Обучение младших школьников решению открытых задач.
методическая разработка по математике на тему

ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ

ОТКРЫТЫХ ЗАДАЧ

В статье рассматриваются вопросы обучения  младших школьников решению открытых задач. Представлено описание основных этапов работы  по формированию умения решать открытые задачи  разных типов, приведены примеры таких задач.

Ключевые слова: открытые задачи, вариативность мышления, младший школьник.

Одной из особенностей развития современного мира является постоянное его изменение. Поэтому неслучайно,  в соответствии с  требованиями ФГОС начального общего образования одним из личностных  результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования, является овладение начальными навыками адаптации в динамично изменяющемся и развивающемся мире [1]. На наш взгляд эта адаптация невозможна без умения принимать оптимальные решения в ситуациях выбора.

Существуют разные средства для формирования данного умения, но, по нашему мнению, особое место здесь занимают открытые задачи. Применение таких задач дает возможность знакомить ученика с ситуациями, моделирующими проблемы окружающей действительности. Обучение их решению развивает вариативность мышления, готовит к решению жизненных задач, умению делать выбор. Открытые задачи характеризуются неполным условием, которое учащемуся необходимо осмыслить, трактовать, дополнить самому. Такие задачи могут иметь множество решений, ответов, что является естественным следствием многовариантности формулировки условия и отсутствием известных заранее способов решения. [2]

В начальной школе при обучении математике  можно использовать открытые задачи по уточнению данных. Иначе их называют задачами с недостающими данными. Например:  «В коробке на четыре карандаша больше чем в пенале. Сколько карандашей в пенале?»

        Задания на составление и преобразование примеров, уравнений, последовательностей, задач также можно интерпретировать как открытые: «Составьте пример на сложение с ответом 12», «Составьте уравнение, где неизвестно уменьшаемое».

В учебниках математики для начальной школы представлены открытые задачи, но их явно недостаточно, чтобы систематически включать в обучение младших школьников.  Поэтому учителю начальных классов важно уметь владеть приемом переформулировки обычных задач в открытые. Например, задачу «На решение задачи и уравнений ученик затратил 25 минут. Сколько уравнений он решил, если на решение задачи он затратил 10 минут, а на решение каждого уравнения – по 5 минут?» можно преобразовать следующим образом: «На решение  задачи и уравнений ученик затратил 25 минут. Сколько уравнений  он решит, если на задачу он тратит 10 минут, а на решение каждого уравнения – одинаковое количество времени?»

В процессе  обучения решению открытых задач мы рекомендуем выделить два этапа: подготовительный и основной. Целью подготовительного этапа является обучение анализу условия открытых задач (без их решения). Основной этап предполагает обучение  решению открытых задач, при этом мы предлагаем использовать традиционные приёмы работы над текстовой задачей, поскольку они лежат в основе решения всех видов данных задач.

На начальном этапе знакомства с открытыми задачами следует обратить внимание учащихся на особенности условия некоторых задач, предполагающее наличие различных решений. Например, при анализе условия задачи «В кружке рисования занимаются 8 мальчиков и девочки. На сколько мальчиков больше, чем девочек?» учащиеся могут предположить, что данную задачу нельзя решить, поскольку в условии не дана одна из количественных характеристик: число девочек. Такие затруднения вполне естественны для детей, поэтому нужно обсудить с учащимися возможность дополнения условия задачи недостающим числовым значением. В процессе такого обсуждения  можно задать следующий вопрос: «Каким может быть количество девочек, если мальчиков  8, и их больше, чем девочек?»

Особое внимание, на наш взгляд, следует уделить задачам, в которых речь идёт о пропорциональных величинах. Трудность анализа условия данных задач в том, что учащиеся не сразу могут увидеть реальную связь между величинами. Например, выполняя анализ  условия задачи  «Путь Толи от дома до школы занимает 15 мин, а Коли – 10 мин. Кто из них тратит на дорогу времени меньше? Кто ближе живёт?» значительная часть учащихся не сразу обнаруживает ловушку и отвечает на вопрос, полагая, что большее расстояние требует и больших временных затрат, при этом не учитывая, что скорость может быть различной. [3]

Для предотвращения возникновения трудностей при дальнейшем решении задачи можно задать следующие вопросы: «Кто живёт ближе, если мальчики идут с одинаковой скоростью?», «А если скорость Толи меньше (больше), чем скорость Коли?».

Аналогичная ситуация может возникнуть при решении подобных задач с другими величинами: «Маша купила на 40 р. тетради и на 25 р. ручки. Каких предметов больше она купила?», «Таня и Ира любят читать книги. В книге, которую читает Таня, 120 страниц, а в книге, которую читает Ира, 148 страниц. Кто быстрее прочитает книгу?»

Рассматривая различные способы решения открытых задач, можно выделить несколько групп задач: задачи, решаемые простым перебором; задачи, решаемые перебором с дополнительными условиями; задачи, при решении которых перебор происходит более одного раза.

Обучение решению открытых задач мы рекомендуем начинать с задач, решение которых происходит простым перебором. Определение недостающих данных в подобных задачах  происходит уже в ходе анализа условия. Например:  «На аэродроме 20 самолётов. Сколько троек самолётов поднялось в воздух, если несколько самолётов остались на земле?».

При работе над данной задачей следует обратить внимание учащихся на отсутствие в условии задачи количества самолётов, оставшихся на земле. Можно задать следующие вопросы: «По сколько самолётов поднималось в воздух одновременно?»,  «Какое наибольшее количество троек самолётов могло подняться в воздух?», «Могло взлететь меньше 6 троек самолётов?»

Далее следует рассмотреть все возможные варианты количества троек взлетевших самолётов. Решение этой задачи можно записать в таблицу:

В заключение решения важно обратить внимание учащихся, что задача имеет не один ответ.

Приведем примеры других задач, решения которых происходит с помощью последовательного перебора вариантов: «Для уроков труда купили 3 набора цветной бумаги, по 12 листов в каждом, и ещё один такой же набор, но бракованный (в нём было меньше 10 листов). Сколько всего листов бумаги купили?»,  «В столовой за 2 дня израсходовали 9 кг крупы. Сколько кг крупы расходовали в первый и во второй день в отдельности?», «У Пети есть 16 планок для изготовления рамок для фото. Какие рамки он может сделать? Сколько рамок останется?», «На каждом этаже дома по три квартиры. Номер одной из квартир на пятом этаже – 127. Назови номера соседних квартир»,  «От дома до работы мама едет 20 мин на автобусе и ещё от 7 до 10 мин она идёт пешком. Сколько времени у неё уходит на дорогу от дома до работы и обратно?»

Рассматривая открытые задачи, где  условие накладывает определённые ограничения на выбор недостающих данных, важно учитывать, что отбор этих значений происходит и на этапе анализа условия, и на этапе поиска решения задачи. Например: «В пекарне за несколько дней израсходовали 48 кг муки. За сколько дней израсходовали всю эту муку, если каждый день тратили одинаковое количество?»

При анализе условия этой задачи следует обратить внимание учащихся, что в условии имеется недостающее числовое значение – количество муки, расходуемой каждый день. Важно заметить, что это количество муки было одинаковым. В процессе поиска решения необходимо обосновать выбор конкретных недостающих данных – делителей числа 48.

Приведем примеры других задач, решения которых требуют учета дополнительных условий при переборе вариантов: «Оли 15 рублей. На эти деньги она может купить 1 альбом и 4 одинаковых карандаша. Сколько стоит 1 карандаш и 1 альбом?», «Мама собрала несколько одинаковых корзин смородины. Из 14 кг она сварила варенье, а 10 кг осталось. Корзины какой вместительности были у мамы?», «Нужно вывезти из леса 35 брёвен. Трактор за один раз вывозит не больше 9 брёвен (но всегда равное количество). Сколько раз трактору нужно съездить в лес?», «Грузовая машина до остановки израсходовала 48 л горючего, а после остановки 32 л. Сколько часов была в пути машина, если за 1 час расходовалось не меньше 8 л, но не больше 16 л горючего?»

Более сложного анализа условия требуют задачи, при решении которых перебор происходит не один раз. Рассмотрим пример организации работы над такой задачей:  «В нескольких одинаковых тетрадях 54 листа. Сколько таких тетрадей получится из 90 листов, если в каждой тетради не менее 6 листов?».

В данной задаче сначала накладывается условие на выбор недостающего данного: число тетрадей должно быть кратно 54, затем два условия накладывают ограничения на получаемые результаты – число листов в тетради должно быть больше 6 и кратно 90.  

Мы полагаем, что в процессе анализа условия задачи на эти ограничения следует рассматривать  последовательно. Например, сначала выяснить, что недостающим данным здесь является  количество тетрадей и начать, по сути дела, поиск решения, выясняя, что это число (или числа) должно быть делителем числа 54. Далее,  возвращаясь к условию, проводим второй этап отбора полученных вариантов: число листов должно быть не менее 6 (остаются числа 6, 9,18, 27, 54). Наконец, еще одно требование: число должно делиться на 90, и в итоге получаем – 6, 9, 18  листов в тетради.

Приведем примеры других задач, в процессе решении которых происходит  нескольких  последовательных переборов вариантов: «Брат собрал 18 стаканов клюквы, а сестра меньше брата. Чтобы сварить компот, бабушка брала на каждые 2 стакана ягод 1 стакан сахара. Сколько ягод могла собрать сестра, если бабушка израсходовала не меньше 12 стаканов сахара на все ягоды и при этом все ягоды были использованы?»

Проведенная нами апробация рассматриваемых способов работы по обучению младших школьников решению открытых задач позволила сделать вывод о том, что открытые задачи благоприятно влияют на развитие вариативности мышления учащихся. Кроме того, получено еще одно подтверждение, что данные задачи содействуют развитию интереса учащихся начальных классов к математике, повышению их активности на уроке.

Библиографические ссылки

1. Федеральный государственный образовательный  стандарт   начального общего образования. Электронный доступ: http://mon.gov.ru/dok/fgos/7195/

2. Гин С.И. Мир фантазии/ Методическое пособие для учителей начальных классов. Часть 1 и 2. Версия 2.0. - Гомель: изд-во ТРИЗ - ШАНС, 1995

3. Селькина Л. В., Худякова М. А.  Открытые задачи как компонент содержания начального математического образования. // Начальная школа. 2009, №9, с.53-55.