Творческие и проектные работы учащихся

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Тригонометрические уравнения Метод введения переменной Примеры Самостоятельная работа Источники

Слайд 3

Тригонометрические уравнения Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Определение. Уравнения вида sin x = a ; cos x = a ; tg x = a ; ctg x = a , где x - переменная, a R , называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Слайд 4

Метод введения переменной Для того, чтобы решить уравнение методом замены переменной, надо обозначить тригонометрическую функцию через новую переменную и решить уже алгебраическое уравнение. После решения алгебраического уравнения не забудьте вернуться к той переменной, которая изначально была в примере, а то общее решение уравнения в итоге окажется неправильным.

Слайд 5

Как известно, метод замены переменной (метод подстановки) удобен в случае, если уравнение можно представить в виде F( k (x)) = 0 , где F и k — некоторые функции. Метод заключается в том, что вводят новую переменную t = k (x) . Тогда исходное уравнение принимает вид: F(t) = 0 . Находим корни последнего уравнения и для каждого его корня t решаем уравнение k (x) = t . В результате получаем корни исходного уравнения.

Слайд 6

Примеры Пример 1 Решите уравнение: 2 sin 2 x – 5 sin x +2 =0 Введем новую переменную: z = sin x . Уравнение принимает вид: 2 z 2 – 5 z +2=0 Это квадратное уравнение будем решать его через дискриминант. Найдем корни данного уравнения: z 1 = 2, z 2 =1/2. Отсюда, мы можем сделать вывод, что либо sin x = 2, либо sin x =1/2. sin x =2 sin x = 1/2 корней не имеет т.к | sin x |≤1 x = Ответ: x=

Слайд 7

Пример 1 Решите уравнение: cos 2 x – sin 2 x – cos x = 0 Воспользуемся тем, что sin 2 x = 1 – cos 2 x . Преобразуем наше уравнение: cos 2 x – (1 - cos 2 x ) – cos x = 0 С помощью простейших алгебраических преобразований получим: 2 cos 2 x – cos x -1 = 0 4) Введем новую переменную: z = cos x . 5) Уравнение принимает вид: 2 z 2 – z -1 =0 6) Это квадратное уравнение будем решать его через дискриминант. 7) Найдем корни данного уравнения: z 1 = 1, z 2 = . 8) Отсюда, мы можем сделать вывод, что либо cos x = 1, либо cos x = . cos x = 1 cos x = x 1 = 2 П n x 2,3 = x 2,3 = Ответ: x 1 = 2 П n ; x 2,3 = Примеры

Слайд 8

Самостоятельная работа

Слайд 9

1) sin 2 x - 5 sin x cos x = 3

Слайд 10

2) sin 2 x + 2 sin x cos x - 7 cos 2 x = -2

Слайд 11

3) sin 2 x + sin x cos x - 2 cos 2 x = 0

Слайд 12

4) 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. | × sin 2 x + cos 2 x 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 | × cos 2 x , t g 2 x + 4 t g x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 , корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) t g x = –1, 2) t g x = –3, Ответ:

Слайд 13

Источники www.pm298.ru www.mathtest.r u www.webmath.ru www. school.msu.ru

Слайд 14

Спасибо за внимание!

Слайд 1

Слайд 2

По преданию, Пифагор, сын Мнесарха, самосец, родился около 580 г. до н. э. на острове Самос, вблизи ионийского побережья Малой Азии. Первые познания он получил от своего отца, ювелира: в те времена эта профессия требовала многосторонней образованности. Есть указания, что его предки были сирийцами или финикинянами, и, может быть, еще в своей семье он приобщился к религиозной традиции Востока . Для тогдашней греческой молодежи посещение чужих стран было главным способом расширить запас знаний, и поэтому юность свою Пифагор провел в путешествиях. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы.

Слайд 3

На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Сейчас известно, что эта теорема была известна до него, но именно Пифагор первым доказал ее.

Слайд 4

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора, а в Египте это соотношение использовалось для построения прямого угла еще пять тысяч лет назад. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятиста, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих .

Слайд 5

Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

Слайд 6

Т е о р е м а: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. Дано: ΔABC AB 2 = BC 2 + AC 2 . Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 B 1 C 1 с прямым углом С 1 , у которого А 1 С 1 = АС и В 1 С 1 = ВС. По теореме Пифагора А 1 В 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 , и, значит, A 1 B 1 2 = AC 2 + BC 2 . Но AC 2 + BC 2 = АВ 2 по условию. Следовательно, А 1 В 1 2 = AB 2 , откуда A 1 B 1 = AB. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трем сторонам, поэтому угол С равен углу С 1 , т.е. треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана .

Слайд 7

Так выглядит страничка из Дневников Леонардо да Винчи, посвященная этой теореме.

Слайд 8

Существует так называемое дерево Пифагора - гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольных треугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами.

Слайд 1

Слайд 2

Что такое смешанное число? Смешанное число – это дробь, которая имеет целую и дробную часть.

Слайд 3

Переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел.

Слайд 4

Памятка сложения смешанных чисел Сложить отдельно целые и дробные части. Сложить целую и дробную часть Если нужно, то дробную часть можно сократить или выделить целую часть.

Слайд 5

Памятка вычитания смешанных чисел Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть. Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей. Сложить целую часть с дробной. Дробную часть можно сократить или выделить целую часть.

Слайд 6

Пример сложения смешанных дробей Найдем значение суммы 3 2/7 + 5 3/14. 3 2/7 = 3 + 2/7 ; 5 3/14 = 5 + 3/14 . Значит, 3 2/7 + 5 3/14 = 3 + 5 + 2/7 + 3/14 = 8 7/14 = 8 1/7 Пишут короче: 3 2/7 + 5 3/14 = 3 4/14 + 5 3/14 = 8 1/7

Слайд 7

Пример вычитания смешанных чисел 1 – ¾ = 4/4 – ¾ = ¼

Слайд 8

Теперь вы умеете складывать и вычитать смешанные дроби.

Слайд 9

Спасибо за внимание

Слайд 1

Слайд 2

Решите уравнение Выберите верный вариант ответа Корнями уравнения являются: 1) 2) 3) Решение

Слайд 3

Решение Применим формулу понижения степени и получим: Преобразуем по формуле суммы косинусов : Произведение равно нулю если один из множителей равен нулю, значит: или Ответ:

Слайд 4

Решите уравнение Выберите верный вариант ответа Корнями уравнения являются: 1) 2) 3) Решение

Слайд 5

Решение Применим формулу двойного угла и получим: Перед нами уравнение приводимое к однородным, умножим обе части уравнения на получим: Перед нами однородное уравнение второй степени, разделим обе части уравнения на получим:

Слайд 6

Решаем уравнение методом подстановки: Ответ:

Слайд 7

Решите уравнение Выберите верный вариант ответа Корнями уравнения являются: 1) 2) 3) Решение

Слайд 8

Решение Применим формулу двойного угла и получим: Перед нами уравнение приводимое к однородным, умножим обе части уравнения на получим:

Слайд 9

Вынесем общий множитель за скобки: Произведение равно нулю если один из множителей равен нулю, значит: или Пред нами однородное уравнение первой степени, раздели обе части уравнения на получим: Ответ:

Слайд 10

Формулы понижения степени

Слайд 11

Формулы суммы и разности

Слайд 12

Формулы двойного угла

Слайд 1

Слайд 1

Слайд 2

Взаимное расположение двух прямых Параллельность прямых, прямой и плоскости Параллельные прямые в пространстве Параллельность трех прямых Параллельность прямой и плоскости Взаимное расположение двух плоскостей Параллельность плоскостей Параллельные плоскости Свойства параллельных плоскостей Содержание

Слайд 3

Взаимное расположение двух прямых Две прямые совпадают если у них более одной общей точки Две прямые пересекаются если у них есть одна общая точка Две прямые параллельны если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (не имеют общих точек) Две прямые скрещиваются если они не пересекаются, не параллельны и через них нельзя провести плоскость b

Слайд 5

Параллельные прямые в пространстве Определение: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Слайд 6

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой , проходит прямая , параллельная данной, и притом только одна. Дано: а-прямая, M не лежит на а, M лежит на b Доказать: a|| b Доказательство: Через прямую а и точку М проходит плоскость , и притом только одна. Плоскость α . Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. должна лежать в плоскости α . Но в плоскости α ,как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а ,и притом только одна. Прямая b . Итак, b –единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана. а M b α

Слайд 8

Параллельность трех прямых Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пересекает эту плоскость. Дано: а, b -прямые, а пересекает α в точке М, a||b . Доказать: b пересекает α Доказательство: Обозначим буквой α плоскость, в которой лежат параллельные прямые a и b . Т.к.две различные плоскости α и β имеют общую точку М , то по аксиоме А3 они пересекаются по некоторой прямой p . Эта прямая лежит в плоскости α и пересекает прямую а ( в точке М ),поэтому она пересекает параллельную ей прямую b в некоторой точке N . Прямая р лежит также в плоскости β , поэтому N –точка плоскости β . Следовательно N -общая точка прямой b и α . a b α β p M N

Слайд 9

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны ДАНО: а || с, b|| с. Доказать: а ||b Доказательство: докажем, что а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой α плоскость , проходящую через прямую а и точку К . Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости . Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость α , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость α , но т.к.прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α ,что невозможно , ибо прямая а лежит в плоскости α . Прямые аи b не пересекаются, т.к. в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b ),параллельные прямой с ,что невозможно. Теорема доказана. α a b c K

Слайд 11

Параллельность прямой и плоскости Определение: Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Слайд 12

Теорема: Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Дано: α , a|| b , b лежит в α , а не лежит в α Доказать: a|| α Доказательство: от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α, а значит по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость α . Но это не возможно, т.к прямая b лежит в плоскости α . Итак, прямая а не пересекает плоскость α , поэтому она параллельна этой плоскости.

Слайд 13

Следствия Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной прямой, либо лежит в этой плоскости. β пересекает α по прямой b, a лежит в β , a|| b a|| b , а не лежит в α, b лежит в α.

Слайд 15

Взаимное расположение двух плоскостей α α α β β β Две плоскости совпадают если они имеют 3 общие точки, не лежащие на одной прямой Две плоскости пересекаются если они имеют общую прямую Две плоскости параллельны если они не пересекаются (нет общих точек)

Слайд 17

Параллельные плоскости Определение: Две плоскости параллельны если они не пересекаются. α β

Слайд 18

Теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: α и β - плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – прямые в плоскости β, a1 || b1, a2 || b2 Доказать: α || β Доказательство: Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме параллельных. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

Слайд 20

Свойства параллельных плоскостей Если α||β и они пересекаются с γ, то а||b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Слайд 21

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Слайд 1

Слайд 2

ВЕКТОРЫ Многие физические величины характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами ). Итак, вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его точек считается началом, а какая концом. Рисунок 1

Слайд 3

Любая точка плоскости также является вектором, в этом случае вектор называется нулевым . Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на координатной плоскости такой вектор изображается точкой. M K На рисунке 2 векторы M и K – нулевые Рисунок 2

Слайд 4

Длиной или модулем ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина вектора AB ( вектора a) обозначается так: AB (|a| ). Длина нулевого вектора считается равной нулю: | 0 | =0 a На рисунке 3 длина вектора a равна 5 Рисунок 3

Слайд 5

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ Чтобы говорить о равных векторах, предварительно введем понятие коллинеарных векторов. Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. На рисунке 4 векторы a, b , AB, CD, MM ( вектор MM нулевой) коллинеарны, а векторы AB и EF , а также CD и EF не коллинеарны Рисунок 4 b a M A B C D E F

Слайд 6

Коллинеарные векторы могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае они называются сонаправленными , а во втором – противоположно направленными . Вектор a сонаправлен с вектором b : a b. Вектор a противонаправлен вектору b : a b.

Слайд 7

Таким образом, векторы a и b равны, если a b и |a|=|b|. Равенство векторов a и b обозначается так: a=b . Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны .

Слайд 8

СУММА ВЕКТОРОВ Правило треугольника: При сложении векторов по правилу треугольника от произвольной точки плоскости откладываем вектора, равные данным, так, что начало одного вектора помещаем в нашу точку, а начало второго вектора помещаем в конец первого, и результатом будет являться вектор, проведенный из начала первого в конец второго. a b a b a+b

Слайд 9

Правило параллелограмма: При сложении векторов по правилу параллелограмма от произвольной точки плоскости откладываем вектора, равные данным, так, что начало этих векторов помещены в данную точку, затем достраиваем до параллелограмма, и результатом будет являться вектор, лежащий на диагонали, начало которой – данная точка, а конец – противоположная точка параллелограмма. a b a b a+b

Слайд 10

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a. Для любых векторов a и b справедливо равенство a-b=a+(-b) a b a b a-b

Слайд 11

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b , длина которого равна |k| |a| , причем векторы a и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k<0 . Из этого следует: Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. 2) Для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka коллинеарны.

Слайд 12

Свойства: Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства: ( kl)a=k(la) ( сочетательный закон). ( k+l)a=ka+la ( первый распределительный закон). 3. k(a+b)=ka+kb ( второй распределительный закон) .

Слайд 13

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ КОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ Если векторы a и b коллинеарны и a 0, то существует такое число k, что b=ka. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным способом. Пусть a и b – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p=xa+yb , где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a и b. Числа x и y называются коэффициентами разложения .

Слайд 14

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА i и j – координатные векторы. Направление вектора i совпадает с направлением оси Ox , а направление вектора j – с направлением оси Oy . Т.к. они не коллинеарны, любой вектор p можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p=xi+yj , причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным способом. j i O A B C 3i b -2j Рисунок 5

Слайд 15

Коэффициенты разложения вектора p по координатным векторам называются координатами вектора p в данной системе координат . Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p x ; y . На рисунке 5 OA 2;1 и b 3;-2 . Координаты нулевого вектора равны 0. Координаты равных векторов соответственно равны.

Слайд 16

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число: Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. a+b= + ; + Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. a-b= - ; - 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. a=xi+yj, ka=kxi+kyj x 1 x 2 y y 1 2 x x y y 1 1 2 2

Слайд 17

СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА И КООРДИНАТАМИ ЕГО НАЧАЛА И КОНЦА Вектор OM – радиус-вектор точки M . Координаты точки M равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.(рис.7) Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Пусть точка A имеет координаты ( x 1 ; y 1 ), а точка B – координаты ( x 2 ; y 2 ). Вектор AB равен разности векторов OB и OA (рис.6), поэтому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов OB и OA . Но OB и OA – радиус-векторы точек B и A , и, значит, OB имеет координаты {x 2 ; y 2 } , а OA имеет координаты {x 1 ; y 1 } . Следовательно, вектор AB имеет координаты {x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 } .

Слайд 18

Рисунок 6 Рисунок 7

Слайд 19

3 правила решения простейших задач в координатах: Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Расстоянием между двумя точками является вектор, равный квадратному корню из суммы квадратов разностей его координат.

Слайд 1

Слайд 2

Правило умножения обыкновенных дробей. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Пример: *5= = =

Слайд 3

Правило умножения дроби на дробь Чтобы умножить дробь на дробь, надо 1)найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2)первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем. Пример: * = =

Слайд 4

Правило деления дроби на дробь Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. Пример: : = * = * = =

Слайд 5

Повторение *6= = : = = * = * 2=

Слайд 6

Задачи с уравнением Задача 1 Рабочие работали три дня и выполнили часть работы. Какую часть работы выполнили рабочие за один день. Решение: За X возьмём часть работы за один день. Получим уравнение X * 3= X= : 3 X= Ответ: за один день они выполнили работы

Слайд 7

Задачи с уравнением Задача 2 Задание на технологии было задано сделать несколько деталей . Вася сделал от всего задания. Петя сделал от всего задания. На сколько больше деталей сделал Петя, чем Вася ? Решение: + y= Y= - = = Ответ: на Петя сделал больше деталей.

Слайд 8

Задачи с уравнением Задача 3 На заводе надо было расфасовать конфеты. Первый работник расфасовал , а второй . Во сколько раз первый работник расфасовал конфет больше, чем второй ? Решение: : a= A= : = А=21 Ответ: первый работник расфасовал в 21 раз больше, чем второй.

Слайд 9

Конец СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Слайд 1

Слайд 2

Теорема Пифагора Пифагор Самосский Учение Пифагора История теоремы Пифагора Применение теоремы Доказательства

Слайд 3

Первое Второе Третье Седьмое Шестое Пятое Четвёртое

Слайд 4

Пифагор Самосский

Слайд 5

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям.

Слайд 6

Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас. ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Слайд 8

Учение Пифагора В "Перечне математиков", приписываемом Евдему, о Пифагоре сказано так: "Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом". Пифагору приписываются создание основ планиметрии, правил построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, введение широкого и обязательного использования доказательств в геометрии, создание учения о подобии, доказательство теоремы о сторонах прямоугольного треугольника. Пифагор-математик был и одним из величайших философов, учение которого, к сожалению, не сохранилось до наших дней. Для всех - и высших, и низших - у Пифагора было мудрое изречение: "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность." Пифагор основал философскую школу - пифагореизм, в которой большое значение придается музыке и числам. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определял число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и выявил свойства чисел каждой группы. Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, эти- ческие, социальные и религиозные понятия получили математическую ок- раску. Науке о числах и других математических объектах отводится ос- новополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически ма- тематика объявляется философией. Как писал Аристотель, "...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также. "

Слайд 9

История теоремы Исторический обзор начнем с Древнего Китая . Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Слайд 10

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." Геометрия у индусов , как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Слайд 11

Применение теоремы Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.

Слайд 12

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d=2a, откуда: d=2a2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d2=a2+b2 Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем a=h+(a/2), или h=(3/4)a. Отсюда вытекает h=1/2 3a. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб , внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат рабро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем d=a+(2a), d=3a, d=3a. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d = a + b + c. Исследуем пирамиду , например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды). Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата ???(1/2*2a). Вследствие этого имеем: s=h+(1/2)a. Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней. h1= h+(1/4)a.

Слайд 13

Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон.

Слайд 14

Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила ??? на перекрываемую площадь." В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг.

Слайд 15

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) или b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p, откуда bp/2=b/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

Слайд 16

У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну." В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора .Неизвестно,как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Слайд 17

Из вершины A прямоугольного треугольника ABC, как из центра, проведем окружность радиуса b. Треугольники BCD и BCE подобны, отсюда , то есть . Теорема доказана.

Слайд 18

Рассмотрим треугольники ABC, ACD и DBC. Имеем: тогда Теорема доказана

Слайд 19

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Слайд 20

Геометрическое доказательство, приписываемое Пифагору Вот предполагаемое доказательство самого Пифагора. Построим квадрат, сторона которого равняется сумме катетов a и b данного прямоугольного треугольника Разделим этот квадрат на два квадрата и на два равных прямоугольника со сторонами a и b. В свою очередь, разделим эти прямоугольники на четыре равных прямоугольных треугольника I, II, II, IV. Укладывая эти треугольники так, как показывает рисунок, получим посредине квадрат . Отсюда следует, что квадрат со стороной a+b, уменьшенный в 2ab, дает в первом случае а во втором , и значит . Теорема доказана.

Слайд 21

Из рисунка видно, что разбиение Бетхера позволяет из квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника получит квадрат, построенный на гипотенузе. Теорема доказана.

Слайд 22

"Колесо с лопастями" Доказательство методом разложения квадратов на равные части называемое "колесом с лопастями", приведено на рисунке. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; О - центр квадрата, построенного на большем катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе. Легко видеть, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Теорема доказана.

Слайд 23

Аннариций Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций) в арабском комментарии к "Началам" Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора (рис.). Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство всех соответствующих частей требует доказательства, но мы его за очевидностью оставляем читателю. Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нем фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений. Метод равносоставленных фигур был очень популярен в древности. Вероятно, тогда же была изобретена головоломка, называемая сегодня "Пифагор". Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики - теореме Пифагора. Не случайно на обложке последнего издания "Математического энциклопедического словаря" (М.: СЭ, 1988) рисунок из древнекитайского доказательства теоремы Пифагора воспроизведен золотыми линиями в качестве символа математики. Теорема доказана.

Слайд 1

Слайд 2

Стандартная запись многочлена P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x 1 + a 0 , где P(x) – многочлен n - степень многочлена а n x n - старший член а 0 – свободный член

Слайд 3

Теорема Безу Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен ( x-a ), равен p(a) ( Если P ( x )/( x-a ), то R=p(a) , где R -остаток )

Слайд 4

Пример : Докажем: что P(x) = х 4 – 6х 3 + 7х + 18 делится без остатка на (х-2) Решение: подставляем в уравнение х 4 – 6х 3 + 7х + 18, х=2, получаем 2 4 – 6*2 3 + 7*2 + 18 = = 16 – 48 + 14 + 18 = 0, т.е. Р(2) = 0 Определение : Число а называется корнем многочлена P(x) , если Р(а) = 0 Если число а не является корнем многочлена P(x) , то P(x) = ( x-a ) * Q(x) + b n , где b n – остаток Следствие : Если число a является корнем многочлена P(x) , то P(x) делится на двучлен (x-a)

Слайд 5

Схема Горнера ////////// b c d e f a b ka + c ma + d na + e sa + f k m n s r b , c , d , e , f – коэффициенты многочлена P(x) a – корень многочлена P(x) k , m , n , s – коэффициенты многочлена Q(x) r - остаток P(x) = (x-n)*Q(x)

Слайд 6

Пример : Дано: P(x) = 4x 5 – 7x 4 +5x 3 – 2x +1 Найти: P(3) Решение: Ответ: P ( 3 ) = 535 ///// 4 -7 5 0 -2 1 3 4 5 20 60 178 535

Слайд 7

Определение : Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые. Пример : Разложите на множители: P(x) = 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 +5x – 1 Решение: делители -1: +-1 Ответ: 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 +5x – 1 = ( x+1 ) (2x 3 – 9x 2 + 6x -1) ////// 2 -7 -3 5 -1 1 2 -5 -8 -3 -4 -1 2 -9 6 -1 0

Слайд 8

Самостоятельно Найдите корни уравнения: x 3 – 5 x +4 = 0 2 x 4 – 5x 3 + 5x 2 – 2 = 0

Слайд 9

1. Решение : X 3 – 5x + 4 = 0 Делители 4: +-1, +-2, +-4 (x-1)(x 2 + x - 4) = 0 X 1 = 0 x 2 + x -4 = 0 D = 1 2 – 4*1*(-4) = 17 x 2,3 = (-1 +- 17)/2 Ответ : X 1 = 0 x 2,3 = (-1 +- 17)/2 //////// 1 0 -5 4 1 1 1 -4 0

Слайд 10

2. Решение : 2 x 4 – 5x 3 + 5x 2 – 2 = 0 Делители числа -2: +1, -1, 2, -2 (x-1)(2x 3 – 3x 2 + 2x +2) = 0 Раскладываем многочлен Q(x) = 2x 3 – 3x 2 + 2x +2 на множители. Делители числа 2: 1, -1, 2, -2 Проверим числа: ½, -½ ( x-1 ) (x+½)(2x 2 – 4x + 4) = 0 /////// 2 -5 5 0 -2 1 2 -3 2 2 0 //////// 2 -3 2 2 1 2 -1 1 3 -1 2 -5 7 -5 2 2 1 4 10 -2 2 -7 16 -30 //////// 2 -3 2 2 ½ 2 -2 1 2½ -½ 2 -4 4 0

Слайд 11

( x-1 ) (x+½)(2x 2 – 4x + 4) = 0 (x-1)(x+½)2(x 2 – 2x +2) = 0 (x-1)(2x+1)(x 2 – 2x +2) = 0 x 1 = 1 x 2 – 2x + 2 = 0 x 2 = -½ D = 4 – 8 = -4 < 0 корней нет! Ответ : x 1 = 1 , x 2 = -½

Слайд 1

Слайд 2

Движение – это преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками.

Слайд 3

Свойства: при движении в пространстве : прямые переходят в прямые; полупрямые – в полупрямые; отрезки – в отрезки; плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми. * Две фигуры называются равными , если они совмещаются движением *

Слайд 4

- Движение переводит плоскости в плоскости

Слайд 5

При движении любые точки F , Y и X переходят (отображаются) в некие точки F’ , Y’ и X’ так, что | FYX|=|F’ Y’ X’|

Слайд 6

Теоремы Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A'B'C'

Слайд 7

Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогда существует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A', ((B) = B', ((C) = C', ((D) = D'

Слайд 8

Виды движения Осевая симметрия Центральная симметрия Поворот Зеркальная симметрия Параллельный перенос

Слайд 9

Осевая симметрия Осевой симметрией с осью a называется такое преобразование фигуры F , при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a. F a

Слайд 10

Центральная симметрия Центральной симметрией относительно точки O называется такое преобразование фигуры F , при котором каждой ее точке X сопоставляется точка симметрич - ная относительно точки O . O F

Слайд 11

Поворот Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол φ (0° ≤ φ ≤ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке X F сопоставляется точка X ʹ так, что OX=OX ʹ

Слайд 12

Зеркальная симметрия Зеркальной симметрией называется преобразование пространства относительно плоскости, совпадающее со своим обратным.

Слайд 13

Параллельный перенос Параллельным переносом называется движение, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Слайд 14

Композиции движений Композиция – результат последовательного выполнения двух движений. Осевая симметрия Параллельный перенос

Слайд 1

Слайд 2

Основные понятия. Симметрия — это гармония формы и определенный порядок. Но это слишком общее разъяснение. Каким образом можно конкретизировать понятие симметрии? Нужно привлечь математику, точнее, геометрию, и попытаться классифицировать различные виды симметрии. Прежде чем перейти к общепринятой терминологии, обратимся к рисункам, которые помогут уяснить задачу классификации симметрии.

Слайд 3

СИММЕТРИЯ (от греч. symmetria — соразмерность), Соразмерность, пропорциональность частей чего-н., расположенных по обе стороны от середины, центра.

Слайд 4

Геометрический подход к симметрии Виды симметрии симметрия относительно точки симметрия относительно прямой симметрия относительно плоскости

Слайд 5

Симметрия относительно точки Зададим фиксированную точку О, которая называется центром симметрии Произвольной точке А поставим в соответствие точку А1, принадлежащую прямой АО, так что ОА = ОА1. Точка А симметрична точке А1 относительно точки О. Точки В и B1 симметричны, относительно точки 0 Пусть F — данная фигура и О — центр симметрии. Преобразование фигуры F в фигуру F1 при котором каждая ее точка А переходит в точку А1 фигуры F1 симметричную относительно точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ — симметрия относительно точки, которая задается следующим образом:

Слайд 6

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник. О

Слайд 7

Симметрия относительно прямой Пусть g – фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку A и опустим перпендикуляр AO на прямую g . На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок OA1, равный отрезку ОA. Точка A1 называется симметричной точке A относительно прямой g . Если точка A лежит на прямой g , то симметричная ей точка есть сама точка A. Очевидно что точка, симметрична точке A1, есть точка A. Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g , называется преобразованием симметрии относительно прямой g .

Слайд 8

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g , а прямая g называется осью симметрии фигуры. Осью симметрии угла является прямая, содержащая его биссектрису. Осью равнобедренного треугольника является прямая, которой принадлежит медиана треугольника, проведённая к основанию. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Осью симметрии окружности является любая прямая проходящая через центр.

Слайд 9

Симметрия относительно плоскости. Точки А и A1 симметричны относительно плоскости а Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости а, если эта плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна ему. Любая точка плоскости а считается симметричной самой себе (относительно а). Фигура называется симметричной относительно плоскости а (плоскости симметрии фигуры), если для каждой точки фигуры имеется симметричная относительно плоскости а точка этой же фигуры.

Слайд 10

Симметрия в окружающем нас мире Всё красивое радует нас. Мы невольно отмечаем для себя красивый закат, удивительные листья растений, строгие формы кристаллов. Когда мы рассказываем об увиденном, то мысленно всё ещё созерцаем. Постепенно у нас формируется картина окружающего мира, мы находим общее в различных предметах. Например, лист клевера и лист клена различны по форме, но их объединяет что-то общее. Наверное каждый скажет: эти листья имеют симметрию - у них есть ось симметрии. Симметрия наблюдается не только у листьев. Любуясь закатом солнца на море, мы также видим симметрию- направо и налево от солнца всё одинаково. Симметрия есть на дошедших до нас картинах древних художников. Очень часто симметрия используется в архитектуре.

Слайд 11

Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел.Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике

Слайд 13

Спасибо за внимание