Урок-проект в 9 классе
Нетрадиционные уроки-проекты позволяют повысить интерес к предмету, активизировать деятельность обучающихся, развивают общеучебные и коммуникативные компетенции.Центральным звеном проектного обучения является проект- замысел решения проблемы. Характерную его особенность составляет отличие от уже существующих решений и проектов. Стремление найти лучшее, свое решение определяет основную мотивацию обучения.Так при изучении в 9 классе темы "Геометрическая прогрессия", учащимся предлагается самостоятельно изучить данную тему, представить её в виде презентации или буклета, найти задачи из жизни, где рассматривается геометрическая прогрессия, использовать свой творческий потенциал(так была сочинена Ода геометрической прогрессии).
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 proekt_po_algebre_na_temu.doc | 28 КБ |
 rabota_salahovoy.ppt | 433.5 КБ |
| prez_goryachkina.ppt | 696 КБ |
| maksima_bokova.ppt | 774.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Проект по алгебре на тему:
«Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»
Задачи, решаемые в группе:
- Изучить самостоятельно и разобрать в группе теоретический материал по теме «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии.»;
- Продумать, в каком виде преподнести материал:
- Обобщить, систематизировать, структурировать теоретический материал;
- Сопровождение теоретического материала практическими заданиями(примеры, иллюстрации ит.п.);
- Где можно ещё, кроме математики встретиться с геометрической прогрессией (в других предметных областях, при решении какого-либо рода практических задач или жизненных ситуаций и т.п.);
- Придумать самим какую-либо математическую задачу, или из других предметных областей, или из обыденной жизненной практики, на применение геометрической прогрессии;
- Продумать оформление проекта;
- Придумать название проекта (может быть, сочинить стих, оду, песню, частушку, сказку ит.п. о геометрической прогрессии);
- Исторические личности и геометрическая прогрессия;
- Продумать защиту проекта.
При работе в проекте вам предоставляется возможность:
- Использования дополнительной литературы (справочники, энциклопедии, учебники);
- Доступа к сети Интернет;
- Работы на персональном компьютере;
- Использования ватмана, маркеров, фломастеров и т.п.
Проект будет оценён по следующим критериям:
- Содержательная наполняемость проекта - 8 баллов;
- Грамотная, логически-структурированная подача материала – 10 баллов;
- Сопровождение теоретического материала практическими заданиями (примеры, иллюстрации ит.п.) – 8 баллов;
- Примеры с применением геометрической прогрессии в других предметных областях или в жизни -10баллов;
- Творческая работа группы (собственные придумки примеров, задач, сочинение стихов ит.п. о геометрической прогрессии) – 10 баллов;
- Оформление проекта -7 баллов;
- Защита проекта -10 баллов
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Историческая справка Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.
Определение геометрической прогрессии. Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Геометрическая прогрессия - последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Например 5, 10, 20, 40, 80, ¼ или 5, -10, 20, -40, 80, ¼ (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен –2).
Формула n -го члена геометрической прогрессии b n =b 1 q n-1 b 1 - первый член прогрессии q – знаменатель геометрической прогрессии Знаменателем геометрической прогрессии называется отношение каждого члена геометрической прогрессии, к предыдущему члену. С помощью формулы n- го члена геометрической прогрессии можно найти любой член геометрической прогрессии
Формула n -го члена геометрической прогрессии Пример ( b n ) – геометрическая прогрессия b 1 = 2 и q = -3, b 4 - ? Используем формулу n -го члена: b n =b 1 q n-1 b 4 = 2* -3 3 b 4 = -54
Пример В геометрической прогрессии b 1 =1 , b 2 =2. какой номер имеет член, равный 32. Решение. Пусть 32 – n- й член прогрессии, тогда, применяя формулу. 2 n-1 *1=32 2 n-1 =25 n -1=5 n =5=1 n=6
Пример из жизни Одна пара кроликов в год приплод в 50 крольчат. Если бы они все оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их число увеличилось бы в 625 раз, через 3 года в 15625 раз и т.д. Последовательность чисел 1, 25, 625, 15625... возрастает очень быстро – уже через 5 лет было бы 255, т.е. более девяти миллионов пар ,а еще через 5 лет кролики исчислялись бы биллионами.
Еще быстрее увеличилось бы количество растений мака, если бы каждое маковое зерно давало новое растение. В одной головке содержится примерно 3000 маковых зерен, и уже через 5 лет число потомков одного растения равнялось бы 3000 5 = 243 000 000 000 000 000.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Определение геометрической прогрессии Знаменатель геометрической прогрессии Примеры задания Г. П. Формула n -го члена Г. П. Решение задач : задача 1 задача 2 задача 3 задача 4
Пример геометрической прогрессии Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии. Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , ... .
Определение геометрической прогрессии Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Иначе говоря, ( b n ) - геометрическая последовательность, b n ≠ 0 и q - некоторое число, то b n +1 = b n ∙ q .
В нашей последовательности степеней числа 2 q =2 и b n +1 = b n ∙2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q . b n +1 / b n = q Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Примеры задания геометрической прогрессии 1. Если b 1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... 2. Если b 1 = - 5 и q = 2, то геометрическая прогрессия получится следующая -5; -10; -20; -40; ...
Формула n -го члена геометрической прогрессии Зная первый член и знаменатель Г.П., можно найти любой член последовательности: Мы получили формулу n -го члена геометрической прогрессии . b 2 = b 1 ∙ q b 3 = b 2 ∙ q = b 1 ∙ q 2 b 4 = b 3 ∙ q = b 1 ∙ q 3 b 5 = b 4 ∙ q = b 1 ∙ q 4 ... b n = b 1 ∙ q n-1 (*)
Решение задач Задача 1 В геометрической прогрессии b 1 =12,8 и q =1/4. Найдите b 7 . Решение: b 7 = b 1 ∙ q 6 =12,8∙(1/4) 6 = 128 / 10 . 2 12 = = 2 7 / 10 . 2 12 = 1/320.
Задача 2 Найдем восьмой член геометрической прогрессии ( b n ), если b 1 =162 и b 3 =18. Решение : используя формулу (*), найдем знаменатель q . Так как b 3 = b 1 ∙ q 2 , то q 2 = b 3 / b 1 =18 / 162=1/9. Решив уравнение q 2 = 1/9, получим q = ±1/3. Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Если q = 1/3, то b 8 = b 1 ∙ q 7 =2/27. Если q = -1/3, то b 8 = -2/27. Задача имеет два решения: b 8 = 2/27 и b 8 = -2/27 .
Задача 3 После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Решение : так как после каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8. Мы имеем Г.П.- ( bn ), b n = 760, а q = 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии : b 7 = 760∙(0,8) 6 ≈ 200 (мм рт. ст.).
Задача 4 Решение : 10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1. Имеем геометрическую прогрессию (с n ). с 1 = 1000 р., q = 1,1. с 4 – вклад через три года. Следовательно, с 4 = с 1 . q 3 = 10 00 . ( 1,1 ) 3 = 1 331. Через три года вклад будет равен 1331 р. Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?
Задания : Закончите фразу : Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел . . . . . . В геометрической прогрессии число q называется . . . . . . q можно найти по формуле . . . . . Формула нахождения n -го члена Г. П. такова . . . . .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Верно - неверно Верно, ли, что числовая последовательность является арифметической прогрессией, если для всех натуральных чисел n выполняется равенство:
Верно - неверно Верно, ли, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность:
Верно - неверно Верно ли, что разность арифметической прогрессии 5, 8, 11… равна 3?
Верно - неверно Верно ли, что если 7 и 14 последовательные члены геометрической прогрессии, то q= 7.
Верно - неверно Верно ли, что сумма n - первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:
Верно - неверно Верно ли, что n -ый член геометрической прогрессии находится по формуле:
Верно - неверно Верно ли, что для членов геометрической прогрессии справедлива закономерность:
Верно - неверно Верно ли, что если b 1= 500, q=1, то s 10 =5000?
Историческая справка. Важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филлиповичем Магницким (1669-1739г). Эта книга была издана при Петре І, в 1703г, и долгое время была настольной книгой всех образовательных русских людей. Великий русский ученный М.В. Ломоносов знал её наизусть и называл её вместе с учебником грамматики «вратами своей ученности».
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Попробуй реши.
ЗАДАЧА Некий человек продаёт коня за 156 рублей, купец уже было согласившись, передумал и сказал, что конь не стоит той цены. Тогда продавец предложил «Если тебе кажутся велика цена за коня, купи у меня гвозди, коими подбиты подковы, а самого коня возьми даром. А гвоздей в каждой подкове по шесть штук: за 1 гвоздь дашь мне полушку (1/4 копейки), за второй две полушки (1/2 копейки), за третий-копейку, и так все гвозди купи.» Купец, видя столь малую цену и желая даром взять коня, скоро согласился, ожидая небольше 10 рублёв за гвозди дать. И знать надлежит, на сколько тот купец проторговался.
РЕШЕНИЕ За 24 гвоздя подковных пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2 2 +2 3 +…+2 24-3 копеек. Числа 1/4, 1/2, 1+2,… образуют геометрическую прогрессию. Сумма эта равна
Т.е около 42тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу. Ответ: 4194303*3/4 копейки, или 41943 рубля 3 копейки и 3 полушки.
В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м. и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м. от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды приносимой за 1 раз, достаточно для поливки только 1 грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца. ЗАДАЧА «Поливка огорода»
Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь 14+16+2,5+16+2,5+14=65 м. При поливки второй он проходит 14+2,5+16+2,5+16+2,5+14+2,5=70 м. Каждая следующая грядка требует пути на 5 м. длиннее предыдущей. Имеем прогрессию: 65; 70; 75; …; 65+5*29. Сумма ее членов равна (65+65+29*5)*30/2=4125 м. Огородник при поливке все огорода проходит путь в 4,125 км. РЕШЕНИЕ
Индийцы увлекались большими числами. Легенды их говорят о том, что наибольшим почетом в народных собраниях пользовался тот, кто лучше всех считал. Вот одна из индийских легенд о знаменитой «шахматной задаче». Историческая справка.
Когда царь Шерам познакомился с игрой в шахматы он пришел в неописуемый восторг от столь мудрого изобретения. Узнав, что придумал её один из его подданных по имени Сета, царь велел позвать его во дворец, чтобы достойно наградить его за остроумную выдумку. Сета долго отказывался от награды, но наконец, увидев, что повелитель начинает проявлять нетерпение, он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвёртую – восемь и так далее, за все 64 клетки, удваивая каждый раз количество зерен. ЗАДАЧА «Шахматная задача»
Царь разочаровано махнул рукой обидевшись на Сету за его скромную просьбу, а он лукаво улыбнулся и отправился домой. В какой же ужас пришел Шерам, когда ему доложили, что не только в его кладовых, но и на всей земле не найдется такого количества зерна чтобы расплатиться с Сетой. ЗАДАЧА «Шахматная задача»
1,2,4,8,16,… - геометрическая прогрессия. 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен. Необходимо зернохранилище при высоте 4м, ширине 10м, длине 300 миллионов км – в 2 раза больше чем от Земли до Солнца. Для такого урожая необходимо поле, которое превосходит по величине всю сушу земного шара в 28 раз. РЕШЕНИЕ
Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на одну курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но т.к. в действительности число кур в неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени он был первоначально рассчитан? ЗАДАЧА «Кормление кур»
Пусть запасено х декалитров корма на у недель. Т.к. корм рассчитан на 31 курицу по 1 д/л на курицу в неделю, то х=31у. 1неделя израсходовано 31 д/л 2 неделя 30 д/л 3 неделя 29 д/л последняя неделя 31-2у+1 д/л Весь запас х= 31у=31-30+29+…+(31-2у+1), а 1 =31, а n =31-2у+1 - члены арифметической прогрессии. S n =31 у=(31+31-2у+1)/2=(63-2у)у. Т.к. у ≠0, то 31=63-2у, у=16, то х=496. Ответ: 16 недель, 496 декалитра. РЕШЕНИЕ
Служившему воину дано вознаграждение за 1 рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил вознаграждение 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран. ЗАДАЧА «Вознаграждение воина»
Пусть число ран n , то 1+2+4+8+…+2 n-1 =65535 . 1,2,4,8,… -геометрическая прогрессия, b 1 =1, b 2 =2, то q =2. S n =(1-2 n-1 *2)/(1-2)= 2 n -1=65535. 2 n =65536, 2 n =2 16 , n=16 . Ответ: воин имел 16 ран. РЕШЕНИЕ
Найти значение выражения
РЕШЕНИЕ №3 80*(1+81+81 2 +81 3 +81 4 +…+81 9 )+1 1,81,81 2 ,81 3 ,…,81 9 … b 1 =1, b 2 =81, q= 81, b n =81 9 S n =(1-81*81 9 )/(1-81)= (1-81 10 )/-80 80* (1-81 10 )/-80+1=-1+81 10 +1=81 10 .