Дистанционное обучение учащихся
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Метод интервалов

Методом интервалов (иногда его называют также методом промежутков), называется метод решения неравенств, основанный на исследовании смены знаков функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств.

В основе метода интервалов лежат следующие положения:

1. Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя).
2. Знак произведения не изменится (изменится на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей.
3. Знак многочлена справа от большего (или единственного) корня совпадает со знаком его старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак многочлена совпадает со знаком его старшего коэффициента на всей области определения.
4. Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак.

Рассмотрим основную схему решения неравенства вида  (, , ) методом интервалов.

1. Найти область определения функции .
2. Найти нули функции .
3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.
4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка.
5. Записать ответ.

Метод интервалов можно использовать для решения любых неравенств, начиная с линейных и заканчивая сложными дробно-рациональными, логарифмическими, иррациональными неравенствами. Рассмотрим применение этого метода на следующих примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1. Решить неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

и найдем множество значений х, при которых 

1) Найдем

2) Найдем нули функции:

3)

Если x > 1, например x = 2, то

Если  например ,то

Если, например, то

Если x < 0, например x = -1, то

Итак,  при .

Ответ:  

2. Решить неравенство .

Решение:

Воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим функцию f(x)=x2(2x+1)(x-3) и найдем множество значений х , при которых 

1)D(f)=R

2) Найдем нули функции:x2(2x+1)(x-3)=0

3)

Пусть требуется решить неравенство (x - a1)k1(x - a2)k2...(x - an - 1)kn - 1(x - an)kn > 0,  где k1, k2, ...,  kn - 1,  kn  – целые положительные числа; a1, a2, ...,an - 1, an   – действительные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a1 <  a2 <  ..< an - 1 <  an .

 Рассмотрим свойство двучлена (x - a)n . Точка  a  делит числовую ось на две части, причем:

1. если n  четное, то выражение (x - a)n  справа и слева от точки a  сохраняет положительный знак;
2. если n  нечетное, то выражение (x - a)n  справа от точки a  положительно, а слева от точки aотрицательно.

Рассмотрим функцию f(x) = (x - a1)k1(x - a2)k2...(x - an - 1)kn - 1(x - an)kn,  где a1 <  a2 <  ..< an - 1 <  an.

Для любого числа x0 такого, что x0 >  an, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, f(x0) > 0 . Для любого числа  x1, взятого из интервала  (an - 1; an), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя  (x - an)kn, положительно, если kn  – четное число, и отрицательно, если  kn   – нечетное число. Поэтому число f(x1) < 0 ,  если  kn   – нечетное число и   f(x1) > 0 , если  kn – четное число. Аналогично определяется  знак функции f(x)  на любом интервале.

Таким образом, на числовую ось наносят числа  a1, a2, ...,an - 1, an . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа  an , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число   меняют знак, если   kn   – нечетное число и  сохраняет знак, если  kn   – четное число.

Пример Решить неравенство (x + 7)(2x - 5)3(6 - x)5(3x + 10)4 < 0 .

Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде (x - ( -7))(x - ( -310))4(x -2,5)3(x - 6) > 0. На числовой оси отметим числа -7, -10/3, 2,5 и 6. Справа от наибольшего числа 6 ставим знак плюс. 

При переходе через точку x = -10/3 функция f(x)  не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3))   содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку  x = 7   функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x - ( -7))  содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  (−;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x - 5)3(6 - x)5(3x+ 10)4 < 0, а значит, и равносильного ему неравенства  (x - ( -7))(x - ( -310))4(x -2,5)3(x - 6) > 0  будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.

Ответ: x(−7;−310)(−310;25)(6;+).