Комбинаторные, логические и нестандартные задачи по математике 1-4 класс
учебно-методический материал по математике (1, 2, 3, 4 класс)

Комбинаторные, логические и нестандартные задачи по математике 1-4 класс

Решение комбинаторных задач в начальной школе

Комбинаторика – раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.

Задачи: 1. Понимание того, что в задаче на перебор вариантов целесообразно следовать логике перебора, а не хаотично.

2. Познакомить с инструментом перебора вариантов, деревом возможности.

3. Развивать вариативное мышление.

4. Закреплять вычислительные навыки.

Процесс обучения школьников решению комбинаторных задач таит в себе большие развивающие возможности: на их основе совершенствуются приемы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать, определяющая развитие комбинаторного мышления. Комбинаторное мышление, тесно связанное со становлением умственных операций и представляющее собой активизацию мыслительной деятельности « в направлении поиска тех или иных преобразований» (О.С.Медведева), в свою очередь, взаимосвязано с теоретическим мышлением, считающимся основным «новообразованием» младшего школьного возраста (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов).

Подготовительный период

(свойства предметов, отношения).

1. Следы от НЛО. Витя и Вика обнаружили в поле странные следы. Они сразу догадались. Что ночью здесь приземлились НЛО. Но дети поспорили: с одной планеты прилетели НЛО или с разных? Разрешите спор Вити и Вики. (Рис. 1)

Чтобы помочь ученикам справиться с заданием, проводится беседа:

- Что надо определить, чтобы ответить на вопрос задания? (Одинаковые следы или разные)

- Как вы считаете? Ваши предложения? Чем они похожи? (По 4 кружка 4 цветов)

- Но чем же все-таки различаются следы? (Кружки строятся в разном порядке)

Учитель предлагает проследить, как «путешествуют» кружки одного цвета в следах. Ученики приходят к выводу, что если последовательно поворачивать «следы» по кругу, то получится один и тот же рисунок. При обнаружении этой ситуации ученики сравнивают, обобщают, анализируют и устанавливают отношения между предметами.

2. «Парусники». 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого спортсмена был свой белый корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, кА по-разному раскрасили паруса, если были всего 2 краски. (Рис.2.)

Основная трудность, которая возникает у школьников при раскрашивании – это догадаться, что весь парус можно закрасить одним цветом. В этой ситуации можно задать вопрос: «Обязательно каждый парус надо закрасить двумя красками? Как еще по-другому можно закрасить оставшиеся?» (Рис.3).

Перестановка из двух элементов.

Далее идет работа над понятиями «выше», «ниже», «наверху», «внизу», «слева», «справа» и вводится понятие перестановки. Учитель сообщает, что порядок расположения предметов называется перестановка. Сначала переставляются 2 элемента. (Рис.4)

Дети делают вывод, что существует 2 способа расположения предметов.

Перестановка из трех элементов по два.

Теперь ученики при выполнении другого задания смогут сразу определить число комбинаций, если они будут составлены без повторений из трех элементов по два.

Из трех букв А, У, Х можно составить 6 слогов, где слог состоит из двух букв, буквы не повторяются

АУ УА ХА

АХ УХ ХУ

Перестановки из трех элементов.

Далее ребятам предлагается игра «Электричка». Сначала 2, а потом 3 девочки меняются местами.

ТК \\ ТКЛ КТЛ ЛКТ

КТ \\ ТЛК КЛТ ЛТК

Деи проговаривают алгоритм получения новых перестановок: один элемент фиксируется, а два других переставляются.

На 13-м уроке рассматривается перестановка 3-х элементов, здесь есть подсказка, и дети её замечают. Один цвет фиксируется 2 раза наверху, остальные дети меняют. (Рис.5)

Учитель предлагает учащимся определить

- какой прямоугольник расположен выше красного?

- ниже красного?

- какой ниже синего, но выше красного?

- как изменить расположение прямоугольников, чтобы красный находился ниже синего, но выше зеленого?

Такая же работа проводится над всеми столбиками, кроме последнего.

- Можно ли раскрасить последний столбик как-нибудь по другому?

Ребята вспоминают и закрепляют алгоритм перестановки.

В последующих заданиях дети самостоятельно разукрашивают 2,3,4,5 столбиков. А потом – С\Р над всем заданием. Игры: «Светофор», «Поясок», «Бусинки».

«Картины»

Художник написал 3 картины и сделал для них рамки. (Рис. 6)

Помоги ему найти лучший способ расположения картин на стене.

Состав числа в пределах 10.

Смысл действий сложения и вычитания.

Большинство задач этого этапа основывается на знании состава однозначного числа – на умении представить число разными способами в виде суммы других чисел, причем соблюдается принцип перевода предметных действий на язык математических символов и наоборот.

1. «Чашки». Помоги расставить 5 чашек на 3 полки разными способами так, чтобы на каждой полке стояли чашки.

1 2 2 1+2+2

2 1 2 2+1+2

2 2 1 2+2+1

3 1 1 3+1+1

1 3 1 1+3+1

1 1 3 1+1+3

Вывод: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Запиши значения выражений 2+1, 3-1, 3-2.

Какие цифры использованы для записи чисел? Запиши все возможные перестановки этих цифр, без повторов. Подчеркни ту запись, которая обозначает отрезок чисел, стоящих по порядку, в обратном порядке.

3 2 1 2 1 3 1 2 3

3 1 2 2 3 1 1 3 2

3. Состав чисел в пределах 20.

а) составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 5,6,7 (порядок слагаемых не принимается во внимание)

5 + 5, 5 + 6, 5 + 7, 6 + 6, 6 + 5, 6 + 7, 7 + 5, 7 + 6, 7 + 7

б) составь все возможные разности из этих же чисел.

6 – 6, 6 – 5, 7 – 7, 7 – 6, 7 – 5, 5 – 5

Перестановки из 4,5,6… элементов

Во 2 классе рассматриваются случаи перестановки 4,5,6 элементов, где первые 1,2,3 соответственно элементы фиксируются, а остальные 3 переставляются:

Двузначные и трехзначные числа.

1.Запишите числа: 22,24,26, 42,44,46, 62,64,66.

По какому правилу все эти числа собраны в одну группу? По каким признакам можно разбить эти числа на две группы?

- в записи чисел 22,24,26 использованы цифры 2,3,6

- в этих числах по 2 дес., в записи каждого числа цифра 2

- в записи чисел 42,44,46 использованы цифры 2,4,6

- в этих числах по 4 дес., в записи каждого числа цифра 4

- в записи чисел 62.64,66 использованы цифры 2,4,6

- в этих числах по 6 дес., в записи каждого числа цифра 6

- Итак, по какому правилу записали все числа?

В записи двузначных чисел использовали цифры 2,4,6.

- На какие две группы разбиваются эти числа?

22,44,66 – записи использована одна цифра

24,26,42,46,62,64 – в записи разные цифры.

2. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7,0,9, если

а) цифры в записи числа не повторяются?

7 0 9 9 0 7

7 9 0 9 7 0

4 перестановки, т.к. трехзначное число не может начинаться с 0.

Дети должны усвоить мысль о том. Что перебор вариантов выгодно осуществлять в определенном порядке. Каждую цифру надо фиксировать по очереди в разряде сотен.

б) цифры в записи числа могут повторяться?

«7» «9» «7 и 0» «7 и 9» «9 и 0» \\ 9,7,0

9 и 7

777 999 770 779 990

707 797 909

700 799 900

977

997

979

- найди наименьшее трехзначное число

- подчеркни наибольшее трехзначное число

- найди число, в котором: 70 дес. 7 ед., 7 дес. 99 ед..

- какое число подходит к схеме

?

• * * * + * = * * *

Итак, при выполнении только одного задания задействуется весь комплекс мыслительных операций.

Кроме того, в процессе выполнения этого задания школьники повторяют устную и письменную нумерацию, работают над их разрядным составом, обращают внимание на поместное значение цифр, постоянно различают понятия «число» и «цифра». Можно сделать вывод, что систематическое использование комбинаторных задач при изучении тех или иных математических понятий одновременно будет способствовать реализации развивающих и образовательных функций курса «Математика в начальной школе».

Таблицы, графы. Дерево возможностей.

1. Три поросенка Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью таблицы. (Рис. 7)

2. Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руки. Сделай график и определи, сколько рукопожатий было сделано. (Рис.8)

3. Дерево возможностей - ветки растут и сверху и снизу. Дети являются творцами создания веточек у дерева. На их глазах точка превращается в дерево возможностей.

Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш, Ц. Второй буквой могут быть О, И, Е. А оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х. (Рис. 9)

ШОР ШИР ШЕР
ШОК ШИК ШЕК
ШОХ ШИХ ШЕХ

ЦОР ЦИР ЦЕР
ЦОК ЦИК ЦЕК
ЦОХ ЦИХ ЦЕХ

2 * 3 * 3 = 18 вариантов.

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Задача 11.

Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Задача 12.

Как можно рассадить на скамейке Аню (А), Мишу (М), Колю (К) и Риту (Р), чтобы девочки с мальчиками не чередовались? Построй дерево возможных вариантов. Какие варианты у тебя получились?

Таким образом, при решении комбинаторных задач активизируется мыслительная деятельность учащихся. Ученики, анализируя условие, выделяют определенные части, составляют нужные комбинации. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ – процесс расчленения целого на части, выделения отдельных элементов в объекте. С другой стороны, в процессе синтеза, или соединения элементов, сторон объектов в целое, учащиеся определяют, что сначала можно составить определенную комбинацию.

На примерах хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не смогут обойтись без наблюдения и сравнения.

Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли смогут решить её. Сравнение – процесс выделения признаков, свойств объектов и установления сходства и различия между ними – позволяет ученикам при составлении чисел избежать повторов. Составит все возможные числа на основе сходства и различия.

Систематическое использование комбинаторных задач в обучении – эффективно для формирования у учащихся базовых математических знаний, умений, навыков.

Логические задачи

Задача 1.
Брату и сестре 2 года назад вместе было 15 лет. Сейчас сестре 13 лет.
Сколько должно пройти лет, чтобы брату исполнилось 9 лет?

Ответ:    3 года

Задача 2.
Запиши число 7 при помощи четырех троек и знаков действий.
Найди несколько решений.
Ответ:    (7 = 3 : 3 + 3 + 3, 7 = 3 + 3 + 3 : 3, 7 = 3 + 3 : 3 + 3)

Задача 3.
Речь пойдёт про единицы времени. Что можно узнать, данным произведением 60 х 60 х 24 х 7?
Ответ:    Количество секунд в неделю

Задача 4.
На пароме помещается или 6 грузовиков, или 10 легковушек.
В четверг паром, полностью загруженный, 5 раз пересек реку и переправил 42 машины.
Сколько было среди них грузовиков?
Ответ:    12

Задача 5.
В гости к Игорю пришли друзья.
Сколько их было, если каждый из них сложил из даты своего рождения число и номер месяца и получил 35? Причём даты рождения у всех гостей разные.
Ответ:    8

Задача 6.
Ребята измеряли шагами длину игровой площадки.
У Лизы получилось 25 шагов, у Полины – 27, у Максима – 22, а у Юры – 24.
У кого из ребят самый короткий шаг?
Ответ:    У Полины

Задача 7.
У сороконожки 90 ножек. Она купила 13 пар сапожек. Но при этом 16 ног остались босыми.
Сколько пар старых сапожек было на сороконожке до покупки новых сапожек?
Ответ:    24

Задача 8.
Из 64 маленьких кубиков составили большой куб. Синей краской покрасили пять граней большого куба.
Назови количество маленьких кубиков с тремя синими гранями.
Ответ:    4 – по углам

Задача 9.
Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство 211 – 126 – 74 · 8 = 88
Ответ:    (211 – 126 – 74) · 8 = 88

Задача 10.
Если самое большое трехзначное число уменьшить на самое большое двузначное число, полученный результат разделить на 4, а затем вычесть 25, то получится возраст мудреца-звездочета.
Сколько лет звездочету?
Решение:
1. 999 - 99 = 900
2. 900 : 4 = 225
3. 225 - 25 = 200
Ответ: 200 лет

Задача 11.
Длина прямоугольного бассейна в 5 раз больше его ширины, причем ширина на 20 м меньше. Найдите площадь дна бассейна.
Решение:
1. 20 : 4 = 5 (м) составляет 1 часть, и является шириной бассейна
2. 5 * 5 = 25 (м) длина бассейна
3. 25 * 5 = 125 (м2) площадь дна бассейна
Ответ: площадь бассейна равна 125 м2

Задача 12.
Степа Смекалкин задумал число. Потом он уменьшил это число на 19 и к произведению прибавил 19. В ответе у него тоже получилось 19. Какое число задумал Степа?
Ответ:    0

Задача 13.

У меня в кармане две монеты общей суммой 15 рублей. Одна из них не пятак (не 5 рублей). Как такое может быть?

Подсказка.

А другая монета?

Решение.

Из того, что одна монета не пятак, не следует, что среди этих монет нет пятака. Условие всего лишь утверждает, что у меня не два пятака.

Ответ:

10 рублей и 5 рублей.

Задача 14.

Шел Кондрат в Петроград,

А навстречу двенадцать ребят.

У каждого ребенка – лукошко,

В каждом лукошке – по кошке,

С каждой кошкой – двенадцать котят.

И задался вопросом Кондрат:

«Сколько вместе ребят и зверят

Шли веселой гурьбой в Петроград?»

Подсказка.

Куда шли ребята?

Ответ:

Бедный, бедный Кондрат.

Только он и шагал в Петроград.

Остальные – навстречу ему,

В Кострому!

Задача 15.

Вася делает один распил бревна за 1 минуту. Вася очень хочет распилить бревно на 31 часть. За сколько минут он сможет осуществить намеченный план?

Подсказка.

Как увеличивается количество бревен после одного распила?

Решение.

Заметим, что за одну минуту Вася может увеличивать количество частей бревна на одну:

Через 1 минуту: 2 части. (1 + 1 = 2).

Через 2 минуты: 3 части. (2 + 1 = 3).

Через 3 минуты: 4 части. (3 + 1 = 4). И т.д.

Значит, чтобы из одной части Васе получить 31 часть, ему потребуется (31 - 1) = 30 минут.

Ответ:

30 минут.

Задача 16.

У мамы была клетка с шестью морскими свинками. Она раздала своим шести дочерям по морской свинке, но одна свинка осталась в клетке. Как маме так удалось?

Подсказка.

Подумай, что делать с клеткой? Обязательно ли маме её оставлять себе?

Решение.

Нужно просто отдать одной из дочерей морскую свинку прямо в клетке.

Задача 17

Один отец дал своему сыну два яблока, а другой отец своему сыну – одно. Однако оказалось, что оба сына вместе получили только два яблока. Как такое могло быть?

Подсказка.

Всего было получено только два яблока, ровно столько же, сколько получил первый сын. Откуда же взял яблоки второй сын?

Решение.

Это просто были сын, отец и дедушка. Таким образом, отец является как отцом своему сыну, так и сыном для дедушки, то есть для своего отца. Дедушка дал своему сыну (отцу) два яблока, а отец (сын дедушки) отдал одно из них уже своему сыну (внуку).

Задача 18.

При записи номеров домов на улице Петровской было использовано 143 цифры. Сколько домов на этой улице? (Дома нумеруются с 1 и идут подряд, т.е. 1, 2, 3, 4 и т.д.)

Задачи 19.

Полоску бумаги разрезали на три части. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на три части. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на три части. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на три части. Могло ли в итоге получиться 100 частей?

Задача 20.

Слава собирался купить 20 конфет, но ему не хватало для этого 3 руб. Тогда Слава купил 15 конфет, и у него осталось 7 руб. сдачи. Сколько стоит одна конфета?

Задача 21.

Вася с родителями собирал грибы. Мама нашла 9 грибов, папа нашёл 15 грибов, а Вася нашёл на столько же больше грибов, чем нашла мама, на сколько меньше, чем нашёл папа. Сколько грибов нашёл Вася?

Задача 22.

В школьной столовой два стакана компота, три пирожка с мясом и четыре пирожка с вишней стоят 105 руб., а три стакана компота, два пирожка с мясом и один пирожок с вишней – 75 руб. Сколько рублей заплатил мальчик за покупку в школьной столовой одного стакана компота, одного пирожка с мясом и одного пирожка с вишней?

Задача 23.

Бабушке 51 год, а внуку один год. Через сколько лет бабушка будет в 3 раза старше внука?

Задача 24.

Груш в саду в четыре раза меньше, чем вишен. Дети решили посчитать все деревья в саду. У Андрея получилось 55 деревьев, у Юры — 58, а у Игоря — 54. Известно, что один из них посчитал верно. Сколько деревьев в саду?

Нестандартные задачи

Задача 1.

Восемь яблок разделили между девочками и мальчиками. Сколько яблок досталось девочкам и мальчикам по отдельности, если мальчикам досталось на 2 яблока меньше?

Решение:

1) 8 – 2 = 6 (яблок) было бы если и девочкам и мальчикам досталось одинаковое количество яблок;

2) 6 : 2 = 3 (яблока) досталось мальчикам;

3) 3 + 2 = 5 (яблок) досталось девочкам.

Ответ: мальчикам досталось 3 яблока, девочкам 5 яблок.

Задача 2.

Лена живет на 4 этаже, если считать сверху. На каком этаже живет Лена, если всего у дома 9 этажей?

Решение:

1) 9 – 4 = 5 (этажей) находится ниже этажа, на котором живет Лена;

Так как под этажом, на котором живет Лена, есть еще 5 этажей, значит, Лена живет на 6 этаже.

Ответ: Лена живет на 6 этаже.

Задача 3.

На столе лежали ручки, карандаши и фломастеры, всего 15 штук. Карандашей было в 7 раз больше, чем ручек. Сколько фломастеров лежало на столе?

Решение:

Если бы ручек было больше одной, то карандашей и ручек вместе было бы больше 15, значит, на столе лежала одна ручка.

1) 1 * 7 = 7 – карандашей лежало на столе;

2) 7 + 1 = 8 – карандашей и ручек;

3) 15 – 8 = 7 – фломастеров.

Ответ: на столе лежало 7 карандашей, 7 фломастеров и одна ручка.

Задача 4.

Кот Вася на 6 кг легче, чем пес Шарик. Сколько весит кот Вася, если его масса втрое меньше массы Шарика?

Решение:

Шарик весит: кот Вася и еще 6 кг, при этом масса кота составляет третью часть от общей массы шарика, значит оставшиеся 6 кг – это две части от массы Шарика.

1) 6 : 2 = 3 (кг).

Ответ: кот Вася весит 3 кг.

 

Задача 5.

Продолжи последовательность чисел, дописав 3 числа: 5, 8, 13, ….

Решение:

Один из вариантов продолжения последовательности – это когда каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. В этом случае три следующих числа будут: 21, 34, 55.

Ответ: 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Задача 6.

У Оли и Даши вместе 12 конфет. Даша съела две конфеты, а еще двумя угостила Олю. Сколько конфет стало у Даши и Оли вместе?

Решение:

1) 12 – 2 = 10 конфет.

Ответ: 10 конфет.



Задача 7.

Вычисли массу арбуза.

Вычсли массу рабуза. Нестандартные задачи 2 класс.

Решение:

1) 3 + 1 = 4(кг) масса гирь, которые лежат рядом с арбузом;

2) 10 – 4 = 6 (кг).

Выражение: 10 – (3 + 1) = 6 (кг).

Ответ: масса арбуза равна 6 кг.

Задача 8.

У Миши двое брюк: черные и серые, и две рубашки: в клетку и в полоску. Сколько нарядов у Миши?

Решение:

К каждым из брюк Миша может одеть одну из двух рубашек, получается два разных наряда для одних брюк. Так, как брюк двое, значит всего нарядов 4.

Ответ: у Миши 4 разных наряда.

Задача 9.

У продавца три гири 1 кг, 2 кг и 4 кг. Какой вес он может взвесить если будет класть гири только на одну из чаш весов?

Решение:

Вес самих гирь;

1) 1 + 2 = 3 (кг);

2) 1 + 4 = 5 (кг);

3) 2 + 4 = 6 (кг);

4) 1 + 2 + 4 = 7 (кг).

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (кг).

Задача 10.

На рисунке изображены геометрических фигуры: квадрат, окружность и треугольник, при этом окружностей столько, сколько квадратов и треугольников вместе. Сколько треугольников на рисунке, если всего изображено 4 фигуры?

Решение:

Изображено три вида фигур, при общем количестве равном 4, значит только одного вида фигур, может быть больше одной. Из условия видно, что это окружности, тогда всех остальных фигур по одной.

Ответ: на рисунке изображен один треугольник.

Задача 11.

Во дворе дети катались на трехколесных и двухколесных велосипедах. Сколько детей каталось на двухколесных и на трехколесных велосипедах по отдельности, если всего во дворе каталось 7 детей на 19 колесах?

Решение:

Если бы все дети катались на двух колесных велосипедах, то 7 * 2 = 14 колес было бы во дворе. 19 – 14 = 5 – лишних колес во дворе. Если добавить эти пять колес к двухколесным велосипедам, то мы получим количество трехколесных велосипедов во дворе. Тогда двух колесных велосипедов во дворе было 7 – 5 = 2.

Ответ: на трехколесных велосипедах каталось 5 детей, на двухколесных - двое детей.

Задача 12.

У Саши и Коли вместе 18 марок. Саше подарили еще 8. Сколько после этого стало марок у мальчиков?

Решение:

По условию задачи нам не известно количество марок у Саши. Однако по сочетательному закону сложения, если одно из слагаемых увеличить на какое-то число, сумма увеличится на тоже число. Поэтому:

1) 18 + 8 = 26 (марок).

Ответ: у Саши и Коли вместе стало 26 марок.

Задача 13

Сколько может быть трехзначных чисел все цифры, которых это 1, 2 или 3.

Решение:

Первым может быть любое из этих 3-цифр на второе тоже, следовательно, два первых места могут быть заняты девятью способами: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. В каждом из вышеописанных случаев третье место можно занять любой из этих трех цифр. Следовательно, все число можно записать двадцатью семью различными вариантами от 111 до 333.

Короче данное решение можно выразить следующим образом: первой может быть любая из этих 3-х цифр, второй может быть любая из этих 3-х цифр, третей может быть любая из этих 3-х цифр. Поэтому этих чисел всего 3 * 3 * 3 = 27.

Ответ: 27.

Задача 14.

Оксана нашла один гриб, Катя – два, Наташа – три. Мама дала им 18 конфет и предложила разделить их по заслугам. Сколько конфет должна получить каждая девочка?

Решение:

Наташа собрала половину всех грибов, поэтому она должна получить половину конфет - 9. Катя должна получить вдвое больше конфет, чем Оксана, потому что она собрала вдвое больше чем Оксана грибов, следовательно, Оксана должна получить 3 конфеты, а Катя 6.

Ответ: Наташа – 9, Катя – 6, Оксана – 3.

Задача 15.

На какое число нужно разделить разницу наибольшего трехзначного числа и наибольшего двухзначного числа, чтобы получить однозначное число?

Решение:

(999 – 99) : 100 = 9

Ответ: 100.

Задача 16.

За 4 дня велосипедисты проехали 88км. Сколько километров они проехали в первый день, если каждый следующий день они проезжали на 2км. меньше чем в предыдущий?

Решение:

За второй день велосипедисты проехали на 2км. меньше чем за первый, за третий на 4км., за четвертый на 6км меньше чем за первый. Если бы каждый день велосипедисты проезжали столько километров, сколько за первый день, то за четыре дня они бы проехали 88 + 2 + 4 + 6 =100км. Значит за первый день они проехали 100 : 4 = 25км.

Задача 17.

Улитка решила поползти по дереву вверх. За день она проползала шесть метров. А за ночь спускалась на четыре метра. За сколько она доползет до верхушки дерева, если высота этого дерева четырнадцать метров?

Решение:

Утром второго дня он будет на высоте 6 – 4 = 2м. вечером на высоте 2 + 6 = 8м. Утром на третий день он будет на высоте 8 – 4 = 4м. вечером на высоте 4 + 6 = 10м. На четвертый день утром на высоте 10 – 4 = 6м. вечером на 6 + 6 = 12м. На пятый день на высоте 12 – 4 = 8м вечером 8 + 6 = 14м – высота нашего дерева.

Ответ: к концу пятого дня.

Задача 18.

Первого февраля 1999 года был понедельник. Каким днем недели было 1 марта 1999 года?

Решение:

Сколько дней разделяет первое февраля 1999года и первое марта 1999года, учитывая, что 1999год не високосный, то это 28 дней? Далее смотрим какой день недели, если у нас был понедельник прибавляем 28 дней(ровно 4 недели), следовательно день также будет понедельник.

Ответ: понедельник.

Задача 19.

Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей втрое.

Решение:

Ответ: 139 единственное число, удовлетворяющее условиям задачи.

Задача 20.

Петя нашел один гриб, Коля — два, а Паша — три. Мама дала им 18 орехов и велела разделить их по заслугам. Сколько орехов получил каждый?

Паша собрал ровно половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов — девять. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал вдвое больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть.

Ответ: Петя — 3, Коля — 6, Паша — 9.

Ход занятия.

 (Ученики сидят в классе по группам: 4 группы по 7 человек.)

- Ребята, сегодня на занятии мы будем тренироваться в решении логических и нестандартных задач разных видов. Вначале проведем разминку и узнаем тему урока:

1. По чему птицы летают? (По воздуху)
2. Что становиться легче, когда увеличивается в размерах? (Воздушный шар)
3. Два раза рождается, один раз умирает. (Птица)
4. Назовите признак, по которому объединены эти слова: бабочка, самолет, воздушный шар, ракета, пушинка. (Летают)

- И сегодня разговор у нас пойдет о путешествиях по воздуху. Мы разделились на группы. Скажите, как называется группа людей, объединенных с целью выполнения совместной работы или совместного задания на движущемся средстве?

- Каждая семерка ребят – это экипаж. В процессе путешествия выясним, какой экипаж организованнее и продуктивнее работал. За правильные ответы вы будете получать жетоны, а потом подсчитаем результаты.

- Самыми древними летательными аппаратами были бумажные фонарики, изобретенные в Китае. Они наполнялись горячим воздухом и парили над городом для устрашения врагов.

1.Когда в воздухе парило 70 фонариков, китайского мастера спросили: «Сколько всего у тебя фонариков?». Он ответил: «Я запустил только 2/3 от трети всех имеющихся у меня фонариков» Сколько фонариков было у мастера?

Решение: 1) 70: 2 х 3 = 105 (ф.) – 1/3 всех фонариков.

2)105 х 3 + 315 (ф.

Ответ: 315 фонариков у мастера.

- 4 июля 1783 года братья Монгольфье запустили воздушный шар , изготовленный из бумаги и полотна. Он не управлялся человеком, а полностью зависел от направления ветра. Это были первые аэростаты. Ребята, а как вы понимаете это слово?

- У каждой команды листок с заданием и планом.

- Аэростаты спускаются на землю. Перед вами план местности. Разделите ее на 4 одинаковых по форме части так, чтобы в каждой из них было по одному домику.

- Дирижабль – один из видов аэростатов. Во время Второй мировой войны аэростаты широко применялись для защиты городов, промышленных районов, военно-морских баз и других объектов от нападения с воздуха.

- Аэростат пробыл в воздухе 56 минут. 1/7 этого времени была истрачена на спуск. Сколько времени аэростат висел в воздухе?

56 - 56 : 7 = 48 минут.

-Братья Райт одними из первых изобрели управляемый летательный аппарат с двигателем.

-Первый полет совершил Орвил Райт, преодолев 37 метров за 12 секунд. В тот же день совершил полет Уилбер Райт и пролетел 264 метра за 1 минуту. Чей самолет летал быстрее?

Решение: 1) 60 : 12 = 5 (раз)

2) 37 х 5=  185 (м)

Ответ: скорость 2 самолета больше скорости 1 самолета.

- В начале 20 века самолет пролетал от Лондона до Парижа за 28 часов. Современный сверхзвуковой самолет пролетает это расстояние за 8 минут. Во сколько раз быстрее передвигаются самолеты сейчас, чем 100 лет назад?

Решение: 1) 28 х 60 = 1680 (мин)

2) 1680 : 8 210 (раз)

Ответ: в 210 раз быстрее.

-В наше время воздушное пространство бороздят высокоскоростные лайнеры. Пассажирские Ан-24, Як,-40, Ту-154, Ил-63 и другие. В 1985 году был создан в Киеве грузовой самолет «Руслан» - сенсация выставки в Париже.

-В самолет поместили 33 тонны груза, Это 1/5 часть того, что можно загрузить в данный самолет. Сколько тонн груза может поместить этот самолет?

Решение: 33 х 5 = 165(т)

Ответ: 165 тонн груза может поместить в себя самолет.

- Из аэропорта на юг вылетел транспортный самолет. Одновременно с ним на север вылетел пассажирский самолет, скорость которого была на 100км/ч больше. С какой скоростью летел каждый самолет?

Решение: 1) 5840 : 4 = 1460(км/ч)- скорость удаления.

2) (1460 – 100) : 2 = 680(км/ч) – скорость транспортного самолета.

3) 680 + 100 = 780 (км/ч)

Ответ: 680 км/ч скорость транспортного самолета, 780 км/ч скорость пассажирского самолета.

-Ребята, а как еще используются самолеты? (Орошение полей, почтовые самолеты, военная оборона…).

- Из одного города в другой выехал автомобиль с правительственной делегацией и двигался со скоростью 50 км/. Одновременно в том же направлении вылетел сопровождающий самолет, скорость которого 700 км/ч.Самолет догоняет автомобиль, поворачивает и летит назад до пункта отправления, затем снова возвращается к городу, из которого вылетел, то есть непрерывно летает от пункта отправления до движущегося автомобиля и обратно. Сколько километров пролетит самолет, пока автомобиль приедет в пункт назначения, если расстояние между городами 300 км?

Решение: 1) 300 :50 = 6 (ч) – время пути.

2) 700 х 6 = 4200(км)

Ответ: 4200 км налетает самолет.

- Ребята, что нового вы узнали сегодня на занятии, чему научились? Подведем итоги. Подсчитаем жетоны и узнаем, какой экипаж работал лучше всех.

Выберем самых активных из каждого экипажа.

Награждение медальками.

На этом наше занятие заканчивается.

1 класс

Комбинаторные задачи.

Задача №1

У Тани имеется 3 шапочки различных цветов. И три шарфа такой же расцветки. Раскрась их.

Задача №2. В коробке лежат 3 синих карандаша, 4 красных карандаша и белый карандаш. Сколькими способами можно выбрать один карандаш?

Задача №3. У Алины имеется 4 юбки и 3 рубашки. Сколько комплектов одежды из юбок и рубашек для себя может скомпоновать Алина, если юбку и рубашку можно использовать только один раз?

Задача №4. Вове подарили 4 зелёных, 6 красных и 5 белых шаров. Сколькими способами он может подарить один шар младшему брату?

Задача №5. Алиса попросила бабушку купить ей мяч. В магазине они увидели 2 желтых, 3 оранжевых и 5 красных мячей. Сколькими способами Алиса может выбрать себе мяч?

Логические задачи.

1.        Ваня шёл впереди Пети. Кто шёл позади?

2.        Лес позади дома. Что впереди?

3.        Автобус впереди грузовика. Что позади?

4.        Кошка меньше собаки. Кто больше?

5.        Мальчик выше девочки. Кто ниже?

Нестандартные арифметические задачи.

1. Юре 8 лет, а Саше 4 года. Через сколько лет Саше будет столько же лет, сколько и Юре?

2.  Задумай число, меньше 6. Прибавь к нему 5. От результата отними 4. От того, что получилось, отними 1. Объясни, почему получилось то же число, что и задумал.

3. Если мама раздает девочкам по 3 конфеты, то в коробке еще 1 конфета остается. Сколько конфет в коробке?

4.  У отца 2 сына. У каждого сына по 3 сестры. Сколько детей в семье?

5. Сколько дней в неделе?

2 класс

Комбинаторные задачи.

Задача №1. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 7 друзей?

Задача №2. В театральном кружке занимаются 8 человек. Необходимо выбрать двух главных персонажей. Сколькими способами это можно сделать?

Задача №3. В пятницу в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и английский. Сколько различных способов составления расписания на пятницу существует?

Задача №4. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 5 гостей на 5 стульях?

Задача №5. Сколькими способами 10 хоккейных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

Логические задачи.

1. Ящерица короче ужа. Уж короче удава. Кто длиннее всех?
   Покажи их длины с помощью отрезков.

       Ящ.     __________________

       Уж      _____________

       Уд.      ___________

2. Покажи отрезками рост каждой девочки, если Ира и Лена одинакового роста. Лена выше Оли, а Таня выше Иры. Напиши, кто выше: Таня или Оля?
   Таня               Ира                      Лена                   Оля

3.  Волосы у Кати темнее, чем у Зины. Волосы у Зины темнее, чем у Ани. Раскрась волосы каждой девочки, подпиши их имена. Напиши, кто светлее всех.
   
   
4. Миша сильнее Пети, но слабее Кирилла. Кирилл сильнее Миши, но слабее Бори. Кто из них самый сильный, кто самый слабый?

                   Б         К          М          П

               Целесообразно решать такую задачу поэтапно, расставляя на схеме, согласно условиям, имена мальчиков.

5. Ваня старше Пети, Дима младше Коли. Петя старше Коли. Ваня младше Юры. Кто старше всех?

При решении задач на упорядочивание рекомендуется записывать условие со знаками < , >.

В > П, Д < К, П > К, В < Ю,  а сейчас упорядочим запись:

В > П,  К > Д, П > К, Ю > В, ещё раз  изменим порядок:

Ю > В, В > П, П > К, К > Д. Из такой записи видно, что самый старший- Юра.

Комбинаторные арифметические задачи.

1. Сколько весит арбуз?

2. Шесть пирожных разделили между братьями и сестрами так, что у братьев их оказалось на два меньше, чем у сестер. Сколько у кого?

3. Ваня живет в 12-этажном доме, на 9 этаже, если считать сверху. На каком этаже живет Ваня?

3 класс

Комбинаторные задачи.

Задача №1. В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?

Задача №2. В магазине продаются тетради5 различных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одной тетради и одной ручки?

Задача №3. На прием в больницу отправились Алексей, Даша, Маша, Саша, Карина, Катя, Лилия. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

Задача №4. Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?

Задача №5. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9, так чтобы цифры в записи не повторялись?

Логические задачи.

1. Три друга - Витя, Сережа, Коля - раскрашивали рисунки карандашами трех цветов: красным, синим, зеленым. Витя раскрашивал не красным и не синим карандашом, Коля — не синим. Каким карандашом пользовался каждый из мальчиков?
2. Три подруги — Надя, Вера и Зина — пошли в кино в платьях разного цвета: красном, голубом, синем. Надя была не в красном и не в голубом, Зина была не в голубом платье. В каком платье была каждая девочка?
3. Мама купила груши, виноград и яблоки. Всё вместе это весит 10 кг. Груши весят не 5 и не 3 кг, яблоки не 5 кг. Сколько килограммов весит каждый вид фруктов?
4. Три зайчика - Пушок, Ушастик и Черныш – соревновались по бегу. Пушок занял не второе и не        третье место, а Ушастик - не третье. Кто какое место занял?
5. Коля, Боря, Вова и Юра заняли        первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места        они заняли, трое из них ответили так:

а) Коля занял не первое и не четвертое место;

б) Боря занял второе место;

в) Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Нестандартные арифметические задачи.

1. Змей Горыныч вызвал на бой трех богатырей. Сколько голов должен отсечь каждый богатырь, если у змея их 12, а богатыри поделили его головы поровну?

2. Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть времени - пела. Остальное время она решила посветить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

3. Малыш может съесть 600 граммов варенья за 6 минут, а Карлсон в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

4. Винни - Пуху подарили в день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни - Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?

5. Наловил дед рыбы полный воз. Рыба - крупные лещи. Едет домой и видит, лисичка, свернувшись калачиком, лежит на дороге. Дед слез с воза, подошел, а лисичка не шелохнется. Дед решил, что лиса мертвая. — Вот славная находка! Будет моей старухе воротник на шубу. Взял он лису и положил на воз, а сам пошел впереди. А лиса улучила время и стала выбрасывать полегоньку из воза все по рыбке да по рыбке, все по рыбке да по рыбке. Сначала лиса действовала осторожно, а затем смелее. В первую минуту она выбросила лишь 1-го леща, во вторую-2 леща, в третью-4 леща и т. д.: в каждую следующую минуту она выбрасывала вдвое больше лещей. Через 7 минут лиса выбросила всю рыбу, и сама потихоньку ушла. Сколько лещей досталось хитрой лисе?

4 класс

Комбинаторные задачи.

Задача №1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7, если цифры в записях могут повторяться?

Задача №2. Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6, если цифры в записи числа не могут повторяться?

Задача №3. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 7, 6, 5, 0, если цифры в записи числа не могут повторяться?

Задача №4. Сколько различных дробей можно составить с использованием цифр 2, 3, 4, если в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра?

Задача №5. Имеются поселки М, А, Б и В. каждые два из них соединены дорогой. Расстояние МА равно 5 км, МБ – 8 км, МВ – 4 км, АБ – 2 км, АВ – 9 км, БВ – 5 км. В поселке М находится почтовое отделение. Почтальон должен развести письма в остальные 4 села. Существует много различных маршрутов поездки. Найди наикратчайший путь?

Задачи на логику.

1. Игорь, Андрей и Тимур во время каникул побывали в разных     местах. Один - в цирке, другой - в театре, третий - на катке. При этом известно, что:

       а) Игорь, мальчик, который был на катке, и мальчик, который был в цирке, - каждый остался доволен своим отдыхом;

       б) Тимур не был в цирке.

       Определите, пожалуйста, кто где был во время каникул.

2. Маша, Даша и Таня читали вслух разные сказки. Догадайтесь, кто читал какую сказку, если известно, что:

       а) в Дашиной сказке нет волка;

       б) В названии Машиной сказки нет цифр.

        А сказки были такие: «Три поросёнка», «Три медведя», «Красная шапочка»

3. Степа, Олег, Вася и Боря собирали грибы. Каждый собрал разное количество: один - 10, второй - 6, а остальные -4 и 3. Можете ли вы определить, кто сколько собрал грибов, пользуясь следующими сведениями:

        а) Степа собрал грибов больше, чем Вася, но меньше, чем
Олег и Боря;

       б) Олег собрал грибов столько, сколько Степа и Боря вместе взятые.

4. Катя, Римма, Ваня и Гриша каждый решили по 100 задач. Результаты были разные: кто-то решил правильно 98 задач, кто-то-94, кто-то - 88, а последний в этом соревновании - только 70. Пользуясь следующими сведениями, определите количество задач, которое решил каждый из них:

       а) Катин результат лучше, чем у Гриши и Вани, но хуже, чем у Риммы;

       б) Гриша решал задачи лучше, чем Ваня.

5. Лена, Павел, Таня и Женя взяли в библиотеке книги. Тот, кто читает быстрее всех, взял 7 книг, другой - 4, третий - 3, а четвертый - 2. Нам известно два факта:

       а) Павел взял книг больше, чем Таня, и больше, чем Женя, но меньше, чем Лиза;

       б) Женя взял книг больше, чем Таня.

Нестандартные арифметические задачи.

1. Чудо-Юдо раба - кит проглотило новгородского купца Садко вместе с лодкой. Купец весил 100 кг, лодка - вдвое больше. На сколько килограммов потяжелело Чудо-Юдо, если самого Садко оно выплюнуло обратно?

(на 200 кг)

2. В школе для маленьких чертят дали задание на дом: довести до слез свою мать и принести по бутылочке с ее слезами. Один маленький чертенок не принес ничего, семеро просто выполнили домашнее задание, а двое отличников принесли по две бутылочки. Сколько бутылочек слез было сдано учителю?

(11 бутылочек)

3. В школе для чертят было 10 учеников. На дом каждому задали совершить по три маленьких пакости. Один бесенок не выполнил задания. Сколько мелких пакостей было сделано чертятами?

(27 пакостей)

4. Робин-Бобин Барабек Скушал сорок человек, и корову, и быка, и кривого мясника, скушал печку, скушал дом, и кузницу с кузнецом, Семь церквей и колоколен, да еще и недоволен

До своего обеда Робин-Бобин Барабек весил 50 кг. Все, что он съел, весило:

-каждый из сорока человек – 50 кг;

-корова-300 кг;

- бык – 700 кг;

- кривой мясник- 100 кг;

- печка – 500 кг;

- дом - 5 000 кг;

- кузница - 8 000 кг;

- каждая из семи церквей – 20000 кг;

- каждая из колоколен – 10000 кг.

Сколько весил Робин-Бобин Барабек после этого обеда?

(226750 кг)

5. Когда посуда уходила от Федоры, ее строй выглядел так: впереди самовар с чайником; за ними 6 чашек, каждая со своим блюдцем; 5 рядов тарелок по 2 тарелки в каждом ряду; 6 рядов вилок и ложек по 3 предмета в каждом ряду; затем шел стол, а за ним метла, которая заметала следы. Сколько раз Федоре нужно будет просить прощенья, если каждая вещь прощает Федору только на третий раз, а самовар как самый главный - на пятый?