Развитие математических способностей по математике у младших школьников.
статья на тему

Тема: «Развитие математических способностей по математике младших школьников»

     Известно, что математическое образование — это «фундаментальное ядро содержания общего образования», испытанное столетиями средство интеллектуального развития в условиях массового обучения. Известно также, что не каждый школьник способен добиваться высоких результатов в освоении математики. Дело в том, что под способностями понимают совокупность качеств личности, которая характеризуется целостностью и тесной связью с задатками и позволяет успешно выполнять целесообразную деятельность. Другими словами, способности — это продукт развития человека в соответствующих в идах деятельности .Каким же образом в современной школе решают задачу развития математических способностей учащихся? В большинстве случаев учителя считают, что математические способности развиваются в процессе изучения математики в соответствии с программой, и не видят необходимости в дополнительной работе с учащимися. Действительно, в процессе изучения математики способности школьников развиваются, но стихийно и не у всех учащихся. Может быть, этого достаточно для современной школы? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним несколько  положений из психологии.

     Способности занимают центральное место среди индивидуально психологических особенностей личности, и поэтому в психологии считают, что развитие ребенка без развития его способностей невозможно. С.Л. Рубинштейн писал: «Способности ребенка формируются посредством овладения тем содержанием материальной и духовной культуры, техники, науки, искусства, которое осваивает подрастающий человек в процессе обучения. Исходной предпосылкой для этого развития способностей служат врожденные задатки» . Вместе с тем он утверждает, что биологически унаследованные свойства человека не определяют его способностей. Мозг заключает в себе не те или иные специфические человеческие способности, а лишь способность к формированию этих способностей. В развитии способностей велика роль педагога: учитывая способности учащихся во всем их многообразии и индивидуальных особенностях, он должен формировать их в надлежащем направлении .

     Начало исследованию математических способностей положил французский математик А. Пуанкаре (1854–1912). Он отметил специфичность творческих математических способностей и выделил их компонент — математическую интуицию. В 20-х годах ХХ столетия исследования по проблеме математических способностей были проведены американским психологом Э. Торндайком. В книге «Психология алгебры» он описал общие математические, специальные и алгебраические способности. А.Н. Колмогоров, выдающийся советский математик, выделил три компонента математических способностей: алгоритмический, геометрический и логический. Алгоритмические, или вычислительные, способности проявляются, например, при решении уравнений и преобразовании выражений. Геометрический компонент включает в себя способности к пространственным представлениям. Под логическими способностями понимается «искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения»,

      Вопросы развития математических способностей наиболее глубоко исследовал советский психолог В.А. Крутецкий (1917–1991). Их результаты отражены в ряде его работ, но в полном объеме представлены в книге «Психология математических способностей школьников», изданной в 1968 г. Через 20 лет, в 1998 г., были опубликованы избранные труды В.А. Крутецкого. В них вошли его основные исследования по природе и структуре математических способностей школьников приведена обобщенная схема этих способностей. Особое место в ней занимают такие способности, как:

— легкая обобщаемость математического материала;

— свернутость рассуждений;

— гибкость мыслительных процессов при решении математических задач;

— стремление к наиболее рациональным способам решения задач;

— быстрая перестройка направленности мыслительного процесса с прямого на обратный;

— хорошая память на математические отношения, схемы рассуждений, методы решения задач.

     Все эти математические способности можно развивать и при обучении математике младших школьников, поскольку в начальном курсе математики для этого есть возможности. Учащиеся начальных классов осваивают:

— абстрактные математические понятия (число, геометрическая фигура, выражение и др.);

— математический язык;

— правила построения рассуждений, что связано с развитием логических операций;

— эвристические правила решения текстовых задач.

     Но если содержание математического материала в начальной школе позволяет развивать математические способности учащихся, то гораздо сложнее с организацией их математической деятельности: способности не являются постоянными и неизменными, они развиваются в процессе учения и предполагают постоянное включение школьника в творческую деятельность (познавательную, исследовательскую, проектную). Такая деятельность должна быть организована как на уроке, так и на вне урочных занятиях. В течение 2011–2013 гг. учителя — студенты Московского городского педагогического университета — под руководством автора данной статьи вели исследования, связанные с поиском содержания, способов и приемов развития у младших школьников математических способностей во внеурочной деятельности. Результаты этой работы представлены в статьях Е.В. Сергеевой, Д.А. Сергеевой и Д.Ю. Планкиной, напечатанных в данном номере журнала.

Использование магических квадратов для развития умения рассуждать

     Одной из задач начального курса математики является развитие математических способностей учащихся. При этом работу в данном направлении необходимо проводить с каждым школьником, независимо от его природной одаренности. Ее результаты будут выражаться как в значительном развитии этих способностей, так и в их коррекции. Хорошо развитые математические способности характеризуются умением обобщать математический материал, строить дедуктивные умозаключения, легко запоминать  математические факты, методы решения задач.

     Умение рассуждать формируется при изучении различного материала, а не только математического. Нас заинтересовали в этом плане возможности магических квадратов. Магическим называют квадрат, разделенный на клетки (количество которых по вертикали и горизонтали одинаково), в которые вписан последовательный ряд чисел. Причем числа записаны так, что их сумма по вертикали, горизонтали и двум диагоналям постоянна.                 В.М. Туркина называет магические квадраты математическими и предлагает использовать их как средство развития умения вычислять и рассуждать. В работе О.П. Куличковой и Н. Улановой описаны игры с применением магических квадратов.

     Задания с использованием магических  квадратов есть в действующих учебниках математики для начальных классов, в частности, в учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро и учебниках Л.Г. Петерсон.

     В учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро понятие магический квадрат используется начиная со 2 класса. Например: «Сложи числа в каждом квадрате по строкам, по столбцам, из угла в угол. Если суммы равны, то такой квадрат называется магическим».

     По мере прохождения материала задания, связанные с магическими квадратами, усложняются: ученики заполняют пустые клетки.

     Работа с магическими квадратами в учебниках М.И. Моро и др. ведется на протяжении всего обучения в начальной школе. Приведем примеры заданий из соответствующих учебников.

     Задание 1. Проверь, магические ли это квадраты

      Задание 2. Заполни магический квадрат, используя только числа 1, 2, 3

     Задание 3. Заполни магические квадраты и сравни их

      В учебниках Л. Г. Петерсон магические квадраты используются в основном для организации познавательных игр и стоят под звездочкой, что означает необязательность их выполнения, например:

     Задание 1. Игра «Магические квадраты»

     Задание 2. Заполни пустые клетки и найди магические квадраты»

     В учебнике для IV класса в викторине «Хочу все знать» Л. Г. Петерсон использует магический квадрат для приобретения учениками исторических знаний: «В пустые клетки квадрата запиши такие числа, чтобы квадрат стал магическим. Найди сумму вписанных чисел, и ты узнаешь, в каком году случилось описанное событие. В каком веке это было?»

     Предлагаемые в учебниках задания с магическими квадратами нацелены в основном

на развитие у школьников вычислительных умений. Это важное назначение магических квадратов, но задания с ними можно использовать и для развития умения рассуждать. Проводить соответствующую работу можно как на уроке (в ходе организации устной работы, направленной на актуализацию знаний), так и во внеурочной деятельности, не только решая вычислительные задачи, но и изучая свойства магических квадратов,

проводя доказательства. Приведем примеры таких заданий.

      Задание 1. Дан магический квадрат. Докажите, что в клетке со звездочкой не может стоять число 32.

     Рассуждения могут вестись двумя способами.

     Способ 1. Установить с помощью вычислений, что в данной клетке должно стоять

число 14. Следовательно, в ней не может быть записано число 32.

     Способ 2. В квадрате даны все числа в левом столбике. По ним можно найти постоянную сумму: 8 + 6 + 16 = 30. Так как сумма должна быть не меньше каждого слагаемого, то все числа в клетках должны быть не больше 30, но 32 > 30, значит, 32 не может стоять вместо ∗.

     Вероятно, что ученики сами не найдут второй способ рассуждения. Тогда учитель должен помочь им. После анализа нескольких подобных заданий появятся учащиеся, которые будут предпочитать рассуждать вторым способом. Это важно для их математического развития. Постепенно и другие ученики будут переходить к выполнению подобных заданий с помощью рассуждений.

     Задание 2. Дан магический квадрат. Найди сумму чисел, которые спрятались за буквами А, Б, В.

     Для выполнения таких заданий младшие школьники чаще всего используют вычисления, а не рассуждения, но ценность данного упражнения состоит в том, что при его выполнении они убеждаются в рациональности второго способа. Можно провести такое рассуждение: «Так как числа, которые обозначены буквами А, Б, В, стоят в одном столбике, то их сумма равна постоянной сумме квадрата. Найдем ее, подсчитав для этого, например, сумму чисел, стоящих в среднем столбике: 9 + 5 + 1 = 15. Значит, А + Б + В = 15».

     Задание 3. Дан магический квадрат. Найди сумму чисел, которые спрятались за буквами А, Б, В, Г.

     Это задание более трудное по сравнению с предыдущим, но в данном случае найти сумму можно и вычислением, и рассуждением. Например: «Так как числа А, Б и В стоят в одном столбике, то их сумма равна постоянной сумме квадрата. Найдем ее. Для этого вычислим сумму чисел, стоящих в среднем столбике: 18 + 10 + 2 = 30. Тогда сумма чисел в правом столбике 30, т.е. А + Б + В = 30. Найдем, чему равно число Г (30 – 8 – 6 = 16) и требуемую сумму: 30 + 16 = 46».

     К полученному результату можно прийти и с помощью другого рассуждения: «Так как известны числа, которые стоят в одном столбике, то мы можем найти постоянную сумму квадрата: 18 + 10 + 2 = 30. Тогда сумма всех чисел квадрата равна 30 3 = 90. Для того чтобы найти значение искомой суммы, можно из общей суммы вычесть сумму известных чисел: 90 – (8 + 18 + 6 + 10 + 2) = 90 – 44 = 46».

     Задание 4. Докажите, что квадрат является магическим.

     Доказательство требует проведения дедуктивного рассуждения. Оно может быть следующим: «Известно, что в  магическом квадрате суммы чисел по горизонтали, вертикали и диагоналям равны (в данном случае 15). Значит, данный квадрат является магическим».

     Магические квадраты обладают особыми свойствами. Отметим основные.

     Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

     Познакомить младших школьников с этим свойством можно в ходе выполнения задания: «Увеличь каждое число квадрата на 6. Будет ли полученный квадрат магическим?»

     Увеличив каждое число на 6, учащиеся (сначала вычисляя, а затем рассуждая) устанавливают, что полученный квадрат является магическим, и делают вывод, используя индуктивное умозаключение: при увеличении/уменьшении каждого числа квадрата на одно и то же число его магические свойства не изменятся.

     Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если все его числа умножить или разделить на одно и то же число.

     Для подведения учеников к соответствующему выводу они могут выполнить задание:

«Увеличь каждое число квадрата в 2 раза. Будет ли полученный квадрат магическим?»

     Оно похоже на предыдущее, но, выполняя его, учащиеся должны увидеть разницу в вычислительных операциях: здесь надо увеличить числа в 2 раза. Найдя магическую постоянную нового квадрата, учащиеся делают вывод, пользуясь индуктивным умозаключением: при увеличении/уменьшении каждого числа квадрата в одно и то же количество раз его магические свойства не изменяются.

     Свойство 3. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме соответствующих чисел.

     С целью изучения этого свойства ученики могут выполнить задание: «Сложи числа двух магических квадратов, расположенные в соответствующих полях, и получи новый квадрат. Будет ли он магическим?» После получения чисел в третьем квадрате учащиеся находят его магическую постоянную и, рассуждая, делают вывод: из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Опыт использования магических квадратов на уроках и во внеурочной работе показывает, что выполнение заданий с магическими квадратами вызывает интерес у учащихся, что делает процесс формирования вычислительных навыков внутренне мотивированным. Кроме того, их использование способствует не только формированию вычислительных навыков, но и развитию мышления, умения планировать и контролировать свою деятельность.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Моро М.И. и др. Математика. 2 класс: В 2 ч. Ч. 1. М., 2011.

2. Моро М.И. и др. Математика. 2 класс: В 2 ч. Ч. 2. М., 2011.

3. Моро М.И. и др. Математика. 3 класс: В 2 ч. Ч. 1. М., 2012.

4. Моро М.И. и др. Математика. 3 класс: В 2 ч. Ч. 2. М., 2012.

5. Моро М.И. и др. Математика. 3 класс: Учеб. для общеобразовательных учреждений с электронным носителем: В 2 ч. Ч. 2. М., 2012.

6. Куличкова О.П., Уланова Н. Формирование  вычислительных навыков в процессе игры

Начальная школа. 1987. № 2.

7. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс: В 3 ч. Ч. 1. М., 2006.

8. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс: В 3 ч. Ч. 2. М., 2006.

9. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс: В 3 ч. Ч. 2. М., 2008.

10. Туркина В.М. Математические квадраты как средство развития умения вычислять и рассуждать // Начальная школа. 2001. № 9.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М., 1960.

2. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под ред. Н.И. Чуприковой. М.; Воронеж, 1998.

3. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2 т. Т. 2. М., 1989.

4. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Под ред. В.В. Козлова, А.М. Кондакова. М., 2010.

Л.П. СТОЙЛОВА,

кандидат педагогических наук, профессор, Московский городской

педагогический университет

Нестандартные арифметические

задачи — одно из средств формирования

исследовательских умений

    Развитие математических способностей учащихся происходит в процессе решения задач, в том числе и нестандартных арифметических, что способствует развитию мышления младших школьников, его гибкости и вариативности. Поэтому учителя включают их в уроки математики, предлагают для самостоятельной работы, используют во внеурочной деятельности. Однако работа с ними не всегда дает положительные результаты: школьники испытывают трудности при решении задач повышенной сложности, содержащихся в учебниках математики, не справляются с олимпиадными заданиями. Часто учащиеся не знают, с чего начать их решение, не могут выработать план действий. Причины такого положения лежат, на наш взгляд, в отсутствии системы обучения младших школьников решению нестандартных арифметических задач и в неполноценном использовании возможностей исследовательской деятельности учащихся. В связи с этим мы решили так организовать обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач, чтобы оно способствовало как формированию соответствующего умения, так и развитию исследовательских умений. С этой целью был организован факультатив для учащихся IV классов, на котором они смогли бы научиться решать задачи такого рода. Прежде чем приступить к работе, мы выяснили, какие задачи называют нестандартными арифметическими. Согласно определению Л.М. Фридмана стандартными являются задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила или эти правила непосредственно следуют из каких либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются определенные правила. Нестандартными называются задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Исходя из данных определений, мы уточнили понятие нестандартная арифметическая задача — это текстовая задача, в которой требуется вычислить значение некоторой величины с помощью арифметических операций над числами и для которой в курсе математики нет общих правил и положений, определяющих точную программу решения. Методической основой обучения решению нестандартных арифметических задач явились материалы статьи Е.Е. Останиной, опубликованной в журнале «Начальная школа»

В этой методике Е.Е. Останина выделяет серии задач, причем задачи каждой серии подчинены определенной цели.

Первая задача серии решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи). В ходе работы над ней выводится прием или способ, который помогает решить задачу. На следующих задачах учащиеся упражняются в применении приема, который они сформулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно его использовать. Рекомендации по решению нестандартных задач (сформулированные Е.Е. Останиной) объединены в памятке.

Памятка по решению нестандартных арифметических задач

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1) сделать к задаче рисунок или чертеж ;подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;

2) ввести вспомогательный элемент;

3) использовать для решения задачи способ подбора;

4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной, знакомой;

5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

6) начать решение задачи с конца.

Занятия факультатива длительностью 45 минут проходили один раз в неделю по следующему тематическому плану.

Факультатив могли посещать все желающие учащиеся IV классов. Каждое занятие по освоению новой серии задач выстраивалось по плану, направленному на формирование исследовательской деятельности.

1. Выявление актуальности научной проблемы.

2. Определение темы исследования, формулировка ее цели и задачи. Формулировка гипотезы.

3. Планирование хода исследования, разработка его методики.

4. Создание условий, необходимых для эксперимента, подбор оборудования.

5. Проведение практической части исследования, регистрация качественных и количественных результатов.

6. Обработка полученных результатов и представление их в виде таблиц, диаграмм, графиков.

7. Анализ (истолкование) полученных результатов.

8. Формулировка выводов и практических рекомендаций.

9. Написание и оформление итоговой работы.

При изучении каждого приема решения задач мы организовывали небольшое научное исследование. Важно, чтобы учащиеся понимали, что они делают, в какой последовательности и с какой целью.

Приведем примеры фрагментов некоторых занятий.

Занятие 1. Нестандартная арифметическая задача. Открытие приема 1: использование чертежа, рисунка.

Учитель предлагает учащимся задачу:

«На уроке физкультуры все ученики выстроились в линейку на расстоянии 1 м

друг от друга. Вся линейка растянулась на 12 м. Сколько учеников в классе?»

Учащиеся внимательно читают задачу.

С целью выявления проблемы, заложенной в задаче, и формулировки гипотезы

учитель проводит беседу.

— О чем идет речь в задаче? (Об учениках, которые построились в линейку длиной 12 м на расстоянии 1 м друг от друга.)

Что надо найти в задаче? (Количество учеников.) Выскажите предположение (гипотезу), как бы вы решили эту задачу? (Разделим 12 м на равные отрезки по 1 м и получим количество учеников.)

Учащиеся выполняют действие:

12 : 1 = 12 (уч.).

— Для обработки полученных результатов и проверки гипотезы предлагаю проверить предположение, выполнив чертеж.

Учащиеся чертят отрезок длиной 12клеток и ставят штрихи через 1 клетку.

— Как узнать, правильно ли мы нашли количество учащихся? (Для этого надо посчитать количество штрихов.) Сколько их? (13.) Совпадает ли данный результат с числом, полученным при делении? (Нет.)

Выскажите свое предположение, почему так получилось? (Потому что делением мы нашли количество получившихся отрезков, а не количество необходимых для их построения штрихов, совпадающее с количеством людей. Надо было сначала построить чертеж.)

Для формулировки выводов и практических рекомендаций учитель задает следующие вопросы:

— Какой способ мы использовали, чтобы правильно решить задачу? (Построили чертеж.) Надо было выполнять арифметическое действие для ответа на вопрос? (Нет.) Действительно, есть такие задачи, которые не требуют выполнения арифметических действий для их решения.

После освоения этого приема решения нестандартных задач учащимся предлагают решить еще одну две задачи на закрепление новых знаний. При этом учитель помогает школьникам правильно спланировать поиск решения. Если первоначально он сам предлагал план, задавал наводящие вопросы, то постепенно это начинают делать учащиеся.

Занятие 7. Открытие приема 4: введение  вспомогательного элемента (части).

— Прочитайте задачу: «Реку Амур, длина которой 2824 км, принято делить на три части: нижний, средний и верхний Амур. Определите длину каждой из этих частей, если известно, что верхний Амур на 43 км короче нижнего и на 93 км короче среднего».

В ходе выявления проблемы и формулировки гипотезы учитель проводит беседу. — Что нужно узнать в задаче? Выскажите свои предположения о ее решении.

Как мы будем его искать? (Попробуем построить чертеж.) Для этого проанализируем задачу.

На сколько частей делится река Амур? (На три части.) На какие? (Верхний Амур,  средний Амур и нижний Амур.) Что нам известно про верхний Амур? (Он короче нижнего на 43 км и короче среднего на 93 км.) Можем ли мы, исходя из этого, определить, какая часть длиннее, а какая короче? (Да. Верхний Амур самый короткий, средний Амур — самый длинный.) Что известно про длину реки Амур? (Она равна 2824 км.)

Теперь мы можем построить чертеж. У нас есть три объекта: верхний, средний и нижний Амур. Чертим три отрезка и при этом помним, что самый длинный отрезок — средний Амур, а самый короткий —верхний Амур. Покажем на чертеже разницу между частями и общую длину Амура.

Далее учитель организует работу по планированию хода исследования и разработке плана решения.

— Посмотрев на чертеж, мы видим, что все части можно приравнять к длине верхнего Амура. Как нам это сделать? (Нам надо вычесть из длины Амура всю разницу, которая существует между частями, а затем мы сможем узнать длину верхнего

Амура делением.) Зная длину верхнего Амура, мы сможем узнать длины его остальных частей?

Ученики записывают решение задачи.

1) 2 824 – 93 = 2 731 (км);

2) 2 731 – 43 = 2 688 (км);

3) 2 688 : 3 = 896 (км) — приходится на 1 часть или верхний Амур;

4) 896 + 93 = 989 (км) — длина среднего Амура;

5) 896 + 43 = 939 (км) — длина нижнего Амура.

Для проверки полученных результатов учащиеся выполняют сложение:

896 + 989 + 939 = 2 824 (км)

— Что помогло нам решить задачу? (Мы выполнили чертеж и, изучив его, построили план решения задачи. При этом мы выделили части, из которых состоит Амур.)

Для закрепления изученного материала учащимся предлагается следующая задача: «Веревку разрезали на 2 куска так, что один кусок оказался в 4 раза длиннее другого.

Чему равна длина веревки, если один кусок длиннее другого на 18 см?»

Ученики самостоятельно выполняют чертеж и решают задачу, используя понятие части.

Уже к середине учебного года учащиеся делали большие успехи при решении нестандартных задач, у них пропало чувство страха перед неизвестной задачей, возрос  интерес к занятиям математикой.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Останина Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач // Начальная школа. 2004. № 7.

2. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория и методика. М., 2002.

3. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений. М., 2012.

4. Стойлова Л.П. Организатор внеурочной работы по математике в начальной школе: Сб.учеб. метод. комплексов дисциплин специализации. М., 2011.

Д.А. СЕРГЕЕВА,учитель начальных классов, школа № 149, Москва