Вариант 7 февраль 2019 Сайт Гущина
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс)

Пастухова Наталья Алексеевна

Материал содержит развернутое решение заданий №13-19 варианта №7 евраль 2019 профильный уровень.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл variant_7prof._fevral_2019_gushchin.docx422.87 КБ

Предварительный просмотр:

Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

Задание 13 № 514540

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/a7/a789f274bc86cf504ae724ce9ef1e869p.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bde94159257be8f712eb8059ce87e412p.png

Решение.

а) Пусть https://ege.sdamgia.ru/formula/d9/d9f24b32b223b8b819833effe2abf799p.pngтогда исходное уравнение запишется в виде https://ege.sdamgia.ru/formula/4e/4e935e6516d6095dd07ddaa339a5e901p.pngоткуда https://ege.sdamgia.ru/formula/b0/b0af76257fd334f5200fa9c2a421688ap.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/83/83e1219d347f5a95684857ebb96a0c8bp.png  При https://ege.sdamgia.ru/formula/b0/b0af76257fd334f5200fa9c2a421688ap.pngполучим: https://ege.sdamgia.ru/formula/89/89f4cf0b55b4f8c002ea93e55ab80a45p.pngзначит, https://ege.sdamgia.ru/formula/40/4010b79fc560e8f4830813391aa47cc0p.pngчто невозможно.

При https://ege.sdamgia.ru/formula/51/519d077ead1c9e3f0b9a4f26d4c91ae5p.pngполучим: https://ege.sdamgia.ru/formula/5d/5d5d95fb80d21b79ef41f60cf2afa99ap.pngзначит, https://ege.sdamgia.ru/formula/89/89d9e783239755dc3c9a901a841f184ap.pngоткуда https://ege.sdamgia.ru/formula/f1/f13bb92ee438e730a75a51a3ce80d156p.pngили https://ege.sdamgia.ru/formula/84/84294de3f9e3c7a5ffbdb7606d99a46ap.png

                                   б) C помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие       отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bde94159257be8f712eb8059ce87e412p.pnghttps://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=24107&png=1

                                        Получим числа: https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a913f462d515d33fce8b5541ee1cebd0p.png

 

                           Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/66/6611f835ed962908310b1e618ca39056p.pngб) https://ege.sdamgia.ru/formula/a9/a913f462d515d33fce8b5541ee1cebd0p.png

Задание 15 № 511535

Решите неравенство: https://ege.sdamgia.ru/formula/9e/9e11d6515f275c398e3960ab7779322ep.png

Решение.

Прежде всего заметим, что неравенство определено при https://ege.sdamgia.ru/formula/00/008edf83a15329cb4b5d87feba24a2dep.pngПреобразуем его:

https://ege.sdamgia.ru/formula/d7/d7125398ceaf3a811238ea52153ef9d1p.png

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/8e/8ef007f0fef6d1be61b76ab3c5dc9abep.png

Тогда множество решений неравенства: https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7a04b233f79d4761ce5217a58d14a432p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/7a/7a04b233f79d4761ce5217a58d14a432p.png

Задание 14 № 513095     Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно https://ege.sdamgia.ru/formula/a2/a295c7bc18ee6042afe1f1b715beb802p.pngТочки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=29915&png=1

а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN (очевидно, их общую середину) и https://ege.sdamgia.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36bp.png— основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку https://ege.sdamgia.ru/formula/c8/c87e1c7b698a0a9b0bbdea5d33a1d168p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/66/66ed89c7691d753b9391057132d28547p.pngто https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cfa6f4ba67bf5c9b4b7bb2963c9e24eap.png— средняя линия треугольника SOL, поэтому

https://ege.sdamgia.ru/formula/20/20d480740300587db7164caeb951f347p.png

откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e28df236dcb0ae75c494f683f4e511c2p.pngОсталось заметить, что https://ege.sdamgia.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36bp.pngэто и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

б) Проведем через https://ege.sdamgia.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36bp.pngпрямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и BC за https://ege.sdamgia.ru/formula/0a/0a04315fff14859d66e75bebbaaa6990p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/86/865adb153c19640c27383f3fc1ee7e8ap.pngсоответственно. Тогда https://ege.sdamgia.ru/formula/4d/4da1d2b5f38822f66dcbf45e1999c51dp.png— искомое сечение, причем https://ege.sdamgia.ru/formula/22/225c565a98e5d34d2989956e881ea23fp.pngпоэтому это трапеция.

Ее основания равны https://ege.sdamgia.ru/formula/3c/3c66118e60f93da34d57ca8ae8b92069p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/95/9585c9f9ce21af45f524e2bb8f53cbfbp.pngа высота

https://ege.sdamgia.ru/formula/72/7289774ee01a3e1c89f43ab388e9a702p.png

Значит https://ege.sdamgia.ru/formula/e7/e73aa70ecab377e0a88efb3a0a8e5975p.pngОтвет: 12.

Задание 16 № 511440   Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 2, BC = 5 и AC = 6.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=30269&png=1а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:

https://ege.sdamgia.ru/formula/55/55299e0d9d74f75aeb805f9e29906ca2p.png

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bda9c1966e99328ee57dd367e29d4fdep.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/67/679a01dae61732b8183a2ce8bc252278p.png

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=18205&png=1Складывая эти равенства почленно, получаеhttps://ege.sdamgia.ru/formula/71/71d17ee7e1639b57c7e7f2f73f38996ep.png

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, что квадрат медианы AA1 равен https://ege.sdamgia.ru/formula/99/99c1cbbb8c84f4d016e0b76928f6f0c6p.pngДля доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

https://ege.sdamgia.ru/formula/95/9544306dfde30dadfb8439925c919e68p.pngоткуда https://ege.sdamgia.ru/formula/84/84a0b5a3d6e58168161979b3b081625fp.pngАналогично доказывается, что https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef844650c79b5cf55a6405da40060b83p.pngа https://ege.sdamgia.ru/formula/08/08fbb981cc739282a2366da9c1a3fb79p.png

Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,https://ege.sdamgia.ru/formula/cc/cc6f6263ce0be29426626dee740b4e56p.png

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника https://ege.sdamgia.ru/formula/8e/8e28079f9ecc16da4af3db24217522d2p.png

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

https://ege.sdamgia.ru/formula/56/5668af93ec219cd63dbeb925533663bap.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/c7/c7570ce4596b8b8f6a5585728cfe7d83p.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/bd/bda54054b67874e6f77e3afbab8fc670p.png

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна https://ege.sdamgia.ru/formula/5c/5cbb25c455b14b859f70e9e124c6a0a7p.png     Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/5c/5cbb25c455b14b859f70e9e124c6a0a7p.png

Задание 17 № 513107   Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

https://ege.sdamgia.ru/formula/89/89289e1f9c22e0611e20e5432853ab61p.png

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

https://ege.sdamgia.ru/formula/cf/cf1c3c44426efacfc00b9e339402da9fp.png

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49f4ae91b8b6365848176991aec85596p.png

Получаем: https://ege.sdamgia.ru/formula/97/9794ff9a3917f742cd3e916ccc3e78fdp.pngоткуда https://ege.sdamgia.ru/formula/c1/c1a4519ae10cee441ae8ddfe46410cb9p.pngЗначит, всего следует выплатить

https://ege.sdamgia.ru/formula/e3/e3c67ff1bf7abcb2ec861b9f1e19d392p.png(млн. рублей).       Ответ: 80,5.

Задание 18 № 502057

Найдите все значения https://ege.sdamgia.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430p.pngпри каждом из которых уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bfe9dda594d67c8f8cd55e061dacac02p.pngимеет хотя бы один корень.

Решение.

Рассмотрим две функции: https://ege.sdamgia.ru/formula/de/defbcb4d02c760ce93e62985b240c978p.pngи https://ege.sdamgia.ru/formula/87/87510bb299794827b4098d0c256e20e4p.png

Поскольку https://ege.sdamgia.ru/formula/40/40605860c199a6c5de2b18ffdea2bccap.pngполучаем :https://ege.sdamgia.ru/formula/02/02df1215c2bb78eb7e97ef3983909086p.png

Функция https://ege.sdamgia.ru/formula/91/91d3c09a2e701c7e6397d45dbbba7521p.pngявляется кусочно-линейной функцией, причем при https://ege.sdamgia.ru/formula/97/97fdf90850f660f05349f4ad145b62dcp.pngугловой коэффициент равен либо https://ege.sdamgia.ru/formula/c5/c59471f3ce70ca3107957a84ae0d3d9dp.pngлибо https://ege.sdamgia.ru/formula/d2/d232fd579bd152ea1dcd5f7ebe585340p.pngа при https://ege.sdamgia.ru/formula/88/887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8p.pngугловой коэффициент равен либо https://ege.sdamgia.ru/formula/cb/cbd69f627ce2df190a52efe90b82712dp.pngлибо https://ege.sdamgia.ru/formula/90/900a19b45a6bdffa29507ec7900528bep.pngЗначит, функция https://ege.sdamgia.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3p.pngвозрастает при https://ege.sdamgia.ru/formula/97/97fdf90850f660f05349f4ad145b62dcp.pngи убывает при https://ege.sdamgia.ru/formula/35/35a3e49f0d55eb333b6533eedd3a1fa4p.pngпоэтому https://ege.sdamgia.ru/formula/13/137247806e7107ed0ba64e21bd4f4956p.png

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда https://ege.sdamgia.ru/formula/c9/c91fab97e0d375a642ff3486d31a667ap.png

https://ege.sdamgia.ru/formula/f1/f18353638f8fe3df9ca5a5f5e643dda0p.png

Значит, либо https://ege.sdamgia.ru/formula/2c/2c5a21791ddc8567486f85a31720f517p.pnghttps://ege.sdamgia.ru/formula/3e/3ee35700ad1ca036b3955d04d5839268p.pngлибо https://ege.sdamgia.ru/formula/e9/e9d3e295d101ac4fc5d86a184f9c3001p.png

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при https://ege.sdamgia.ru/formula/49/49a321dff3a5d7dd4be1e97ca6afbb66p.pngи при https://ege.sdamgia.ru/formula/27/27679ff30656563ed15110e572927d49p.pngи не имеет корней при других значениях https://ege.sdamgia.ru/formula/9f/9fbcccf456ef61f9ea007c417297911dp.png

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/27/27d95d8512b09804f84d482d6fe75b0dp.png

Задание 19 № 513719  Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 14 человек решили первую задачу (меньшая часть класса), а затем их стало 15 (большая часть класса).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами решивших и не решивших первую задачу, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили первую задачу. Тогда исходно процент учеников, решивших первую задачу был нецелым https://ege.sdamgia.ru/formula/88/884aba9ac09b13816aaab5b144f38999p.png, а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 11 учеников из 24 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество решивших первую задачу равно k. Очевидно, k не меньше 1, так как один ученик решил задачу верно и доказал это на перемене. Тогда искомый процент равен https://ege.sdamgia.ru/formula/41/4136e9253d9b5ce4e3509bfefa4b8c8cp.pngЧтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь https://ege.sdamgia.ru/formula/d0/d05cf434a8b79c2fc1e7cfb8c6770590p.pngпри условии, что https://ege.sdamgia.ru/formula/4b/4bd43600805416f286520dad8cd23d55p.png

Докажем, что наименьшее значение дроби https://ege.sdamgia.ru/formula/01/01e34ebbcd5430fc66963f7e9df88847p.pngравно 4. Результат 4 достигается, если https://ege.sdamgia.ru/formula/c8/c8066e5d86ecafc82c906e3756b2f781p.png

1) Если https://ege.sdamgia.ru/formula/d3/d367d7a85c9dd2e0152ac45d1d30b8b8p.pngто очевидно, что https://ege.sdamgia.ru/formula/bb/bb45ec9ffc2e8a90ab7fae9d337cbf71p.png

2) Если https://ege.sdamgia.ru/formula/ac/acaa29b9a4e2a285d364a8fe1288e31fp.pngто либо k = 1, что не подходит, так как дроби https://ege.sdamgia.ru/formula/9d/9d97d2fcfd6cc5a285129fb907331afap.pngне являются натуральными числами, либо https://ege.sdamgia.ru/formula/ca/ca20dd935c2ce26f041ccf91c0c17715p.pngи в этом случае https://ege.sdamgia.ru/formula/22/22086a60b974a5cf71ad5d6065a8b4b4p.png

Таким образом, 4 – наибольшее целое значение искомого процента.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 4.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

MEET UP . Учись , делись , меняй , делай . ИНТЕРАКТИВНАЯ ПЛОЩАДКА "ИГРЫ ВСЕРЬЕЗ" 22 февраля 2019 г. г. Москва (выступление на общегородском мероприятии )

ЦиклПрезентация результатов деятельности участников лаборатории игровых технологий в образовании ....

Вариант 3 профиль (январь 2019) сайт "Решу ЕГЭ"

Материал содержит решение заданий с развернутым ответом № 14, 15, 17....

День в истории 3 февраля 2019 года!

3 ФЕВРАЛЯ 2019 ГОДА – МАКСИМОВ ДЕНЬ (МАКСИМ-УТЕШИТЕЛЬ): ЧТО ЭТО ЗА ПРАЗДНИК И КАК ЕГО ОТМЕЧАЮТ, ТРАДИЦИИ, ОБЫЧАИ, НАРОДНЫЕ ПРИМЕТЫ, ОБРЯДЫ И ПОВЕРЬЯ ЭТОГО ДНЯ, ИСТОРИЯ 3 февраля 2019 года о...

День в истории 4 февраля 2019 года!

4 ФЕВРАЛЯ 2019 ГОДА – ТИМОФЕЕВ ДЕНЬ: ЧТО ЭТО ЗА ПРАЗДНИК, КАК ОН ОТМЕЧАЕТСЯ, НАРОДНЫЕ ТРАДИЦИИ, ПРИМЕТЫ И ПОВЕРЬЯ ЭТОГО ДНЯ, ЕГО ИСТОРИЯ4 февраля 2019 года отмечается народный праздник Тимофеев ...

День в истории 14 февраля 2019 года!

День святого Валентина (День всех влюбленных). 14 февраля во многих странах мира отмечается День святого Валентина или День всех влюбленных. Считается, что День святого Валентина существует уже более ...

Типы вопросов в английском языке Февраль 2019

В английском языке различают пять типов вопросов. Давайте вместе подробно рассмотрим каждый из них. У каждого из пяти типов вопросительных предложений свой порядок слов, который нужно запомнить...

«Подготовка экспертов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ по программам среднего общего образования», г. Ханты – Мансийск, 18 февраля 2019 г. – 25 февраля 2019 г., 36 часов.

laquo;Подготовка экспертов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ по программам среднего общего образования», г. Ханты &nda...