Роль учителя при выборе задач в обучении математике
статья по алгебре по теме

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

 на уроках физики

Как известно, если в формуле использованы три и более физические величины, то такая формула в физике называется зависимостью.

Физические зависимости можно поделить на прямые и обратные. Например скорость движения имеет прямую зависимость от пути и обратную зависимость от времени движения. Прямая зависимость выражается в том, что с ростом одной физической величины растёт и зависимая от неё физическая величина. И наоборот.

Часто при выполнении тестовых заданий удобнее пользоваться именно понятием прямой и обратной пропорциональной зависимости, чем обычным стандартным решением.

 Как известно, на ЕГЭ по физике отводится 3,5 часа. Можно сэкономить время для решения более «весомых» (в смысле баллов) задач на заданиях следующего типа (в части А в том или ином виде обычно представлены 3- 4 задачи):

1. Первоначальное удлинение пружины равно Δl. Как изменится потенциальная энергия пружины, если ее удлинение станет вдвое больше?

1) увеличится в 2 раза

2) увеличится в 4 раза

3) уменьшится в 2 раза

4) уменьшится в 4 раза

2. В результате нагревания неона абсолютная температура газа увеличилась в

4 раза. Средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул при этом

1) увеличилась в 4 раза

2) увеличилась в 2 раза

3) уменьшилась в 4 раза

4) не изменилась

3. Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 3 раза, а один из зарядов увеличили в 3 раза. Силы взаимодействия между ними

4. Как изменится период малых колебаний математического маятника, если длину его нити увеличить в 4 раза?

1) увеличится в 4 раза

2) увеличится в 2 раза

3) уменьшится в 4 раза

4) не изменится

и т.д.

Рассмотрим примеры решений некоторых заданий.

Во-первых,  следует подходить к решению таких тестов следующим образом:

1. Вспомнить формулу, которая связывает параметры о которых идет речь

    в  тесте.

2. Установить, каким видом зависимости (прямо пропорционально,

    обратно  пропорционально и т.д. ) связаны данные параметры.

Задача 1:

Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 3 раза, а один из зарядов увеличили в 3 раза. Силы взаимодействия между ними

Если решать стандартным методом - на это уйдёт достаточно много времени, а т.к требуется только выбрать правильный ответ, то….

Запишем формулу закона Кулона:

F=kq1∙q2r2

q1 = const         

q2↑в 3 раза → F↑ 3 раза прям.зав.

 r↓в 3 раза→ F ↑в 9 раз (обр. пропорц.зав)

Задача 2:

Как изменится сила тока, протекающего по проводнику, если напряжение между концами проводника и площадь его сечения увеличить в 2 раза?

1) не изменится

2) уменьшится в 4 раза

3) увеличится в 2 раза

4) увеличится в 4 раза

 Решение:

Запишем формулу закона Ома для участка цепи (1)  и формулу, выражающую зависимость сопротивления проводника от его геометрических параметров (2):

I= UR ;   R= ρlS

S↑в 2 раза → R↓ в 2 раза →I↑ в 2 раза

                       U↑ в 2 раза → I↑ в 2 раза

Задача 3:

Два маленьких шарика массой  m каждый находятся на расстоянии r друг от друга. И притягиваются с силой F. Какова сила гравитационного притяжения двух других шариков, если масса каждого из них 12 m, а расстояние между их центрами 2 r?

Решение:

F=Gm1∙m2r2

m1↓ в 2 раза →F↓ в 2 раза 

m2↓ в 2 раза →F↓ в 2 раза 

r↑ в 2 раза→F↓ в 4 раза

Задача 4:

Период колебаний пружинного маятника 1с. Каким будет период его колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жёсткость пружины увеличить в 2  раза?

Решение:

Т=2π mk

m↑ в 2 раза →Т ↑2   раз

k↑ в 2 раза   →Т ↓2  раз

В задачах данного типа главное правильно установить вид зависимости (прямая либо обратная пропорциональность), учитывая при этом математические операторы (степень, корень).

Достоинства такого метода решения заключается в быстроте, доступности  алгоритма действий даже для слабых учеников, минимуме математических преобразований, таких как: выражение одной изменяемой величины через другую, решение систем уравнений; арифметические вычисления достаточно просты, поэтому и вероятность ошибиться тоже меньше.

Но с другой стороны, говорить о физике при применении данного метода не приходится. Всё в основном сводится к логике и математике, что в принципе, тоже не так уж и плохо, особенно когда речь идёт о быстром выборе ответа.

Естественно, не всегда для нахождения физических величин в задачах данного типа можно применять данный алгоритм решения. Например,  выразив R= UI ,  с математической точки зрения можно утверждать, что сопротивление  (R) прямо пропорционально напряжению  (U) и обратно пропорционально силе тока (I). Однако, известно, что сопротивление проводника зависит только его геометрических размеров.

Поэтому рассматривая функциональные зависимости на уроках физики учителя всегда обращают внимание учащихся на такого рода «особенности».

Роль учителя при выборе задач в обучении математике

Преподавание и обучение математике должны включать в себя гораздо больше, чем простое  решение рутинных задач.

Уроки можно дополнять  разнообразным материалом, математически более богатым и сложным, интересным и познавательным, используя  различные методики преподавания, которые помогут учащимся развить творческие навыки и нестандартное мышление, логику и память.

С  этой точки зрения для развития у учащихся перечисленных математических навыков как нельзя лучше подходят поисковые задачи, решаемые в конструктивных  рамках исследовательского проблемного метода.

В этих условиях, учитель должен являться лишь посредником между учеником и математическими знаниями, он должен предлагать ребёнку разнообразные задачи, позволяющие  получить ему доступ к их математическому содержанию, а также выделять и разрабатывать математические процессы, такие как экспериментирование, выдвижение гипотезы, исследование, способствуя более эффективному обучению математике.

Поэтому одним из  критериев при отборе учителем заданий для достижения поставленных целей должна служить их вариативность и разнообразность: одни задачи для развития «чувства» числа, другие для обучения геометрическим и пространственным рассуждениям, третьи подчёркивают алгебраическое мышление ребёнка. Желательно, чтобы эти задачи имели несколько решений в целях повышения у учащихся математических идей, гибкости мышления и оригинальности в ответах.

Таким образом, учитель должен  иметь возможность выбирать, разрабатывать и корректировать задачи в соответствии с намеченной целью урока.

ЗАДАЧИ

1. Есть круглый бассейн. От его бортика в направлении точно на север отплыла рыба. Проплыв 6 метров, она опять столкнулась с бортиком. Тогда рыба повернула на восток, проплыла еще 8 метров и опять столкнулась с бортиком. Найти диаметр бассейна.

2. Луч света, направленный из вершины куба, отразившись 2008 раз от его внутренних зеркальных стенок (по закону «угол падения равен углу отражения») и не попадая при этом на ребра, заканчивает свой путь в другой вершине куба. Какое наименьшее расстояние может пройти луч света, если длина ребра куба равна 1?

3. Вызвал к себе король придворного архитектора, и дал ему задание: "Построй мне храм, и чтобы была в нем лишь одна комната. Стены в ней пусть будут зеркальными, а углов не будет вовсе. Хочу, чтобы она освещалась единственной свечкой, но и неосвещенное место должно остаться." Как архитектору справиться с поставленной задачей?

4. В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?

5. Найдите десятизначное натуральное число, в котором: первая (слева) цифра этого числа равна количеству нулей в его записи, вторая цифра — количеству единиц, третья — количеству двоек и т.д., последняя цифра равна количеству девяток в записи этого числа.

6. Набор чисел 1, 3, 8, 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них меньше точного квадрата на единицу. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая этого свойства.

7. Некоторое натуральное число заканчивается на двойку. Если ее переставить на первое место, то число удвоится. Какое минимальное число было изначально?

8. Придумайте два разных числа, которые состоят из одинаковых цифр (как, например, числа 555 и 55555) и сумма которых равна их же произведению. В каждом числе должно быть не менее двух цифр.

9. На окружности дано 300 точек. Жук находится в произвольной точке. Двигаясь против часовой стрелки, он перемещается сначала на одно деление в соседнюю точку, затем перемещается на два деления, потом – на три, четыре и т.д. В скольких точках побывает жук? Ответ обосновать. 

Роль учителя при выборе задач в обучении математике

Преподавание и обучение математике должны включать в себя гораздо больше, чем простое  решение рутинных задач.

Уроки можно дополнять  разнообразным материалом, математически более богатым и сложным, интересным и познавательным, используя  различные методики преподавания, которые помогут учащимся развить творческие навыки и нестандартное мышление, логику и память.

С  этой точки зрения для развития у учащихся перечисленных математических навыков как нельзя лучше подходят поисковые задачи, решаемые в конструктивных  рамках исследовательского проблемного метода.

В этих условиях, учитель должен являться лишь посредником между учеником и математическими знаниями, он должен предлагать ребёнку разнообразные задачи, позволяющие  получить ему доступ к их математическому содержанию, а также выделять и разрабатывать математические процессы, такие как экспериментирование, выдвижение гипотезы, исследование, способствуя более эффективному обучению математике.

Поэтому одним из  критериев при отборе учителем заданий для достижения поставленных целей должна служить их вариативность и разнообразность: одни задачи для развития «чувства» числа, другие для обучения геометрическим и пространственным рассуждениям, третьи подчёркивают алгебраическое мышление ребёнка. Желательно, чтобы эти задачи имели несколько решений в целях повышения у учащихся математических идей, гибкости мышления и оригинальности в ответах.

Таким образом, учитель должен  иметь возможность выбирать, разрабатывать и корректировать задачи в соответствии с намеченной целью урока.

ЗАДАЧИ

1. Есть круглый бассейн. От его бортика в направлении точно на север отплыла рыба. Проплыв 6 метров, она опять столкнулась с бортиком. Тогда рыба повернула на восток, проплыла еще 8 метров и опять столкнулась с бортиком. Найти диаметр бассейна.

2. Луч света, направленный из вершины куба, отразившись 2008 раз от его внутренних зеркальных стенок (по закону «угол падения равен углу отражения») и не попадая при этом на ребра, заканчивает свой путь в другой вершине куба. Какое наименьшее расстояние может пройти луч света, если длина ребра куба равна 1?

3. Вызвал к себе король придворного архитектора, и дал ему задание: "Построй мне храм, и чтобы была в нем лишь одна комната. Стены в ней пусть будут зеркальными, а углов не будет вовсе. Хочу, чтобы она освещалась единственной свечкой, но и неосвещенное место должно остаться." Как архитектору справиться с поставленной задачей?

4. В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?

5. Найдите десятизначное натуральное число, в котором: первая (слева) цифра этого числа равна количеству нулей в его записи, вторая цифра — количеству единиц, третья — количеству двоек и т.д., последняя цифра равна количеству девяток в записи этого числа.

6. Набор чисел 1, 3, 8, 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них меньше точного квадрата на единицу. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая этого свойства.

7. Некоторое натуральное число заканчивается на двойку. Если ее переставить на первое место, то число удвоится. Какое минимальное число было изначально?

8. Придумайте два разных числа, которые состоят из одинаковых цифр (как, например, числа 555 и 55555) и сумма которых равна их же произведению. В каждом числе должно быть не менее двух цифр.

9. На окружности дано 300 точек. Жук находится в произвольной точке. Двигаясь против часовой стрелки, он перемещается сначала на одно деление в соседнюю точку, затем перемещается на два деления, потом – на три, четыре и т.д. В скольких точках побывает жук? Ответ обосновать.