Решение уравнений
статья по математике (1 класс)

Так как эта работа начинается с первого класса, поэтому и примеры будут соответственные:

        5 это 2 и 3

        Представим это в виде рогатки:    

5. - целое

    2       3                            - части

        Можно это изобразить в виде отрезка:

                        5

2. 3

Причем отрезки могут быть произвольные. Дети чертят произвольный отрезок, подразумевая под ним число 5. Как вы обратили внимание, мы уже имеем много «плюсов» – у детей развивается абстрактное мышление, и знакомятся, ненавязчиво, с геометрией .

Предложим задачу:

«На кормушке сидело 5 птичек .Несколько улетело. Осталось 3 . Сколько птичек улетело?»

Как мы решаем подобные задачи?

Ищем целое. Целое 5.

Чертим рогатку:

5.                             - целое

    3        x                           - части

         Чертим отрезок:

                       5

            3                     x        

         Чтобы найти неизвестную часть, надо известную отпилить (заштриховать):

                        5

            3                     x        

        На чертеже появляется штриховка.

• Что означает отпилить на математическом языке?
• Отнять, вычесть.

Так как мы ищем неизвестное – x - , то записываем:  x = 5 – 3.

Если чертеж мы читаем:

«От 5 отпилить 3»; то здесь уже читаем: « 5 минус 3»

Осталось решить.

Если мы знаем, что 5 это 2 и 3, то, отнимая одну часть, получаем вторую.

Значит Х=2.

Решены и задача и уравнение.

Важно сначала составить чертеж, наглядно увидеть решение и только потом приступать к решению.

В идеале запись выглядит так:

          5-х=3                                          5

          х=5-3                                                                                            х=2                                     3       х                                                        

5-2=3                                                                        

3=3                                                5                                        

                                               3                      х

        А теперь предложу вам 2 уравнения: х+4=5 и 6-х=3.

        На первый взгляд это разные уравнения, но по этой системе они будут решатся совершенно одинаково, потому что в том и другом уравнение неизвестны части.

        Решим уравнения:

          Х+4=5                                         5

Х=5-4                                                                                   

х=1                                     4       х                                                                

1+4=5                                                                                

5=5                                                5                                        

                                               4                      х

        Главное чтобы, дети хорошо ориентировались в компонентах при сложении и вычитании. Мы этого достигали путем разрывания полосок бумаги. Полоску бумаги представить в виде любого числа. Если ее разорвать – получим части целого.

        А при решении конкретных примеров я допускаю такие выражения:

        «Если стоит знак +, то целое в конце», «Если стоит знак -, то целое в начале».

        Продемонстрирую решение уравнения с неизвестным целым.

        «На кормушке сидело несколько птиц. 2 птицы улетело, 3 осталось. Сколько птиц было на кормушке?».

        В данном случае неизвестно целое.

        Записываем рогатку:

х

2. 3

Затем чертим чертеж:

                       х

2. 3

Чтобы узнать целое, части надо объединить:         

                       х

2. 3

Затем записываем:

Х-2=3

Х=2+3

Х=3

5-2=3

3=3

Ответ: 5 птиц было.

Очень быстро детьми усваиваются приемы нахождения частей и целого. Решают, уже не задумываясь. Тогда усложняю задачу,  пусть у нас целое будет состоять не из 2 частей, а из 3.

Решим уравнение

4+х+2=9                          9

                                              4   х  2

        Затем чертим чертеж:

                        9

         4             х               2

        Отпиливаем известные части:

                       9

         4             х               2

        Сколько всего отпилили? Отпилили – 6.  На чертеже показать неудобно, т.к., известные части разрознены. Делаем вывод: известные части надо располагать рядом. Этот вывод нам пригодится в будущем, поэтому, первое время надо напоминать. Не обязательно это делать самой. Дети солидарны и не дают возможности ошибиться другим.

        Чертеж исправляем, объединив отпиленные части на чертеже, мы, тем самым сократили себе запись:

                    9

   4                2             х

            6

       х = 9 - 6                      

        Откуда появилось число 6?

        Это продемонстрировано на чертеже. Мы отпилили две части 4 и 2. А всего мы отпилили 6. Зачем же нам делать лишнюю запись: х=9-4-2, мы сразу запишем:

х=9-6

х=3

4+3+2=9

        Уравнение решено. Решалось оно так же, как и до этого, мы решали простые уравнения. Решим еще  два уравнения. Не забывайте, что после записи уравнения выполняются чертежи рогатки и отрезка. Чертежи выполняем справа, уравнение записываем слева:

10-х-5=1

х=10-6                                                                10

х=4

10-4-5=1                                                                      х     5     1

1=1

                                                                                            10

                                                              1                   5              х

                                                                   6

х-3-4=1                                                       х    

х=3+4+1                                                                                          Х

х=8                                                       3    4     1                                  

8-3-4=1

1=1                                                                           1               3                 4            

                                                                                                         8                                    

        В этом уравнении неизвестно целое, поэтому части объединяются.                              

        Уравнения, подобные этим, и ряд других, мои ученики решали уже в первом классе. Со второго класса дети при решении таких уравнений переносят числа в правую часть с заменой отрицательного знака на положительный, и наоборот.

        Из собственного ученического опыта я знала, что минус меняется на плюс, но по чему это происходит, не совсем понимала. Использование чертежей наглядно демонстрирует это. Я думаю, что и учителям математики, как в начальных, так и  в старших классах мой опыт также может пригодиться.

        Освоив решение уравнений с одинаковыми знаками, я задумалась, а как детей в возрасте 6 – 8 лет, не обладающих достаточными  математическими знаниями научить решать уравнения с разными знаками. До этого у нас не было затруднений в нахождении целого, а это в решении уравнений главное. Минусы – целое в начале. Плюсы - в конце. А что делать в таких случаях: 9-х+2=7?

        Есть  и «-» и «+». Как найти целое мы подумали и решили первое действие 9-х взять  в скобки и представить, что это неизвестное число, ведь мы от этого ничего не теряем. Порядок действия не нарушается. За то если (9-х) неизвестное число у нас остается  всего один знак «+». Соответственно целое –7.

Чертим рогатку и отрезок:

                                          7  

                                9-х          2

                        7                                       

                                                                Отпиливаем известную часть

9-х                  2\

Записываем:

9-х=7-2                  

9-х=5                                           Простое  уравнение

х=9-5

х=4

9-4+2=7

7=7

Проблема решена, при чем здесь же  дети, ненавязчиво, знакомятся со скобками и действиями в скобках. Когда мы впервые познакомились с решением таких уравнений , я предложила детям задать родителями подобное уравнение.

        Я настроила их на то, что родители, скорее всего не справятся. Какие же гордые пришли мои второклассники в школу на следующий день с осознанием того, что родители не справились. В основном они использовали метод подбора. Конечно, эти уравнения можно решить путем переноса известных частей в одну сторону, а неизвестных в другую. Но речь идет о детях, только что пришедших во второй класс и не знакомых с отрицательными числами.

Решим еще одно уравнение:    

                                                      6+х

6+х-9=1                                                                                                                    (6+х)-9=1                                    9      1                                                                  6+х=10                                                

х=10-6                                                           6+х

х=4                                                                            

6+4-9=1                                               9                   1          

1=1                                                      10                                 10

                                        10

                                      6    х

                                                                                                  6                     х

        С большим удовольствием дети придумывают задачи к этим уравнениям. Здесь уже работает фантазия. Можно услышать про плантации кофейных деревьев, и про инопланетян и летающие тарелки, и про фермы с экзотическими животными. Дети соревнуются между собой: кто необычнее придумает задачу. Тогда и на вопрос отвечать будет интереснее.

        И ещё один вид уравнений, которые мы усвоили во втором классе, это уравнения с действием в скобках. Со скобками мы уже знакомы:

5+(х-4)=10

        Если (х-4) неизвестное число, то в этом уравнении две части: 5 и (х-4). Знак «+» -целое 10.

Чертим рогатку и отрезок:

Х-4=10-5                                       10                                              10  

Х-4=5

Х=5+4                                        5       (х+4)

Х=9                                                                                        5                      (х+4)

5+(9-4)=10

10=10  

        При  изучении умножения мы также используем рогатки. Сначала мы столкнулись с трудностью изображения.

        Например: 8:2=4,  9:3=3    рогатки можно изобразить так:

            8           - целое                                          9                - целое

     4          4      - 2 части по 4                           3   3   3          - 3 части по3

        Эти рогатки можно использовать пока оперируешь небольшими числами. А если понадобится изобразить такие выражения: 80:20=4 или 560:70 и т. п.

        Неудобно, а порой и невозможно рисовать 20, 70 и более лапок. Что же делать? Подумав, мы решили не рисовать количество лапок, а записывать числами.

        Например:     80        - целое                560        - целое

                           20        - 20 частей                70        - 70 частей

                           4        - по 4                        8        - по 8

        Для  закрепления нового вида рогаток провожу такую работу. Даны 2 числа 12 и 4 из которых нужно составить 8 примеров.

        Выглядит это так: если 12 целое, то 4 известная часть

        12                4+8=12                        12-4=8

                        8+4=12                        12-8=4

     4         8

        Если 12  целое, то 4- известное количество частей

12                4·3=12                12:4=3

4                3·4=12                12:3=4

3

        Решение таких заданий ясно демонстрирует разницу между рогатками. А рогатка изменилась не только визуально, но и по содержанию. В то же время мы обнаруживаем много общего. В обоих случаях есть целое и части; знаки на увеличение числа «+», «·» и на уменьшение «-», «:».

        Такую работу проводим на каждом уроке. Здесь я нахожу много положительного: повторение таблиц сложения, умножения; взаимообратные действия; связь между компонентами.

        При решении уравнений на умножение и деление принцип работы не нарушается. Знак «:» (деления)  - на уменьшение, значит целое в начале. Знак «·» (умножения) – знак  на увеличение числа, значит целое в конце.

        Решение уравнений на умножение – деление выглядит так: 8 : а = 4.

• Деление – знак на уменьшение числа, значит целое – 8.

Рогатка:

8. - целое

а        - неизвестное количество частей

4        - по 4.

Чтобы найти неизвестную часть, надо целое разделить на известное.

 а=8:4

a=2

8:2=4

4=4

Уравнение на нахождение целого:

Х:2=4

Знак «:» - знак на уменьшение, значит целое в начале. Неизвестно целое поэтому записываем такую рогатку:

Х – целое

2 -  2 лапки

3. – по 4

Чтобы найти целое, части надо перемножить:

Х=2·4

Х=8

Из решения этих уравнений видно, что алгоритм решения остался прежним, поэтому дети по аналогии с простыми уравнениями на сложение и вычитание без каких-либо затруднений легко справлялись с уравнениями на умножение и деление.

Следующий этап – переход к уравнениям сложной структуры. Приведу решение нескольких уравнений с рассуждениями:

1. 56 : х · 5 = 35

• Чтобы найти целое, оставляем один знак. Для этого, чтобы не нарушить порядок действий выделяем I действие в скобки.

(56:Х) · 5 = 35

        Умножение знак на увеличение значит целое – 35

           Рогатка:    35

                        5

                        56 : х

        Чтобы найти неизвестную часть, целое делим на известное.

        Записываем:

        56 : х = 35 :5

        упростим

        56 : х = 7

        Получим простое уравнение, где 56- целое.

        Х= 56 :7

        Х=8

        56 : 8 · 5 = 35

        35=35

2. 6 · х : 9 =3

Чтобы найти целое оставляем один знак.

(6·х) : 9 = 2

        Деление - знак на уменьшение числа, значит целое в начале.

        Рогатка:

        6 · х

           9

              2

        Чтобы найти целое части перемножаем:

        6 · х  =9 · 2

        6 · х = 18

        х = 18 : 6

        х = 3

        6 · 3 : 9 = 2

        В обоих уравнениях дети переносили известные в правую часть и меняли знак на противоположный. В 3 классе дети  не знакомы с этой темой, поэтому, казалось такое уравнение решить для них на данном этапе не возможно. Но поверьте, в моем классе с подобными уравнениями легко справляются.

        Попробовала ввести умножение и деление в уравнения сложной структуры.

3. 5 · х – 4 = 16

Как подвести  ребенка к решению подобного уравнения? Дети решили выделить первое действие скобками.

(5 · х) – 4 = 16                       5 · х                                               5 · х          

                                             4      16                                4    16                                                  

                                                                                                                  20

             Остался знак «-»,      целое  5 · х           

Чтобы найти целое части сложить

Получилось простое уравнение на умножение  

5 · х = 20

Знак умножения – знак на увеличение значит целое в начале.

Рогатка:

20

5

х

Чтобы найти часть надо целое разделить на известную часть

Х =20 : 5

Х = 4

5· 4 – 4 = 16

16 = 16

        Продемонстрирую вам решение еще одного уравнения:

4.        21 – х : 4 = 16

Естественно для решения этого уравнения, дети предложат оставить одно действие. Но какое? Если мы выделим скобками первое действие (21 - х), то тогда нарушится порядок действий ведь действие умножение и деление выполняются в первую очередь. на этом этапе дети знакомятся с порядком действий.

         Вернемся к данному уравнению. Если мы  знаем, что умножение – деление выполняется первым, то у нас остается один знак «-». Скобки   можно поставить, чтобы  дети не путались.

        21 – (х : 4) = 16.

        Дальше решение происходит по аналогии.

        Х : 4 = 21 – 16                                     21                                       21

        Х : 4 = 5

        Х = 5 · 4                                           х:4    16                          х:4              16

         Х = 20                                х

        21 –20 : 4 = 16                        4

        16 = 16                                5

           Рассуждение:  21 – целое    х:4  и  16 – части. Чтобы найти неизвестное часть, от целого отпиливаем известную часть. Получилось простое уравнение, где х – целое. Чтобы найти целое , части перемножаем.

        Эти навыки нам пригодятся в решении геометрических задач. При изучении понятий периметра и площади. Ученики 3 класса умея решать такие уравнения могут выполнять подобные задания.

Не  составляет труда по известным сторонам найти  периметр и площадь. Формулы ребята знают, поэтому мне захотелось усложнить задачу.

a= 8 см

b = 4 см

Р     = ? (см)

S = 20 см2

Зная формулу площади  S = a · b, подставляем известные данные и решаем, как простое уравнение:

20 = а · 4               20

а = 20 : 4                4

а = 5 (см)                b

Затем нашли периметр.

         А вот найти площадь по периметру сложнее. Вот как мы это делаем. Пусть:

a= 6 см

b = ? (см)

Р     = 18 см

S = ? (см2)

Известен периметр, значит и работать будем с формулой периметра.

          6 +b = 9              - простое уравнение                                                     b = 3 см                                9                                  9

        18 = (6+3) · 2

        18 = 18                               6   b    

                                                                                           b                   6

Нашли сторону b, найдем и площадь. Подобные задания развивают логическое мышление и готовят детей к работе с формулами. При изучении темы  «Деление суммы на число» нам также пригодится умение решать уравнения сложной структуры.

(28+х) : 4 = 16

4. Если пойти по прежней схеме, то мы столкнемся с трудностью вычислений. Чтобы умножить двухзначное число нужно будет разложить на разрядные слагаемые.

28 + х = 4 ·16                             28 + х          - целое

                                              4        

              10     6                                16

        28 + х = 64

        х = 64 – 28

А можно сделать другую запись, и сначала найти значение частных.

        28 : 4 + х :4 = 16                            16

7+ (х : 4) = 16

х : 4 = 16 –7                                  7   х :4                           16

х : 4 = 9

х = 9 · 4                                                                   х : 4                7

х = 36

(28 + 36) : 4 =16                   х

                                     4

                                     9

                Надеюсь, я убедила вас, что, используя мою методику решения уравнений по данной аналогии можно справиться с любым уравнением.

Эти умения и навыки позволяют детям легче адаптироваться при переходе в среднее звено.