Нестандартные задачи по математике
методическая разработка по математике (2 класс) на тему

Латыпова Ляйсан Раисовна

гимназия № 25

учитель начальных классов

г. Нижнекамск

                                            Как решать нестандартные задачи.

Известно, что решение текстовых задач представляет собой большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи.

Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат  и важное условие общего развития ученика.  И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и  изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторое математические задачи можно инсценировать.

Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:

1. о числе элементов некоторого множества;
2. о движении, его скорости, пути и времени;
3. о цене и стоимости;
4. о работе, ее времени, объеме и производительности труда.

Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.

Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!

Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логических рассуждений. Можно также предложить сильным ученикам построить рассуждение, понятное для других.

Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят это, - замечательно. Учитель может и сам показать это. Однако, недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся в первом классе способны к таким аналогиям. А во-вторых, в  нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.

Задача 1. Портфель Коли помещается в портфеле Васи, а портфель Васи можно спрятать в портфель Севы. Какой из этих портфелей самый большой?

Эта задача – о свойствах предметов.  Но о размерах портфелей сообщается опосредственно – через возможность одному из них поместиться в другом. Заметим, что эти свойства не эквиваленты: если один портфель не помещается в другом, то из этого следует, что он больше. Но если портфель помещается в другом, то из этого следует, что он меньше. Нужно добиться четкого решения задачи в три ступени:

1) так как портфель Коли помещается в портфеле Васи, то портфель Коли меньше портфеля Васи;

2) так как портфель Васи можно спрятать в портфеле Севы, то портфель Васи меньше портфеля Севы;

3) так как портфель Коли меньше портфеля Васи, а портфель Васи меньше портфеля Севы, то портфель Севы самый большой.

При анализе решения желательно сопроводить этот сюжет рисунком на доске и в тетрадях: изобразить портфели в виде отрезков с буквами К, В, и С:

К    

В

С

С самого начала нужно приучать детей изображать отрезками любые объекты, о которых известно, что один из них больше другого или равен ему.

Задача 2. Если провести стеклом по мрамору, на мраморе окажется царапина. А если провести алмазом по стеклу, царапина останется на стекле. Какой из этих материалов самый твердый?

В этой задаче известны результаты взаимодействия веществ, а вывод требуется сделать об их сравнительной твердости.  Решение трехзвенное:

1. стекло тверже мрамора, так как оставляет на нем царапину;
2. алмаз тверже стекла, так как оставляет на нем царапину;
3. следовательно, алмаз – самый твердый из этих трех материалов.

Задача 3. Мама вымыла пять тарелок, а две уже вытерла. Сколько тарелок еще мокрые?

                                                                                     Ответ: 3.

                                                                                      Тарелки надо нарисовать, под двумя                            

    С             С                                                           написать С(сухие).

                                                                                  Записать действие: 5 – 2 = 3.

      Задача 4. Вася переломил плитку шоколада, потом переломил одну из получившихся частей. На сколько частей переломил Вася плитку шоколада?

Ответ: 3.        

После первого разлома стало две части, а после второго – три. Необходимо продемонстрировать это на любом примере: разорвать лист или разломать палочку.

Задача 5. Один нехороший человек всегда говорит неправду. Что он ответит на вопрос: «У Вас один нос или два?»?

Ответ: Два.

Он ответит так потому, что  всегда говорит неправду. Хорошо бы выслушать такой аргументированный ответ и у наиболее слабых учащихся.

Задача 6. На сколько частей можно разделить лист бумаги двумя непересекающимися прямыми линиями?

                   1

       2

               3

Ответ: На 3.Это сразу видно на рисунке.

Задача 7. В классе 24 человека. Сколькими способами можно выбрать из них дежурного на 1 сентября?

Смысл задачи в том, чтобы на простом примере разобраться в  терминологии комбинаторных задач. Что значит «Сколькими способами»? Можно сказать, что одним: ведь выбрать надо одного дежурного. Но в качестве него можно выбрать любого из 24 человек. В этих случаях и говорят: «Сколькими способами? – двадцатью четырьмя». Это ответ задачи. Полезно вначале не разбирать ее в классе, а задать на дом и  посмотреть, кто как понял вопрос. И после этого объявить, что значат слова «Сколькими способами?»

Задача 8. Юля сидит на парте, второй спереди и четвертой сзади. Сколько парт в ряду?

Ответ: 5.

Это можно понять из рисунка:

Ю

Задача 9. Сколько нулей во всех числах от 1 до 100?

Ответ: 11.

По одному нулю имеется в числах 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – девять нулей. Еще два нуля в числе 100. Итого 11 нулей.

Задача 10. Расшифруй этот пример: А + А = 6. В нем буква А обозначает в обоих случаях одну и ту же цифру.

Ответ: 3 + 3 = 6

Задача решается подбором. Нужно лишь понять, что вместо буквы А надо писать какую-нибудь цифру, одну и ту  же в обоих случаях. Можно спросить, почему не годится цифра 1 (потому что 1 + 1 = 6 – неверно). Далее можно проверить цифру 2 и, наконец, цифру 3. Полезно заменить, что если взять цифру 3, то результат будет больше 6. То есть ответ здесь единственный.

Задача 11. Как с помощью сосудов емкостью 4 л и 6 л налить из водопроводного крана 2 л воды?

Ответ: Наполнить 6-литровый сосуд и из него наполнить 4-литровый сосуд; тогда в 6-литровом останется ровно 2 литра.

Задача 12. Маша купила две поздравительные открытки к Новому году для Веры и Люси. Сколькими способами она может определить, какой из подруг надписать какую открытку?

Ответ: двумя способами.

 Первый способ: Первую Вере, вторую Люсе, Второй способ: первую Люсе, вторую Вере.

Задача 13.  Витя, Коля и Петя ездят в школу на трамвае вместе. Петя тратит на поездку 10 минут. Сколько времени они едут в школу вместе?

Это задача – шутка, направленная против бездумного сложения при слове «вместе». Конечно, все дети едут одновременно 10 минут.

Задача 14. Каждый из трех городов соединили дорогой с двумя другими. Сколько получилось дорог?

Здесь необходим чертеж, из которого сразу виден ответ: 3.

Возможна «живая картина». К доске вызываются жители трех городов: Москвы, Санкт-Петербурга и Казани (хорошо, если им на грудь будут приколоты знаки: М, С – Пб и К). Они выстраиваются у доски  треугольником и между ними протягиваются веревки, обозначающие дороги. Все видят, что дорог  три.

Задача 15. Из клетки взяли 3 цыплят  и посадили в нее 3 кроликов. Как изменилось число ног в клетке?

Ответ: Увеличилось на 6.

Каждый кролик взамен цыпленка даст лишние  две ноги.

Задача 16. Каждую из четырех точек соединили отрезками с тремя другими. Сколько получилось отрезков?

Здесь необходим чертеж, из которого  сразу виден ответ: 6.

5

4

2

1

6

3

Задача 17. У Гали и Кости 8 игрушек. Гале подарили еще 2 игрушки. Сколько стало игрушек у Гали и Кости вместе?

Ответ: 10 игрушек.

Ведь если одно из слагаемых увеличить на 2, а второе не менять, то сумма увеличится на 2.

 Задача 18. Петя и Вася обменялись рукопожатиями и подарили друг другу по одной свой фотографии. Сколько было рукопожатий? Сколь понадобилось фотографий?

Ответ: одно рукопожатие; две фотографии.

Это выясняется инсценировкой. Надо вызвать к доске учеников (лучше всего, если это будет Петя и Вася, а если нет, то полезно переименовать действующие лица в задаче). Они держат в руках фотографии (или что-нибудь другое). Кроме того, нужно вызвать к доске еще одного ученика – счетчика. Пусть Петя и Вася пожмут друг другу руку, счетчик объявит, что произошло одно рукопожатие, и все дети запишут этот результат. Потом Петя и Вася обменяются фотографиями, а счетчик отметит, что фотографии понадобилось две, и все запишут этот результат.

Задача 19. Какая из этих сумм больше:

1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 9 или 2 + 4 + 6 + 4 + 6 + 8 ?

Ответ: Суммы одинаковы.

Это можно получить простым подсчетом (и там, и там 30), а можно и таким рассуждением: во второй сумме каждое  из первых трех  слагаемых на единицу больше, чем в первой сумме, а каждое из последних трех на единицу меньше. Заметим, что не нужно говорить, какой из двух способов  лучше: оба они одинаково быстрые, а значит, лучше тот, который придумал ты сам.

Задача 20. Из клетки с зайцами торчат 12 ушей. Сколько в ней зайцев?

Ответ: 6.

Для решения нужно нарисовать 12 ушей и считать их парами.