Развитие вычислительных навыков учащихся начальной школы на уроках математики и пропедевтика изучения курса алгебры на примере применения методов быстрых вычислений

ВЫПОЛНИЛА

 Филатова Ольга Викторовна

Учитель высшей категории

Отличник народного просвещения

Москва

2014

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..   стр. 3

Основная часть ……………………………………………………………………   стр. 5

Заключение ………………………………………………………………………….. стр. 25

Список литературы……………………………………………………………….  стр.26

ВВЕДЕНИЕ

Больше 30 лет я работаю учителем начальной школы, мои идеи – итог плодотворной работы педагога-новатора, педагога- практика.

Одной из важнейших задач курса математики в начальной школе является формирование у учащихся вычислительных навыков, т.к. вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

А что такое вычислительный навык?

Вычислительный навык- это высокая степень овладения вычислительными приемами. Полноценный вычислительный навык  характеризуется правиль-ностью, осознанностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

Правильность -  правильный выбор операций над числами, правильный результат арифметического действия.

Осознанность – правильный выбор операций на основе знаний и навык объяснения решения каждого задания.

Рациональность – выбор возможных операций, различных приемов нахожде-ния результата  (т.е. рациональных приемов).

Обобщенность – способ перенести прием вычисления на новые случаи.

Автоматизм – быстрое выполнение  операций в свернутом виде, высокая

степень автоматизации:  сложение и вычитание  в пределах 10, 20, табличное

умножение и деление.

Прочность-  сохранение сформированных вычислительных навыков на длительное время.

Этому вопросу уделяется большое внимание во всех имеющихся учебниках математики начальной школы.

Однако, в полной мере,  эту проблему не всегда удается решить по следующим причинам:

-в традиционном курсе математики обилие однотипных задач и примеров вызывает скуку и падение познавательного интереса;

-в некоторых учебниках развивающего типа, в которых имеется много интересных  интеллектуальных заданий, вычислительным навыкам отводится недостаточно внимания.

-необходима пропедевтика курса алгебры в начальной школе;  прежде, чем работать с буквами,

 учащиеся должны хорошо научиться работать с числами; т.е. необходимо добиться глубокого понимания основных законов сложения и умножения: переместительного, сочетательного, распределительного.

При этом следует отметить, что решение даже большого количества примеров,  вычисления больших арифметических выражений не дают в полной мере достаточного эффекта в этом вопросе.

Данная статья- попытка представить один из возможных способов решения указанных выше задач: развитие вычислительных навыков учащихся начальной школы с помощью усвоения ими методов быстрых вычислений. Педагогическая практика показывает,   что методы быстрых вычислений – это как раз та тема, которая вызывает у учащихся повышенный интерес и способствует повышению их мотивации к обучению математики.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

В статье собраны воедино методы быстрых вычислений. Данный материал был успешно апробирован при работе в 4-м классе, он представлен в следующем виде:  есть основы теории, решаются типовые задачи на рассматриваемый метод быстрого вычисления, предлагаются задачи для самостоятельного решения, приводятся задачи для домашних заданий по данной теме, математические фокусы.

Все задачи разбиты на четыре категории трудности:

А - очень легкие

Б - легкие

В - средней трудности

Г - трудные

Быстрое сложение

Метод корневых сумм. Надо быстро выполнить сложение: 30+31+31+32+33, а калькулятора под рукой нет и бумаги с ручкой тоже. Как быть?

Попробуем представить сумму так:

30+31+31+32+33 = (30+0)+(30+1)+(30+1)+(30+2)+(30+3) =

= (30+30+30+30+30)+(0+1+1+2+3) = 30×5+7 = 150+7 = 157.

Ответ получен!

Такой метод быстрого сложения называется методом корневых сумм. Суть этого метода в следующем. Если все слагаемые близки к какому-то круглому числу (в нашем случае к 30), то каждое слагаемое представляем в виде суммы корня и дополнения. Например: 31 = 30+1. Здесь 30 – это корень, а 1 – дополнение.

Потом отдельно складываем все корни и отдельно все дополнения.

 А потом сложить две полученные суммы. Получается легко и быстро!

Решить самостоятельно:

А 1. Вычислить: 41+42+40+43+42.

Б 1. Вычислить: 60+67+61+61+61+60.

В 1. Вычислить: 121+120+122+124+122.

Задача 1. Выполнить сложение: 31+29+33+30.

Решение. Здесь тоже «работает» метод корневых сумм:

31+29+33+30 = (30+1)+(30–1)+(30+3)+(30+0) =

= (30+30+30+30)+(1–1+3+0) = 30×4+3 = 120+3 = 123.

Отличие от предыдущего примера только в том, что одно из слагаемых представили в виде разности: 29=30-1. А в остальном – все точно так же.

Решить самостоятельно:

А 2. Сложить числа методом корневых сумм: 37+42+44+41.

Б 2. Сложить числа методом корневых сумм: 56+59+60+65+62.

Задача 2. Выполнить сложение: 31+29+30+28+27.

Решение. Будет опять действовать метод корневых сумм, корень, как и в предыдущих примерах, равен 30.

31+29+30+28+27 = (30+1)+(30–1)+(30+0)+(30–2)+(30–3) =  

= (30+30+30+30+30) +1–1+0–2–3 = 30×5–5 = 150–5 = 145.

Здесь сумма (145) получилась меньше, чем сумма всех корневых слагаемых (150), а принцип – тот же самый.

Решить самостоятельно:

А 3. Вычислить методом корневых сумм: 47+46+51+54.

Б 3. Вычислить методом корневых сумм: 98+95+103+102+100.

Метод дополнения одного из слагаемых до круглого числа.

Рассмотреть  пример: 799+195. Можно, конечно выполнить сложение «столбиком» или «лесенкой», но это долго. Хотелось бы быстрее. Что делать?

    799 очень близко к «круглому» числу 800: 799 = 800 – 1. Теперь надо записать  пример в следующем виде: 799+195 = (800–1)+195 = (800+195) – 1.

     Выражение в скобках вычислить очень легко: 800 + 195 = = 995, осталось вычесть единицу:  895 – 1 = 894.

    Ответ получен: 894.

А можно   дополнить до «круглого» числа второе слагаемое 195:  195 = = 200–5. Тогда: 799 + 195 = 799 + (200–5) = (799+200)–5 =   = 999 – 5 = 994.

В  примере оба слагаемых были близки к «круглым» числам, но так бывает не всегда.

Решить самостоятельно:

А 4. Вычислить сумму дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 99+68; б) 268+79; в) 899+95.

Б 4. Вычислить сумму дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 354+298; б) 337+199; в) 444+297.

В 2. Вычислить сумму дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 2997+337; б) 8998+2222; в) 7995+3999.

Быстрое вычитание

Надо быстро вычислить «в уме»: 759–397. Как быть?

Самое разумное дополнить до «круглого» числа вычитаемое, т.е. 397. То есть представить число 397 в виде: 397 = 400–3. Теперь вычесть из 759 «круглое» число 400, а потом к результату прибавить 3. 759–400 = 359; 359+3 = 362.

Можно действовать и так: прибавить к каждому из чисел по тройке, а потом произвести вычитание, 759–397 = (759+3)–(397+3) = 762–400 = 362.

В этом примере различие в последовательности действий.

Решить самостоятельно:

А 5. Выполнить быстрое вычитание: а) 354 – 99;  б) 227 – 98; в) 995 – 97.

Б 5. Выполнить быстрое вычитание: а) 281 – 198;  б) 885 – 299; в) 796 – 699.

В 3. Выполнить быстрое вычитание: а) 2884 – 796; б) 1354 – 297; в) 9877 – 199.

Быстрое умножение

Быстрое умножение на 5. Пусть  имеется некоторое натуральное число a, и надо  быстро умножить его на 5. 10 = 5×2, поэтому a×10 = a×5×2. То есть умножить на 10 – все равно, что сначала умножить на 5, а потом умножить на 2.  Значит, если  сначала умножить число на 10, а потом разделить на 2, то получится

a×5×2:2 = a×5.

 Правило быстрого умножения на 5: сначала умножаем число на 10, а потом делим на 2.

Задача 3. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 47×5; б) 121×5; в) 881×5.

Решение.

а) Сначала надо умножить 47 на 10: 47×10 = 470. Теперь разделить 470 на 2:

470:2 = (400+70):2 = 400:2+70:2 = 200+35 =2 35.

б) Умножить 121 на 10: 121×10 = 1210; делим 1210 на 2:

1210:2 = (1200+10):2 = 1200:2+10:2 = 600+5 = 605.

в) Умножить 881 на 10: 881×10 = 8810; делим 8810 на 2:

8810:2 = (8800+10):2 = 8800:2 + 10:2 = 4400+5 = 4405.

Решить самостоятельно:

А 6. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 21×5; б) 33×5; в) 77×5.

Б 6. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 221×5; б) 443×5; в) 661×5.

В 4. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 331×5; б) 771×5; в) 991×5.

 Быстрое умножение на 5 можно делать по-другому: сначала разделить на 2, а потом умножить на 10, потому что для любого числа а справедливо:

.

 Этот способ «работает» только для четных чисел, т.е. для чисел, которые оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8,  только такие числа делятся на 2 без остатка.

Задача 4. Выполнить быстрое умножение на 5 следующих четных чисел: а) 66×5; б) 8844×5; в) 168×5.

Решение.

а) 66:2 = 33;  33×10 = 330.

б) 8844:2 = 4422;  4422×10 = 44220.

в) 168:2 = 84;   84×10 = 840.

Решить самостоятельно:

А 7. Выполнить быстрое умножение на 5 следующих четных чисел: а) 22×5; б) 44×5; в) 84×5.

Б 7. Выполнить быстрое умножение на 5 следующих четных чисел: а) 248×5; б) 686×5; в) 8882×5.

В 5. Выполнить быстрое умножение на 5 следующих четных чисел: а) 364×5; б) 332×5; в) 1192×5.

Быстрое умножение на 25.   100 = 25×4, поэтому для любого числа а справедливо: . То есть умножить на 100 – все равно, что сначала умножить на 25, а потом умножить на 4.

Если  сначала умножить число на 100, а потом разделить на 4, то получится вот что:. Значит .

Отсюда следует правило:  чтобы  умножить  число  на 25, достаточно умножить его на 100, а потом разделить на 4.

Задача 5.  Выполнить быстрое умножение: а) 101×25; б) 34×25; в) 222×25.

Решение.

а) 101×100 = 10100; 10100:4 = (10000+100):4 = 10000:4 + +100:4 = 2500 + 25 = 2525;

б) 34×100 = 3400; 3400:4 = (3200+200):4 = 3200:4 + 200:4 = =800 + 50 = 850;

в) 222×100 = 22200; 22200:4 = (20000 + 2000 + 200): 4 = 20 000:4 + 2000:4 + 200:4 = 5000 + 500 + 50 = 5550.

Решить самостоятельно:

Б 8. Выполните быстрое умножение на 25:  а) 11×25; б) 21×25; в) 19×25.

В 6. Выполните быстрое умножение на 25: а) 111×25; б) 121×25; в) 77×25.

 Умножение на 25 лучше выполнять так: сначала разделить на 4, а потом умножить на 100, потому что .

.

Задача 6. Выполнить быстрое умножение на 25: а) 12×25; б) 444×25; в) 284×25.

Решение.

а) 12:4 = 3;  3×100 = 300;

б) 444:4 = 111;  111×100 = 11100;

в) 284:4 = 71;  71×100 = 7100.

Решить самостоятельно:

А 8. Выполнить быстрое умножение на 25: а) 16×25; б) 888×25; в) 420×25.

Б 9. Выполнить быстрое умножение на 25: а) 128×25; б) 2044×25; в) 336×25.

Быстрое умножение на 125.           1000 = 125×8, поэтому  для любого натурального числа  справедливо равенство: .

То есть умножить на 1000 – все равно, что сначала умножить на 125, а потом умножить на 8.

Если  сначала умножить число на 1000, а потом разделить на 8, то получится вот что:

.

Значит .

Отсюда следует правило: чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000, а потом разделить на 8.

Задача 7. Выполнить быстрое умножение: 74×125.

Решение.

1. Сначала надо умножить 74 на 1000: 74×1000 = 74 000.
2.  Разделить получившееся число на 8:    

74 000 : 8 = (72000 + 2000): 8 =

72000:8 + 2000:8 = 9000 + 250 = 9250.

Ответ: 9250.

Решить самостоятельно:

Б 10. Выполнить быстрое умножение: а) 9×125; б) 13×125; в) 21×125.

В 7. Выполнить быстрое умножение: а) 62×125; б) 78×125; в) 222×125.

 Число делится на 8, то умножить его на 125 еще проще! Достаточно сначала разделить его на 8, а потом умножить на 1000. То есть , потому что .

Задача 8. Выполнить быстрое умножение:  а) 8×125;   б) 160×125; в) 8888×125.

Решение.

а) 8:8 = 1;  1×1000 = 1000;

б) 160:8 = 20;  20×1000 = 20 000;

в) 8888:8 = 1111;   1111×8 = 1111000.

Ответ: а) 1000; б) 20 000; в) 1 111 000.

Решить самостоятельно:

А 9. Выполнить быстрое умножение: а) 16×125; б) 240×125; в) 8808×125;

Б 11. Выполнить быстрое умножение: а) 168×125; б) 192×125; в) 96×125.

Быстрое умножение четных чисел, на двузначные числа с «пятеркой» на конце. Надо выполнить умножение: а × b.

 Результат не изменится, если разделить на 2 первый множитель, а второй множитель умножить на 2, потому что:.

Задача 9. Выполнить умножение: 46×15.

Решение. Надо действовать так: 46 разделить на 2, а 15 умножить на 2.

46×15=(46:2) × (15×2) = 23 × 30 = 690.

 Умножить в уме 23 на 30 значительно проще, чем 46 на 15!

Решить самостоятельно:

Б 12. Выполнить умножение: а) 22×15; б) 44×35; в) 88×45; г) 14×55.

Быстрое деление

Быстрое деление на 5. Быстро разделить число на 5 можно так: сначала умножить на 2, а потом разделить на 10. Например: 125:5 = (125×2):10 = 250:10 = 25.

Если число делится на 10, то есть оканчивается нулем, то лучше сначала разделить на 10, а потом умножить на 2. Например: 120:5 = (120:10)×2 = 12×2 = 24

Надо доказать, что для любого натурального числа а, которое делится на 10, справедливо:    Деление – действие, обратное умножению, т.е. .  Выполнить умножение на 5 можно, сначала разделив на 2, а потом умножив на 10,  значит:

         а : 5 × 5 = (а : 5) : 2 × 10.      (1)

Если заменить в формуле (1) выражение (а : 5) на выражение  (а : 10 × 2), результат при этом не изменится, то есть по-прежнему будет равен а, то утверждение правильное.

Результат не изменился, значит,  утверждение, что для любого натурального числа, которое делится на 10, справедливо: а : 5 = а : 10 × 2.

 Доказать второе правило: а : 5 = а × 2 : 10 – самостоятельно.

Решить самостоятельно:

А 10. Выполнить быстрое деление на 5:  а) 95:5; б) 135:5; в) 305:5; г) 360:5; д) 810:5; е) 520:5.

Б 13. Выполнить быстрое деление на 5:  а) 845:5; б) 1525:5; в) 2245:5; г) 2220:5; д) 820:5; е) 1930:5.

Быстрое деление на 25. Быстро разделить число на 25 можно так:  сначала умножить на 4,  а потом разделить на 100. Например: 225:25= (225×4):100=900:100=9. Если число делится на 100 (такое число оканчивается двумя нулями), то лучше сначала разделить на 100, а потом умножить на 4. Например: 2200:25 = (2200:100)×4 = 22×4 = 88.

Доказать справедливость этого правила  самостоятельно.

Решить самостоятельно:

А 11.  Выполнить быстрое деление на 25:   а) 325:25;  б)1025:25; в) 2125:25; г) 3100:25; д) 10100:25; е) 21200:25.

Б 14. Выполнить быстрое деление на 25:   а) 475:25; б)1575:25; в) 9175:25; г) 31500:25; д) 9900:25; е) 715000:25.

Быстрое деление на 125. Быстро разделить число на 125 можно так: сначала умножить на 8, а потом разделить на 1000. Например:

8125:125 = (8125×8):1000 = 65000:1000 = 65.

Если число делится на 1000, (такое число оканчивается тремя нулями), то лучше сначала разделить его на 1000, а потом умножить на 8. Например:

11000:125=(11000:1000)×8=11×8=88.

Доказать справедливость этого правила  самостоятельно!

Решить самостоятельно:

Б 15. Выполнить быстрое деление на 125: а) 1125:125; б) 9500:125; в) 22000:125; г) 112000:125.

В 8. Выполнить быстрое деление на 125: а) 22250:125; б)8875:125; в) 87000:125; г) 999000:125

Вычитание вместо умножения

Быстрое умножение на 9, 99, 999, 9999 и т.д. Пусть некоторое число надо быстро умножить на 9. Записать можно это умножение так: .

 Почему N×9 = N×10–N?

Пример:  два опыта. В первом опыте можно 9 раз подойти к столу, и каждый раз взять по N конфет.  А  во втором опыте можно сначала 10 раз взять по N конфет, а потом один раз положить N конфет обратно.  В обоих опытах  останется одинаковое количество конфет. Итак:

     N×9 = N×10 – N.                           (1)

Теперь можно умножить число N на 99:

Логика здесь такая же: можно 99 раз взять по N конфет, а можно 100 раз взять по N конфет, а потом один раз положить N конфет обратно. Итак:

     N×99 = N×100 – N                       (2)

Следующий случай: N×999. Рассуждаем аналогично:  999 = 1000 – 1, поэтому

Надо запомнить еще одну формулу:

     N×999 = N×1000 – N                       (3)

Для всех остальных чисел такого вида, то есть для чисел, состоящих из одних девяток, можно без большого труда получить аналогичные формулы.

Задача 9.  Выполнить быстрое умножение:   а) 47×9;  б) 47×99;    в) 47×999.

Решение.

а) Надо использовать  формулу  (1):  

47×9 = 47×10 – 47 = 470 – 47 = (подсчитать «в уме») = 423.

б) Надо использовать формулу  (2):

47×99 = 47×100–47 = 4700–47 = (подсчитать «в уме») = 4653.

б) Надо использовать формулу  (3):

47×999 = 47×1000–47 = 47000–47 = (подсчитать «в уме») = 46953.

Ответ: а) 423; б) 4553; в) 46953.

 Вычитать гораздо проще, чем умножать!

Решить самостоятельно:

А 12.Выполнить  быстрое умножение: а) 22×9; б) 91×9; в) 55×9.

Б 16. Выполнить быстрое умножение: а) 22×99;   б) 91×99;    в) 55×99.

В 9. Выполнить быстрое умножение: а) 33×999; б) 911×999; в) 551×999.

Г 1. Выполнить быстрое умножение: а) 21×9999; б) 91×9999; в) 112×99999.

Быстрое деление

Быстрое деление на 9, 99, 999 и т.д. Решить задачу.

Задача 10.  Выполнить деление:  а) 567:9;  б) 4455:99; в) 16983:999.

Решение.

а) Вместо того, чтобы делить уголком, нужно  представить число 567 в виде произведения: 567 = N × 9, где N – неизвестное  число, которое  предстоит найти.  Если  удастся найти такое число, то можно считать, что задача решена!

Представить 567 в следующем виде:

567 = 560+7 = 56×10+7 = 56×(9+1)+7 =

= 56×9+56×1+7 = 56×9+(56+7) = 56×9+63.

Надо  вспомнить таблицу умножения: 63 = 7×9,  56×9+63 = 56×9+7×9 = (56+7)×9 = 63×9 (необходимо  воспользоваться  распределительным законом умножения). Деление:

567:9 = (63×9):

        Решить самостоятельно:

Б17. Выполнить быстрое деление на 9:  а) 306:9;    б) 576:9; в) 819:9; г) 648:9.

Переход к следующему пункту задачи: б) 4455:99. Идея быстрого деления на 99 очень похожая: надо представить число 4455 в виде произведения: 4455 = N × 99.  Число N известно, задача решена!

4455 = 4400+55 = 44×100+55 = 44×(99+1)+55 =

= 44×99+44×1+55 = 44×99+(44+55) =

= 44×99+99 = (44+1)×99=45×99.

 Выполнить деление:

4455:99 = (45×99):99 = 45.

 Решить самостоятельно:

В 10. Выполнить быстрое деление на 99:  а) 3465:99; б) 6435:99; в) 9108:99;  г) 8118:99.

Пункт в) 16983:999. Идея аналогичная: представить число 16983 в виде: 16983 = N × 999.

16983 = 16000+983 = 16×1000+983 = 16×(999+1)+983 =

= 16×999+16×1+983 = 16×999+(16+983) =

= 16×999+999 = (16+1)×999 = 17×999.

Выполнить деление: 16983:999 = (17×999):999 = 17.

 Решить самостоятельно:

Г 2. Выполнить быстрое деление на 999: а) 17982:999; б) 74925:999;  в) 81918:999;  г) 90909:999.

Быстрое деление на 101; 1001; 10001 и т.д. Решить задачу.

Задача 11. Выполнить деление: а) 97465:101; б) 7 901 894:1001.

Решение.

а) 97465:101. Представить  делимое (число 97465) в следующем виде:

97465 = 97400+65 = 974×100+65 = 974×(101–1)+65 =

= 974×101–974×1+65 = 974×101–974+65.

Ясно, что вычесть 974, а потом прибавить 65 – это все равно, что вычесть число, на 65 меньшее, чем 974, то есть число (974–65) = 909. Нетрудно заметить, что 909 = 9×101.

Продолжить  преобразования:

974×101-974+65 = 974×101–909 = 974×101–9×101=

= (974–9)×101 = 965×101.

Ну, а теперь уже ничего не стоит выполнить деление:

97465:101 = (965×101):101 = 965.

Ответ получен.

б) 7 901 894:1001. Необходимо преобразовать  делимое следующим образом:

7 901 894 = 7901 000+894 = 7901×1000+894 =

= 7901×(1001–1)+894 = 7901×1001–7901×1+894 =

= 7901×1001 – (7901–894) = 7901×1001–7007.

Нетрудно заметить: 7007 = 7×1001, тогда

7901×1001–7007 = 7901×1001–7×1001 =

= (7901–7) ×1001 = 7894×1001.

Осталось выполнить деление:

7 901 894:1001 = (7894×1001):1001 = 7894.

Ответ: а) 965; б) 7894.

 Решить самостоятельно:

Б 18. Выполнить быстрое деление:  а) 16059:101;  б) 27573:101; в) 40299:101; г) 46056:101.

В 11. Выполнить быстрое деление:    а) 1 700 699:1001;

б) 2 840 838:1001;   в) 5 002 998:1001;   г) 10 000 991:1001.

Фокус № 1

 Нужно  быстро выполнить в уме умножение: 93×97?

Множители обладают двумя особенностями:

1.  Число десятков у них одинаковое (9);
2.  Сумма единиц равна десяти (3+7 = 10).

Так вот ТОЛЬКО для таких чисел, у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц равна 10, «работает» следующий фокус.

1. Умножить число десятков (9) на число, на единицу большее (10), получим: 9×10 = 90.
2. Перемножить единицы: 3×7 = 21.
3. А теперь записать два полученных двузначных числа (90 и 21) подряд: 9021.

Это и есть произведение: 93×97 = 9021.

Можно  проверить  фокус на других числах. Числа  31 и 39  годятся: у них одинаковое число десятков, а сумма единиц равна 10.

1. Умножить число десятков на число, на единицу большее: 3×4 = 12.
2. Умножить единицы: 1×9=9 Только (по условиям фокуса), если произведение единиц – число однозначное, то перед ним полагается ставить ноль, то есть писать не 9, а 09. Теперь можно писать ответ: 31×39 = 1209.

 Решить самостоятельно:

Б 19.  а) 21×29; б) 32×38; в) 43×47; г) 64×66; д) 75×75; е) 18×12.

Фокус № 2

Быстрое перемножение двух чисел НЕМНОГО меньших 100 или немного меньших 1000.

Пример: 94×98.  Фокус № 1 здесь «не сработает», потому что сумма единиц  у множителей не равна 10: 4+8 = 12. Поэтому надо применить фокус № 2.

Назовем дополнением множителя до сотни число, которое надо прибавить к множителю, чтобы получить 100. Например, 94+6 = 100, значит, 6 – дополнение множителя 94 до сотни; 98+2 = 100, значит,  2 – дополнение множителя 98 до сотни. Для наглядности таблица:

1. Вычесть из первого множителя (94) дополнение до 100 второго множителя (2),  94–2 = 92.
2. Перемножить дополнения множителей до 100: 6×2 = = 12.
3. Записать подряд два полученных числа: 9212. Это и есть произведение: 94×98 = 9212. Еще  пример: 97×98.

1. Вычислить  дополнения множителей до 100: 1) 100 – –97 = 3;  2) 100–98 = 2.
2. Вычесть  из первого множителя дополнение второго множителя: 97–2 = 95.
3. Перемножить дополнения множителей до 100: 3×2 = = 06 (пишем именно так: сначала 0, потом 6).
4. Записать ответ: 9506.

 Вычислить самостоятельно:

В 12. Вычислить с помощью фокуса № 2:  а) 93×98;   б) 91×92; в) 93×95;  г) 94×96.

 Умножение чисел, немного меньших 1000, например: 998×997.

1. Найти  дополнение каждого из множителей до 1000: 1) 1000–998 = 2; 2) 1000–997 = 3.  
2.  Вычесть  из первого множителя дополнение второго множителя: 998–3 = 995.
3. Перемножить дополнения обоих множителей: 2×3 = = 006   (писать именно так: два нуля и 6).
4. Записать ответ: 998×997 = 995006.

 Еще  пример: 889×991.

1. Вычислить дополнения множителей до 1000: 1) 1000 – – 889 = 111; 2) 1000–991 = 9.
2. Вычесть из первого множителя дополнение второго множителя: 889–9 = 880.
3. Перемножить дополнения множителей: 111×9 = 999.
4. Записать ответ: 889×991 = 880999.

 Решить самостоятельно:

В13. Выполнить умножение  с помощью фокуса №2: а) 998×996; б) 995×994; в) 990×989;  г) 996×778.

✍ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Задачи очень легкие

А13. Сложить числа, выбрав корневое число так, чтобы дополнения к нему были больше 0:

а) 42 + 43 + 46 + 44,    б) 11+12+13+11+10+11.

А14. Выполнить сложение дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 79+17; б) 58+24; в) 98+76.

А15. Выполнить быстрое вычитание:  а) 455–299;  б) 175–99;   в) 1260–199.

А16. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 48×5; б) 72×5; 17×5.

А17. Выполнить быстрое умножение на 125: а) 32×125; б) 48×125; в) 56×125.

А18. Выполнить быстрое умножение: а) 14×15; б) 26×15; в) 64×15; г) 16×35.

А19. Выполнить быстрое деление на 5: а) 85:5; б) 115:5; в) 205:5; г) 240:5; д) 310:5; е) 420:5.

А20. Выполнить быстрое деление на 25: а) 425:25; б) 1225:25; в) 3225:25; г) 2100:25; д) 20200:25; е) 40400:25.

А21. Выполнить быстрое умножение: а) 23×9; б) 19×9; в) 7×999; г) 8×99.

Задачи легкие

Б20. Сложить числа, выбрав корневое число так, чтобы дополнения к нему были больше 0:  

а) 63 + 62 + 64 + 65 + 67; б) 80 + 82 + 83 + 82 + 84.

Б21. Сложить числа методом корневых сумм: 88+89+91+93+94.

Б22. Найти сумму методом корневых сумм: 136+139+138+ +140+142.

Б23. Выполнить сложение дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 799+877; б) 796+435; в) 598+617.

Б24. Выполнить быстрое вычитание: а) 1260–195; б) 4445–296; в) 3787–398.

Б25. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 193×5; б) 177×5; в) 166 × 5; г) 243×5.

Б26. Выполнить быстрое умножение на 25: а) 164×25; б) 240×25; в) 8884×25.

Б27. Выполнить быстрое умножение на 125: а) 81×125; б) 104×125; в) 168×125.

Б28. Выполнить быстрое умножение: а) 24×35; б) 34×45;  в) 44×55.

Б29. Выполнить быстрое деление на 5: а) 745:5; б) 1225:5; в) 2135:5 г)

3110:5

Б30. Выполнить быстрое деление на 25: а) 875:25; б) 2775:25; в) 8150:25; г) 91500:25; д) 8800:25; е) 875000:25.

Б31. Выполнить быстрое деление на 125: а) 2125:125; б) 8250:125; в) 32000:125; г) 56000:125

Б32. Выполнить быстрое умножение: а) 211×9; б) 106×99; в) 42×999; г) 76×999; д) 999×99.

Б33. Выполнить быстрое деление: а) 792:99; б) 6993:999; в) 243:9; г) 3069:99

Б34. Выполнить  быстрое деление: а) 17069:101; б) 28583:101; в) 50399:101; г) 56156:101.

Б35. Выполнить умножение с помощью фокуса №1: а) 27 × 23; б)  41 × 49; в) 56 ×54; г) 52 × 58;  д) 89 × 81;  е) 94 ×96;  ж) 66 × 64;  з) 91 × 99.

Задачи средней трудности

В14. Сложить числа, выбрав корневое число так, чтобы дополнения к нему были больше 0:

а) 121 + 120 + 123 + 125 + 122; б) 100 + 105 + 104 + 106 + 105.

В15. Найти сумму методом корневых сумм:

33 + 29 + 31 + 32 + 27 + 33 + 31 + 32 + 31 + 29 + 30.

В16. Найти сумму методом корневых сумм:

78 + 77 + 76 + 79 + 82 + 83 + 80 + 84.

В17. Выполнить сложение дополнением одного из слагаемых до круглого числа: а) 2996+937; б) 4998+5376; в) 18999+7348.

В18. Выполнить быстрое умножение на 5: а) 1137×5; б)  1198×5; в) 777×5.

В19. Выполнить быстрое умножение на 25: а) 711×25; б) 321×25; в) 177×25.

В20. Выполнить быстрое умножение на 125: а) 3211×125; б) 801× 125; в) 1288× 125; г) 4096× 125.

В21. Выполнить быстрое деление на 125: а) 33375:125; б) 99500:125; в) 132000:125; г) 156000:125.

В22. Выполнить быстрое умножение: а) 299×9; б) 106×99; в) 42×999; г) 76×999; д) 116×9999.

В23. Выполнить быстрое деление: а) 621:9; б) 7128:9; в) 9999:99; г) 60939:999.

В24. Выполнить быстрое деление: а) 1 170 169:1001; б) 1 839 838:1001; в) 9 957 948:1001; г) 2 000 999:1001.

В25. Вычислить с помощью фокуса № 2:  а) 99×93;  б) 99×84;  в) 97×97; г) 98×89; д) 93×96; е) 99×87.

В26. Выполнить умножения с помощью фокуса №2: а) 992×991; б) 994×997; в) 996×998; г) 999×989.

Задачи трудные

Г3. Выполнить быстрое деление: а) 209979:9999; б) 609939:9999; в) 329967:9999: г) 3099969:99999.

Г4. Выполнить быстрое деление: а) 169 936 992:10001; б) 2 88 848 882: 10001;  в) 1 000 019 992:10001.

Заключение

Цель и задачи, поставленные в реферате, выполнены. Рассмотрен эффективный метод повышения уровня вычислительных навыков у учащихся начальной школы, а также пропедевтики курса изучения алгебры.

Можно сделать вывод, что использование данного метода на уроках математики в начальной школе, дает хорошие, положительные результаты.

Предложенный метод позволяет повысить мотивацию к обучению, так как учащиеся воспринимают данный материал, как новые знания, при этом им приходится выполнять большое количество уже знакомых вычислений.

Этот же материал можно с успехом использовать на занятиях в математических кружках, факультативах, так как данная тема очень интересна для учащихся с повышенным интеллектуальным запросом.

Я использовала выборочно данную тему на заключительном этапе обучения в начальной школе – в 4-м классе.

Ребята были поражены красотой математической науки и с огромным энтузиазмом выполняли предложенные в данном реферате домашние задания.

При  переходе в 5-й класс мои ученики не испытывали трудности при изучении элементов алгебры, их адаптация к курсу математики средней школы прошла успешно.

Изучения учащимися нестандартных приемов вычислений позволяет им  глубже понимать материал начальной школы по математике.

Список литературы

1. В.И. Жохов, В.Н. Погодин «Математический тренажер».
2. Т.В.Шкляров «Устный счет».
3. Т.В.Ушакова «Учимся считать быстро».
4. О.В. Узорова, Е.Н. Нефедова «Сборник задач и примеров по математике».
5. Статьи из журнала «Начальная школа».