презентации к урокам геометрии (7 класс)
презентация к уроку по геометрии (7 класс) по теме

Слайд 1

Прямая и отрезок. Луч и угол

Слайд 2

Геометрия (от греч. « гео » – земля, « метрео » – мерить) – это одна из самых древних наук. Геометрия – это наука, которая занимается изучением геометрических фигур.

Слайд 3

Геометрические фигуры Точка Прямая Отрезок Луч Треугольник Прямоугольник Окружность Круг Угол

Слайд 4

Школьный курс геометрии Свойства фигур на плоскости Свойства фигур в пространстве Параллелепипед Цилиндр Шар Планиметрия Стереометрия

Слайд 5

Точки, прямые, отрезки 1) A B C 2 ) a 3 ) a A B A , B – концы отрезка Обозначается: АВ или ВА

Слайд 6

a A D С В Свойство: Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Слайд 7

a b O p q Свойство: Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Слайд 8

a О Луч, исходящий из точки О h Луч h О A Луч OA Точка О – начало луча

Слайд 9

Стороны угла Вершина угла О h k B A Обозначается: hk , AOB, O Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Слайд 10

Углы Развёрнутый Внутренняя область угла Внешняя область угла Внутренняя область угла Внутренняя область угла p C q Неразвёрнутый

Слайд 11

Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, называют углом . С O В А С С OB AO С , AO С , С OB O А В

Слайд 1

Сравнение отрезков и углов

Слайд 2

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными .

Слайд 3

F 2 F 1 P 1 P 2 Две геометрические фигуры называются равными , если их можно совместить наложением.

Слайд 4

А В А С Записывают: АВ < AC

Слайд 5

А В С Точка С – середина отрезка АВ , т. е. АС = СВ. Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка .

Слайд 6

1 2 Записывают: 1 < 2

Слайд 7

А C O O B C ВОС > AOC

Слайд 8

k h l Луч , исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла . Луч l – биссектриса hk .

Слайд 1

Измерение отрезков

Слайд 3

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения . Такой отрезок также называют масштабным отрезком . А В 1 см АВ = 4 см С D 1 см CD = 5,6 см 0,1 см = 1 мм

Слайд 4

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. В А D С 5 см 5 см K L 4 см 3 см 1 см 1 см 1 см N M 1 см

Слайд 5

C A B Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. 4 см 3,5 см 7 ,5 см AC + CB = AB

Слайд 6

A B D C AB = kCD Длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.

Слайд 7

М еждународная единица измерения отрезков: 1 метр = земного меридиана 1 м = 100 см 1 см = 10 мм

Слайд 8

А В Дециметр (1 дм =10 см) Морская миля (1,852 км) Световой год Сантиметр Миллиметр Километр М етр

Слайд 9

Масштабная миллиметровая линейка Рулетка Штангенциркуль

Слайд 1

Измерение углов

Слайд 2

A B АВ = 6,5 см

Слайд 3

Градус – это угол, равный части развёрнутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле, называется градусной мерой угла . Транспортир

Слайд 4

B O А 60° AOB = 60° Записывают:

Слайд 5

градуса – минута. минуты – секунда. Обозначают: « ’ » Обозначают: « ” » Например: 120 ° 10 ’22’’

Слайд 6

Равные углы имеют равные градусные меры. М еньший угол имеет меньшую градусную меру.

Слайд 7

Развёрнутый угол равен 180°. 180°

Слайд 8

А В О С AO С + СОВ = АОВ Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. 50° AO С = 50° AO В = 160° 110° СОВ = 110°

Слайд 9

hk = 9 0° Прямой угол h k h k < 9 0° h k < 18 0° 90° < Тупой угол h k Острый угол h k

Слайд 11

А стролябия Диск, разделённый на градусы Алидада

Слайд 1

Перпендикулярные прямые

Слайд 2

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами. А В О С ∠ АОВ + ∠ ВОС = ∠ АОС = 180° С умма смежных углов равна 180°.

Слайд 3

Вертикальными называются углы, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого. 1 3 2 ∠ 1 + ∠ 2 = 180° ∠ 2 + ∠ 3 = 180° ∠ 1 = 180° – ∠ 2 ∠ 3 = 180° – ∠ 2 ∠ 1 = ∠ 3, 4 ∠ 2 = ∠ 4 В ертикальные углы равны.

Слайд 4

Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. С D А В Обозначают: AB ⊥ CD

Слайд 5

Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются. С D А В А 1 В 1 О 1 О

Слайд 6

b а

Слайд 7

Экер Два бруска Треножник А О В Гвоздики

Слайд 8

Геодезия ( от греч. «землеразделение») – наук а , об измерениях на земной поверхности и в околоземном пространстве . Теодолит

Слайд 1

Первый признак равенства треугольников

Слайд 2

А С В Треугольник О трезки АВ , ВС и СА – стороны треугольника. Обозначают: ∆ АВС , ∆ ВСА , ∆ САВ . ∠ ВАС , ∠ СВА , ∠ АСВ – углы ∆ АВС , ( ∠ А , ∠ В , ∠ С ). Р АВС = АВ + ВС + СА Точки А , В , С – вершины треугольника.

Слайд 3

В А С В 1 А 1 С 1 Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

Слайд 4

В А С В 1 А 1 С 1 В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Обозначают: ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1

Слайд 5

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Рассуждения называются доказательством теоремы .

Слайд 6

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Первый признак равенства треугольников

Слайд 7

Доказательство: Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 – треугольники, у которых АВ = А 1 В 1 , АС = = А 1 С 1 , ∠ ВАС = ∠ В 1 А 1 С 1 . Так как ∠ ВАС = ∠ В 1 А 1 С 1 , то ∆ АВС можно наложить на ∆ А 1 В 1 С 1 так, что А совместиться с А 1 , а АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С 1 . В А С В 1 А 1 С 1 Так как АВ = А 1 В 1 , а АС = А 1 С 1 , то АВ совместится с А 1 В 1 , а АС – с А 1 С 1 . В совместится с В 1 , С – с С 1 . Следовательно, ВС совместится с В 1 С 1 . ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1 . Теорема доказана.

Слайд 8

На рисунке АВ = ВС , АМ = CN . Необходимо доказать, что А N = СМ . В А С M N Доказательство : Так как АВ = В С , АМ = CN , то BM = BN . Рассмотрим ∆ ABN и ∆ СВМ . АВ = ВС , ∠ В – общий угол. ∆ ABN = ∆ СВМ (по первому признаку равенства треугольников). ВМ = BN , Следовательно, А N = СМ.

Слайд 1

Перпендикуляр к прямой

Слайд 2

а О В Отрезок ОВ называется перпендикуляром , проведённым из точки О к прямой а , если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны. Точка В – основание перпендикуляра.

Слайд 3

Доказательство . 1. Существование. Теорема . Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. А р О К С D ∆ AOD = ∆ COD ∠ AOD = ∠ COD , OA = OC . Следовательно, ∠ CDO = ∠ ADO ( смежные углы ) . ∠ CDO = ∠ ADO = 90° . А D ⊥ p, т. е. перпендикуляр существует. В OD – общая сторона, ( по первому признаку ) ,

Слайд 4

2. Единственность. А р D D 1 C AD = CD , ∆ ADD 1 = ∆ CDD 1 ( по первому признаку ) , Так как по предположению ∠ AD 1 D = 90° , т о ∠ С D 1 D = 90 ° , D 1 А и D 1 С составляют прямую, Пусть А D = С D . ч то невозможно. Предположение неверно. Теорема доказана. DD 1 – общая сторона, Следовательно, ∠ AD 1 D = ∠ CD 1 D . ∠ ADD 1 = ∠ CDD 1 = 90 ° . ∠ AD 1 C – развёрнутый,

Слайд 5

a O

Слайд 6

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q . Перпендикуляры МО и NP , проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM , если угол NOP равен 35°. N q M O P Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO . Решение. OP – общая сторона, М O = NP , ∠ MOP = ∠ NP О = 90 ° . Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO (по первому признаку) Тогда ∠ N OP = ∠ MPO = 35° . ∠ NP О = ∠ NPM + ∠ MPO, ∠ NPM = ∠ NP О  ∠ MPO. 35° ∠ NPM = 90°  35° , ∠ NPM = 55° . Ответ: 55°.

Слайд 1

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Слайд 2

м едианы треугольника биссектрисы треугольника высоты треугольника

Слайд 3

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В С А A 1 B 1 C 1 А A 1 , В B 1 и С C 1 – медианы ∆ АВС . Обозначают: m a m a , m b m b , m c m c .

Слайд 4

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны. А C B E 1 E 2 E 3 А E 1 , В E 2 и С E 3 – биссектрисы ∆ АВС . Обозначают: l a , l a l b l b , l c l c .

Слайд 5

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. А С В F 3 F 2 F 1 А F 1 , В F 2 и С F 3 – высоты ∆ АВС . Обозначают: h a , h a h c h c . h b h b ,

Слайд 6

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. l 1 l 2 l 3 Медианы треугольника пересекаются в одной точке. m 1 m 2 m 3 Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. h 1 h 2 h 3

Слайд 7

 Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника? h 1 h 3 h 2

Слайд 8

 Может ли точка пересечения высот лежать в вершине треугольника? h 1 h 3 h 2

Слайд 9

Задача. Отрезок BD – медиана треугольника АВС , отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC . Чему равна длина отрезка АС , если отрезок ЕС равен 4 сантиметра ? А С В D E Решение. Так как ВЕ – медиана ∆ D ВС, т о DE = EC, следовательно , D С = 2 EC , D С = 2 4 = 8 см. В D – медиана ∆ A ВС, з начит AD = DC, следовательно , A С = 2 D C , A С = 2  8 = 16 см. Ответ: 16 см.

Слайд 10

Задача. Отрезок AD – медиана треугольника АВС . Точка Е лежит на луче А D так, что AD = D Е . Докажите, что треугольник А D В равен треугольнику CDE . Доказательство. А С В D E Так как AD – медиана ∆ A ВС, Рассмотрим ∆ ADB и ∆ С D Е. А D = D Е , С D = D В , так как AD – медиана , Следовательно, ∆ ADB = ∆ С D Е ( по первому признаку ) . т о С D = DB, ∠ ADB = ∠ CDE ( как вертикальные ) .

Слайд 1

Свойства равнобедренного треугольника

Слайд 2

Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. В А С АВ , А С – боковые стороны ∆ АВС . В С – основание ∆ АВС . Точка А – вершина ∆ АВС , т очки В , С – вершины при основании. ∠ А – угол при вершине, ∠ В , ∠ С – углы при основании.

Слайд 3

Треугольник , у которого все стороны равны, называется равносторонним . А В С Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

Слайд 4

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство . А В С ∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС . AF – биссектриса ∆ АВС . F A В = АС , ∠ В AF = ∠ С AF . Теорема доказана. ∆ АВ F = ∆ АС F ( по первому признаку ) , AF – общая сторона, Следовательно, ∠ В = ∠ С .

Слайд 5

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство . А В С ∆ АВС – равнобедренный, АВ = АС . F AF – биссектриса ∆ АВС . A В = АС , ∠ В AF = ∠ С AF . AF – медиана ∆ АВС . ∠ AF В = ∠ А F С , AF – высота ∆ АВС . Теорема доказана. ( по первому признаку ) , ∆ АВ F = ∆ АС F AF – общая сторона, В F = С F ,

Слайд 6

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Слайд 7

Задача. АВС D – квадрат. Точка Е – середина стороны С D . Докажите, что треугольник ВЕА является равнобедренным. Доказательство. А В С D Е Рассмотрим ∆ ВС Е = ∆ А DE. В C = AD , CE = DE , ∠ В CE = ∠ ADE . Значит, ∆ ВС Е = ∆ А DE (по первому признаку) . Следовательно, ЕВ = E А Значит, ∆ ВЕА – равнобедренный.

Слайд 8

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС , где АВ равняется ВС , периметр равен 20 см, а основание больше боковой стороны на 2 см. Найдите стороны треугольника. А В С Решение. т огда АС = ( + 2) см. АВ = ВС = см, Получаем + + ( + 2) = 20, 3 + 2 = 20, 3 = 20  2 , 3 = 18, = 18 : 3, Т огда АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 2 = 8 (см). Ответ: 6 см, 6 см, 8 см. = 6.

Слайд 1

Второй признак равенства треугольников

Слайд 2

Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. А А 1 С 1 В 1 С В

Слайд 3

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А А 1 С 1 В 1 С В

Слайд 4

Доказательство. С В А А 1 С 1 В 1 Пусть АВ = А 1 В 1 , ∠ А = ∠ А 1 , ∠ В = ∠ В 1 . Получаем ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1 . Значит , АС = А 1 С 1 , В С = В 1 С 1 . Теорема доказана .

Слайд 5

Задача. Докажите , что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, поведённые к боковым сторонам, равны между собой. Доказательство. С В А M N ∆ АВС – равнобедренный, АВ = ВС. АМ, С N – биссектрисы. Рассмотрим ∆ АМВ и ∆ CNB . ∠ В – общий , АВ = ВС, ∠ NCB = ∠ MAB. Тогда ∆ АМВ = ∆ CNB (по второму признаку). Следовательно, АМ = С N .

Слайд 6

Задача. Точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD квадрата ABCD так, что ∠ F ВС равен ∠ Е D А . Докажите, что треугольник С BF равен треугольнику ADE . Доказательство. С В А D E F Рассмотрим ∆ CBF и ∆ ADE . В C = AD, ∠ BCF = ∠ DAE, ∠ FBC = ∠ EDA. Следовательно, ∆ CBF = ∆ ADE (по второму признаку).

Слайд 7

Задача. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е , которая является серединой отрезка АВ , а ∠ EAD и ∠ EBC равны. Докажите, что треугольники СВЕ и ADE равны. Чему равна длина отрезка AD , если отрезок СВ равен 7 см? E В А С D Решение. Рассмотрим ∆ CB Е и ∆ ADE . АЕ = ВЕ , ∠ EAD = ∠ EBC, ∠ CE В = ∠ AED . Следовательно, ∆ CBE = ∆ ADE (по второму признаку). Значит, AD = СВ , AD = 7 см . Ответ: 7 см.