Государственное бюджетное образовательное учреждение

гимназия № 271 им. П.И. Федулова

Исследовательская работа

«Приемы устных вычислений»

        Автор:

        Кузнецова Майя Алексеевна

        ученица 4-5 класса

        Руководитель:

        Соколова  Татьяна Викторовна

Санкт-Петербург

2016

Содержание

1. Введение ……………………………………………………………………………   3

1. Актуальность исследования………………………………………………………. .. 3
2. Цель и задачи исследования………………………………………………………… 3
3. Гипотеза…………………………………………………………………………… . … 3
4. Методы исследования ……………………………………………………………. ….3

2. Основная часть………………………………………………………………………4

1. Приемы устных вычислений ………………………………………………….....…..4

2.1.1. Способы быстрого сложения чисел …………………………………………..4

2.1.2. Способы быстрого вычитания чисел ………………………………………...5

2.1.3. Способы быстрого умножения чисел ………………………………………...5

2.1. 4. Способы быстрого деления чисел ……………………………………………7

2.2. Интересные  вычисления ……………………………………………………………...7

3. Экспериментальная часть………………………………………………………….8

3.1. Анкетирование…………………………………………………………………………..8

3.2 Обработка результатов………………………………………………………………….9

4. Заключение …………………………………………………………………………..10
5. Памятка по приемам быстрого счета……………………………………………..12
6. Используемая литература………………………………………………………….14

1. Введение

Математика – это наука о числах и фигурах. Математика развивает логическое мышление, умение самостоятельно решать проблемы, способность быстро уловить суть и найти к жизненной задаче наиболее подходящий и простой подход. Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью.

Чтобы уметь быстро выполнять действия с числами надо знать приёмы устного счёта.  Счёт в уме является самым древним и простым способом вычисления.

1.1. Актуальность  темы исследования состоит в том, знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

2.  Цель исследования: познакомится с некоторыми приемами устных вычислений, которые  помогут быстро и правильно  выполнять действия  с многозначными числами;  создать памятку для учащихся начальной школы.

Задачи исследования: 

• Изучить разные приемы устного счета
• Научиться применять их на практике
• Провести анкетирование
• Выполнить анализ  результатов анкетирования
• Создать памятку для учащихся начальной школы

2.  Гипотеза исследования:

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.  

3.  Методы исследования:

• поисковый метод при  работе с источниками информации;
• практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

2. Основная часть

Устный счёт —  математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.).

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики. Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции.

1.  Приемы устных вычислений

1. Способы быстрого сложения чисел

1. Поразрядное сложение чисел

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):

Пример: 18 + 49 + 38 + 97 = (10 + 40 + 30 + 90) + (8 + 9 + 8 + 7) = 170 + 32 = 202

2. Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших.

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:

Пример: 89 + 67= (89 + 60) + 7 =149 + 7 = 156

3.  Сложение путем округления

Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Пример: 2987 + 993 = (3000 + 1000) – (13 + 7) = 4000 – 20 = 3980

4. Сложение с использованием свойства группировки слагаемых

Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

Пример: 18 + 56 + 32 = (18 + 32) + 56 = 50 + 56 = 106

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

Пример: 674 + 89 = 674 + (100 – 11) = 674 + 100 – 11 = 763

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

Пример: 613 + 598 = 600 + 13 + 600 – 2 = 1211

2. Способы быстрого вычитания чисел

1. Поразрядное вычитание

Пример: 689 – 476 = (600 – 400) + (80 – 70) + (9 – 6) = 200 + 10 + 3 = 213

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:

Пример: 849 – 376 = (700 – 300) + (140 – 70) + (9 – 6) = 400 + 70 + 3 =473

2. Вычитание с использованием свойства группировки чисел

Пример:  (957 + 867) – 657 = (957 – 657) + 867 = 300 + 867 = 1167

                1093-(1494-907)=(1093+907)-1494=2000-1494=506.

3. Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

Пример: 67- 48=(67+1) – 48 - 1= (68 – 48) – 1 = 20 – 1 =19;

        453 – 316 =453 – (313+3)=(453 – 313) – 3 = 140 – 3 =137.

4. Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих

Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Пример: 824 – 396 =824 – (400 – 4) = (824 – 400)+4 = 424 + 4 = 428;

        395 – 98 = (400 – 5) – (100 – 2 )= 400 – 100 – 5 + 2=297.

3. 2.1.3. Способы быстрого умножения чисел

1. Умножение на 4, 8  и другие четные числа.

Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:

Пример: 213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.

2. Умножение на 5 и 50.

Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

Пример: 138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:

Пример: 87*50=(87*100):2=4350.

3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:

Пример: 348*25=348*100:4=8700.

4. Умножение на 125.

Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

Пример: 32*125=32:8*1000=4000.

5. Умножение на 15

Чтобы умножить число на 15, нужно число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

Пример: 129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

6. Умножение на 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:

241*11=2410+241=2651.

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:

34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

7. Умножение на 22, 33, …, 99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …,  99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 * 11; 44 = 4 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:  18 * 44 = 18 * 4 * 11 = 72 * 11 = 792;

42. * 22 = 42 * 2 * 11 = 84 * 11 = 924;

       13* 55 = 13 * 5 * 11 = 65 * 11 = 715;

                   24 * 99 = 24 * 9 * 11 = 216 * 11 = 2376.

8. Умножение двузначного числа на 101 и на 10101

Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:

Пример: 57*101=5757  

             57 * 1001 = 57057

               89 * 10101=898989

9. Умножение на 9,  99  и  999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

Пример: 286 * 9=2860 – 286=2574

        23 * 99=2300 – 23=2277

        18 * 999=18000 – 18=17982

10. Умножение двузначных чисел 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 на самих себя.

Определить количество десятков в числе и число, идущее за ним в числовом ряду. Находим их произведение.  К полученному результату  приписываем 25:

Пример: 65 * 65 = 6 * 7 и приписать 25 = 4225

                95 * 95 = 9 * 10 и приписать 25 = 9025

4.  Способы быстрого деления чисел

1. Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

Пример: 720:45=(720:9):5=80:5=16

  9324:36=(9324:3):12=3108:12=259

2. Деление на 5, 50 и 500

Чтобы число разделить на  5; 50 или 500, надо это число умножить на 2,  и затем результат разделить на 10; 100 или 1000 соответственно.

Пример: 21600:50=21600*2 :100=432

   42400:5=42400*2 :10=8480

   214000:500=214000 *2 :1000=428

3. Деление на 25.

Чтобы число разделить на 25, надо это число умножить на 4 и разделить на 100:

Пример: 12100:25=12100 *4 :100=484

4. Деление на 125

 Чтобы число разделить на 125 надо это число умножить на 8 и разделить на 1000:

Пример: 90:125 =9000*8 :1000=72

2.   Интересные вычисления

1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
11111 х 11111 = 123454321
111111 х 111111 = 12345654321
1111111 х 1111111 = 1234567654321
11111111 х 11111111 = 123456787654321
111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111

9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

3. Экспериментальная часть

3.1. Анкетирование

В данной работе было проведено исследование по теме использования приемов устного счета учащимися четвертых классов. Были предложены следующие вопросы.

1. Зачем нужно уметь быстро считать?
2.  При изучении каких предметов тебе  понадобится умение   быстро и правильно считать?    
3. Знаком ли ты с  приемами быстрого счета?
4. Применяешь ли ты эти приемы при выполнении вычислений?  
5. Хотел бы ты узнать больше приемов устного счета?  

3.2. Обработка результатов

Мною было обработано 50 анкет.

Результат проведенного анкетирования показывает, что большинство учащихся считает, что умение быстро считать пригодится в жизни.

Большая часть также считает, что эти умения пригодятся на уроках математике и в старшей школе.  

Учащиеся четвертых классов знают некоторые приёмы быстрого счета и хотели бы узнать их еще больше.

3. Заключение

 В работе я рассмотрела несколько способов быстрого устного счета. Все, рассмотренные мною методы устных быстрых вычислений,  говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к работе с цифрами. В современном мире устный счет можно приравнять к занятиям спортом: дело не в процессе, а в результате. Хотя сам процесс может доставлять удовольствие. Освоить приёмы быстрого счета невозможно без постоянной тренировки.

Устный счет активизирует мыслительную деятельность, развивает память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции.

Умение выделить главное, расчленить проблему на составляющие, наметить очерёдность их решения – всему этому учит устный счет.  Он полезен людям любого возраста.

Для составления памятки я выбрала только те способы, с которыми мы не встречались на уроках математики.

Используя некоторые из этих способов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Процесс выполнения вычислений может быть интересным, а  хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с ЭВМ. 

5. Быстрый устный счет. Памятка

6. Сложение чисел

Сложение путем округления. Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Пример: 2987 + 993 = (3000 + 1000) – (13 + 7) = 4000 – 20 = 3980

7. Вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого:

Пример:  453 – 316 =453 – (313+3)=(453 – 313) – 3 = 140 – 3 =137

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих.  Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Пример:  395 – 98 = (400 – 5) – (100 – 2)= 400 – 100 – 5 + 2=297

8. Умножение чисел

Умножение на 4, 8  и другие четные числа.  Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:

Пример: 213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.

Умножение на 5 и 50.  Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

Пример: 138*5=(138*10):2=1380:2=690.

Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:

Пример: 87*50=(87*100):2=4350.

Умножение на 25. Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:

Пример: 348*25=348*100:4=8700.

Умножение на 125. Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

Пример: 32*125=32:8*1000=4000.

Умножение на 15.  Чтобы умножить число на 15, нужно число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

Пример: 129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число: Пример: 241*11=2410+241=2651.

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:

34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

Умножение на 22, 33, …, 99. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …,  99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 * 11; 44 = 4 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример:  18 * 44 = 18 * 4 * 11 = 72 * 11 = 792;

Умножение двузначного числа на 101 и на 10101. Самое простое правило: «припишите число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:

Пример: 57*101=5757,   57 * 1001 = 57057,     89 * 10101=898989

Умножение на 9,  99  и  999. К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

Пример: 286 * 9=2860 – 286=2574

Умножение двузначных чисел 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 на самих себя. Определяем  количество десятков в числе и число, идущее за ним в числовом ряду. Находим их произведение.  К полученному результату  приписываем 25:

Пример: 65 * 65 = 6 * 7 и приписать 25 = 4225

9. Деление чисел

Последовательное деление. Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление: 

Пример: 720:45=(720:9):5=80:5=16

Деление на 5, 50 и 500 . Чтобы число разделить на  5; 50 или 500, надо это число умножить на 2,  и затем результат разделить на 10; 100 или 1000 соответственно.

Пример:   42400:5=42400*2 :10=8480

Деление на 25.  Чтобы число разделить на 25, надо это число умножить на 4 и разделить на 100:

Пример: 12100:25=12100 *4 :100=484

Деление на 125.  Чтобы число разделить на 125 надо это число умножить на 8 и разделить на 1000:

Пример: 90:125 =9000*8 :1000=72

4. Использованная литература и интернет-ресурсы

1.  «1001 задача для умственного счета в школе С.А. Рачинского» изд. «Белый город» 2014.

 Ссылки  на интернет-ресурсы:

https://ru.wikipedia.org

http://zadacha.uanet.biz/uploads

http://volna.org/algebra/priiemy_bystrogho_schieta.