Готовые материалы для оформления стендов в кабинете математики
занимательные факты по теме

Математика в Древней Греции

Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.

   Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля.

   В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы: ионийцы (Фалес Милетский) и пифагорейцы (Пифагор).

    Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем. Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

   Пифагор, основатель школы, как и Фалес, много путешествовал и тоже учился у египетских и вавилонских мудрецов. Именно он выдвинул тезис «Числа правят миром», и занимался его обоснованием.

   Пифагорейцы немало продвинулись в теории делимости, но чрезмерно увлеклись играми с «треугольными», «квадратными», «совершенными» и т. п. числами, которым, судя по всему, придавали мистическое значение. Видимо, правила построения «пифагоровых троек» были открыты уже тогда; исчерпывающие формулы для них приводятся у Диофанта. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже, видимо, пифагорейского происхождения. Вероятно, они же построили общую теорию дробей (понимаемых как отношения (пропорции), так как единица считалась неделимой), научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции.

Афинская школа Пифагора

Из истории математики

Ал-Хорезми или Мухаммад ибн Муса Хорезми (ок. 783 - ок. 850) - великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры.

Книга об алгебре и алмукабале

   Ал-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала»), от названия которой произошло слово «алгебра».

   В теоретической части своего трактата ал-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть их видов:

• квадраты равны корням (пример 5x2 = 10x);
• квадраты равны числу (пример 5x2 = 80);
• корни равны числу (пример 4x = 20);
• квадраты и корни равны числу (пример x2 + 10x = 39);
• квадраты и числа равны корням (пример x2 + 21 = 10x);
• корни и числа равны квадрату (пример 3x + 4 = x2).

     Такая классификация объясняется требованием, чтобы в обеих частях уравнения стояли положительные члены.   Охарактеризовав каждый вид уравнений и показав на примерах правила их решения, ал-Хорезми даёт геометрическое доказательство этих правил для трёх последних видов, когда решение не сводится к простому извлечению корня.

     Для приведения квадратного уравнения общего вида к одному из шести канонических видов ал-Хорезми вводит два действия. Первое из них, ал-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие - ал-мукабала - состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, ал-Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.

Персидский залив

Евклидова геометрия

Евклид
древнегреческий математик
(365-300 до. н. э.)

   О Евклиде почти ничего неизвестно, откуда он был родом, где и у кого учился.

   Папа Александрийский (III в.) утверждал, что он был очень доброжелателен ко всем тем, кто сделал хоть какой-нибудь вклад в математику. Корректен, в высшей степени порядочен и совершенно лишен тщеславия. Как-то царь Птолемей I спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем штудирование "Начал". На это Евклид смело ответил, что "в геометрии нет царской дороги". Евклид, как и другие великие греческие геометры, занимался астрономией, оптикой и теорией музыки.

   Гораздо больше мы знаем о математическом творчестве Евклида. Прежде всего, Евклид является для нас автором "Начал", по которым учились математики всего мира. Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. На геометрии Евклида базируется классическая механика, ее апофеозом было появление в 1687 г. "Математических начал натуральной философии Ньютона, где законы земной и небесной механики и физики устанавливаются в абсолютном евклидовом пространстве.

   Содержание "Начал" далеко не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная 6aзa для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения "Начал", как на нечто окончательно установленное.

"Начала" Евклида состоят из 15 книг. В 1-й формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, …

Геометрия средних веков

   Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

   Муза геометрии, Лувр.

   Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

В геометрии можно условно выделить следующие разделы:

• Элементарная геометрия — геометрия точек, прямых и плоскостей, а также фигур на плоскости и тел в пространстве. Включает в себя планиметрию и стереометрию. 
• Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. Изучает линии, векторы, фигуры и преобразования, которые задаются алгебраическими уравнениями в аффинных или декартовых координатах, методами алгебры. 
• Дифференциальная геометрия и топология изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, а также их отображения. 
• Топология — наука о понятии непрерывности в самом общем виде.

   Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии.

Геометрия Лобачевского

Николай Иванович Лобачевский (20 ноября 1792 - 12 февраля 1856), великий русский математик

   Поводом к изобретению геометрии Лобачевского явился V постулат Евклида: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её». Относительная сложность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его из остальных постулатов Евклида.

   Попытками доказательства пятого постулата Евклида занимались такие ученные как древнегреческий математик Птолемей (II в.), Прокл (V в.), Омар Хайям (XI - XII вв.), французский математик А. Лежандр (1800).

   Были предприняты попытки использовать доказательство от противного: итальянский математик Дж. Саккери (1733), немецкий математик И. Ламберт (1766). Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате: немецкие математики Ф. Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

   Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.

   В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Бельтрами определил метрику плоскости Лобачевского и доказал, что она имеет всюду постоянную отрицательную кривизну. Такая поверхность тогда уже была известна - это псевдосфера Миндинга. Бельтрами сделал вывод, что локально плоскость Лобачевского изометрична участку псевдосферы.

   Окончательно непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана в 1871 году, после появления модели Клейна.

 ДЕЛИМОЕ                           ДЕЛИТЕЛЬ                        ЗНАЧЕНИЕ        

                                                                                            ЧАСТНОГО

            ЧАСТНОЕ

 МНОЖИТЕЛЬ                МНОЖИТЕЛЬ                  ЗНАЧЕНИЕ        

                                                                                   ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 ПРОИЗВЕДЕНИЕ

УМЕНЬШАЕМОЕ           ВЫЧИТАЕМОЕ                  ЗНАЧЕНИЕ

                                                                                          РАЗНОСТИ

          РАЗНОСТЬ

СЛАГАЕМОЕ                   СЛАГАЕМОЕ                        ЗНАЧЕНИЕ

                                                                                             СУММЫ

          СУММА

1 км = 1000м

1м = 10 дм

1 дм = 10см

1см = 10мм

1м = 100см =1000мм

1 век = 100 лет

1 год = 12 месяцев

1 год = 365(366) суток

1 сутки = 24 часа

1 час = 60 минут

1 минута = 60 секунд

1 т = 1000кг

1кг = 1000г

1ц = 100кг

1т = 10ц

Р прям. = a+b+a+b

Р прям. = (a+b)  2

Р прям. = a  2 + b  2

Р квадрата = a+a+a+a

Р квадрата = а  4

a – длина         S = a  b

b – ширина     a = S   b

S – площадь    b = S  a 

(м , см , и т.д.)

Увеличить

 в …раз

Уменьшить

в …раз

Во сколько раз

 больше\ меньше        

Увеличить

на…единиц

Уменьшить

на…единиц

На сколько

больше\меньше

        1.  (    )

        2.

        3.

Математические софизмы

        Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

         Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать? Разбор софизмов, прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается.

ПОПРОБУЙ СВОИ СИЛЫ

1) 4 р.= 40 000 к. Возьмем верное равенство: 2р.=200 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р.=40 000 к. В чём ошибка?

2) 5=6. Попытаемся доказать, что 5=6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35+10-45=42+12-54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6. В чём ошибка?

3). 2*2=5. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2*2=5.

4) Все числа между собой равны. Пусть m=n. Возьмем тождество: m2-2mn+n2=n2-2mn+m2. Имеем: (m-n)2=(n-m)2. Отсюда m-n=n-m? или 2m=2n, а значит, m=n. В чём ошибка?

МЫ УЧИМСЯ

СООБРАЗИТЕ!

• Как записать в общем виде натуральное число, при делении которого на 5 получается остаток 7?
• Найдите наименьшее значение выражения 4x2-2x+10.

• Самолёт из Москвы летит в Киев и возвращается обратно в Москву. В какую погоду этот самолёт проделает весь путь быстрее: в безветренную; при ветре, дующем с одинаковой силой в направлении Москва-Киев?

• Из разговора 1 сентября: «Сколько тебе ещё учиться?» - «Столько, сколько ты уже проучился. А тебе?» - «В полтора раза больше». Кто в какой класс перешёл?

• В записи КТС+КСТ=ТСК каждой букве соответствует своя цифра. Найдите, чему равно число ТСК!

ДОКАЖИТЕ!

• Квадрат нечётного числа – нечётное число.

• Квадрат чётного числа является числом, кратным 4.

• Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делиться на 8.

• Сумма произведения двух последовательных натуральных чисел и большего из них равна квадрату этого большего числа.

• Если взять какое-нибудь двузначное число с разными цифрами, переставить в нём цифры и вычесть из взятого числа получившееся, то разность будет делиться на 9. Будет ли это верно для трехзначных чисел (переставляются крайние цифры)? 

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Спираль Архимеда. Представьте себе, что по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползёт муха. Путь, описанный мухой, - это кривая, называемая спиралью Архимеда. Начертите какую-нибудь спираль Архимеда.

Синусоида. Сделайте из плотной бумаги, свернув её несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Смотрите на линию разреза, если развернуть одну из частей этой трубочки. Перерисуйте эту линию на лист бумаги. У вас получится одна из замечательных кривых, называемая синусоидой. Особенно часто с ней приходится встречаться при изучении электротехники и радиотехники.

Кардиоида. Возьмите два равных кружочка, вырезанных из фанеры (можно взять две одинаковые монеты). Один из этих кружочков закрепите. Второй приложите к первому, отметьте на краю его точку А, наиболее удалённую от центра первого кружка. Затем катите без скольжения подвижный кружочек по неподвижному и наблюдайте, какую линию опишет точка А. Начертите эту линию. Она является одной из улиток Паскаля и называется кардиоидой. В технике эта кривая часто используется для устройства кулачковых механизмов.

Геометрические головоломки

• Сложите три равных квадрата: 1) из 11 спичек; 2) из 10 спичек.

• Постройте замкнутую ломаную линию, состоящую из трёх звеньев и проходящую через четыре данные точки.

• Как разместить 6 кружков на плоскости так, чтобы получились 3 ряда по 3 кружка и 6 рядов по 2кружка.

• Изображённую на рисунке фигуру требуется разделить на 6 частей, проведя всего лишь 2 прямые. Как это сделать?

Правила поведения учащихся

в кабинете

Кабинет математики оснащен современным оборудованием для проведения учебных занятий: ПК, проектор, экран, устройство печати.

Это оборудование не переносит пыли и требует бережного отношения.

Запрещающие правила поведения

в кабинете

Правила поведения учащихся

на уроке

1. При входе педагога в класс учащиеся встают. Они садятся после приветствия и разрешения педагога. Так же ученики приветствуют любого взрослого, вошедшего в класс во время занятий. При выходе педагога из класса учащиеся тоже встают.
2. На время урока учитель устанавливает правила поведения на уроке.
3. Во время урока нельзя шуметь, отвлекаться самому и отвлекать товарищей от занятий разговорами, играми и другими не относящимися к уроку делами.
4. Если учащийся хочет что-нибудь сказать, задать вопрос учителю или ответить на вопрос, он поднимает руку, после разрешения говорит. Педагог может установить другие правила.
5. Звонок об окончании урока дается для учителя. Он определяет время окончания урока и объявляет ученикам о его окончании.
6. Если учащийся пропустил уроки в школе, то он должен предъявить классному руководителю медицинскую справку или записку от родителей. Пропускать и опаздывать на уроки без уважительных причин не разрешается.

Правила поведения учащихся

на перемене

1. По окончанию урока учащиеся обязаны:

• привести в порядок свое рабочее место;
• выйти из класса;
• подчиняться требованиям педагога и дежурных учащихся.

2. Во время перемены учащиеся находятся в коридоре. В классе находятся двое дежурных, которые:

• проветривают класс, 
• стирают с доски,
• готовят мел и тряпку,
• следят, чтобы в классе никого не было во время перемены, 
• помогают учителю готовить материал к уроку,
• разрешают учащимся войти в класс за две минуты до звонка и с разрешением учителя.

3. Во время перемены запрещается: 

• бегать в местах неприспособленных для игр, толкать друг друга;
• употреблять непристойные выражения и жесты, шуметь, мешать другим отдыхать или готовиться к уроку.

Дорогу осилит

идущий,

А математику –

мыслящий!

А знаете ли Вы, что первое счётное устройство — абак?

          Первыми «вычислительными устройствами», которыми пользовались в древности люди, были пальцы рук и камешки. В Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры использовали абак – доску с полосками, по которым продвигались камешки. Э то было первое устройство, специально предназначенное для вычислений. Со временем абак совершенствовали – в римском абаке камешки или шарики передвигались по желобкам. Абак просуществовал до 18 века, когда его заменили письменные вычисления. Русский абак – счёты появились в 16 веке. Ими пользуются и в наши дни. Большое преимущество русских счётов в том, что они основаны на десятичной системе счисления, а не на пятеричной, как все остальные абаки.

Алгоритм работы над задачей

1. Читаю всю задачу.
2. Читаю условие, выделяю данные.
3. Читаю вопрос, выделяю искомое.
4. Определяю структуру задачи (простая или составная).
5. Нахожу недостающее данное (если составная).
6. Довожу решение до конца.
7. Перечитываю вопрос задачи.
8. Отвечаю на него.

Шуточные задачи

1. Пожарных учат надевать штаны за три секунды. Сколько штанов успеет надеть хорошо обученный пожарный за 1 минуту?
2. В бублике одна дырка, а в кренделе в 2 раза больше. На сколько меньше дырок в 7 бубликах, чем в 12 кренделях?
3. Если младенца Кузю взвесить вместе с бабушкой – получится 59 кг. Если взвесить бабушку без Кузи – получится 54 кг. Сколько весит Кузя без бабушки?
4. Боксер, каратист, штангист погнались за велосипедистом со скоростью 12 км/ч. Догонят ли они велосипедиста, если тот, проехав 45 км со скоростью 15 км/ч, приляжет отдохнуть на часок?. 
5. Рост Кати 1 м 75 см. Вытянувшись во весь рост, она спит под одеялом, длина которого 155 см. Сколько сантиметров Кати торчит из-под одеяла?. 
6. Сколько дырок окажется в клеенке, если во время обеда 12 раз проткнуть ее вилкой с 4 зубчиками?. 
7. На уроке математике в 7-й группе присутствовали учащиеся, у которых было 56 ушей, у учительницы на 54 уха меньше. Сколько всего ушей можно насчитать во время урока математики?
8. Площадь одного уха слона равна 10 000 кв.см. Узнай, в кв. м., площадь 2 ушей слона.. 
9. Допустим, что ты решил прыгнуть в воду с высоты 8 метров. И, пролетев 5 метров, передумал. Сколько метров придется тебе еще лететь поневоле?
10. Младенец Кузя орет как резаный 5 часов в сутки. Спит, как убитый 16 часов в сутки. Остальное время младенец Кузя радуется жизни всеми доступными ему способами. Сколько часов в сутки младенец Кузя радуется жизни?
11. Кощей Бессмертный родился в 1123 г, а паспорт получил лишь в 1936 г. Сколько лет прожил он без паспорта.
12. Голодный Вася съедает за 9 мин. 3 батончика, сытый Вася тратит на 3 бат. 15 мин. Насколько мин. быстрее управляется с одним батончиком голодный Вася?
13. У младенца Кузи еще 4 зуба, а у его бабушки только 3. Сколько зубов у бабушки и внука?
14. Кто окажется тяжелее после ужина: первый – людоед, который весил до ужина 48 кг и на ужин съел 2-го людоеда или второй, который весил 52 кг и съел первого.

Правила поведения в кабинете математики

1. В кабинет входить только с разрешения учителя. Учащиеся должны входить в кабинет в сменной обуви и без верхней одежды
2. Учащиеся должны входить в класс спокойно, не толкаясь, соблюдая порядок. Запрещены громкие разговоры, споры за рабочее место
3. Нельзя в кабинете без разрешения трогать ни один прибор, открывать шкафы, трогать проекционную аппаратуру
4. Запрещается приносить в кабинет вещи, не предназначенные для учебы. Запрещается пользоваться сотовым телефоном
5. Жвачка, какой бы вкусной она ни казалась, категорически запрещена для использования в кабинете, как на уроке, так и на перемене
6. Основное и важнейшее требование в кабинете - дисциплина. Пыль, поднятая в кабинете вредна как для оборудования, так и для учащихся
7. Нельзя в кабинет приносить с собою хлеб, орешки, конфеты, семечки. Обед в столовой должен быть доеден за столом в столовой

Спасибо за соблюдение правил!

В мире математики

ПЕРИМЕТР состоит из двух греческих слов peri (вокруг) и metreō (измеряю). Сравните его со словами перископ (ckopeo – смотрю), периферия (phero –ношу), перикардия (kardia – сердце), период (hogjs –  путь, дорога)

ХОРДА (греч. chordē ) в переводе с греческого – струна. Происхождение этого термина в геометрии связано с изготовлением лука, в котором туго натянутая струна – тетива, стягивает его концы.

Слова СЕКТОР и СЕГМЕНТ, оказывается, родственные, т. к. они происходят от одного и того же латинского слова (как и слово секира), которое переводится на русский язык как рассекать. Итак, сектор и сегмент рассекают круг, но каждый по-своему.

МЕДИАНА, медиатор, медик – однокоренные. Они происходят от слова медиум – посредник, средний. Медиатор – предмет, позволяющий музыканту извлекать звук из своего музыкального инструмента; медик – врач, с помощью которого происходит исцеление больного.

Слово РОМБ происходит от греческого rhombos, означающего бубен. Оказывается, в древние времена бубны – музыкальные инструменты – были не круглыми, как сейчас, а имели форму четырехугольника с равными сторонами.

В слове БИССЕКТРИСА корень – сектр – (знакомо правда), а приставка «бис», – что означает повторить, дважды. Итак, по самому строению слова «биссектриса» легко определить его смысл, а так же понять, почему в этом слове нужно писать удвоенную согласную с.

Слово КАТЕТ является однокоренным со словами катакомбы, катаракта. Корень kata греческого происхождения, означает вниз, падать. Слово катаракта (помутнение глазного хрусталика) употреблялось раньше в форме катаракт и имело 2 значения: водопад в горах, а так же подвижные заслоны в крепостных воротах. Катакомбы – kata под; вниз + kumbē чаша.

Слово ГИПОТЕНУЗА переводится с греческого как быть противоположным, т. е. сторона треугольника, противоположная его прямому углу.

Ребусы

Ответы:

1. Задача
2. Аксиома
3. Апофема

Ответы:

4. Вектор
5. Конус
6. Пирамида

Золотое Сечение

Геометрия владеет двумя сокровищами:
одно из них – теорема Пифагора,
другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. 
И. Кеплер 

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете — посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887...  Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

Анхель де Куатьэ

Золотое сечение в математике

В математике пропорцией называют равенство двух отношений:    a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

   Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

Все архитектурные сооружения, храмы и даже жилища от Древнего Египта и Древней Греции и до наших дней создавались и создаются в гармонии чисел – по правилам «Золотого Сечения».

Золотое сечение в скульптуре

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Золотое сечение в биологии

Росток

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Золотое сечение в частях тела

Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти "золотые" соотношения:

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно в среднем примерно 13/8 = 1,625

5-6 классы
Разминка

1.  Апельсин не легче груши, а яблоко не легче апельсина. Может ли груша быть тяжелее яблока? А не легче яблока?

2.   У сестры в четыре раза больше братьев, чем сестер. А у брата братьев на одного больше, чем сестер. Сколько в семье братьев и сколько сестер?

3.  Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 5 м канавы?

Задачи на сравнение

1. 7 карасей тяжелее, чем 3 окуня. Что тяжелее – 5 карасей или 2 окуня? 

Задачи на взвешивание

1. Имеются чашечные весы без гирь и три монеты, одна из них фальшивая – легче других. Выявить фальшивую монету одним взвешиванием. 
2. Решите предыдущую задачу, если монет 4; 5; 6; 8; 9 и два взвешивания.

Задачи на переливания

1. В бочке 18 л бензина. Имеется черпак объемом 4 л и два ведра по 7 л, в которые нужно налить по 6 л бензина. Как осуществить разлив?

Задачи с числами

1. Докажите, что полусумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное. 
2. В шахматном турнире было сыграно 66 партий, причем каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько шахматистов было в турнире?
3. Банк имеет неограниченное число купюр достоинством 3 и 5 рублей. Докажите, что он может выдать без сдачи любое число рублей ≥ 8. 

Задачи на «Графы»

1. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга. Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

Готовимся к олимпиадам

Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад

5-6 классы
Малая олимпиада (осенний тур)

1.  Кот в Сапогах поймал четырех щук и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?

2.  Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько бревен они распилили?

3.  Как Вы считаете, какой - четной или нечетной - будет сумма:
а) двух четных чисел;
б) двух нечетных чисел;
в) четного и нечетного чисел;
г) нечетного и четного чисел?

4.  Ребята принесли из леса по полной корзинке грибов. Всего было собрано 289 грибов, причем в каждой корзинке оказалось одинаковое количество. Сколько было ребят? 

5.  У мальчика было 10 монет достоинством 1 р. и 5 р. Он насчитал 57 рублей. Не ошибся ли мальчик?

6. Из бочки, содержащей не менее 10 л бензина, отлейте ровно 6 л, используя бидон вместимостью Зли девятилитровое ведро.

7.  7 шоколадок дороже, чем 8 пачек печенья. Что дороже -8 шоколадок или 9 пачек печенья?

9.  В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить между двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок в корзине?

10.  До царя Гороха дошла молва, что, наконец, кто-то убил Змея Горыныча. Царь догадался, что это дело рук или Ильи Муромца, или Добрыни Никитича, или Алеши Поповича. Пригласил их ко двору, стал расспрашивать. Трижды каждый богатырь речь держал. И сказали они так: 

Илья Муромец: 1) Я не убивал Змея Горыныча. 2) Я в заморские страны уезжал. 3) А Змея Горыныча убил Алеша Попович.

Добрыня Никитич: 4) Змея Горыныча убил Алеша Попович. 5) Но я если бы и убил, то не сознался бы. 6) Много еще нечистой силы осталось.

Алеша Попович: 7) Не я убил Змея Горыныча. 8) Я давно ищу, какой бы подвиг совершить. 9) И взаправду Илья Муромец в заморские страны уезжал.

Потом царь Горох узнал, что дважды каждый богатырь правду говорил, а один раз лукавил. Так кто же убил Змея Горыныча?

7-8 классы
Инвариант

Инвариант — термин, используемый в математике, физике, а также в программировании, обозначает нечто неизменяемое.

Все задачи, объединённые условным названием «инвариант», имеют следующий вид: даны некоторые объекты, над которыми разрешается выполнять определённые операции. Как правило, в задаче спрашивается, можно ли при помощи этих операций из одного объекта получить другой? Если можно, то нужно привести пример, как это сделать. Если нельзя, нужно доказать, что это невозможно.

В качестве инварианта могут выступать самые разные величины: четность, сумма, произведение, остаток от деления и т.д.

Задача 1

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 27 монет?

Решение. После каждого такого размена количество монет увеличивается на 4, при этом остаток при делении на 4 у числа монет остаётся неизменным. Сначала у нас была 1 монета, значит, остаток всегда будет 1. У числа 27 при делении на 4 остаток 3, таким образом нельзя разменять одну монету на 27 монет.

Задача 2

Хулиган Вася порвал стенгазету, причём каждый попадающийся ему кусок он рвал на четыре части. Могло ли получиться 2009 кусков? А если каждый кусок рвался на 4 или 10 частей?

Решение. Нет. Количество кусков каждый раз изменяется на 3 или на 9, то есть остаток при делении на 3 является инвариантом. Первоначально была одна газета, значит, количество кусков должно иметь остаток 1 по модулю 3, а 2009 делится на 3 с остатком 2.

Задача 3

В ряд выписаны числа 1, 2, 3,..., 100. Можно менять местами любые два числа, между которыми стоит ровно одно. Можно ли получить ряд 100, 99, 98,..., 2, 1 ?

Решение. Заметим, что при разрешённых операциях меняются местами либо только чётные числа, либо только нечётные. При этом чётные числа всегда будут находиться на чётных местах. Значит, нельзя получить ряд, в  котором на первом месте стоит 100.

Задача 4

Из Астрахани в Москву везли 80 т персиков, которые содержали 99% воды. По дороге они усохли и стали содержать 98% воды. Сколько тонн персиков привезли в Москву?

Решение. В этой задаче инвариантом выступает вес «сухого остатка», т.е. разница между весом персиков и весом содержащейся в них воды. В Астрахани в персиках содержался 1%, т.е. 8 т «сухого остатка», в Москве эти 8 т составляли уже 2% от привезённых персиков. Тогда вес персиков 8:2-100 = 40т. Вес уменьшился вдвое!

Задача 5

К числу можно прибавлять сумму его цифр. Можно ли за несколько шагов получить из тройки число 20092009?

Решение. При каждом шаге число увеличивается на сумму цифр. Заметим, что число и сумма его цифр имеют одинаковый остаток при делении на 3. Тройка делится на 3 без остатка, значит, числа, которые можно получить из неё такой операцией, тоже будут делиться на 3. А число 20092009 не кратно 3.

Ответ: нет.

Задача 6

Дана таблица 8x8, в которой записаны числа от 1 до 64. Закрашиваются 8 клеток так, что в каждой горизонтали и в каждой вертикали ровно одна закрашенная клетка. Докажите, что сумма чисел, записанных в этих 8 клетках, не зависит от набора закрашенных клеток.

Решение. Занумеруем столбцы в таблице слева направо цифрами от 1 до 8. Тогда числа первой строки представим в виде суммы 0 и номера столбца; числа, записанные во второй строке, как 8+№ столбца; в третьей строке: 16+№ и т. д. Поскольку в каждой строке и в каждом столбце закрашено ровно по одной клетке, то, независимо от выбора, сумма восьми чисел набора равна: (0 + 8 + 16 + ... + 56) + (1 + 2 + ... + 8) = 260.

Задача 7

Решите в целых числах уравнение x2+y2+z2 =8k - 1.

Решение. Рассмотрим остатки полных квадратов при делении на 8. Квадрат чётного числа может давать остатки 0 и 4, а нечётного — всегда даёт остаток 1, так как (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. Сумма остатков трёх полных квадратов может быть или чётной, или 1, или 3. Но 8k - 1 делится на 8 с остатком 7. Значит, это уравнение решений не имеет.

Задача 8

Дан выпуклый четырёхугольник с диагоналями 10 см и 7 см. Докажите,  что при разрезании такого четырёхугольника нельзя получившимися кусками замостить квадрат 6x6 см.

Решение. Площадь такого четырёхугольника равна 5∙7sinα < 35 (α - угол между диагоналями). Поэтому площадь фигуры, равносоставленной данному четырёхугольнику, не может превышать 35. Площадь же квадрата 6x6 равна 36.

7-8 классы
Задачи для самостоятельного решения

2.1. В столовой стоят 50 стаканов, из них 25 — вверх дном. Сможет ли дежурный, переворачивая по 4 стакана, получить все стаканы стоящими правильно, то есть на донышке?

2.2. На доске написаны числа 1,2,..., 2009. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были бы нулями?

2.4. Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй — 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2008 голов. Заметим, что если у Змея Горыныча осталось, например, лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя. Может ли Иван-царевич отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов?

2.5.  На шахматной доске разрешается за один ход перекрашивать все клетки в одной строке или в одном столбце. Может ли после нескольких ходов остаться ровно одна белая клетка?

2.7.  В алфавите языка племени УЫУ две буквы: У и Ы, причём этот язык обладает интересным свойством: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ и УЫУУ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не меняется при добавлении в любое место слова буквосочетаний УУ, ЫЫУУЫЫ и УЫЫУ. а) Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и УЫУЫ имеют одинаковый смысл? В этой задаче выражения «иметь одинаковый смысл» и «получаться друг из друга преобразованием» равноценны, б) Одинаковый ли смысл у слов УЫЫ и УЫУ?

2.8. В алфавите имеются только две буквы — А и Я. Комбинации букв АЯ и ЯЯЯ, ЯА и ААЯ, ЯЯ и ААА в любом слове можно заменять друг на друга. Можно ли из слова АЯЯ получить слово ЯАА?

2.10.  На доске написаны числа от 1 до 20. Можно любую пару чисел (х, у} заменить на число х + у + 5ху. Может ли в конце получиться 20082009?

2.17.  На столе лежит куча из 1001 камня. Первый ход состоит в том, что из кучи выкидывают камень, а затем делят её на две. Каждый следующий ход состоит в том, что из какой-либо кучки, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из кучек снова делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трёх камней?

2.18. Докажите, что числа вида 2009п + 3 и 2009п + 4 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

2.20.  Весь комплект домино выложили по правилам игры. Известно, что первой стоит пятёрка. Какая цифра стоит последней?

2.23.  На доске написано 100 плюсов и 100 минусов. Можно заменять любые 2 минуса на плюс, плюс и минус на минус, два плюса на плюс. Докажите, что знак, который останется в конце, не зависит от порядка операций.

2.26. Докажите, что уравнение 15х2 - 7у2 = 9 не имеет решений в целых числах.

2.27. Докажите, что уравнение х2 - 7у = 10 не имеет решений в целых числах.