Специальная теория относительности
план-конспект урока (11 класс)

Основы специальной теории относительности

Разноуровневые вопросы и задачи

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета, т.е. такие, в которых выполняется закон инерции и скорость света в вакууме является универсальной постоянной.

Постулаты теории относительности

Первый постулат: законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Это обобщение принципа относительности Ньютона на законы не только механики, но и всех других областей физики, носит название принципа относительности Эйнштейна.

Второй постулат: свет распространяется в вакууме с определенной скоростью c, не зависящей от скорости источника или наблюдателя. Согласно специальной теории относительности (СТО) скорость света в вакууме является абсолютной величиной, а такие абсолютные с точки зрения классической механики Ньютона понятия, как длина и время, стали относительными.

Из постулатов СТО следует, что скорость света в вакууме является предельно возможной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.

Релятивистский закон сложения скоростей: если в неподвижной системе отсчета скорость тела и скорость движущейся системы отсчета направлены по одной прямой, то: 

где u ' – скорость движения тела в движущейся системе отсчета; v – скорость движущейся системы K ' относительно неподвижной системы K;
u – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета K (рис. 1).

Релятивистское замедление времени

Если t0 – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же пространственной точке, неподвижной относительно системы K ', а t – интервал времени между этими же событиями в системе K, то 

где c – скорость света в вакууме. Время t0, отсчитываемое по часам, покоящимся относительно данного тела, называется собственным временем. Оно всегда меньше времени, измеренного по движущимся часам: t0 < t.

Релятивистское сокращение длины

Если l0 – длина расположенного вдоль оси x ' стержня в системе K ', относительно которой он покоится, а l – длина этого стержня в системе K, относительно которой он движется вдоль оси x со скоростью v, то:

Поперечные размеры движущегося стержня не изменяются. Линейный размер стержня l0 в той системе отсчета, где он покоится, называется собственной длиной. Эта длина максимальна: l0 > l.

Импульс движущегося тела (релятивистский импульс): 

Полная энергия тела или системы тел: 

Кинетическая энергия движущегося тела: 

где E0 = mc2 – энергия покоящегося тела.

Соотношение Эйнштейна

Энергия, импульс и масса. Для свободной частицы E2 = p2c2 + m2c4.

При изменении массы тела на Dm выделяется эквивалентная энергия ΔE = Δmc2.

Примеры решения задач

Задача 1. Две частицы движутся в вакууме вдоль прямой навстречу друг другу со скоростями 0,5 с и 0,75 с. Определите их относительную скорость.

Дано:

u = 0,5 с,
v = 0,75 с.
________

u ' – ?

Решение

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ', движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u. Используя релятивистский закон сложения скоростей и учитывая, что проекция скорости v на ось x отрицательна, запишем выражение для скорости в неподвижной системе отсчета: 

Отсюда находим относительную скорость частиц u ': 

Подставляя численные значения, имеем:

Задача 2. Время жизни π-мезона в системе отсчета, связанной с ним, равно 2,6 • 10–8 с. Определите время жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого он движется со скоростью 0,99с.

Дано:

t0 = 2,6 • 10–8 с,
v = 0,99 с.
_______

t – ?

Решение

Время жизни π-мезона, который движется со скоростью v, найдем по формуле: 

где t0 –  собственное время жизни π-мезона. Подставляя численные данные, получаем: 

Задача 3. Жесткий стержень AB длиной l0 = 1 м покоится в системе K ' (рис. 2). Стержень расположен так, что составляет угол ϕ0 = 45° с осью x '. Определите длину l и угол ϕ в системе K, если скорость v системы K ' относительно K равна 0,8 с.

Дано:

l0 = 1 м,
ϕ0 = 45°,
v = 0,8 с.
________

l – ? ϕ – ?

Решение

Если отрезок, изображающий стержень, разложить на две компоненты, параллельные осям x ' и z ' соответственно, то длины его компонент, измеренные в системе K ', будут равны Δx ' = l0 cos ϕ0, Δz' = l0 sin ϕ0. При переходе от системы K' к K вертикальная компонента перпендикулярна v и не испытывает никакого сокращения, а горизонтальная компонента, параллельная v, сокращается. Тогда:

Длина стержня, измеренная наблюдателем из K, будет равна:

Подставляя численные значения величин, получаем:

Для определения угла ϕ воспользуемся соотношением:

Тогда:

Задача 4. Протон движется со скоростью 0,75 с. Определите его энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию.

Дано:

v = 0,75 с,
m = 1,67 • 10–27 кг,
c = 3 • 108 м/с.
E0 – ? E – ? Eк – ?
________

Решение

Энергия покоя протона определяется по формуле Эйнштейна: E0 = mc2.

Полная энергия протона:

В релятивистской механике кинетическая энергия Eк частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E0 этой частицы: Eк = E – E0. Подставляя числовые значения величин, получаем:

E0 = 1,67 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 15 • 10–11 Дж.
E = 2,52 • 10–27 кг • (3 • 108)2 м2/с2 = 22,7 • 10–11 Дж.
Eк = 22,7 • 10–11 Дж – 15 • 10–11 Дж = 7,7 • 10–11 Дж.