Практико-ориентированный проект на тему "Роль комбинаторных задач в обучении математики"
проект (9 класс) по теме

Государственное образовательное учреждение дополнительного образования                   (повышение квалификации) специалистов Московской области

Педагогическая академия последипломного образования

Кафедра математических дисциплин

Практико – ориентированный проект на тему:

«Роль комбинаторных задач в обучении математики»

Работу выполнила: Рысакова В.Н.

учитель математики МОУ

Масловская ООШ п.Масловский

Зарайского района Московской области

Научный руководитель: кандидат

педагогических наук, лауреат Гранта Москвы

в сфере образования и наук за 2010г.,

доцент кафедры математических дисциплин

Педагогической академии

последипломного образовании

Мардахаева Елена Львовна

                                                            Москва  2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………...3-4с.

2. Роль комбинаторики в школьной теории вероятностей…..5-6с.

3. Решение комбинаторных задач…………………………….7-12с

        - правила суммы и произведения…………………………..7с.

        - перестановки……………………………………………….8с.

        - размещения…………………………………………………9с.

        - сочетания………………………………………………10-12с.

4. Заключение……………………………………………………13с.

5. Список литературы…………………………………………..14с.

Введение.

      В содержание среднего образования России внесены существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включены теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея - о существовании жёстких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны.

      Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научится измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Теория вероятностей в средней школе - это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффектного конкурентно – способного  производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение социальной политики.

     Теория вероятностей как наука начала складываться в XVII веке.Источником задач для неё служили азартные игры. В частности, игра в кости, которая тогда была очень распространена в Западной Европе. В этих задачах главное – выбор равновозможных элементарных событий и правильный подсчёт комбинаций этих элементарных событий.

     Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла  развития математики. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
   Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
    Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французcким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n.  В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

     Анализ данных, основы теории вероятности, описательной и математической статистики в той ли иной форме присутствуют как самостоятельные темы и содержательные линии в курсах школьной математики Франции, Великобритании, Японии, США  практически во всех развитых странах мира. В нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики в обязательное школьное образование. Если раньше элементы комбинаторики и теории вероятности можно было изучить по учебникам  Н.Я.Виленкина и других для 9-11 классов, то сейчас для внедрения основ стохастики в практику созданы реальные условия; изданы много учебников, вкладышей ранее изданным учебникам общеобразовательных школ.  

          Роль комбинаторики в школьной теории вероятностей

     Часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике.          Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.

     Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует:

- пробуждению и развитию устойчивого интереса учащихся к математике;

- расширению и углублению знаний учащихся по программному материалу;

- развитию математических способностей и логического мышления у учащихся;

- развитию у них умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;

- расширению и углублению представлений учащихся о практическом значении математики в технике, экономике;

- расширению и углублению представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о роле ведущих ученых-математиков в развитии мировой науки;

- разностороннего развития личности.

Главная задача комбинаторики в курсе вероятности, на наш взгляд, состоит в том, чтобы учащиеся получили представление об изменчивости, о различных вариантах и их числе, которые могут возникнуть во многих житейских ситуациях. Разбор элементарных комбинаторных задач в школьном курсе следует начинать с обычного перечисления вариантов, получаемых естественным образом, а не с заучивания формальных обозначений. Например, учащиеся должны убедиться, что им вполне по силам выписать все возможные варианты и найти число различных бутербродов из двух сортов хлеба и трех сортов колбасы.

Комбинаторное правило умножения вытекает из подобных задач естественным, интуитивно понятным образом. Точно так же следует подходить и к задачам на перестановки. Сначала учащиеся должны на простых примерах понять, что в задаче о перестановке трех элементов на первое место может претендовать любой из трех элементов, на второе — любой из двух оставшихся, а на последнее — только один, не выбранный ранее. Нужно научиться выписывать все возможные перестановки в подобных задачах. И лишь затем переходить к формальному описанию числа перестановок с помощью факториала. Формальное вычисление факториала следует закрепить, так как оно возникает во многих комбинаторных задачах.

Большую вспомогательную роль при первичном знакомстве с комбинаторными правилами могут сыграть графы. Построение дерева вариантов (дерева перебора) иллюстрирует не только правило умножения, но и дает школьнику естественный алгоритм несложного перечисления.

       При изучении комбинаторики в школьном курсе математики необходимо включать и вопросы, выходящие за рамки школьной программы, но примыкающие к ней.

       Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.

Чтобы заинтересовать учащихся, мы постарались составить задачи с разнообразным содержанием.

Решение комбинаторных задач

1. Правило суммы

    Для ознакомления первого правила комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:

     Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?

     Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.

Правило суммы в комбинаторике:

Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в-n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m+n способами.

   Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?

    Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.  

     2)  Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

2. Правило произведения

     Рассмотрим решение задачи, через которое сформулируем новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при изучении последующего материала.

     Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

     Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.

     Правило произведения:

  Пусть нужно выбрать к элементов. Если первый элемент можно выбрать n1  способами, второй – n2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n1· n2·… nк.

     Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?

     Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

Ответ: 40 способов.

3. Перестановки

     Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

     Рассмотрим на примере перестановку без повторений.

     Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?

     Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:

     авс, асв, вас, вса, сав, сва.

     Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

     При решении этой задачи можно воспользоваться правилом умножения. Выбор первого места на полке три. Для каждого выбора первого места есть две  возможности выбора второго места. Из трех книг один выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.

     Определение: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

     Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn.

     Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего n выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n-1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n-2 выбора и т. д. В результате получим: Рn = n·(n-1)·(n-2)…2·1.

     Если произведение обозначим 1·2·3…(n-1)·n = n!, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:

     Рn = n!

          Задачи:

1. Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?

Решение: Р7 =1·2·3·4·5·6·7=5040          Ответ: 5040 способов.

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются?            

Решение: Так как натуральное число не может начинаться с цифры 0, исключаем те числа, которые начинаются с цифры 0. Количество таких чисел          

Р4 = 1·2·3·4= 24

Р5 – Р4 = 1·2·3·4·5-1·2·3·4 = 120-24=96     Ответ: 96 чисел.

3. На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?

Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р5. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р3 перестановок девочек. Искомое число перестановок:

Р5·Р3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720     Ответ: 720 способов.

4. Размещения

     Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет  способов размещения шаров?

     Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.

     бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.

     збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.

     кбз, кзб, ксб, кбс, кзс, ксз.

     сбз, сзб, скб, сбк, скз, сзк.

     Всего способов 24. В первую ячейку можно выбрать четырьмя способами. Во вторую – тремя, в третью – двумя. Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех  элементов, называют размещением из четырех элементов по три.  

     Определение: Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

     Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.

     Число размещений из n элементов по к обозначают А.

     Первый элемент можно выбрать n способами, второй n-1 и последний k-й элемент n-(к-1) способами.

     А = n(n-1)(n-2)… (n-(k-1))

     Задачи:

4863232. Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.

Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком      следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении из 8 элементов по 4.

          А= 8·7·6·5=1680               Ответ: 1680 способов.

4863233. Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов,  на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?

     Решение: А = 10·9·8·7=5040     Ответ: 50400 способов.

3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?                                   

    Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А. Число размещений начинающихся с цифры ноль – А. Число телефонных   номеров равно:

    А – А =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216      Ответ: 27216 номеров.

5.Сочетания

     Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?

Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d, е. Можно составить такие сочетания: авс, авd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bed, cde.

Всего: 10 способов.

Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.

     Число сочетаний из n элементов по k обозначается С.

     В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.

     Допустим, имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены всевозможные сочетания по k элементов. Число таких сочетаний равно С.

В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n элементов по к. Их число равно А.

     Значит, А = С.·Pк. Отсюда С=.

 =

     Умножим числитель и знаменатель, на (n-k)!

 Задачи:

1. Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:

С = 

Ответ: 220 способов  

2. В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:

а) среди них должен быть 1 мальчик;

б) это могут быть любые 3 ученика?

Решение: а) выбрать одного мальчика можно С8 способами:

           Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно С способами:

Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:

С ·С= 8·45=360        Ответ: 360 способов.

б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать

                                                       Ответ: 816 способов.

3. В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Способов выбора 5 груш:

Способов выбора 3 яблок:

Всего указанный выбор можно сделать С ·С способами:

 С· С = 3003·35=10510              Ответ: 105105 способов.

4. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирают по жребию четырёх дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны две девушки и два юноши?

Решение: Число исходов при выборе четырёх дежурных равно  С. Все эти исходы равновозможны. Пусть А – событие, при котором выбраны 2 юноши и 2 девушки. Выбрать двух юношей из 7 можно  С  способами, а выбрать двух девушек из 4 можно  С способами. Каждому выбору двух юношей соответствует С выборов двух девушек. Значит, число исходов, благоприятных для события А, равно  С ·  С. Отсюда получаем, что

        Ответ: .

Заключение.

       В данной работе нами сделана попытка раскрыть роль комбинаторных задач в обучении математики. Мы рассмотрели историческое возникновение и развитие комбинаторики. Ещё в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами, как игры в досуге.

      По желанию учителей и учащихся в 80–90 г.г. прошлого столетия основы комбинаторики изучались на факультативных занятиях  старших классов общеобразовательной школы. И только в 2008-2009 гг. изучение комбинаторики внесли в школьную программу изучения математики. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике.        

     Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.  

    Главная задача комбинаторики в курсе вероятности, на наш взгляд, состоит в том, чтобы учащиеся получили представление об изменчивости, о различных вариантах и их числе, которые могут возникнуть во многих житейских ситуациях. Разбор элементарных комбинаторных задач в школьном курсе следует начинать с обычного перечисления вариантов, получаемых естественным образом.

 Мы постарались оживить школьную математику введением в неё интересных комбинаторных  задач, посильных для учащихся теоретических вопросов. В данной работе предложены всего 16 задач с решениями. Отличительной способностью данного пособия являются:                        

             - посильная для учащихся II ступени теоретическая часть;

             - подбор и составление задач на основе жизненного материала.

Мы надеемся, что наша работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора и мышления, будет способствовать более качественной подготовке к олимпиадам по математике, а также для учителей.

           Трудно переоценить значимость той роли, которую может и должно играть изучение элементов комбинаторики в общеобразовательной школе. Комбинаторные процедуры всепроникающие входят в математическую деятельность на всех ее уровнях. Освоение таких процедур – это освоение «первомеханизмов» математической деятельности, дающее эффективные и органичные средства для развития умственных способностей и собственно математических способностей учащихся. И потому исследование вопросов обучения комбинаторике ведет к исследованию глубинных вопросов обучения математике. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для осуществления процессов формирования таких моделей исследуемых ситуаций, которые могут служить одновременно и формами представления общих методов, и образцами их применения. Хотелось  чтобы в ближайшем будущем раздел математики «Теория вероятностей и статистика» в базисном учебном плане общеобразовательных учреждений Российской Федерации входил в образовательную область «Математика» как отдельный предмет.

Литература

1. Бунимович Е.А. Вероятность и статистика. 5–9 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — 160с.
2. Когаловский С.Р. Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. – 2004. - №4.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7–9 кл. общеобразоват. учреждений/Под ред. С.А. Теляковского. — 3-е изд. — М.:Просвещение, 2005. —78с.
4. Семеновых А. Комбинаторика. // Математика. – 2004, №15, № 16.
5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — 2-изд., перераб. — М.: МЦНМО; ОАО «Московские учебники», 2008. — 256 с    
6.  Элементы комбинаторики. Методы решения некоторых задач.  http://festival.1september.ru/articles/416112/