Особенности преподавания математики в Образовательной системе «Школа 2100» по учебнику Демидовой Т.Е.
учебно-методический материал по математике на тему

Особенности преподавания математики в Образовательной системе «Школа 2100» по учебнику Демидовой Т.Е.

Важнейшие задачи образования в начальной школе (формирование предметных и универсальных способов действий, обеспечивающих возможность продолжения образования в основной школе; воспитание умения учиться – способности к самоорганизации с целью решения учебных задач; индивидуальный прогресс в основных сферах личностного развития – эмоциональной, познавательной, регулятивной) реализуются в процессе обучения всем предметам. Однако каждый из них имеет свою специфику.

Предметные знания и умения, приобретённые при изучении математики в начальной школе, первоначальное овладение математическим языком являются опорой для изучения смежных дисциплин, фундаментом обучения в старших классах общеобразовательных учреждений.

Особое значение имеет математика для формирования общего приема решения задач как универсального учебного действия. Таким образом, математика является эффективным средством развития личности школьника.

Данный курс создан на основе личностно ориентированных, деятельностно-ориентированных и культурно ориентированных принципов, сформулированных в образовательной программе «Школа 2100», основной целью которой является формирование функционально грамотной личности, готовой к активной деятельности и непрерывному образованию в современном обществе, владеющей системой математических знаний и умений, позволяющих применять эти знания для решения практических жизненных задач, руководствуясь при этом идейно-нравственными, культурными и этическими принципами, нормами поведения, которые формируются в ходе учебно-воспитательного процесса.

Важнейшей отличительной особенностью данного курса с точки зрения содержания является включение наряду с общепринятыми для начальной школы линиями «Числа и действия над ними», «Текстовые задачи», «Величины», «Элементы геометрии», «Элементы алгебры», ещё и таких содержательных линий, как «Стохастика» и «Занимательные и нестандартные задачи». Кроме того, следует отметить, что предлагаемый курс математики содержит материалы для системной проектной деятельности и работы с жизненными (компетентностными) задачами.

 Цели обучения в предлагаемом курсе математики , сформулированные как линии развития личности ученика средствами предмета:

• использовать математические представления для описания окружающего мира (предметов, процессов, явлений) в количественном и пространственном отношении;
• производить вычисления для принятия решений в различных жизненных ситуациях;
• читать и записывать сведения об окружающем мире на языке математики;
• формировать основы рационального мышления, математической речи и аргументации;
• работать в соответствии с заданными алгоритмами;
• узнавать в объектах окружающего мира известные геометрические формы и работать с ними;
• вести поиск информации (фактов, закономерностей, оснований для упорядочивания), преобразовать её в удобные для изучения и применения формы.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике решаются комплексно. В основе методического аппарата курса лежит проблемно-диалогическая технология, технология правильного типа читательской деятельности и технология оценивания достижений, позволяющие формировать у учащихся умение обучаться с высокой степенью самостоятельности. При этом в первом классе проблемная ситуация естественным образом строится на дидактической игре.

В результате освоения предметного содержания предлагаемого курса математики у учащихся предполагается формирование универсальных учебных действий (познавательных, регулятивных, коммуникативных) позволяющих достигать предметных, метапредметных и личностных результатов.

В результате освоения предметного содержания курса математики у учащихся должны сформироваться как предметные, так и общие учебные умения, а также способы познавательной деятельности. Такая работа может эффективно осуществляться только в том случае, если ребёнок будет испытывать мотивацию к деятельности, для него будут не только ясны рассматриваемые знания и алгоритмы действий, но и представлена интересная возможность для их реализации.

Рассматриваемый курс математики предлагает решение новых образовательных задач путём использования современных образовательных технологий.

  В начале каждого параграфа помещены специальные вопросы на актуализацию знаний, необходимых для изучения нового материала, а также размещены задания, в ходе выполнения которых возникает проблемная ситуация. За ними следуют авторский вариант проблемного вопроса, который показывает направление диалога учителя с учениками на этапе формулировки проблемы и даёт возможность ученикам сопоставить свой ответ с версией авторов.

Далее предлагается текст, формулирующий новое понятие или новый алгоритм решения учебной задачи. Дети его читают и сопоставляют с собственными выводами. Подводится итог обсуждения, сопровождающийся окончательным формулированием детьми того нового, что они узнали на данном уроке. Формулировки должны быть верными, но выраженными детьми самостоятельно, на понятном им языке.

Материалы курса организованы таким образом, чтобы педагог и дети могли осуществлять дифференцированный подход в обучении и обладали правом выбора уровня решаемых математических задач.

В предлагаемом курсе математики представлены задачи разного уровня сложности по изучаемой теме. Это создаёт возможность построения для каждого ученика самостоятельного образовательного маршрута.

Работая в соответствии с инструкциями к заданиям учебника, дети учатся работать в парах, выполняя заданные в учебнике проекты в малых группах. Умение достигать результата, используя общие интеллектуальные усилия и практические действия, является важнейшим умением для современного человека.

Традиционно считается, что начальный курс математики не более чем набор несложных арифметических задач, обязательный для всех учащихся. В учебниках даётся  большое количество таких задач, не забывая о главном – учить ребёнка думать, логически обосновывать своё мнение, организовывать свою деятельность, работать с информацией, сотрудничать с другими людьми. Все эти умения в курсе математики формируются не в результате специальных занятий, а на каждом уроке в работе с моделями простейших жизненных задач, имеющих математическую основу (расчёт стоимости покупки при походе в магазин, выбор формы и размера коврика для пола и т.д.).

Важнейшей целью курса математики в начальной школе является развитие интеллекта ребёнка. В современных педагогических и психологических исследованиях доказано, что это развитие должно сопровождаться процессом моделирования как формой продуктивного мышления. Модели, позволяющие детям перейти от наглядно-образного мышления к абстрактному, - это рисунки, схематические рисунки, простейшие схемы, таблицы, математические знаки и символы.

Хорошо известно, что одной из серьёзнейших проблем, затрудняющих обучение в начальной школе и, особенно на входе в неё, является невозможность для большинства детей достаточно полно понимать и усваивать полученную на уроке информацию. Рисунок, схематический рисунок или схема являются тем средством, которое даёт ребёнку адекватную его мышлению опору для понимания, а значит, и эффективного присвоения нового знания или умения. Развитие у младших школьников умения «читать» информацию, переданную с помощью таких моделей, является базовым для развития у них информационных умений и прежде всего умения работать с информацией, данной в учебной книге: самостоятельно ориентироваться на развороте учебника, понимать и передавать сведения, на основе которых выполняется каждое отдельное задание, находить ответы на вопросы, делать выводы, сравнивать и группировать объекты изучения, устанавливать простейшие причинно-следственные связи между ними.

В  учебниках  Образовательной системы «Школа 2100» использован  принцип минимакса. Согласно этому принципу учебники содержат учебные материалы, входящие в минимум содержания (базовый уровень), и задачи повышенного уровня сложности (программный и максимальный уровень), не обязательные для всех. Таким образом, ученик должен освоить минимум, но может освоить максимум.

Важнейшей отличительной особенностью данного курса с точки зрения деятельностного подхода является включение в него специальных заданий на применение существующих знаний «для себя» через дидактическую игру, проектную деятельность и работу с жизненными (компетентностными) задачами.

Проводя уроки по учебникам Образовательной системы «Школа 2100», учителя часто сталкиваются с нехваткой времени. Одна из причин этого - неумение реализовывать принцип минимакса. Рекомендуем учителю пользоваться следующим алгоритмом подготовки к уроку:

1-й шаг. На этапе подготовки к уроку следует выделить в содержании учебника обязательный программный минимум. Этот минимум должны усвоить все ученики, ведь именно эти знания и умения будут проверяться в контрольных и проверочных работах. Глубокое усвоение знаний и умений минимума обеспечивается не на одном уроке, При планировании уроков повторения, закрепления и обобщения изученного учитель должен планировать работу так, чтобы дети выполняли задания, которые нужны именно им. При этом детей в классе желательно разбивать на группы так, чтобы каждая группа выполняла свой набор заданий.

2-й шаг. В учебниках даётся несколько заданий, относящихся к  уровню авторской программы. Это задания повышенного уровня сложности; и обязательными они не являются. Они могут быть предложены на заключительном этапе урока (10-15 минут), после обсуждения с детьми, при этом дети обладают правом выбора задания.

3-й шаг. В учебнике к каждому уроку даётся ещё несколько  заданий, которые относятся к максимальному уровню сложности.  Они  даны для тех детей, которым интересен процесс решения нестандартных задач, требующих самостоятельности, находчивости и упорства в поиске решения. Они также предлагаются на заключительном этапе урока по выбору детей и учителя и обязательными не являются.

4-й шаг. Кроме работы на уроке, предполагающей совместные интеллектуальные усилия, ребёнок должен учиться работать полностью самостоятельно. Для этого предназначены домашние задания, Домашнее задание состоит из двух частей: 1) общая для всех детей (инвариант); 2) задания по выбору (вариативная часть). Первая часть - это задания необходимого уровня, вторая часть - программного и максимального уровней.

Контроль за усвоением знаний

Оценка усвоения знаний и умений в предлагаемом учебно - методическом курсе математики осуществляется в процессе повторения и обобщения, выполнения текущих самостоятельных работ на этапе актуализации знаний и на этапе повторения, закрепления и обобщения изученного на основе заданий учебника, проведения этапа контроля на основе специальных тетрадей, содержащих текущие и итоговые контрольные работы.  

 Они включают, в соответствии с принципом минимакса, не только обязательный минимум (необходимые требования), который должны усвоить все ученики, но и максимум, который они могут усвоить. Задания разного уровня сложности выделены в группы: задания необходимого, программного и максимального уровней, при этом ученики должны выполнить задания необходимого уровня и могут выбирать задания других уровней как дополнительные и необязательные; акцент работ сделан на обязательном минимуме и самых важнейших положениях максимума (минимакс).

 Положительные оценки и отметки за задания текущих и итоговых контрольных работ являются своеобразным зачётом по изучаемым темам. При этом срок получения зачёта не должен быть жёстко ограничен (например, ученики должны сдать все текущие темы до конца четверти). Это учит школьников планированию своих действий.

Особенно следует отметить такой эффективный элемент контроля, связанный с использованием проблемно-диалогической технологии, как самостоятельная оценка и актуализация знаний перед началом изучения нового материала. В этом случае детям предлагается самим сформулировать необходимые для решения возникшей проблемы знания и умения и, как следствие, самим выбрать или даже придумать задания для повторения, закрепления и обобщения изученного ранее. Такая работа является одним из наиболее эффективных приёмов диагностики реальной сформированности предметных и познавательных умений у учащихся и позволяет педагогу выстроить свою деятельность с точки зрения дифференциации работы с ними.

Направленность учебников математики Образовательной системы «Школа 2100» на формирование личностных результатов и универсальных учебных действий

Математика исторически ориентирована на развитие процессов рационального мышления, самоконтроля и самооценки: без этого просто невозможно решение ни одной математической задачи. Установление взаимосвязей между изучаемыми областями и, как следствие, формирование фундаментальных представлений о предмете.

Однако никогда ранее традиционные курсы математики не занимались целенаправленным формированием процессов коммуникации в ходе решения отдельных задач, а также развитием регулятивных умений в общем виде: как универсального алгоритма действий при решении любой задачи.

Материалы учебников математики Образовательной системы «Школа 2100» (Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких) ориентированы на систематическое и целенаправленное развитие универсальных учебных действий, которые можно разделить на три группы умений:

• регулятивные;
• познавательные;
• коммуникативные.

Такая работа достигается специальной организацией учебных материалов. Учебник представляет собой систему готовых учебных сценариев (уроков), каждый из которых занимает один разворот.

Все уроки знакомства с новым материалом ориентированы на целенаправленное формирование регулятивных универсальных учебных действий.

Для этого они снабжены текстом проблемного вопроса со знаком «?» и текстом под знаком «!»: авторской формулировкой того нового, что изучается на данном уроке.

Два этих знака являются сигналом для учителя и детей, что работа на этом уроке будет строиться по следующему общему плану:

1. актуализация знаний, необходимых для осознанного самостоятельного формулирования нового;
2. решение задач, подводящих к формулированию основных вопросов урока и, как следствие, целеполаганию на данный урок (определяем, чем сегодня будем заниматься);
3. самостоятельное формулирование нового и коррекция полученной формулировки на основе авторского определения (соотнесение собственной формулировки с авторской и окончательное формулирование вывода);
4. решение задач на применение нового;

5) субъективная оценка результатов деятельности и соотнесение её с оценкой класса и педагога (формулирование максимально объективной оценки).

В учебнике математики существует ряд уроков, на которых новыми являются только новый математический термин или аксиома. В этом случае сценарий такого урока содержит только текст со знаком «!» (термины и аксиомы не открываются, а сообщаются). В таком случае алгоритм работы будет следующим:

1. чтение и объяснение авторского определения, окончательное самостоятельное формулирование вывода (пересказ в понятных и доступных детям математических формулировках);
2. решение задач на применение нового;
3. субъективная оценка результатов деятельности и соотнесение её с оценкой класса и педагога (формулирование максимально объективной оценки).

Большинство учебных задач данного учебника, нацеленных на формирование и развитие новых или недостаточно усвоенных знаний или умений, предлагаются для совместной работы учащихся, то есть ориентированы на целенаправленное и последовательное формирование и развитие не только предметных, но и коммуникативных умений. Такие задачи снабжены значком – зелёный кружок и заданиями: объясните..., докажите…, сравните свою работу с работами других ребят.

Познавательные УУД — все задания на установление закономерностей, последовательностей, арифметические ребусы и головоломки, арифметические лабиринты.

Развитие познавательных универсальных действий в курсе математики исторически происходило в двух направлениях:

1. через решение задач, хорошо алгоритмизованных;

129305264. решение задач, не алгоритмизуемых общими для всех алгоритмами.

Задачи первого направления создают основу для формирования у детей алгоритмического и логического мышления и всех связанных с этим умений (понимать цели деятельности, соотносить с этой целью готовые планы действий, понимать простейшие логические взаимосвязи между пунктами плана, точно следовать им, объективно оценивать полученные результаты).

Задачи второго направления создают основу для формирования у детей нестандартного, творческого мышления и всех связанных с этим умений (самостоятельно извлекать и перерабатывать имеющуюся у них информацию, самостоятельно преобразовывать её и т.д.).

Данный учебник содержит задачи двух этих групп. При этом задания первой группы снабжены готовыми общеупотребляемыми алгоритмами, а задачи второй группы — пояснениями, образцами выполнения, подводящими детей к формированию собственных алгоритмов их решения.

Эти задачи ранее предлагались для работы только сильным детям с хорошо развитой математической интуицией. Данный курс математики даёт возможность работать с подобными задачами всем учащимся класса.

Отдельно следует обсудить развитие личностных результатов средствами курса математики Образовательной системы «Школа 2100».

Заданий, специально ориентированных на развитие личностных результатов в курсе математики, не может быть в силу специфики предмета (математика не занимается формированием межличностных отношений, вопросами человеческой этики и т.д.).

Вместе с тем, поскольку рассматриваемый курс существенно ориентирован на активное сотрудничество учащихся (большую часть заданий учебника детям предлагается выполнять в парно-групповой работе), то у педагога имеются основания и возможности для последовательного и целенаправленного формирования у учащихся и личностных умений: очевидно, что эффективная коммуникация предполагает взаимные договорённости её участников о правилах комфортного сотрудничества.

Основной целью учебников математики данной образовательной системы является развитие у учащихся умения преобразовывать текст задачи во вспомогательную модель, удобную для восприятия информации и упрощающую процесс поиска решения. Причём в Iполугодии 1 класса у детей формируется алгоритм работы с информацией «от чужой модели к  собственному устному тексту», а во II полугодии дети сопоставляют письменный текст задачи и вспомогательную графическую модель.

Предметными результатами изучения курса «Математика» в 1-м классе является формирование следующих умений.

1-й уровень (необходимый)

Учащиеся должны уметь использовать при выполнении заданий:

• знание названий и последовательности чисел от 1 до 20; разрядный состав чисел от 11 до 20;
• знание названий и обозначений операций сложения и вычитания;
• знание таблицы сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания в пределах 10 (на уровне навыка);
• сравнивать группы предметов с помощью составления пар;
• читать, записывать и сравнивать числа в пределах 20;
• находить значения выражений, содержащих одно действие (сложение или вычитание);
• решать простые задачи:

а)        раскрывающие смысл действий сложения и вычитания;

б)        задачи, при решении которых используются понятия «увеличить на ...», «уменьшить на ...»;

в)        на разностное сравнение;

-        распознавать геометрические фигуры: точку, прямую, луч, кривую незамкнутую, кривую замкнутую, круг, овал, отрезок, ломаную,
угол, многоугольник, прямоугольник, квадрат.

2-й уровень (программный) Учащиеся должны уметь:

• в процессе вычислений осознанно следовать алгоритму сложения и вычитания в пределах 20;
• использовать в речи названия компонентов и результатов действий сложения и вычитания, использовать знание зависимости между ними в процессе поиска решения и при оценке результата действий;
• использовать в процессе вычислений знание переместительного свойства сложения;

-        использовать в процессе измерения знание единиц измерения длины, объёма и массы (сантиметр, дециметр, литр, килограмм);

-        выделять как основание классификации такие признаки предметов, как цвет, форма, размер, назначение, материал;

• выделять часть предметов из большей группы на основании общего признака (видовое отличие), объединять группы предметов в больную группу (целое) на основании общего признака (родовое отличие);
• производить классификацию предметов, математических объектов по одному основанию;
• использовать при вычислениях алгоритм нахождения значения выражений без скобок, содержащих два действия (сложение и/или вычитание);

• сравнивать, складывать и вычитать именованные числа;
• решать уравнения вида а ± х = b; x - а = 6;
• решать задачи в два действия на сложение и вычитание;

• узнавать и называть плоские геометрические фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, многоугольник; выделять из множества четырёхугольников прямоугольники, из множества прямоугольников - квадраты, из множества углов - прямой угол;

• определять длину данного отрезка;

-        читать информацию, записанную в таблицу, содержащую не более трёх строк и трёх столбцов;

-        заполнять таблицу, содержащую не более трёх строк и трёх столбцов;

-        решать арифметические ребусы и числовые головоломки, содержащие не более двух действий.

Предметными результатами изучения курса «Математика» во 2-м I классе является формирование следующих умений.

1-й уровень (необходимый)

Учащиеся должны уметь:

• использовать при выполнении заданий названия и последовательность чисел от 1 до 100;
• использовать при вычислениях на уровне навыка знание табличных случаев сложения однозначных чисел и соответствующих им  случаев вычитания в пределах 20;
• использовать при выполнении арифметических действий названия и обозначения операций умножения и деления;

   - использовать при вычислениях на уровне навыка знание табличных случаев умножения однозначных чисел и соответствующих им случаев деления;

• осознанно следовать алгоритму выполнения действий в выражениях со скобками и без них;
• использовать в речи названия единиц измерения длины, массы, объёма: метр, дециметр, сантиметр, килограмм, литр;

• читать, записывать и сравнивать числа в пределах 100;

• осознанно следовать алгоритмам устного и письменного сложения и вычитания чисел в пределах 100;

• решать простые задачи:

а)        раскрывающие смысл действий сложения, вычитания, умножения и деления;

б)        использующие понятия «увеличить в (на) ...», «уменьшить в
(на)...»;

в)        на разностное и кратное сравнение;

• находить значения выражений, содержащих 2-3 действия (со скобками и без скобок);

• решать уравнения вида а ± х = Ъ; х - а = Ь;

-        измерять длину данного отрезка, чертить отрезок данной
длины;

• узнавать и называть плоские углы: прямой, тупой и острый;
• узнавать и называть плоские геометрические фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, многоугольник; выделять из множества четырёхугольников прямоугольники, из множества прямоугольников - квадраты;
• различать истинные и ложные высказывания (верные и неверные равенства).

2-й уровень (программный) Учащиеся должны уметь:

• использовать при решении учебных задач формулы периметра квадрата и прямоугольника;
• пользоваться при измерении и нахождении площадей единицами измерения площади: 1 см2, 1 дм2;
• выполнять умножение и деление чисел с 0, 1, 10;
• решать уравнения вида а ± х = Ь; х - а = Ъ; а • х = Ъ; а : х = Ъ; х : а = Ъ;
• находить значения выражений вида а±5;4- а; а : 2; а • 4; б: а при заданных числовых значениях переменной;
• решать задачи в 2-3 действия, основанные на четырёх арифметических операциях;
• находить длину ломаной и периметр многоугольника как сумму длин его сторон;
• использовать знание формул периметра и площади прямоугольника (квадрата) при решении задач;
• чертить квадрат по заданной стороне, прямоугольник по заданным двум сторонам;
• узнавать и называть объёмные фигуры: куб, шар, пирамиду;
• записывать в таблицу данные, содержащиеся в тексте;
• читать информацию, заданную с помощью линейных диаграмм;
• решать арифметические ребусы и числовые головоломки, содержащие два действия (сложение и/или вычитание);
• составлять истинные высказывания (верные равенства и неравенства);

• заполнять магические квадраты размером 3x3;
• находить число перестановок не более чем из трёх элементов;
• находить число пар на множестве из 3-5 элементов (число сочетаний по 2);
• находить число пар, один элемент которых принадлежит одному множеству, а другой - второму множеству;
• проходить числовые лабиринты, содержащие двое-трое ворот;
• объяснять решение задач по перекладыванию одной-двух палочек с заданным условием и решением;
• решать простейшие задачи на разрезание и составление фигур;
• уметь объяснить, как получен результат заданного математического фокуса.

Сравнительный анализ содержания программы по математике  (учебник

Т. Демидовой и учебник М. Моро)

1 класс

Общие понятия.

Признаки предметов.

Свойства (признаки) предметов: цвет, форма, размер, назначение, материал, общее название.

Выделение предметов из группы по заданным свойствам, сравнение предметов, разбиение предметов на группы (классы) в соответствии с указанными свойствами.

Числа и операции над ними.

Арабские и римские цифры.  (в 3 классе на странице для любознательных)

Сложение и вычитание в пределах 10.

Объединение групп предметов в целое (сложение). Удаление группы предметов (части) из целого (вычитание). Связь между сложением  и вычитанием на основании представлений о целом и частях. Соотношение целого и частей.        

Текстовые задачи.        

Простые и составные текстовые задачи решаются с помощью схем на основании представлений о целом и частях.

Элементы геометрии.

Линии: прямая, кривая незамкнутая, кривая замкнутая. Углы: прямые и непрямые. Свойства противоположных сторон прямоугольника. (2 класс)

Различные виды классификаций геометрических фигур. Вычисление длины ломаной как суммы длин её звеньев.

Вычисление суммы длин сторон прямоугольника и квадрата без использования термина «периметр».

Элементы алгебры.        

Порядок   выполнения действий в выражениях, содержащих два и более действий.

 Решение уравнения вида а ± х = Ь; х - а = Ь с полной записью решения.

 Элементы стохастики.

 Таблицы. Строки и столбцы. Начальные представления о графах. Понятие о взаимно  

однозначном соответствии.

Задачи на расположение и выбор (перестановку) предметов.

2-й класс

Числа и операции над ними.

Умножение и деление чисел.

Вся таблица умножения и деления однозначных чисел.  (х 2 и 3)

Частные случаи умножения и деления с 0 и 1. Невозможность деления на 0. Понятия «увеличить в ...», «уменьшить в ...», «больше в ...», «меньше в ...». Умножение и деление чисел на 10. Линейные и разветвляющиеся алгоритмы. Задание алгоритмов словесно и с помощью блок-схем.

Величины и их измерение.

Представление о площади фигуры и её измерение. Площадь прямоугольника и квадрата. Единицы площади: см2, дм2. (3 класс)

Элементы геометрии.

Плоскость. Плоские и объёмные фигуры. Обозначение геометрических фигур буквами.

Составление плоских фигур из частей. Деление плоских фигур на части.

Окружность. Круг. Вычерчивание окружностей с помощью циркуля и вырезание кругов. Радиус окружности. (3 класс)

Элементы алгебры.

Нахождение значений выражений вида а ± 5; 4 - а; а : 2; а • 4; 6 : а при заданных числовых значениях переменной. Сравнение значений выражений вида а • 2 и а- 3; а : 2 и а : 3.

Элементы стохастики.

Решение комбинаторных задач с помощью таблиц и графов. Чтение информации, заданной с помощью линейных диаграмм.

*Понятие о случайном эксперименте. Понятия «чаще», «реже», «возможно», «невозможно», «случайно».

Занимательные и нестандартные задачи.

Высказывания. Истинные и ложные высказывания.

*Уникурсальные кривые. (на оси координат)

               3-й класс

Числа и операции над ними.

Умножение и деление чисел в пределах 100.

Величины и их измерение.

Объём. Единицы объёма: 1 см3, 1 дм3, 1 м3. Соотношения между единицами измерения объёма. Формулы объёма прямоугольного параллелепипеда (куба).

Время. Единицы измерения времени: секунда, минута, час. (2 класс) 

Длина. Единицы длины: 1 мм, 1 км. (2 класс)

Масса. Единица измерения массы: центнер. (4 класс)

Элементы геометрии.

Куб, прямоугольный параллелепипед. Их элементы. Отпечатки объёмных фигур на плоскости.

Элементы стохастики.

Случайные эксперименты. Запись результатов случайного эксперимента. Понятие о частоте события в серии одинаковых случайных экспериментов.

Понятия «чаще», «реже», «невозможно», «возможно», «случайно».

Первоначальное представление о сборе и обработке статистической информации.

Круговые диаграммы.

Занимательные и нестандартные задачи.

Множество, элемент множества, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, высказывания с кванторами общности и существования.

Затруднительные положения: задачи на переправы, переливания, взвешивания.

*3адачи на принцип Дирихле (задачи по стохастике)

(знакомство с калькулятором)

            4-й класс

Числа и операции над ними.

Дробные числа.

Дроби. Сравнение дробей.

Текстовые задачи.

Движение вдогонку. Движение с отставанием.

Элементы геометрии.

Прямоугольная система координат на плоскости. Соответствие между точками на плоскости и упорядоченными парами чисел.

Элементы стохастики.

Сбор и обработка статистической информации о явлениях окружающей действительности. Опросы общественного мнения как сбор и обработка статистической информации.

Понятие о вероятности случайного события.

Стохастические игры. Справедливые и несправедливые игры.

Понятие среднего арифметического нескольких чисел. Задачи на нахождение среднего арифметического.

Круговые диаграммы. Чтение информации, содержащейся в круговой диаграмме.

Занимательные и нестандартные задачи.

Принцип Дирихле.

          Элементы стохастики

Наша жизнь состоит из явлений стохастического характера, поэтому современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике. В начальной школе стохастика представлена в виде элементов комбинаторики, наглядной статистики, начальных понятий теории вероятностей. При этом знакомство с первыми комбинаторными задачами практического характера отнесены ко второму классу, статистическими - третьему, знакомство с начальными понятиями теории вероятностей – к третьему.

Воспитание интереса младших школьников к математике, развитие их математических способностей невозможно без решения занимательных и нестандартных задач. Начиная с первого класса, при решении такого рода задач детям необходимо логически обосновывать свои рассуждения, формулировать утверждение, обратное данному, проводить несложные классификации, приводить примеры и контрпримеры.

Дидактический материал

Предлагаемое пособие представляет собой набор заданий, которые предназначены для отработки математических умений (быстро и правильно вычислять, решать текстовые и занимательные задачи) и дополняют практическую часть учебника «Математика» для 2-го класса авторов Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой и др.

Пособие ориентировано на методическую систему данного учебника, поэтому содержание и последовательность заданий соответствует учебнику.

Основное назначение пособия - помочь учителю в поиске дополнительного материала к уроку математики и в осуществлении дифференцированного подхода в обучении: задания могут быть использованы для групповой и индивидуальной работы в классе на этапе систематизации, повторения и обобщения ранее изученного в том случае, если учитель посчитает это необходимым.

Некоторая часть упражнений сборника может быть выполнена в самом пособии, в основном это относится к разделу «Занимательные и нестандартные задачи»: все вспомогательные модели, необходимые для работы с такими задачами, даны в пособии.

В целом дидактический материал предназначен для работы на уроке, но если по какой-либо причине школьник длительное время не посещал занятий, то материал может быть использован для развития умений и навыков, закрепления, повторения изученного под руководством взрослых дома.

Задания из данного пособия могут быть предложены и в качестве домашней работы. Материалы из разделов «Вычислительные навыки» и «Текстовые задачи» предлагаются как часть заданий, относящихся к необходимому уровню (инвариант), материалы из раздела «Занимательные и нестандартные задачи» - как часть заданий, относящихся к уровню авторской программы (вариативная часть).

Все инструкции к заданиям пособия читаются и разъясняются в совместной работе взрослого и ребёнка: прежде чем ребёнок приступит к выполнению работы, взрослый должен быть убеждён,  что ребёнок задание понял.

Сборник задач по математике для начальной школы (пособие для учителя).

От современной общеобразовательной школы требуется дать детям те знания, обучить тем умениям и развить те навыки, которыми современный ученик может воспользоваться в своей дальнейшей жизни. Знания становятся не самоцелью, а условием личностного развития каждого школьника. Важность их заключается не в их накоплении, а в возможности с их помощью решать жизненные задачи.

Международные мониторинговые исследования качества математического образования школьников свидетельствуют о достаточном уровне их предметных математических знаний и умений. Однако исследования, направленные на оценку способности применять полученные в результате обучения математические знания и умения в жизненных ситуациях, выявили невысокие результаты российских школьников.

Одним из средств успешного формирования математической компетентности являются компетентностные задачи. Использование «задачного» обучения при формировании математической компетентности оправдано по следующим причинам:

1. Задача является одним из способов задания цели обучения математике и дидактическим средством её достижения.
2. Решение учащимися комплекса задач направлено на формирование у них способностей интегрировать теоретические математические и методические знания и умения, которые являются основой для формирования математической компетентности.
3. Последовательность решения задач по возрастающей сложности способствует продвижению уровня сформированности математической компетентности у учащихся от низкого к более высокому.

Представленные в сборнике задачи позволят сформировать следующие умения и навыки:

• составление и анализ различных математических моделей;
• применение справочников и таблиц;
• прикидки, оценки порядков величин;
• действия с различными величинами;
• методы контроля правильности решения.

Всё это способствует более глубокому усвоению теоретических положений, развитию логического мышления и математических способностей, формированию умения применять математические знания на практике, а также позволяет в ряде случаев представить школьникам задачи с экономическим содержанием.

Сборник рассчитан на учителей начальных классов, работающих по разным учебно-методическим комплектам.

Учитывая, что часть задач сборника отличается от задач школьных учебников (некоторые составлены специально именно для этого сборника), а часть учителей начальных классов не сталкивались с подобными задачами в повседневной работе, к каждой «новой» задаче приведено решение или дан ответ для того, чтобы облегчить работу учителя. Наиболее трудные задачи отмечены знаком «*». В конце сборника приведён список литературных источников, материалы которых были использованы при составлении сборника или будут полезны учителю в дальнейшей работе по формированию математической компетентности младших школьников.

Стохастика в начальной школе. Сборник задач (пособие для учителя).

До недавнего времени российское школьное образование приучало учащихся подходить к оценке явлений реальной действительности лишь согласно законам дедуктивного метода, всё имеет причинно-следственный характер, строго определено и трактуется однозначно. Однако есть целый класс задач, имеющих большое значение как в науке, так и в её приложениях, в которых результат действия однозначно не определен. Это — стохастические задачи. Стохастический (от греческого - умеющий угадывать) - случайный, вероятностный.

Решение таких задач требует хорошей математической подготовки, определённого стиля мышления.

В Концепции структуры и содержания общего среднего образования подчёркивается, что «обновление содержания математики связано прежде всего с введением в школьный курс вероятностно-статистического материала, необходимого для жизни в современном обществе».

В содержании стохастической линии выделяются три взаимосвязанных направления, каждое из которых в той или иной мере проявляется на всех ступенях школы: 1) подготовка в области комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и логического развития учащихся; 2) развитие умений, связанных со сбором, представлением, анализом и интерпретацией данных; 3) формирование представлений о вероятности случайных событий и умений решать вероятностные задачи.

Включение в программы общеобразовательной школы элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики — один из важнейших аспектов модернизации содержания российского математического образования.

Учебники «Математика» Образовательной системы «Школа 2100» являются одними из первых, в которых в соответствии с изменениями, вносимыми в курс математики основной школы, целенаправленно ведётся работа по ознакомлению учащихся начальных классов с вероятностно-статистическими подходами к анализу явлений повседневной жизни. В учебниках содержательно-методическая линия «Элементы стохастики» представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики. С их изучением тесно связано формирование у младших школьников отдельных комбинаторных способностей, вероятностных понятий («чаще», «реже», «невозможно», «возможно» и др.), статистической культуры. Формированию первоначальных статистических понятий способствуют представленные в учебниках стохастические игры, элементы моделирования, опыты со случайными исходами, простейшие статистические исследования. Эта линия органично сочетается с традиционными вопросами курса, способствует развитию внутрипред-метных и межпредметных связей (в частности, математики и естествознания), позволяет осуществлять прикладную направленность курса, раскрывает роль современной математики в познании окружающей действительности, формирует мировоззрение.

В процессе изучения стохастики у школьников получают дальнейшее развитие такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др.

Принимая во внимание, что многие понятия комбинаторики и теории вероятностей базируются на важнейших понятиях теории множеств, теории графов и математической логики, в сборнике представлены соответствующие задачи из этих разделов математики.

Задачи сборника сосредоточены в трёх разделах: «Графы и комбинаторные задачи», «Вероятностные задачи», «Статистические задачи» помогут школьникам:

1. получить элементарные представления о таблицах и графах (задачи № 1.1-1.49);
2. научиться осуществлять несложный перебор всех возможных вариантов при решении простейших комбинаторных задач:

        -на нахождение числа пар элементов, каждый из которых принадлежит отдельному множеству (задачи № 1.77-1.103);

• на нахождение числа троек элементов, каждый из которых принадлежит отдельному множеству (задачи № 1.104-1.112);
• на нахождение числа перестановок без повторений и с повторениями из двух (трёх, четырёх) элементов (задачи № 1.113-1.174);
• на нахождение числа сочетаний без повторений и с повторениями из двух элементов, принадлежащих множеству, состоящему из трёх (четырёх) элементов (задачи № 1.175-1.204 );
• на нахождение числа размещений без повторений и с повторениями из двух элементов, принадлежащих множеству, состоящему из трёх (четырёх) элементов (задачи № 1.205-1.228);

3)        развить интуитивное представление о вероятностной природе
реального мира в ходе решения задач, в которых:

-        развивается логическое мышление (задачи № 1.50-1.76,
1.229- 1.255);

• происходит знакомство с принципом Дирихле (задачи № 2.1-2.39);
• вводятся вероятностные понятия «чаще», «реже», «невозможно», «возможно», «случайно» (задачи № 2.40-2.62);
• вводятся вероятностные понятия «достоверное событие», «невозможное событие», «случайное событие» (задачи № 2.63-2.80);
• формируются умения находить вероятность какого-либо события (задачи № 2.81 - 2.106);

4)        научиться понимать и интерпретировать статистические резуль
таты, проводить простейшие статистические исследования в ходе
решения задач, в которых:

• предлагаются задания, связанные с записью данных, содержащихся в тексте, в таблицу (задачи № 3.1-3.7, 3.24-3.32);
• предлагаются задания, связанные с чтением информации, заданной в таблицах (задачи № 3.8-3.23, 3.33);
• формируются первоначальные представления о сборе и накоплении данных (задачи № 3.34-3.44);
• приобретается первоначальный опыт проведения простых стохастических экспериментов (задачи № 3.45-3.52);
• предлагается нахождение средних значений (задачи № 3.53-3.75);
• предлагается для чтения информация, заданная с помощью линейных, столбчатых и круговых диаграмм (задачи № 3.76-3.107);
• происходит знакомство с играми, в которых ход участника определяется с помощью стохастического эксперимента (задачи № 3.108-3.138);

5)        получить элементарное представление об арифметических
играх и выигрышных стратегиях (задачи № 3.139-3.157).

В сборник включены и другие виды задач. (Детально методика работы с подобными задачами рассмотрена в методических указаниях к учебникам «Математика»).

Поскольку с большинством задач сборника многие учителя начальных классов ранее не сталкивались в повседневной работе, а методы их решения изучали лишь в вузах или колледжах, то практически к каждой «новой» задаче в разделе «Ответы и решения» приведено решение или дан ответ. Необходимые справочные материалы даны в разделе «Теоретические основы».

Сборник направлен на то, чтобы помочь учителю формировать у школьников устойчивые знания, умения и навыки решения стохастических задач стандартными методами и способами. В сборник включены также задачи, решение которых требует нестандартных приёмов мышления, а также серьезной математической подготовки. Такие задачи в тексте отмечены знаком «*».

При решении некоторых задач с большим объёмом вычислений целесообразно предложить школьникам воспользоваться микрокалькулятором .

Сборник в первую очередь рассчитан на учителей начальных классов, работающих по учебникам Образовательной системы «Школа 2100». Его материалы являются содержательным и методическим дополнением к учебникам «Математика» Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких. Вместе с тем сборник будет полезен учителям, работающим по другим учебно-методическим комплектам. Его материалы могут быть использованы как на уроках, так и во внеурочное время (в работе кружков, при проведении математических утренников, викторин, олимпиад и конкурсов и др.).