Развитие вычислительных навыков
статья по математике (1 класс) на тему

МОУ «Вейделевская

средняя общеобразовательная школа Вейделевского района Белгородской области».

Доклад на тему

  «Развитие вычислительных навыков».

Подготовила:          учитель начальных

классов Дугина В.М.

Вейделевка

Задача формирования вычислительных навыков является центральной в курсе математики начальных классов. Но было бы ошибкой решать эту задачу только путем зазубривания таблиц сложения и умножения и использования их при выполнении однообразных тренировочных упражнений. Безусловно, количество выполняемых тренировочных упражнений (или, как принято называть их в практике, примеров) играет немаловажную роль в формировании вычислительных навыков. Но не менее важной задачей советской школы является развитие у учащихся в процессе обучения познавательной самостоятельности, творческой активности, потребности в знаниях.

Возникает вопрос: можно ли решить одновременно, в тесной взаимосвязи такие задачи, как формирование прочных вычислительных навыков и развитие познавательных способностей школьника?

Ответ может быть только положительным, несмотря на то, что данные задачи противоположны по своему смыслу и специфика их решения различна. Действительно, нужно ли рассуждать, анализировать, наблюдать при вычислении результатов? Конечно, нет. Нужно или помнить табличные случаи сложения, умножения, деления, или пользоваться таблицей или каким-либо вычислительным устройством. Но ответить таким образом — значит неправомерно сузить задачи курса начальной математики. Кроме того, речь идет о самом процессе формирования вычислительных навыков, поэтому далеко не безразлично, какую методику следует использовать для достижения поставленной цели. Присутствие в вычислительных упражнениях элемента занимательности, догадки, сообразительности, умение подметить закономерности, выявить сходство и различие в решаемых примерах, установить доступные зависимости и взаимосвязи — вот те основные особенности методики формирования вычислительных навыков, реализация которых позволит решить в практике обучения и задачу формирования прочных вычислительных навыков, и задачу развития познавательных способностей учащихся.

Для организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся в начальной школе обычно используют метод наблюдений. В процессе наблюдения ученики анализируют, сравнивают, делают вывод. Полученные таким образом знания являются, более осознанными и тем самым лучше усваиваются. Процесс наблюдения и анализа рассматриваемых объектов, ведущий к обобщению, неразрывно связан с рассуждением, выявлением причинно-следственных связей, с обоснованием тех выводов, к которым приходит ученик в процессе выполнения предлагаемых ему заданий. Умение рассуждать (как говорят учителя, "думать”) формируется, безусловно, и в тех случаях, когда учащиеся воспроизводят знакомую им схему рассуждений, действуют по аналогии. Иллюстрацией такого рассуждения может служить обоснование полученного результата при решении примеров на вычисления.

Например, предлагая решить пример: 6+2, учитель часто сопровождает его вопросом: "Как будешь рассуждать, чтобы найти результат?” (Можно к шести сначала прибавить 1, получим следующее число 7, затем еще прибавить 1, получим 8.) Но в основе приведенного рассуждения лежит образец, который учащиеся десятки раз повторяли на уроках. Аналогичная ситуация возникает при выполнении вычислительных операций в пределах сотни. Предлагая классу пример: 30+26, учитель также сопровождает его вопросом: "Как будешь рассуждать?” (26 представим в виде суммы разрядных слагаемых 20+6, десятки удобнее сложить с десятками, 30+20=50, 50+6=56.) Ученик может обосновать решение данного примера и на более высоком уровне, сославшись на правило прибавления суммы к числу. Но и в этом случае он руководствуется заранее усвоенной схемой рассуждения.

В большинстве случаев именно с таким видом рассуждений мы сталкиваемся на уроках математики в I классе. Он, безусловно, нужен, но такая направленность формирования умения рассуждать недостаточна, потому что подлинное рассуждение связано прежде всего с самостоятельностью мысли ученика, с его самостоятельной деятельностью, в основе которой лежит установление взаимосвязи тех знаний, которыми он располагает.

Для того чтобы дети умели последовательно излагать свои мысли, переходя от одного суждения к другому, с первых шагов обучения следует учить их рассуждать. Как это сделать в I классе, когда дети располагают небольшим запасом математических знаний и делают только первые шаги на пути к познанию?

Многие учителя склонны считать, что единственный путь научить детей рассуждать — это показ образца того или иного рассуждения, которое дети повторяют из урока в урок и в конечном итоге овладевают им. Рассуждения в таком случае просто заучиваются детьми и часто носят формальный характер. Воспользуемся для иллюстрации сказанного таким примером.

В I классе ученикам предлагается решить примеры и сравнить их: 2+1, 2+2. Методика работы с заданием следующая.

Учитель показывает образец выполнения задания или ставит перед учениками ряд вопросов, обращая их внимание на то, что в одном и другом примере стоит знак плюс и первые слагаемые одинаковы. Этим примеры схожи. Затем выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, во втором 4. Отмечается, что во втором примере прибавляем больше (2>1), поэтому и получаем больше.

Усвоив схему сравнения, предложенную учителем, дети используют ее при выполнении аналогичных заданий. В таких случаях, выполняя задания, ученики наблюдают, выявляют различия и сходства, но их деятельность определяется схемой, и самостоятельность наблюдений, таким образом, в этом случае относительно мала.

Более того, проведенный учеником анализ носит формальный характер, вскрывая лишь внешнее сходство и различие записанных равенств:

2+1=3

2+2=4

Тем не менее на определенном этапе и такая работа оказывается полезной как в плане развития математической наблюдательности, так и в плане развития вычислительных навыков. Сопоставляя предлагаемые два равенства, ученики непроизвольно запоминают их. Но для того чтобы учащиеся глубоко осознали внутренние взаимосвязи, существующие между суммой и слагаемми, целесообразно предложить им такие задания, при выполнении которых они учились бы наблюдать, подмечать изменения, устанавливать их причину и делать соответствующие выводы. Благодатным материалом для этой цели служит знакомство с весами и единицами массы. Приведем примеры ситуаций, которые учитель может использовать для этой цели.

1. Учитель кладет на одну чашку весов какой-либо предмет, а на другую чашку весов — гирю, например, в 5 кг. Стрелки весов находятся на одном уровне. Затем на одну чашку весов ставится гиря в 1 кг, а на другую — в 2 кг. Ученики наблюдают, что положение стрелок изменилось, и пытаются установить причину. Сама постановка задания — ответить на вопрос, почему изменилось положение стрелок, — требует от учеников установления цепочки умозаключений. Ученики рассуждают: стрелки весов в первом случае находились в равновесии, значит, масса предмета на левой чашке весов равна массе гири на правой чашке. Полезно зафиксировать сказанное в записи: 5 = 5. Затем на левую чашку добавили гирю в 1 кг, а на правую —в 2 кг: 5+1...5 + 2. Положение стрелок изменилось. Масса на правой чашке стала больше, чем на левой: 5+1<5+2. Что же явилось причиной изменения? Причина может быть только в том, что масса гири, которую поставили на правую чашку, больше массы гири, которую поставили на левую чашку: 1<2.

2. На левой чашке весов предмет. На правой — гиря в 5 кг.

На одну и другую чашку ставится гиря в 2 кг. Ход рассуждений

ученика фиксируется в соответствующей записи: 5 = 5, 5+2 —

==5+2, 2 = 2. Полезно также сравнить первую и вторую ситуации.

3. На одной чашке весов гиря в 3 кг, а на другой — в 2 кг. Затем на каждую чашку весов добавляются гири по 5 кг. Ход рассуждений фиксируется в записи: 3>2, 3+5>2+5, 5 = 5.

Приведенные задания позволяют организовать наблюдения учеников, в процессе которых они самостоятельно приходят к выводам. При этом важно, чтобы результаты своих наблюдений ученики фиксировали с помощью математической записи, только в этом случае проделанная работа будет служить подготовительным этапом для сознательного сравнения учениками математических выражений.

Переходя к сравнению непосредственно математических выражений, учитель должен помнить, что задача, которая ставится перед учениками в процессе их наблюдений, должна видоизменяться. Только в этом случае их мысль будет активно работать. Не следует ограничиваться лишь сравнением однотипных выражений (например, сумм, в которых первые слагаемые одинаковы, а вторые различны), так как это будет снижать степень самостоятельности учеников в процессе наблюдений. Следует подбирать такие выражения, в которых ученики смогут усмотреть разные признаки различия и сходства, например:

1. На доске записаны примеры: 5+3, 4+3, 8—3, 6+3, 7—3, 9—3. Учитель предлагает указать сходство или различие записанных выражений. Ученики обычно указывают такой признак сходства, как знак действия, затем обращают внимание на то, что в первой группе прибавляется число 3, а во второй вычитается число 3. Отмечают различия между примерами первой и второй группы: знаком действия и тем числом, которое в первом случае увеличивается, а во втором уменьшается.

2. Первое задание несколько усложняется, если его предложить в таком виде:

Чем похожи между собой данные пары примеров?

При сравнении пар примеров ученики могут выделить не только явные признаки сходства — знак арифметического действия, прибавить и вычесть 3, но и неявные — в каждом столбике вычитаем из того числа, которое является результатом первого примера.

Полезно предлагать задания и в более общем виде: 1 + 1, 2+1, 3+1, 4+1, 6+1, 7+1. Что вы замечаете в данных примерах?

Ученики должны обратить внимание не только на тот факт, что во всех примерах знак "плюс” и второе слагаемое везде равно 1, но и на то, что последовательность 1, 2, 3, 4... нарушена, так как пропущен пример 5+1.

Подобные задания способствуют развитию математической наблюдательности учеников, умению видеть сходства и различия, выявлять определенные закономерности. В процессе выполнения таких заданий уясняется смысл понятия "сравнить”.

На следующем этапе необходимо подвести учеников к осознанию того, что с помощью данной операции (сравнения) они могут решать те или иные задачи. Это особенно важный шаг, так как только в этом случае можно использовать прием сравнения как. определенный метод познания.

Выше было приведено задание, которое имеет место в практике обучения в I классе (решите примеры и сравните их: 2+1, 2+2), и описана методика работы с этим заданием. Это же задание часто предлагается с несколько измененной инструкцией: "Сравните примеры и решите их: '2+1, 2+2”. Ученики указывают сходство (знак "плюс”) и различие двух выражений (прибавляем 1, прибавляем 2), а затем находят результаты и сравнивают их.

Если проанализировать логику самого задания и подход к его выполнению, то они не соответствуют друг другу. Ведь от ученика требовалось сначала провести сравнение, а затем использовать его результаты для решения примеров, т. е. ответ ученика должен был быть таким: "Первые слагаемые одинаковые, а во втором случае 2>1 на 1, значит, и ответ будет на 1 больше. 2+1=3, значит, 2 + 2 = 4”.

Использование операции сравнения для установления определенных связей и зависимостей — это достаточно высокая ступень познания младшего школьника, но учитель должен вести работу и в этом направлении, чтобы дать возможность включаться в активную деятельность всем ученикам класса, как слабым, так и сильным.

Другими словами, ученик должен осознать практическую значимость сравнения, т. е. сравнение должно быть выполнено не ра-

ди самого сравнения, а явиться средством решения той или иной задачи.

С целью проведения работы в данном направлении учитель может использовать задания:

1. 6+1=7. Сколько нужно прибавить к шести, чтобы получить не 7, а 8?

Ученик рассуждает: 8>7 на 1. Чтобы получить число на 1 больше семи, нужно прибавить на 1 больше, т. е. 2. Но ученик вправе дать ответ и сразу, на основе усвоенной таблицы, т. е. 6+2 = 8. В этом случае учитель обращает его внимание на сравнение данных примеров, при котором учащиеся указывают на сходства и различия и выясняют, почему получена сумма на одну единицу больше, нежели предыдущая.

2. 5+2 =

5+3= Сравните эти примеры и вычислите результат. Задача учителя — довести до сознания учащихся взаимосвязь первой и второй частей инструкции, т. е. использовать проведенное детьми сравнение для вычисления результата второго примера (3>2 на 1, значит, сумма во втором примере должна быть на 1 больше).

3. 6+2 = 8. Сколько нужно прибавить к шести, чтобы получить не 8, а 9? Задание, предложенное в таком виде, вызывает необходимость обосновать свои действия. Ученик не может уже ограничиться ответом; 6+3 = 9, так как в этом случае не использует условие, данное в задании. При обосновании ответа он вынужден прибегнуть к сравнению, т. е., прибавив к шести 2, мы получили 8, значит, чтобы получить число 9, которое на 1 больше восьми, мы должны прибавить к шести число, которое на 1 больше, т. е. 3.

4. 5+3, 5+4. Могут ли в данных примерах получиться одинаковые ответы? При любом ответе ученик вынужден прибегнуть к сравнению данных примеров. Причем он делает это самостоятельно, без наводящих вопросов учителя.

5. 4+3 = 7, 4+...=6. Можно ли вместо точек поставить число 3, чтобы вторая запись была верной?

Выполнение задания опять связано с необходимостью сравнить данные примеры и на основе этого прийти к определенному выводу.

6. 5+2 = 7 2+... = 7

Какое число можно поставить вместо точек, чтобы второе равенство было верным? Почему?

7. 5+1=6, 3+4 = 7, 5+3 = 8, 9+1 = 10, 7+2=9. Посмотрите внимательно на решенные примеры. Какой из них поможет найти верный результат в примере 3 + 5?

8. 5+4 5+3

3+5 7+0

4+5 9+1

6+1 0+7

Укажите примеры, в которых суммы одинаковы.

Для выполнения этого задания ученик должен использовать операцию сравнения. Ход его рассуждений может быть следующим: он выделяет примеры, в которых слагаемые одинаковые, на переставлены, и, сославшись на переместительное свойство сложения, делает соответствующий вывод. Но может ограничиться и вычислением результатов и на основе их сравнения сделать вывод.

Отличительная особенность вышеприведенных заданий та, что ни в одном из них нет прямого указания на то, что примеры нужно сравнить, найти в них сходство или различие, тем не менее использование данной операции является неотъемлемой частью выполнения задания, что, несомненно, повышает степень самостоятельной деятельности учащихся. Надо сказать, что использование таких заданий в процессе обучения математике решает не только задачу развития познавательных способностей, но и способствует формированию вычислительных навыков. Это связано с тем, что данные задания могут быть выполнены на различных уровнях — либо на основе проведения вычислений, либо на основе использования того или иного свойства или правила. Задача учителя — довести До сознания детей взаимосвязь этих двух подходов. Так, если учащиеся выполнили задание, сославшись на то или иное правило или свойство, то они подтверждают свой вывод проведением вычислительных операций (используя при этом приемы отсчитывания и присчитывания или знание таблицы сложения). Если же учащиеся выполнили задание на основе вычисления результатов, то учитель обращает их внимание на сходство и различие математических выражений, тем самым подводя их к пониманию того, что задание могло быть выполнено и на основе использования того или иного правила или свойства.

Постепенно учитель усложняет задания, используя операцию сравнения для установления определенной закономерности. Например:

1. 10, 12, 14, 16, 18 ........ По какому правилу записан данный ряд чисел? Продолжите данный ряд.

2. 17, 21, 13, 25. Перепишите числа в порядке возрастания. Вставьте недостающие числа так, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего.

3. 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Какие числа нужно зачеркнуть в записанном ряду, чтобы каждое следующее число было на 2 единицы больше предыдущего?

4. 13+2=15, 13+4=17, 13+8=21, 13+10=23. Как изменяется сумма? Вставьте недостающий пример так, чтобы сумма увеличивалась бы каждый раз на две единицы.

Многие учителя считают, что выполнение таких заданий занимает много времени, и тем самым наносит ущерб той тренировочной работе, которая осуществляется с целью формирования вычислительных навыков. С этим трудно согласиться. Задача формирования вычислительных навыков не должна решаться только на основе тренировки в решении однообразных примеров. Учащиеся должны выполнять вычислительные операции с определенной целью, которая поставлена заданием или вопросом. Только в этом случае можно научить ученика рассуждать, т. е. последовательно переходить от одного суждения к другому и в конечном итоге давать обоснованный ответ.

Так, вместо решения примеров: 5+2, 2+1, 5+3 и т. д. — учитель может предложить задание: "Миша и бабушка пошли на рынок. Они должны купить 3 кг картофеля, 2 кг моркови, 1 кг свеклы и 3 кг помидоров. Какие овощи может нести Миша, если ему разрешено поднимать груз не более 6 кг?” При выполнении задания учащиеся производят вычислительные операции, но полученные результаты они должны соотносить с условием задания. Именно это соотнесение и явится основой их рассуждений.

Вместо того чтобы записывать примеры на состав числа 7, учитель может воспользоваться таким заданием: "Коля и Вова поделили между собой 7 яблок. Коля сказал, что у него столько же яблок, сколько у Вовы. Верно ли сказал Коля?” Выполняя подобные задания, ученик не может ограничиться только решением примеров, так как вопрос, предложенный в задании, заставляет его прежде всего разобраться в ситуации, проанализировать данные и соотнести результаты вычислений с поставленным вопросом, ответ на который заставит провести его то или иное рассуждение.

Особо следует остановиться на заданиях, которые совсем не нашли отражения при изучении математики в I классе, хотя они в большей степени развивают способность к рассуждению и не менее способствуют формированию вычислительных навыков. Рассмотрим задание: 15+П = 15*П. Вставьте пропущенные числа и знаки, чтобы полученная запись была верной.

Особенность выполнения этого задания заключается в том, что рассуждения ученика строятся в зависимости от того, какой шаг он сделает первым. При этом возможны самые различные варианты. Например, если ученик поставит сначала знак "плюс” справа, то он будет иметь: 15+¨ = 15+¨ . Отсюда, чтобы суммы были равны, можно поставить слева и справа только одинаковые числа (любые). Учащиеся приводят примеры. Но можно сначала поставить справа и знак "минус”. Тогда выражения, стоящие слева и справа, будут равны только в одном случае, если пропущенное число 0: 15+0=15—0. Наконец, ученик может начать с того, что вставит любое пропущенное число, например: 15+¨ = 15*35. Это определит другой ход рассуждений: справа можно поставить только знак "плюс”, так как из меньшего числа нельзя вычесть большее, отсюда слева можно поставить только число 35, чтобы суммы были равны. Может быть и такой вариант: ученик сначала поставит пропущенное справа число, например 10, получит: 15+¨ = 15*10. В принципе он может поставить справа знак "минус”, но дальнейший анализ убедит его в том, что это невозможно, так как если из 15 вычесть 10, то он получит число меньше 15, а справа он может получить число, которое или больше, или равно 15. Варианты первого шага могут быть самыми различными, учитель предоставляет детям самостоятельно начать выполнение задания, а затем помогает им правильно сориентироваться в условии. В случае необходимости первый шаг может сделать учитель.

Подобные задания учитель может составить сам. Надо только иметь в виду, что математическая запись должна содержать более одного неизвестного, одно из которых учащиеся должны ввести сами.

Такие задания вызывают обычно большую активность учащихся. Правда, сначала они нередко делают первый шаг, не осознавая, к чему он приведет, но в процессе выполнения таких заданий они начинают понимать, что от первого шага зависит ход дальнейших рассуждений, и стремятся предвосхищать свои действия. Эти задания целесообразно использовать в конце учебного года для углубленного повторения ранее пройденного материала уже в I классе. Во II и III классах аналогичные задания можно предлагать с трехзначными и многозначными числами. Задания позволяют учитывать уровень развития учащихся и организовывать дифференцированную работу в классе, так как при выполнении одного задания на различных его этапах в работу могут быть включены несколько учащихся.

Полезны задания и такого вида:

1. Сравни числа, записанные в первом и во втором столбиках. Сумма чисел в первом столбике равна 30. Как быстрее можно найти сумму чисел, записанных во втором столбике?

Учащиеся замечают, что во втором столбике каждое из данных чисел на 10 больше соответствующего числа первого столбика. Таких чисел четыре, значит, сумма будет больше на 10*4. Она равна: 30 + 40 = 70.

2. Более сложное задание того же характера:

Сумма чисел в первом столбике равна 74. Как быстрее можно найти сумму во втором и третьем столбиках?

Сумму чисел во втором столбике учащиеся могут найти, обратив внимание на то, что каждое число второго ряда на единицу меньше соответствующего числа в первом ряду, значит, сумма меньше на 1*4, т. е. на 4 единицы. Но учащиеся могут подойти к выполнению задания и по-другому. Числа 17, 18 и 19 повторяются как в первом, так и во втором столбике, а четвертое из чисел в каждом столбике различно, при этом 16 меньше 20 на 4 единицы, значит, сумма чисел второго столбика равна 70. Сумму чисел третьего столбика учащиеся могут найти, сравнив его числа с числами либо первого, либо второго столбика. Каждое число третьего столбика на 3 единицы меньше соответствующего числа второго столбика, таких чисел четыре, значит, сумма чисел в третьем столбике на 3*4 единиц меньше, чем сумма чисел второго столбика.

Аналогично учащиеся рассуждают, сравнивая числа третьего столбика с числами первого. Выполнение задания различными способами — один из приемов развития навыков самоконтроля, поэтому учитель должен не только побуждать учащихся на поиски другого способа выполнения задания, но и разъяснять, что, выполняя задание другим способом, они тем самым проверяют полученный результат. Наконец, учитель может предложить найти сумму чисел каждого столбика, последовательно прибавляя одно число к другому, и тем самым повторить приемы сложения двузначных чисел.

Концентрическое расположение материала в курсе математики начальных классов позволяет использовать приведенные выше задания в любом концентре и тем самым вести работу как по формированию вычислительных навыков, так и по развитию учащихся.