешивая все «за» и «против», совершая ошибки.

Учитель не называет правильный ответ, а с помощью вопросов мотивирует учащихся к дальнейшей работе:

1.учащиеся читают задачу, рисуют две схемы;

2. затем следует самопроверка схем учащихся или

проверка работы ученика, работающего у доски;

3. дается возможность учащимся осмыслить открытую схему, предложенную учителем на доске, сравнить со своей, исправить неточности;  

4. отметив существенный признак, учащимся предлагается перейти к созданию общей математической модели условия задачи в виде схемы;

5. в результате учитель предлагает повторить этапы работы вслух:

1. перевод математической задачи на язык схемы (моделирование);
2. работа с моделью на основе выделенного в ней общего и решение задачи;
3. обратный переход от разрешенной схемы к условию задачи и запись ответа;

4. Совершенствование практических знаний

Учащимся предлагается привести примеры использования задач на проценты на практике, тем самым устанавливается связь математики с другими разделами науки (экономика, банковское дело, строительство, сельское хозяйство и др.). Да лее учитель сообщает, что на уроке будут предложены задачи прикладного харак тера. Перед учащимися ставится проблема использования нужной формулы для расчёта сложных и простых процентов.

Задача 3.

 При какой процентной ставке в месяц вклад на сумму 1000 рублей увеличится за год до 1600 рублей?

Решение: Sn = (1 + pn\100)S

Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада S = 1000, конечной суммы Sn = 1600 и числа месяцев n = 12:

1600 = (1 + 12p\100)∙1000

Решим полученное уравнение и найдем неизвестное значение р:

1 + 12p\100 = 1,6↔ 12p\100 = 0,6↔ 12p=60↔ p = 5

Ответ: процентная ставка должна быть равна 5% в месяц.

Задача 4.

 Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за  8 месяцев до 3,3 тысяч руб.?

Решение:

Подставим в формулу простого процентного роста величину процентной ставки p = 4, количество месяцев п = 8 и конечной суммы Sn = 3,3:

3,3 = (1 + 4∙8\100) ∙S

Мы получили уравнение с неизвестным S.

Решим это уравнение:

(1+ 4∙8\100) ∙S = 3,3 ↔ 1,32 S = 3,3↔ S = 3,3 :1, 32 ↔ S = 2,5

Ответ: начальный вклад должен быть равен 2,5 тыс. руб.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов. Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае

Sn =(1- pn\100)S

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отри цательный".

Задача 5. 

Новый компьютер был куплей за 2500руб. Каждый год на его амор тизацию списывается 10%. Сколько будет стоить компьютер через 4 года!

Решение:

Выражение "списывать на амортизацию р% в год" означает, что каждый год первоначальная стоимость компьютера уменьшается на р% .

Для решения задачи подставим в формулу простого процентного роста про цент амортизации компьютера p=10, количество лет его использования n =4 и первоначальную стоимость S= 2500

(1- 10∙4\100)∙2500 = 0,6∙ 2500=1500 руб.

Ответ: через 4 года компьютер будет стоить 1500 руб.

Сложный процентный рост.

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называе мых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения вне сенной суммы на счете начисляется 40% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - "проценты", как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 40% начисляются банком уже на новую, уве личенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он поло жил на срочный счет в банк 1000 руб. и ни разу не будет брать деньги со счета:

40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., и следовательно, через год на его счете будет

1000+400=1400(руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., и следова тельно, через 2 года на его счете будет

1400+ 560=1960 (руб.)

40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 =784 руб., и следова тельно, через 3 года на его счете будет

1960 +784 = 2744 (руб.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 1 0 лет. Между тем, подсчет можно вести значительно проще.

Именно, через год начальная сумма увеличится на 40%, то есть составит 140% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,4 раза. В следую щем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следо вательно, через 2 года начальная сумма увеличится в

1,4 • 1,4 = 1,4² раза.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое:

1,43 • 1000=2,744 • 1000 = 2744 (руб.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р % годовых ., внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через n  лет, равна Sn рублей.

р% от S составляют p\100∙S руб., и через год на счете окажется сумма 

S1 = S+p\100∙S= (1+p\100)S,

то есть начальная сумма увеличится в 1 + p\100 раз.

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма

S2=(1+p\100)S1 = (1+p\100)(1+p\100)S = (1+p\100)² S.

Аналогично, Sз = (1+p\100)³ S и т. д. Другими словами, справедливо равенство

Sn = (1+p\100)n S.

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 6. 

Какая сумма будет на срочном счете вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 2000руб.?

Решение:

Подставим в формулу значение процентной ставки р = 10, количество лет n= 4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:

(1+10\100)4 • 2000=1,14∙2000=1,4641 • 2000 =2928,2 (руб.)

Ответ: через 4 года на счете будет сумма 2928,2 руб.

При решении данной задачи предлагается учащимся составить свои варианты записи условия задачи; в дальнейшем, рассматриваются все предлагаемые гипотезы; выбирается наиболее эффективный способ – модель, которая заготовлена заранее и проектируется с помощью мультимедиа; проверяются ответы.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой

Используя алгоритм решения задач на проценты: анализ условия → составление модели→ выбор формулы → решение → запись ответа, для самостоятельной работы предлагается задача:

Задание 7.

После истечения двух лет сумма банковского вкла да, положенного под 3% годовых, выросла на 304,5 рубля. Найди те первоначальную сумму вклада.

Решение:

Пусть А рублей — первоначальная сумма вклада. Тогда через год сумма вклада составила А + 0,03 А = А∙(1 + 0,03) = = 1,03∙А руб. За второй год проценты составили 0,03∙(1,03∙А). Через два года сумма вклада станет равной 1,03∙А+ 0,03∙(1,03∙А )= 1,03∙1,03∙А.

Получаем уравнение:

1,03∙1,03∙А=А +304,5, 0,0609∙А= 304,5,

А = 5000.

Ответ: 5000 рублей.

В качестве самостоятельной деятельности с целью формирования у учащихся способностей к анализу, умению абстрагировать, умению отбрасывать несущественные свойства, выделять существенные свойства, способности к синтезу, рассуждению по аналогии, можно предложить решение задачи различными способами. Например:

Задача 8.

I способ:

 В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько % поднялась цена за два месяца?

Решение:

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку "первые" 30%) подсчитываются от цены в конце декабря, а “вторые” 20% - от другой величи ны, цены на конец января.

Поэтому будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3 S, а в конце февраля -1,2 ∙ (1,3S) = 1,56 S. Следовательно, она выросла на 56% .

Решение можно записать так:

Пусть S - первоначальная цена.

1) 1,33 S- цена в конце января (130% от S).

 2) 1,2 ∙ (1,33 S) = 1,56 S - цена в конце февраля (120% от 1,3 S).

 3) 1,56 S составляе156%от S.        

        156% -100% -56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

II способ:

(моделирование условия задачи в графической форме)

ДЕКАБРЬ                           ЯНВАРЬ                                ФЕВРАЛЬ

1 – стоимость яблок (S)       1 + 0,3 = 1,3 S          120% от 1,3 S = 1,56 S

                                                            Возросшая        стоимость  

1. Повышение на 20% увеличило стоимость яблок на 1,2, т. е.

1,2 (1,3 S) = 1,56 S – цена в конце февраля.

2. 1,56 S = 756%

156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

Ответы к самостоятельной работе оформляют сильные ученики с обратной стороны доски. Ошибки комментируются учащимися, либо учитель демонстрирует варианты верных ответов, учащиеся проверяют и оценивают свою работу.

6. Включение нового знания в систему знаний

Раздать учащимся задания с тестов ЕГЭ и предложить их выполнить.

Среди задач на проценты, предлагающихся на экзамене, можно выделить несколько типов.

Задание 1.

Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько про центов увеличился спрос?

А. 500%      Б. 100%      В. 200%      Г. 400%

Решение:

 Первоначальный спрос на товар (а) составлял 100%. Спрос увеличился и стал 5А. Произошло увеличение на 4А. Увеличение составило 400%.

Ответ: Г.

Задание 2.

 Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?

А. В 2 раза    Б. В три раза    В. В четыре раза    Г. Вполовину

 Решение:

   Первоначальный   объем  товаров   (а)   составлял 100%. Он увеличился и стал а + 2а = 3а. Произошло увеличение в три раза, по сравнению с первоначальным объемом.

Ответ: Б.

Задание 3.

Квартплата составляла 2000 рублей. Какой стала квартплата после ее увеличения на 120%?

Решение:

     2000 рублей составляют 100%, х рублей составляет 120%.

Найдем из пропорции, какой стала квартплата после увеличе ния: х = (2000 • 120) : 100 = 2400.

Ответ:  2400 рублей.

Задание 4.

Магазин в первый день продал 40% имеющихся ово щей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день — оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

Решение:

 Обозначим за х (кг) — вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4х (кг), а за второй день — 0,8∙(0,4х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составляем уравнение:

0,4х + 0,8∙(0,4х) + 28 = х,

0,28 х = 28,

х = 100.

Ответ: 100 килограмм.

Задание 5.

Цена изделия составляла 1000 рублей и была сниже на сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная це на товара?

Решение. Подобные задачи, на наш взгляд, удобно решать с помощью такой схемы рассуждений:

Первое снижение цены товара было на 0,1 ∙1000 = 100 руб. По сле первого снижения цена товара составила 1000 - 100 = 900 руб. Второе снижение цены товара было на 0,2 • 900 =180 руб. После второго снижения цена товара составила 900 - 180 = 720 руб.

Ответ: 720 рублей.

Задание 6.

Цену товара повысили на 25%, затем новую цену по высили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели по вышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили пер воначальную цену товара?

Решение:

Обозначим первоначальную цену товара за х (руб), тогда после первого повышения цена товара стала — 1,25x. Второе повышение цены было на 0,1 • 1,25.x. После него цена товара ста ла — 1,25x + 0,1 • 1,25х = 1,375x. Третье повышение цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило 0,12 • 1,375x = 0,165x. После последнего повышения це на товара составила 1,375 х+ 0,165 х= 1,54х.

Схема рассуждений была следующей:

Осталось выяснить процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 1,54х - х = 0,54х рублей, что составляет 54% от первоначальной цены.

Ответ: 54%.

Задание 7.

Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Решение. Эта задача на так называемые «сложные процен ты». Так говорят, когда в задаче идет речь о поэтапном изменении некоторой величины. В данном случае рассмотрим два этапа — на первый год, а на втором этапе производится начисление процен тов на сумму, получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года.

1000 рублей — первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 • 1000. По окончании первого года на счету окажется 1000 + 0,03 • 1000 = 1030. По окон чании второго года проценты составят 0,03 • 1030 = 30,9. Таким об разом, после двух лет сумма вклада составит 1030+30,9 = 1060,9. Первоначальный вклад был увеличен на 60,9 рублей.

Ответ: 60,9 рублей.

7. Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»

В таких задачах часто встречаются понятия процентного содер жания или концентрации. Например, если в задаче идет речь о де вятипроцентном растворе уксуса, то можно понять, что в этом рас творе 9% чистого уксуса, а остальные 91% приходится на воду, с которой смешивался чистый уксус. Также можно сказать, что 0,09 части составляет в этом растворе чистый уксус, а 0,91 части прихо дится на воду. Понятно, что объем всего раствора принимается за 100% (или за 1).

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соот ношение между которыми позволяет составлять уравнение:

— концентрация (доля чистого вещества в смеси);

— количество чистого вещества в смеси (или сплаве);

— масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее: Масса смеси ∙   концентрация = количество чистого вещества.

Задание 8.

Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам пя типроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцент ный раствор?

Решение. Соль содержится в каждом из растворов. В 20 лит рах- пятипроцентного раствора соли содержится 20 ∙ 0,05 =1 (ед) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узна ем, каково ее количество.

Обозначим х (л) — количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4-процентную концентрацию раствора ха рактеризует уравнение 1/20+х = 0,04. Решением уравнения является

х= 5.

Ответ: 5 литров.

Задание 9.

 Имеются два куска сплава меди и цинка с процент ным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отно шении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

Решение.

 Изобразим схематически условие задачи:

Концентрация 0,5

Масса сплава х+у

Количество меди 0,5(х+у)

Концентрация 0,65

Масса сплава у

Количество меди 0,65у

Концентрация 0,42

Масса справа х

Количество меди 0,42х

           +        →

Количество меди в каждом сплаве найдено с помощью соотно шения (1).

Можем составить уравнение: 0,42 х + 0,65 у = 0,5(х+у).

   В этом уравнении две неизвестных, а в задаче требуется найти их отношение х/у. Решая уравнение, получим

42 х + 65 у = 50(х+у),

15у = 8х, х: у= 15:6.

Ответ: Нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15 к 6.

Задание 10. (ЕГЭ - 2010, В9*)

После покупки пакета акций, владелиц разделил его на 2 неравные части. Акции первой части он продал на 15%, а акции второй - на 20% дороже их первоначальной цены. В результате его прибыль составила 18%. Сколько % всех акций составила 1 часть пакета?

( а) проверка решений - с помощью мультимедиа)

( б) учащимся составить свои варианты записи условия задачи)

(в) учитель - модель с ответом проектирует на экране)

(г) решение учащиеся проводят самостоятельно)       

Акции:

I часть :        стоимость вначале: S1                                  р =15%

                                                   стоимость после продажи                      Sn1

                                                                                                                                                          =>Sn

II часть:        стоимость вначале: S2

                                                           стоимость после                                               р = 20%
                                                               продажи: S2

Прибыль:                        

   от Sn                                                                                                                                р = 18%

Решение:

1.   X - стоимость I части акций S1

      Y – стоимость II части акций S2

           (X+Y)- стоимость пакета акций Sn

          2. 0,15х – проданные акции I части Sn1

     0,3у – проданные акции II части Sn2

 3.  0,15х + 0,2у = 0,18(х+у)

      0,2у – 0,18у = 0,18х – 0,15х

      0,02у = 0,03х

Х – 2 части

У – 3 части

      2у = 3х5 частей

      Зх = 2у                                           х/у = 2/3                                                    

     Значит, 2/5 = 0,4 = 40% - всех акций составила I часть.

Ответ: 40%.

Задание 11. (В9*- 2010, практикум)

По вкладу «Доходный» банк вкладывает 14% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 50 000 тыс. рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 2 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока ?

Решение:

1. Запись условия (с подсказкой)

                вклад вначале        100% - 50 000 руб.            

Сумма

? руб.

? руб.  «прирост»

Банк        вклад через год                                               ? руб.                                                       =>                                         =>                      =>D=?руб.                        

                вклад через 2 года   p=14%

                                                                                          ? руб.

 2. Запись решения:

1. Д = 50 000∙ (1,14)²- 50 000= 14980 (руб.)

2. а) Sn= (1+р/100)n∙ S

        Sn= (1+14/100)²∙50 000 = 1,14²∙50 000 = 64980 (руб.)

    б) 64980 – 50 000 = 14980 (руб.)

3. Вклад – 50 000 руб.

    а) 50 000 ∙ 14% = 7 000 (руб.)

1 год-

    б) 50 000 + 7000 = 57 000 руб.

                    2 год -     57 000 -14% = 7980 руб.
Доход:        - 7000 + 7980 = 14980 руб.
Ответ: 14980 рублей.

Задание 12.   (Ким 2010)

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10 000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Решение:

1,11 ∙7000-7770,00

(7770 + Х)- 1,11 ≥10000

7770-1,11 + 1,11 ∙Х≥ 10000

1,11х ≥10000-8624,7

1,11х ≥ 1375,3

х ≥1375,3/1,11

х ≥1240,8

х=1241

Значит, наименьшая сумма 1241 руб.

Ответ: 1241 рубль.

8. Рефлексия деятельности

 В завершение урока как подведение его итога учитель предлагает учащимся вести записи в индивидуальных оценочных листах в течение изучения всей темы и индивидуально оценить свою деятельность.

Оценочный лист.

Тема очень сложная, поэтому ребят надо обязательно поблагодарить за работу. Для создания ситуации успеха можно информировать учащихся, что такие задачи есть в материалах государственных экзаменах по окончании средней школы. Либо предложить ответить на следующие вопросы: «Какое из умений, востребованных на сегодняшнем уроке, пригодится вам в жизни?»; «Нужно ли это знание при решение каких –то бытовых задач?»; «Как вы думаете где и каким образом вам могут пригодиться новые знания?» и т. д.

9. Домашнее задание

Домашнее задание необходимо предлагать дифференцированное, предоставляя возможность для развития как наиболее слабым учащимся, так и наиболее сильным. Не будет необычным, если иногда и сильные ученики не справятся с домашним заданием. С целью мотивации учебной деятельности учитель может предложить схему выхода из затруднения.

Схема выхода из затруднения.

Проверь по образцу

Определи причину

Есть ошибка

Сравни с образцом

                                                    ДА        НЕТ

Повтори

Прорешай повторно

ДА                                          НЕТ

Реши

Сравни с образцом

Верно

Верно

        НЕТ                                                  НЕТ                                ДА

ДА

Сравни с эталоном

Есть неточность

Исправь

Сравни с эталоном

Есть неточность

Сравни с эталоном

                    ДА                                                            ДА

Молодец!!!

НЕТ                                                                                                                                          НЕТ

III.Заключение

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Цель моей исследовательской работы на протяжении многих лет – научить применять научные знания как важнейшее средство реализации педагогической технологии. Результатом служит стремление к эффективности уроков по данной теме. Путем самоанализа на протяжении педагогической деятельности можно сделать выводы, что это возможно добиться при использовании на уроках информационно – репродуктивного метода обучения, метода проблемного изложения, методов – эвристического или частично – поискового и т. д. ;

при использовании конструктивного и творческого уровней обучения; при использовании постоянного руководства со стороны учителя за учебной деятельностью учащихся, в том числе и самостоятельной. На основании этого предлагаю придерживаться следующих рекомендаций для учащихся с целью успешного усвоения темы:

1. внимательно изучить теоретический материал и разобрать приведенные примеры;
2. повторить и вспомнить основные положения и способы решения задач;
3. освоить рекомендации по решению задач изучаемой темы;
4. понять причину возникающих ошибок;
5. попытаться самостоятельно (не используя указаний) решить предлагаемые задачи, при неудачи надо воспользоваться указаниями;
6. помните, что самостоятельное решение даже одной задачи полезнее разбора пяти задач;

Целенаправленное обучение решению задач способствует развитию такого качества мышления, кА вариантность. Под вариантностью мышления понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специального указания на это. При решении текстовых задач учащиеся применяют различные способы и методы решения:

1. моделирование в графической форме - этапы:

1. перевод математической задачи на язык схемы
2. работа с моделью
3. обратный переход от схемы к условию задачи
4. запись ответа.

2. Алгебраический способ решения: пропорция; «по шагам».
3. С помощью формулы простого процентного роста.
4. С помощью формулы сложного процентного роста.
5. Графический способ решения.
6. Практический способ решения.

Таким образом, можно сделать вывод, что систематическое применение различных методов и приемов решения текстовых задач различного уровня позволяет сформировать у учащихся умение находить свой оригинальный способ решения задач, воспитывает стремление вести самостоятельный поиск решения новой задачи, той, которая раньше не встречалась, осуществлять контроль своей учебной деятельности.

Литература

1. Баранов О.О. Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач [Текст] / О.О. Баранов. – М.: Просвещение, 2003. – С. 51-59
2. Валитова С.Л. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления [Текст] // Математика в школе. – 2003. - №5. – С. 33-42
3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленым изучением курса математики) [Текст] / М.Л. Галицкий. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.
4. Крамор В.С. Повторяем и систематизируемый школьный курс алгебры и начала анализа [Текст] / В.С. Крамор. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
5. Кочагина Н.Н., Кочагин В.В. Математика: 9 класс: Подготовка к «малому ЕГЭ» [Текст] / Н.Н. Кочагина.  - М.: ЭКСМО, 2007. – 192 с.
6. Лунгу К.Н. Тесты по математике [Текст] / К.Н. Лунгу. – М.: Айрис – пресс, 2002.
7. Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике [Текст] / А.Н. Рурукин. – М.: «Вако», 2006. – 304 с.