Задачи к олимпиадам по математике
олимпиадные задания по математике по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа №7 города Белово»

Задачи

 к олимпиадам

по математике

          Подготовила:

Белова Лариса Сергеевна,

учитель начальных классов

 МОУ ООШ №7

города Белово

Белово 2010

Задача №1. Какой вес ?

У продавца были гири :
1 кг, 2 кг и 4 кг и чашечные весы.

Какой вес он может взвесить с помощью этих гирь, если гири он кладет только на одну чашку весов ?

Ответ:

Самый маленький вес, который можно взвесить с помощью указанных гирь - 1 кг, самый большой :

1 + 2 + 4 = 7 кг.

Можно также взвесить : 2 кг, 4 кг.

Также можно взвесить :

1 + 2 = 3 кг;
1 + 4 = 5 кг;
2 + 4 = 6 кг .

Ответ : можно взвесить любой вес от 1 кг до 7 кг включительно.

Задача №2. Сколько книг ?

В библиотеке на двух полках было 19 книг.

Купили новые книги и на каждую полку поставили еще столько книг, сколько было на ней.

Сколько теперь книг стоит на двух полках ?

Ответ:

Число 19 представляет собой сумму двух слагаемых :

• числа книг на первой полке
• и числа книг на второй полке.

Каждое слагаемое увеличили вдвое, следовательно и сумма увеличилась в два раза и стала равна 19 х 2 = 38. Ответ : 38 книг.

Задача №9. Закончи фразу

Составим перевертыш или фразу, которая читается одинаково слева направо и справа налево. Вот ее первая часть, превышающая половину: "аргентинам…". Постарайся теперь построить перевертыш.

Ответ:

Если здесь написана первая часть фразы, превышающая половину, то какая буква из написанных может служить центром фразы? Только буква м, так как она не повторяется. Значит, нужно после буквы м написать все буквы в обратном порядке:аргентина м анитнегра. Правильно разбив фразу на слова, получим: "Аргентина манит негра". Это аналогично знаменитой фразе из "Золотого ключика": "А роза упала на лапу Азора".

Ответ: Аргентина манит негра.

Задача 10. Считаем цифры

Вася написал все числа от 1 до 1000. Сколько цифр написал Вася?

Ответ:

Первые девять однозначных чисел написаны девятью цифрами.

Двузначные числа от 10 до 99 требуют по две цифры. А так как этих чисел 99 - 9 = 90, то на их написание ушло 180 цифр.

На трехзначные числа (а их 999 - 99 = 900) ушло 3 х 900 = 2700 цифр. И на число 1000 потрачено четыре цифры. Общее число написанных Васей цифр равно: 9 + 2 х 90 + 3 х 900 + 4 = 2893 цифры.

Ответ: 2893.

Задача №11. Разгадываем ребус

Чему равно А:  * х А = *А?

Ответ:

В этом ребусе однозначное число, обозначенное звездочкой, умножено на однозначное число А. Произведение – двузначное число, оканчивающееся на цифру А, первая цифра этого числа - любая.

А не равно 1, так как первый множитель однозначен, а произведение двузначно.

А может равняться 2 в примере 6 х 2 = 12.

А может равняться 4 в примере 6 х 4 = 24.

А может равняться 5 в примерах 3 х 5 = 15, 5 х 5 = 25, 7 х 5 = 35 и 9 х 5 = 45.

А может равняться 6 в примере 6 х 6 = 36.

А может равняться 8 в примере 6 х 8 = 48.

Ответ: 2, 4, 5, 6 или 8.

Задача №12. Подарок брата

Роман и Федор - два брата. У них вместе 100 марок. В день рождения Федора Роман подарил ему 20 марок,

и у них стало одинаковое количество марок. Сколько марок было у Романа и Федора до этого?

Ответ:

Если у двух братьев вместе было 100 марок, то изменилось ли это количество после того, как один брат подарил другому 20 марок ? Конечно нет. Если у каждого брата после подарка марок стало одинаково, то по сколько штук стало марок у каждого ? 100 : 2 = по 50 марок. Если у Романа стало 50 марок, а он отдал брату 20 марок, сколько у него было марок ? 50 + 20 = 70 марок. Если у Федора стало 50 марок, а получил он от брата 20 марок, сколько у него было марок ? 50 - 20 = 30 марок. Ответ: 70 марок у Романа и 30 марок у Федора.

Задача №2. Из прямоугольника - квадрат !

Как из бумажного прямоугольника получить КВАДРАТ, не используя более никаких предметов ?

Ответ:

Решение видно из рисунка:

Задача №4. Переложи 2 палочки

Переложи 2 палочки так, чтобы получилось три треугольника ! 

*   *   *

Ответ:

Ответ виден из рисунка :

        Задача №8. Как убрать ?

На столе лежат три палочки.
Как убрать из середины самую короткую, не трогая ее ?  

Так было вначале.

Переложим зеленую палочку на новое место : справа от синей палочки.

А можно было зеленую палочку не трогать, а переложть синию палочку слева от зеленой.

В любом из этих случаев красная палочка уже не лежит посередине.

Числовые ребусы

ЧАЙ : АЙ = 25

Ответ: 625 : 25 = 25

ДА + ДА + ДА = ЕДА

Ответ: 50 + 50 + 50 = 150

КОШКА + КОШКА + КОШКА = СОБАКА (в этом ребусе два решения)

Ответ: Первый вариант: 56350 +56350 + 56350 = 169050

Второй: 57350 + 57350 + 57350 = 172050

ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР

Ответ: 18969 + 18969 = 37938

ABCDE x 4 = EDCBA

Ответ: 21978 x 4 = 87912

П        Р        И        М        Е        Р

         Р        И        М        Е        Р

                  И        М        Е        Р

                           М        Е        Р

                                    Е        Р

                                             Р

-        -        -        -        -        -

З        А        Д        А        Ч        А

Ответ: ПРИМЕР = 851745, ЗАДАЧА = 906030

ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ

Ответ: 85679 + 85679 = 171358

НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ

Ответ: 15306 + 15306 = 30612

ОДИН + ОДИН = МНОГО

Ответ: 6823 + 6823 = 13646

ЛЮБА + ЛЮБИТ = АРБУЗЫ

Ответ: 9321 + 93247 = 102568

КТО + КОТ = ТОК

Ответ: 495 + 459 = 954

АБ*ВГ = БББ

Ответ: 37*21 = 777 или 15*37 = 555

ДВА * ДВА = ЧЕТЫРЕ

Ответ: 459 * 459 = 210681

ЛИСА + ВОЛК = ЗВЕРИ

Ответ: 9573 + 8492 = 18065

ДЕСЯТЬ : ДВА = ПЯТЬ

Ответ: 385024 : 376 = 1024

В этом примере на умножение присутствуют все цифры от 0 до 9, причем каждая цифра встречается только однажды (цифры в промежуточных выкладках в расчет не идут). Решите этот пример. Чтобы вам было от чего отправляться, мы вписали во второй сомножитель одну цифру.

        X X X

           X 5

--------------

X X X X X

Ответ: 396 * 45 = 17820

ОХОХО + АХАХА = АХАХАХ

Ответ: 90909 + 10101 = 101010

Задачи

Кирпич весит килограмм и полкирпича. Сколько весит кирпич?

Ответ: 2 килограмма.

Последовательность

Какое число должно стоять вместо вопросительного знака?

4    5    6    7   8    9

61  52  63  94  46   ?

Ответ:

Числа нижнего ряда являются квадратами чисел верхнего ряда с переставленными цифрами. Вместо вопросительного знака должно стоять число 18.

В каком порядке стоят цифры?

8 2 9 0 1 5 7 3 4 6

Почему цифры расположены именно так? В каком порядке они стоят?

Ответ: Цифры стоят в алфавитном порядке: 8 (Восемь), 2 (Два)

В приведенной ниже таблице числа расположены в соответствии с определенной закономерностью. Установите эту закономерность и назовите число, которое следовало бы вписать в пустое место таблицы.

3      12     6

4      16     8

5      20     ...

Ответ:

На пустом месте должно стоять число 10.

Принцип: первое число в ряду умножить на два = последнее в ряду, последнее умножить на два = среднее

Продолжите последовательность:

П В С ? П С В

Ответ:

Пропущенная буква - Ч (четверг)

8809 = 6

7111 = 0

2172 = 0

6666 = 4

1111 = 0

3213 = 0

7662 = 2

9312 = 1

0000 = 4

2222 = 0

3333 = 0

5555 = 0

8193 = 3

8096 = 5

7777 = 0

9999 = 4

7756 = 1

6855 = 3

9881 = 5

5531 = 0

2581 = ?

Ваш ответ?

Ответ:

Правильный ответ: 2

Логика такая: надо посчитать количество кружочков в цифрах - 0,6,9 - один кружочек, 8 - два кружочка, остальные цифры - ни одного кружочка, т.е. ноль.

Какой принцип?

13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, ...

Ответ:

В последовательность входят только те простые числа, для которых их палиндром (то же число, прочитанное от конца к началу) является другим простым числом. Таким образом, все числа этой последовательности естественным путем разбиваются на пары: 13 и 31, 17 и 71, 37 и 73, 79 и 97, 107 и 701...

Последняя буква

Какая последняя буква в ряду?

К О Ж З Г С ?

Ответ: Цвета радуги: Красный, Оранжевый, Жёлтый, Зелёный, Голубой, Синий, Филетовый. Таким образом следующая буква 'Ф'.

Лишнее слово

Какое из cлов здесь лишнее?

Сельдь, карась, лосось, плотва, окунь, треска, форель, кефаль.

Ответ: Окунь. В остальных словах - 6 букв.

Подберите пару

Выбеpите слово, котоpое должно стоять вместо многоточий из пpиведенного ниже списка, и обьясните свой выбоp:

Апельсин - банан

Войлок - галоши

Дом - ель

Жизнь - ...

Список: календаpь, звезда, дело, истина, Иванов, головоломка, Смаллиан, Фидо, комета, панк, тpолль, гоблин, монитоp, сапоги, Бочаpофф, очки, механизм, автомобиль, водка, пиво, бpед, ну, все, pегламент.

Ответ: Звезда. Первые буквы слов располагаются в алфавитном порядке.

Следующая буква

Отгадайте следующую букву в последовательности: П В Т Ч П Ш

Ответ: Следующая буква в этой последовательности: 'С'. Первый, Второй, Третий, Четвёртый, Пятый, Шестой, Седьмой.

Где закономерность?

Отгадайте закономерность расположения букв:

Первый ряд: А Г Д Е Ж И К Л М Н

Второй ряд: Б В З О

Ответ: В первом ряду расположены буквы, состоящие только из прямых линий.

Ряд букв

Какие буквы должны продолжить этот ряд: Б, А, В, Б, Г, В, Д, Г, Е ?

Ответ: Ряд состоит из двух частей: буквы на нечетных местах: Б, В, Г, Д, Е...; числа на четных местах: А, Б, В, Г... Поэтому ряд продолжается вот так: Д, Е, Е, Ё, Ё, Ж...

Логические задачи

а) Пьеро, Мальвина и Буратино спрятались от Карабаса в доме папы Карло. Один под корватью, бругой в шкафу, а третий в печке. Известно, что Буратино в печку не полез, Мальвина не пряталась под кроватью и в печке. Кто где спрятался?

б)Когда Емеле исполнилось 12 лет, он отметил свой третий день рождения. Сколько лет будеи Емеле, когда он отметит свой день рождения в четвёртый раз?                    ( 16 лет. Родился 29 .02.)

в)Винни-Пух и Братец Кролик живут в разных домах возле одной и той же реки. Когда Пух пошёл в гости к Братцу Кролику, ему пришлось два раза переходить реку в разных местах. На одном или  на разных берегах живут Вини-Пух и Братец Кролик?         ( на одном. Попробуйте представить путь В.-Пуха)

Комбинаторные  задачи.

№1

а) Представь, что у тебя 4 разноцветных воздушных шарика разной формы. Нарисуй их и

раскрась.

б)Тебе предложили выбрать 2 шарика различной формы. Сколько  возможных вариантов

 выбора? Раскрась их.

                   ( подсказка учителю- 5 вариантов. Обратить внимание на « разные формы»

№2

   а) У Димы 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зелёных. Нарисуй и раскрась эти яблоки.

б)Дима съел 2 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? ___________________

( помогаем себе рисунками)

 Сколько вариантов ответа у  тебя получилось?______                               (3)

в) Дима съел 3 яблока. какого цвета могли быть эти яблоки?__________

Сколько вариантов ответа у  тебя получилось?______                                   ( 3) ккз, ззк, ккк

г)Дима съел 4 яблока. какого цвета могли быть эти яблоки?__________ Сколько вариантов

 ответа   у  тебя получилось?______  (3)

Текстовые задачи

Задача

Трава на лугу растёт равномерно. Известно, что 30 коров съедают всю траву за 60 дней, а 70 коров – за 24 дня. Сколько коров съедят всю траву на лугу за 96 дней?

Решение

Это одна из красивых арифметических задач, которые хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений.

Итак, известно, что:

30 коров за 60 дней съедят всё поле и ту траву, которая на нём вырастет за 60 дней

70 коров за 24 дня съедят всё поле и ту траву, которая на нём вырастет за 24 дня.

Следовательно:

Всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 60 дней, одной корове хватит на 30*60=1800 дней.

Всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 24 дня, хватит одной корове на 70*24=1680 дней.

Отсюда, травы, которая вырастет на поле за 60-24=36 дней, хватит одной корове на 1800-1680=120 дней.

Значит всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 60+36=96 дней, хватит одной корове на 1800+120=1920 дней

А то, что одна корова съест за 1920 дней, за 96 дней съедят 1920/96=20 коров.

Ответ: за 96 дней всё поле съедят 20 коров.

Комбинаторные задачи

Бег с препятствиями

На дорожках стадиона расставлены барьеры (число барьеров на каждой дорожке указано на рисунке).

Кенгуру хочет пробежать от старта до финиша, препрыгивая через наименьшее возможное число барьеров.

Сколько раз Кенгуру придется перепрыгнуть через барьеры?

        (A)11;   (B) 8;  (C) 10;   (D) 18;   (E) 6;  

Решение №1. Дорожек в парке не так много. Перебираем все возможные пути от старта до финиша. Найдем, что ответ равен 10.

Решение №2. Разобьем весь стадион на треугольники. В каждом треугольнике отбросим "невыгодную" сторону. Ту, в которой число барьеров больше (или равно), чем сумма барьеров двух других сторон (это дорожки с числами барьеров 8, 6, 6, 7).

Остается единственный путь : 2+2+3+2+1=10. Верный ответ - (С).

Геометрические задачи

Задача 1. Ремонт водителям не помеха

На участке дороги идет ремонт.

Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром.

На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

(A)3 км;   (B) 5 км;  (C) 6 км;    (D) 10 км;   (E)Невозможно определить

Ответ:

Как видно из плана участка дороги, запасный путь отличается от прямого на:

3(км) + 3(км)=6(км). Ответ - (С).

Арифметика.

Задача 1.  

Чему равна сумма двух чисел, если она на 3 больше одного из этих чисел и на 4 больше другого?

(A)2;   (B) 4;  (C) 5;    (D) 7;   (E)14

Ответ:

Из условия непосредственно следует что второе число это 3, а первое - 4.

Тогда сумма равна 3 + 4 = 7.

Правильный ответ - (D).

Задача 2

Сережа шел по лестнице, шагая через ступеньку (первую ступеньку он пропустил).

При этом он считал шаги: " Один, два, три...".

После того, как он сказал "пять", оказалось, что осталась одна ступенька.

Сколько всего ступенек на лестнице?

(A)5;   (B) 7;  (C) 9;    (D) 11;   (E)12

Ответ:

Очевидно, что Сережа считал каждую четную ступеньку. Тогда он сказал: "пять" - на десятой ступени.

Так как осталась еще одна ступенька, всего - 11 ступенек.

Верен ответ - (D).

Логика.

Задача 4. Кто ближе к сыру: кошка или мышка?

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале.

Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике.

Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате.

Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно:

(A) кошка в комнате;   (B) мышка в норке;

(C) кошка в комнате или мышка в норке;  

(D) кошка в подвале, а мышка в комнате.

Ответ:

Сначала поищем, где сидит кошка в этот дождливый день.

По условию задачи, она может быть в двух местах: в комнате или в подвале.

Но в комнате кошка не может быть, так как сыр не лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале.

Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка - в подвале. По условию, в этом случае мышка - в комнате. Верный ответ - (D).