Картотека задач по классам
картотека по математике (1, 2, 3 класс)

Зеленина Ульяна Валентиновна.

Картотека комбинаторных, логических и нестандартных арифметических задач по классам.

1. Комбинаторные задачи

I-II класс

1 .Записать отдельно все двузначные числа до двадцати включительно, каждое из которых можно представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых, и отдельно те, каждое из которых нельзя представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых. Сколько получилось чисел тех и других? Ответ: к первой группе относятся числа: 10,12,14,16,18,20:
ко второй -11,13,15,17,19: в первой группе 6 чисел, во второй 5.
2.Все числа до двадцати включительно распределить по двум группам так, чтобы каждое число первой группы можно было представить в виде суммы трёх одинаковых слагаемых, а каждое число второй группы нельзя было бы так представить. Сколько чисел в каждой группе? Ответ:3,6,9,12,15,18,:1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20: в первой группе 6 чисел, во второй -14.
З.Из двузначных чисел выбрать все такие, чтобы сумма чисел десятков и единиц каждого из них была равна 5. Сколько таких чисел? Ответ:14,23,32,41,50: пять чисел.
4.Из двузначных чисел выбрать те, в которых разность между числом десятков и единиц была равна 6. Сколько таких чисел? Ответ:93,82,71,60; четыре числа.
5.Сколькими способами можно разменять монету 20 копеек на две монеты?
Ответ: двумя способами: 10 коп. и 10 коп.; 15 коп. и 5 коп.
6.Сколько треугольников изображено: а) на рис.1?    б) на рис.2?
Ответ: а) 4; б) 5.

II-III класс
1 .Записать все двузначные числа, которые можно представить в виде произведения: а) двух одинаковых множителей; б) трёх одинаковых множителей. Сколько таких чисел?
Ответ: а) 16,25,36,49,64,81; шесть чисел, б) 27,64; два числа.

1. Найти все пары  чисел (х, у) чтобы равенство х ∙ у=18 было верным.
   Ответ:1,18; 2,9; 3,6; 6,3; 9,2; 18,1.
2. Имеется 7 конвертов различных видов и 6 марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
   Ответ: 42; 7 ∙ 6 = 42.

4. Из Радостного в Удачное можно совершить путешествие одним из четырёх видов транспорта: на поезде, автобусе, самолёте или теплоходе, а из Удачного в Счастливое - одним из трёх:  на поезде,  автобусе или самолёте.
Сколькими способами можно осуществить путешествие из Радостного в Счастливое с остановкой в Удачном.
Решение. Изобразим схематически возможные пути передвижения (рис.3)

Ответ:  возможны такие варианты: 1. а, б, в;   2. а, б, в;  3.  а, б, в: 4.  а, б, в;
т.е. всего: 4 ∙ 3 = 12 способов.

5. Сколько среди чисел от 100 до 1000 включительно таких, в зависимости которых встречаются три одинаковые цифры?
Ответ: 10 чисел (111,222,333,444,555,555,666,777,888,999,1000.)
6.Сколько всего имеется чисел, записанных с помощью двух цифр, у которых число десятков меньше числа единиц?
Ответ: от 10 до 19 – 8; от 20 до 29 – 7; от 30 до 49 – 6; от 40 до 49 -  5; от 50 до 59 – 4; от 60 до 69 – 3; от 70 до 79 – 2; от 80до89 – 1.  Всего таких чисел: 8 +7+ 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =9 ∙ 4 = 36.
7. Сколько острых углов изображено на рисунке  4?  Ответ: 6 углов.
8. Сколько существует прямоугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами сантиметров, а площадь равна 60 кв. см.
Ответ: существуют прямоугольники заданной площади с такими сторонами: 1 см и 60 см; 2 см и 30 см; 3 см и 20 см; 4 см и 15 см; 5 см и 12 см; 6 см и 10 см; всего шесть прямоугольников.
9. Сколько существует прямоугольников с периметром 12 см,  длины сторон которых целые числа?
Ответ: 3 прямоугольника, так как 12 : 2 = 6 (см); возможны варианты;

1. 6 см = 1см+ 5 см
2. 6 см = 2 см+ 4 см
3. 6см = 3см + 3см

          10. Числа 25, 70, 3, 40, 32, 5 и 7 распределены по группам такими тремя способами; 1)3,5,7 и 25,70,40,32. 2) 3,5,7,70,40, и 25,32 3)3,5,7; 70 и 40; 25 и 32.
Что общего между числами одной группы в каждом случае и чем отличаются числа разных групп?
Ответ:

1. Числа первой группы однозначные, второй двузначные.
2. Числа первой группы имеют единицы одного разряда (либо только единицы, либо
   только десятки), второй - имеют единицы,  как первого, так и второго разрядов.
3. Числа первой группы имеют только единицы первого разряда, третьей - как единицы первого, так и второго разрядов.

11. Три бригады получили с колхозного склада 7 полных бочек с горючим, 7 бочек наполненных горючим наполовину, и 7 порожних бочек. Как распределить между бригадами поровну горючее и тару, не переливая горючее из бочки в бочку?
Ответ: каждая бригада должна получить 7 бочек.
I бригада получает 3 полные бочки, 1 бочку наполненную наполовину, и 3 порожних;
II - 2 полные бочки, 3 наполненные наполовину и 2 - порожние;
III - получает то же, что и вторая
12. Распределить числа 2,3,4,5,6,7,8, на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел одной группы не была равна никакому числу другой группы. Ответ: 2,3,5,7,8, и 4,6.
13. Запишите все возможные двузначные числа из двух цифр 3 и 7. (Таких чисел всего 4: 2+2=2 ∙ 2.)
14. Сколько двузначных чисел можно записать из трех цифр? (3+3+3=3 ∙ 3)
Из четырех цифр? (4+4+4+4=4*4)
15. Запишите все возможные трехзначные числа,  используя цифры 1 и 2. (111,222,112,121, 211,221,212,122: всего 8 чисел. Число цифр равно 2: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8).
16. Запишите все возможные трехзначные числа, используя цифры 7,5,1.
(777,  555, 111, 771, 717, 177, 711, 171, 117, 755, 575, 557, 775, 757, 577, 511, 151, 115, 551, 155, 515, 571, 751, 715,175,157, 517:  всего 27 чисел.  Число цифр равно 3: 3 ∙ 3 ∙ 3=27 )

III-IV класс.
1.Сколькими способами можно выбрать из слова «ученица» две буквы, первая из которых гласная, а вторая - согласная?
Решение. Всего гласных букв 4, а согласных - 3. Поэтому две буквы можно выбрать двенадцатью способами: 4 ∙ 3=12. Ответ: 12 способов.
2.На железной дороге  21 станция. Сколько различных образцов билетов должна заготовить эта дорога для касс всех станций?
Решение. На каждой станции должны быть образцы билетов до любой станции, т. е. должно быть 21-1=20 образцов. Значит, всего образцов 20 ∙ 21=420. Ответ: 420 образцов.
3. Сколько различных положений могут занять две пешки на пустой шахматной доске?  Решение. Одну пешку можно поставить на любую из 64 клеток доски, тогда вторую - на одну из 63 оставшихся. Значит, различных положений будет 64 ∙ 63=4032.
Ответ: 4032 положений.
4.   Сколькими способами можно разместить 5 пассажиров в двух каютах, из которых одна двухместная, а другая - трехместная?
Решение. Пусть пассажиры будут А, В, С, Д и Е. Количество способов их размещения в указанных каютах равно количеству возможных неупорядоченных пар, составленных из А, В, С,Д и Е, Составим и подсчитаем эти пары АВ, АС, АД, АЕ, БС, БД, БЕ, СД, СЕ, ДЕ; Всего 10 пар. Ответ: 10 способов.

2. Логические задачи

I класс

1. Бабушка связала Нине две пары носков. Сколько носков связала бабушка Нине?
2. По двору ходят куры. У всех кур Петя насчитал 6 ног. Сколько кур?
3. У Толи 2 пары варежек. Сколько варежек на левую руку?
4. Какое число самое маленькое?
5. В семье четверо детей: сестёр столько же, сколько братьев и сестёр. Сколько сестёр?
6. Из бочки взяли 2 раза по 2 полных ведра воды. Сколько вёдер воды взяли?
7. В корзине сидят котята. У всех котят 3 пары ушек. Сколько котят в корзине?
8. На горке катались 6 ребят. Двое ушли обедать, но после обеда вернулись на горку. Сколько ребят стало на горке?
9. У паука 4 пары ног. Сколько всего ног у паука?
10. У Юры 3 кубика, а у Серёжи 2 кубика. На столе стоит коробка, в которой умещается 4 кубика. Смогут ли мальчики уложить в эту коробку все свои кубики?

II класс

1. Витя, Саша и Андрей смастерили из бумаги кораблик, змея и аиста. Какую игрушку сделал каждый мальчик, если Витя не сделал кораблика и змея, а Саша не делал кораблик? 
2. Знайка, Кнопочка и Тюбик живут в домах №14, 17, 19. В каком доме живет каждый человек, если Знайка не живет в доме 19 и 17, а Кнопочка не живет в доме 19?
3. Володя, Дима и Петя устроили соревнование. Один из мальчиков решил 12 примеров, второй – 13, а третий – 14. Сколько примеров решил каждый мальчик, если Петя решил примеров меньше, чем Дима, а Дима меньше чем Володя?
4. Сумма двух чисел равна семи, а их разность равна трём. Найти эти числа.
5. У Алины несколько кукол. Папа подарил ей не день рождения столько же кукол, сколько у неё было. Теперь у Алины 12 кукол. Сколько кукол подарил ей папа?
6. Серёжа покрасил сторону кубика разными красками. Сколько красок для этого потребовалось? 
7. Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына –     Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?
8. Тетрадь дешевле ручки, но дороже карандаша. Что дешевле?
9. Какие три числа, если их сложить или перемножить, дают один и тот же результат?
10. Ваня живет выше Пети, но ниже Сени, а Коля живет ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт каждый из них?

Нестандартные задачи.

1 класс

1. Пилят бревно. Сделали 10 распилов. Сколько получилось поленьев?

2. Пилят бревно. Получили 10 поленьев. Сколько сделали распилов?

3. Длина бревна 5 аршин. За 1 минуту от этого бревна отпиливают 1 аршин. Сколько минут понадобится, чтобы все бревно распилить на куски по 1 аршину?

4. Колесо имеет 15 спиц. Сколько промежутков между спицами?

5. Круглый торт режут на куски. Можно сделать 10 разрезов. Как их делать, чтобы получилось 10 кусков? 11 кусков? 20 кусков? Куски могут быть неодинаковыми.

2 класс

6. Пилили бревна. Сделали 15 распилов, получили 20 поленьев. Сколько бревен распилили?

7. Нужны 100 чурбачков по 20 см. Что удобнее: 20 бревен по 1 метру или 10 бревен по 2 метра? Почему?

8. Сколько потребуется минут, чтобы распилить 6 бревен на 4 части каждое, если на один распил нужно 5 минут?

9. Чтобы распилить бревно на 3 части, нужно 12 минут. Сколько нужно минут, чтобы распилить бревно на 4 части?

10. Чтобы поставить забор, вкопали 20 столбов через 2 метра. Какой длины получится забор?

11. Чтобы поставить забор, вкопали 30 столбов через 2 метра. Половина забора была из дерева, а остальной – из сетки. Сколько метров сетки нужно для забора?

12. Нужно поставить забор длиной 50 метров. Сколько нужно вкопать столбов, если они должны стоять через 2 метра?

13. В ряд сажают деревья через 5 метров. Посадили 20 деревьев. Какой длины получился ряд?

14. В ряду длиной 100 метров нужно посадить деревья через 5 метров. Сколько для этого понадобится деревьев?

15. Как разрезать круглый торт на 7 частей тремя разрезами?

16. Разрежьте квадрат так, чтобы получились два треугольника, два прямоугольника, два четырехугольника (не являющихся прямоугольниками), один треугольник и один четырехугольник, один треугольник и один пятиугольник.

3 класс

17. Имеется 60 трехметровых бревен. Их нужно распилить на полуметровые. Сколько распилов придется сделать?

18. Нужны 100 чурбачков по 30 см. Что удобнее: 10 бревен по 3 метра, 20 бревен по полтора метра, или 30 бревен по 1 метру? Почему?

19. Имеются бревна длиной 4 м и 5 м одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 минуту. Надо напилить 20 бревен длиной 1 м. можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить? Почему?

20. Пильщики распиливают бревно на метровые обрубки. Длина бревна 5 м. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз 1  минуты времени. Во сколько минут распилили они все бревно?

21. 3 одинаковых арбуза надо разделить поровну между 4 людьми. Как по-разному это можно сделать? Какое количество разрезов нужно сделать в каждом случае?

22. Требуется разделить 5 одинаковых яблок поровну между восемью мальчиками. Найдите 2-3 способа сделать это. Как это сделать с наименьшим числом разрезов?

23. Разделить поровну 5 пряников между шестью мальчиками, не разрезая ни одного пряника на 6 равных частей.

24. Как разделить 7 бревен между двенадцатью людьми поровну? Показать на рисунках два разных способа.

25. Надо разделить девять яблок поровну между 12 школьниками, но при этом, чтобы ни одно яблоко не разрезать более чем на четыре части.

26. Зайцы пилят бревно, но оба конца закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закрепленными. Сколько распилов сделали зайцы? (Зайцы получили 12 чурбачков – 10 упавших и 2 закрепленных. Значит распилов было 11).

27. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделен одним прямолинейным разрезом на 4 части?